【文档说明】上海2021年春季高考数学试卷及答案.doc，共(12)页，2.732 MB，由baby熊上传

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第1页（共12页）2021年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}na的首项为3，公差为2，则10a．2．已知13zi，则||zi．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为．4．丌等

式2512xx的解集为．5．直线2x不直线310xy的夹角为．6．若方程组111222axbycaxbyc无解，则1122abab．7．已知(1)nx的展开式中，唯有3x的系数最大，则(1)nx的系数和为．8．已知函数()3(0)31xxafxa

的最小值为5，则a．9．在无穷等比数列{}na中，1lim()4nnaa，则2a的叏值范围是．10．某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合.A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9

点10点10点11点11点12点30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟11．已知椭圆2221(01)yxbb的左、右焦点为1F、2F，以O为顶点，2F为焦点作抛物线交椭圆于P，且1245PFF，则抛物

线的准线方程是．12．已知0，存在实数，使得对任意*nN，3cos()2n，则的最小值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是()A．2()fxxB．()sinfxxC．()2xfxD．()1fx14．已知集合

{|1Axx，}xR，2{|20Bxxx…，}xR，则下列关系中，正确的是()A．ABB．RRAB痧C．ABD．ABR15．已知函数()yfx的定义域为R，下列是()fx无最大值的充分条件是()A．()fx

为偶函数且关于点(1,1)对称B．()fx为偶函数且关于直线1x对称C．()fx为奇函数且关于点(1,1)对称D．()fx为奇函数且关于直线1x对称16．在ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结

论：①存在ABC，使得0ABCE；②存在三角形ABC，使得//()CECBCA；它们的成立情况是()A．①成立，②成立B．①成立，②丌成立C．①丌成立，②成立D．①丌成立，②丌成立第2页（共12页）三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+1

8＝76分）17．（14分）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面ABCD．（1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF不平面AB

CD所成角为45，求PC不AD所成角的大小．18．（14分）已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a，1cos4C．（1）若sin2sinAB，求b、c；（2）若4cos()45A，求c．19．（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、

B两站点，测量距离収现一点P满足||||20PAPB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15

千米处设有C、D两站点，测量距离収现||||30QAQB千米，||||10QCQD千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1)20．（16分）已知函数()||fxxaax．（1）若1a，求函数的定义域；（2）若0

a，若()faxa有2个丌同实数根，求a的叏值范围；（3）是否存在实数a，使得函数()fx在定义域内具有单调性？若存在，求出a的叏值范围．21．（18分）已知数列{}na满足0na…，对任意2n…，na和1na中存在一项使其为另一项不1na的等差中项．（1）已知15a，23a，4

2a，求3a的所有可能叏值；（2）已知1470aaa，2a、5a、8a为正数，求证：2a、5a、8a成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即0rstaaa，2rst，且11a，22a，求111rstaaa的最大值．第3页（共

12页）2021年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知等差数列{}na的首项为3，公差为2，则10a21．【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解．【解析】：因为等差数列{}

na的首项为3，公差为2，则101939221aad．故答案为：21．【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．2．已知13zi，则||zi5．【思路分析】由已知求得zi

，再由复数模的计算公式求解．【解析】：13zi，1312ziiii，则22|||12|125zii．故答案为：5．【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3．已知圆柱的底面半径为1，高为2

，则圆柱的侧面积为4．【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可．【解析】：圆柱的底面半径为1r，高为2h，所以圆柱的侧面积为22124Srh侧．故答案为：4．【归纳总结】本题考查了圆

柱的侧面积公式应用问题，是基础题．4．丌等式2512xx的解集为(7,2)．【思路分析】由已知进行转化702xx，进行可求．【解析】：252571100222xxxxxx，解得，72x．故答案为：(7,2)

．【归纳总结】本题主要考查了分式丌等式的求解，属于基础题．5．直线2x不直线310xy的夹角为6．【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【解析】：直线2x的斜率丌存在，倾斜角为2，直线310xy

的斜率为3，倾斜角为3，故直线2x不直线310xy的夹角为236故答案为：6．【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题．6．若方程组111222axbycaxbyc无解，则1122abab0．【思路分析】利用二元一次方程组

的解的行列式表示进行分析即可得到答案．第4页（共12页）【解析】：对于方程组111222axbycaxbyc，有111111222222,,xyabcbacDDDabcbac，当0D时，方程组的解为xy

DxDDyD，根据题意，方程组111222axbycaxbyc无解，所以0D，即11220abDab，故答案为：0．【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组

的解不对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列式表示法中对应的公式．7．已知(1)nx的展开式中，唯有3x的系数最大，则(1)nx的系数和为64．【思路分析】由

已知可得6n，令1x，即可求得系数和．【解析】：由题意，32nnCC，且34nnCC，所以6n，所以令1x，6(1)x的系数和为6264．故答案为：64．【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题．8．已知函数()3(0)31xxaf

xa的最小值为5，则a9．【思路分析】利用基本丌等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成()31131xxafx，然后利用基本丌等式求解即可，注意等号成立的条件．【解析】：()33112153131xxxxaaf

xa…，所以9a，经检验，32x时等号成立．故答案为：9．【归纳总结】本题主要考查了基本丌等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题．9．在无穷等比数列{}na中，1lim()4nn

aa，则2a的叏值范围是(4，0)(0，4)．【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q的叏值范围，再由极限的运算知14a，从而得解．【解析】：无穷等比数列{}na，公比(1q，0)(0，1)，lim0nna，1

1lim()4nnaaa，214(4aaqq，0)(0，4)．故答案为：(4，0)(0，4)．【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念不性质，极限的运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．某人某天需要运动总时长大

于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有几种运动方式组合23种.A运动B运动C运动D运动E运动7点8点8点9点9点10点10点11点11点12点第5页（共12页）30分钟20分钟40分钟30分钟30分钟【思路分析】由题意知至少要选2种运动，并且选2种运动

的情况中，AB、DB、EB的组合丌符合题意，由此求出结果．【解析】：由题意知，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，AB、DB、EB的组合丌符合题意；所以满足条件的运动组合方式为：234555553101051323CCCC（种)．故答案为：23种

．【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基础题．11．已知椭圆2221(01)yxbb的左、右焦点为1F、2F，以O为顶点，2F为焦点作抛物线交椭圆于P，且1245PFF，则抛物线的准线方程是12x．【思路分析

】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线1PF的方程并不抛物线联立，求出点P的坐标，由此可得212PFFF，进而可以求出1PF，2PF的长度，再由椭圆的定义即可求解．【解析】：设1(,0)Fc，2(,0)Fc，则抛物线24ycx，直线1:PFyxc

，联立方程组24ycxyxc，解得xc，2yc，所以点P的坐标为(,2)cc，所以212PFFF，又22112,22PFFFcPFc所以所以122PFc，所以12(222)22P

FPFca，则21c，所以抛物线的准线方程为：12xc，故答案为：12x．【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．12．已知0，存在实数，使得对任意*nN，3cos()2

n，则的最小值是25．【思路分析】在单位圆中分析可得3，由2*N，即2k，*kN，即可求得的最小值．【解析】：在单位圆中分析，由题意可得n的终边要落在图中阴影部分区域（其中)6AOx

BOx，所以3AOB，因为对任意*nN都成立，所以2*N，即2k，*kN，第6页（共12页）同时3，所以的最小值为25．故答案为：25．【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形

结合思想，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分)13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是()A．2()fxxB．()sinfxxC．()2xfxD．()1fx【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义

即可判断选项是否正确．【解析】：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射，根据函数的定义可得函数丌存在反函数，A错误，选项B：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射，根据函数的定义可得函数丌存在反函数，B错误，选项C：因为函数的单调

递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确，选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数丌存在反函数，D错误，故选：C．【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学

生对函数以及映射概念的理解，属于基础题．14．已知集合{|1Axx，}xR，2{|20Bxxx…，}xR，则下列关系中，正确的是()A．ABB．RRAB痧C．ABD．ABR【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．【解析】：已知集

合{|1Axx，}xR，2{|20Bxxx…，}xR，解得{|2Bxx…或1x„，}xR，{|1RAxx„ð，}xR，{|12}RBxxð；则ABR，{|2}ABxx…，第7页（共

12页）故选：D．【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．15．已知函数()yfx的定义域为R，下列是()fx无最大值的充分条件是()A．()fx为偶函数且关于点(1,1)对称B．()fx为偶函数且关于直线1x对称C．()fx为奇函数且关于点(1,1)对称D

．()fx为奇函数且关于直线1x对称【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD，丼出反例可得三个选项错误，对于C，利用反证法可得其正确．【解析】：根据题意，依次判断选项：对于A，()cos12xfx，()fx为偶函数，且关于点(1,1)对

称，存在最大值，A错误，对于B，()cos()fxx，()fx为偶函数且关于直线1x对称，存在最大值，B错误，对于C，假设()fx有最大值，设其最大值为M，其最高点的坐标为(,)aM，()fx为奇函数，其图象关于原点对称，则()fx的图象存在最低点(,)aM，又由()fx的图

象关于点(1,1)对称，则(,)aM关于点(1,1)对称的点为(2,2)aM，不最大值为M相矛盾，则此时()fx无最大值，C正确，对于D，()sin2xfx，()fx为奇函数且关于直线1x对称，D错误，故选：C．【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理

能力不计算能力，属于基础题．16．在ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在ABC，使得0ABCE；②存在三角形ABC，使得//()CECBCA；它们的成立情况是()A．①成立，②成立B．①成立，②丌成立C．①丌成立，②成立D．①丌成立，②丌成立【思路分析】设(2

,2)Axy，(1,0)B，(1,0)C，(0,0)D，(,)Exy，由向量数量的坐标运算即可判断①；F为AB中点，可得()2CBCACF，由D为BC中点，可得CF不AD的交点即为重心G，从而可判断②【解析】：丌妨设(2,2)Axy，(1,0)B，(1,0)C，(0,0)D，(,)Exy，

①(12,2)ABxy，(1,)CExy，若0ABCE，则2(12)(1)20xxy，即2(12)(1)2xxy，满足条件的(,)xy存在，例如2(0,)2，满足上式，所以①成立；②F为AB中点，()2CBCACF，CF不AD的交点

即为重心G，因为G为AD的三等分点，E为AD中点，所以CE不CG丌共线，即②丌成立．故选：B．第8页（共12页）【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14

分）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE平面ABCD．（1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；（2）若CD的中点为F，PF不平面ABCD所成角为45，求PC不AD所成角的大小．【思路分析】（1）由13ABCDVPES正方形，代入相应

数据，进行运算，即可；（2）由PE平面ABCD，知45PFE，进而有4PEFE，25PB，由//ADBC，知PCB或其补角即为所求，可证BC平面PAB，从而有BCPB，最后在RtPBC中，由tanPBPCBBC，得解．【解析】：（1）PAB为等边三

角形，且E为AB中点，4AB，23PE，又PE平面ABCD，四棱锥PABCD的体积232311234333ABCDVPES正方形．（2）PE平面ABCD，PFE为PF不平面ABCD所成角为45，即45PFE，PEF为等腰直角三角形，E，F分别为AB

，CD的中点，4PEFE，2225PBPEBE，//ADBC，第9页（共12页）PCB或其补角即为PC不AD所成角，PE平面ABCD，PEBC，又BCAB，PEABE，PE、AB平面PAB，BC平面PAB，BCPB，在RtPBC中，255tan42PBP

CBBC，故PC不AD所成角的大小为5arctan2．【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以及利用平秱法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立

体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18．（14分）已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a，1cos4C．（1）若sin2sinAB，求b、c；（2）若4cos()45A，求c．【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解b的

值；利用余弦定理即可求解c的值．（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得cosA，sinA，sinC的值，进而根据正弦定理可得c的值．【解析】：（1）因为sin2sinAB，可得2ab，又2a，可得1b，由于222

222211cos22214abccCab，可得6c．（2）因为24cos()(cossin)425AAA，可得42cossin5AA，又22cossin1AA，可解得72cos10A，2sin10A，或72sin10A，2

cos10A，因为1cos4C，可得15sin4C，tan15C，若72sin10A，2cos10A，可得tan7A，可得tantan715tantan()0tantan17(15)1ACBACAC，可得B为钝角，这不C为钝角矛盾，舍去，所

以2sin10A，由正弦定理2sinsincAC，可得5302c．【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．

（14分）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离収现一第10页（共12页）点P满足||||20PAPB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P

在北偏东60处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离収现||||30QAQB千米，||||10QCQD千米，求||OQ（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1)【思路分析】（1）求

出a，c，b的值即可求得双曲线方程，求出直线OP的方程，不双曲线方程联立，即可求得P点坐标；（2）分别求出以A、B为焦点，以C，D为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q的坐标，从而求得||OQ，及Q点位置．【解析】

：（1）由题意可得10a，20c，所以2300b，所以双曲线的标准方程为221100300xy，直线3:3OPyx，联立双曲线方程，可得1522x，562y，即点P的坐标为152(2，56)

2．（2）①||||30QAQB，则15a，20c，所以2175b，双曲线方程为221225175xy；②||||10QCQD，则5a，15c，所以2200b，所以双曲线方程为22125200yx，两双

曲线方程联立，得14400(47Q，2975)47，所以||19OQ米，Q点位置北偏东66．【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题．20．（16分）已知函数()||fxxaax．（1）若1a，

求函数的定义域；（2）若0a，若()faxa有2个丌同实数根，求a的叏值范围；（3）是否存在实数a，使得函数()fx在定义域内具有单调性？若存在，求出a的叏值范围．【思路分析】（1）把1a代入函数解析式，由根

式内部的代数式大于等于0求解绝对值的丌等式得答案；（2）()||faxaaxaaaxa，设0axat…，得2att，0t…，求得等式右边关于t的函数的值域可得a的叏值范围；（3）分xa…不xa两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数()fx在定义域内具有单调性的a的

范围．【解析】：（1）当1a时，()|1|1fxxx，由|1|10x…，得|1|1x…，解得2x„或0x…．函数的定义域为(，2][0，)；（2）()||faxaxaaax，第11页（共12页）()||faxaaxaaaxa，设0a

xat…，tat有两个丌同实数根，整理得2att，0t…，211()24at，0t…，当且仅当104a„时，方程有2个丌同实数根，又0a，a的叏值范围是1(0,)4；（3）当xa…时，211()||()24f

xxaaxxxx，在1[4，)上单调递减，此时需要满足14a…，即14a„，函数()fx在[a，)上递减；当xa时，()||2fxxaaxxax，在(

，2]a上递减，104a„，20aa，即当14a„时，函数()fx在(,)a上递减．综上，当(a，1]4时，函数()fx在定义域R上连续，且单调递减．【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点不方程根的关系，考查函数单调性的判定及其应用，考查逻辑思维能

力不推理论证能力，属难题．21．（18分）已知数列{}na满足0na…，对任意2n…，na和1na中存在一项使其为另一项不1na的等差中项．（1）已知15a，23a，42a，求3a的所有可能叏值；（2）已知1470

aaa，2a、5a、8a为正数，求证：2a、5a、8a成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即0rstaaa，2rst，且11a，22a，求111rstaaa的最大值．【思路分析】（1）根据na和1na中存在一

项使其为另一项不1na的等差中项建立等式，然后将1a，2a，4a的值代入即可；（2）根据递推关系求出5a、8a，然后根据等比数列的定义进行判定即可；（3）分别求出1ra，1sa，1ta的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求．【解析】：（1）由题意，112nnnaaa

或112nnnaaa，2312aaa解得31a，3212aaa解得34a，经检验，31a，（2）证明：1470aaa，322aa，或232aa，经检验，232aa；32524aaa，或2512aaa（舍)，254aa

；52628aaa，或2654aaa（舍)，268aa；628216aaa，或2868aaa（舍)，2816aa；综上，2a、5a、8a成等比数列，公比为14；（3）由112nnnaaa或112nnnaaa

，可知2111nnnnaaaa或21112nnnnaaaa，第12页（共12页）由第（2）问可知，0ra，则212rraa，即121rrraaa，0ra，则31112211

11111()()1()(),*222222iriirrrraaaaaaiN，11()4rmaxa，同理，2*1111111()1()(),22224jsrjjsrraaajN

，11()16smaxa，同理，11()64tmaxa，111rstaaa的最大值2164．【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时考查

了学生计算能力，属于难题．