【文档说明】全国2021年统一高考数学试卷（文科）（甲卷）及答案.doc，共(17)页，2.872 MB，由baby熊上传

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第1页（共17页）2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合{1M=，3，5，7，9}，{|27}Nxx=，则(MN=)A．{7，9}B．{5，7，9}C．

{3，5，7，9}D．{1，3，5，7，9}2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万

元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3．已知2(1)32izi−=+，则(z=)A．312i−−B

．312i−+C．32i−+D．32i−−4．下列函数中是增函数的为()A．()fxx=−B．2()()3xfx=C．2()fxx=D．3()fxx=5．点(3,0)到双曲线221169xy−=的一条渐近线的距离为()A．95B．

85C．65D．456．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足5LlgV=+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(10)(1

01.259)A．1.5B．1.2C．0.8D．0.67．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG−后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()第2页（共17页）A．B．C．D．8．在ABC中，已知120B=，19

AC=，2AB=，则(BC=)A．1B．2C．5D．39．记nS为等比数列{}na的前n项和．若24S=，46S=，则6(S=)A．7B．8C．9D．1010．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概

率为()A．0.3B．0.5C．0.6D．0.811．若(0,)2，costan22sin=−，则tan(=)A．1515B．55C．53D．15312．设()fx是定义域为R的奇函数，且(1)()fxfx+

=−．若11()33f−=，则5()(3f=)A．53−B．13−C．13D．53二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若向量a，b满足||3a=，||5ab−=，1ab=，则||b=．14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥的

侧面积为．15．已知函数()2cos()fxx=+的部分图像如图所示，则()2f=．16．已知1F，2F为椭圆22:1164xyC+=的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF=，则四边形12PFQF的面积为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证

明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一

级品二级品合计甲机床15050200第3页（共17页）乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：22()()()()()nadb

cKabcdacbd−=++++．2()PKk…0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）记nS为数列{}na的前n项和，已知0na，213aa=，且数列{}nS是等差数列，证明：{}na是等差数列．19．（12分）已知直

三棱柱111ABCABC−中，侧面11AABB为正方形，2ABBC==，E，F分别为AC和1CC的中点，11BFAB⊥．（1）求三棱锥FEBC−的体积；（2）已知D为棱11AB上的点，证明：BFDE⊥．20．（12分）设函数22()31fxaxaxlnx=+−+，其中0a．（1）讨论()fx的单

调性；（2）若()yfx=的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．21．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1lx=交C于P，Q两点，且OPOQ⊥．已知点(2,0)M，且M与l相切．（1）

求C，M的方程；（2）设1A，2A，3A是C上的三个点，直线12AA，13AA均与M相切．判断直线23AA与M的位置关系，并说明理由．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做

，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos=．（1）将C的

极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足2APAM=，写出P的轨迹1C的参数方程，并判断C与1C是否有公共点．[选修4-5：不等式选讲]（10分）第4页（共17页）23．已知函数()|2|fxx=−，()

|23||21|gxxx=+−−．（1）画出()yfx=和()ygx=的图像；（2）若()()fxagx+…，求a的取值范围．第5页（共17页）2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5

分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合{1M=，3，5，7，9}，{|27}Nxx=，则(MN=)A．{7，9}B．{5，7，9}C．{3，5，7，9}D．{1，3，5，7，9}

【思路分析】直接根据交集的运算性质，求出MN即可．【解析】：因为7{|27}{|}2Nxxxx==，{1M=，3，5，7，9}，所以{5MN=，7，9}．故选：B．【归纳总结】本题考查了交集及其运算，属基础题．2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样

调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比

率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【思路分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选

项A，B，D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C．【解析】：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.020.04)10.066%+==，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0

.040.023)10.110%+==，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为30.0240.0450.160.1470.280.290.1100.1110.04120.02130.02140.027.686.5+

++++++++++=万元，故选项C错误；第6页（共17页）对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.10.140.20.2)10.640.5+++=，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．故选

：C．【归纳总结】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属于基础题．3．已知2(1)32izi−=+，则(z=)A．312i−−B．312i−+C．32i−+D．32i−−【思路分析】利用复数的乘法运算法则

以及除法的运算法则进行求解即可．【解析】：因为2(1)32izi−=+，所以23232(32)2331(1)2(2)22iiiiiziiiii+++−+=====−+−−−．故选：B．【归纳总结】本题考查了复数的运算

，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．4．下列函数中是增函数的为()A．()fxx=−B．2()()3xfx=C．2()fxx=D．3()fxx=【思路分析】结

合基本初等函数在定义域上的单调性分别检验各选项即可判断．【解析】：由一次函数性质可知()fxx=−在R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知2()()3xfx=在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知2()fxx=在R上不单调，不符合题意；根据幂函数

性质可知3()fxx=在R上单调递增，符合题意．故选：D．【归纳总结】本题主要考查基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．5．点(3,0)到双曲线221169xy−=的一条渐近线的距离为()A．95B．85C

．65D．45【思路分析】首先求得渐近线方程，然后利用点到直线距离公式，求得点(3,0)到一条渐近线的距离即可．【解析】：由题意可知，双曲线的渐近线方程为22?0169xy=，即340xy=，结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线340

xy−=的距离，则点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离9095916d−==+．故选：A．【归纳总结】本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题．6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据

L和小数记录法的数据V满足5LlgV=+．已第7页（共17页）知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(10)(101.259)A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【思路分析】把4.9L=代入5LlgV=

+中，直接求解即可．【解析】：在5LlgV=+中，4.9L=，所以4.95lgV=+，即0.1lgV=−，解得0.10.110111100.8101.25910V−====，所以其视力的小数记录法的数据约

为0.8．故选：C．【归纳总结】本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．7．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG−后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应

的侧视图是()A．B．C．D．【思路分析】作出正方体，截去三棱锥AEFG−，根据正视图，摆放好正方体，即可求解侧视图．【解析】：由题意，作出正方体，截去三棱锥AEFG−，根据正视图，可得AEFG−在正方体左侧面

，如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是D图形，故选：D．【归纳总结】本题考查简单空间图形的三视图，属基础题．8．在ABC中，已知120B=，19AC=，2AB=，则(BC=)A．1B．2C．5D．3【思路分析】设角A，B，C所对的边分

别为a，b，c，利用余弦定理得到关于a的方程，解方程即可求得a的值，从而得到BC的长度．【解析】：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得2194?22cos120aa=+，第8页（共17页）即22?150aa+=，解得3a=(5a=−舍去），所以

3BC=．故选：D．【归纳总结】本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题．9．记nS为等比数列{}na的前n项和．若24S=，46S=，则6(S=)A．7B．8C．9D．10【思路分析】由等比数列的性质得

2S，42SS−，64SS−成等比数列，从而得到关于6S的方程，再求出6S．【解析】：nS为等比数列{}na的前n项和，24S=，46S=，由等比数列的性质，可知2S，42SS−，64SS−成等比数列，4，2，66S−成等比数列，2624(6)S=−，

解得67S=．故选：A．【归纳总结】本题考查了等比数列的性质，考查方程思想和运算求解能力，是基础题．10．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8【思路分析

】首先求得3个1和2个0随机排成一行的数量和2个0不相邻的数量，然后利用古典概型计算公式，求出2个0不相邻的概率．【解析】：将3个1和2个0随机排成一行的方法可以是：00111，01011，01101，01110，10011，10101

，10110，11001，11010，11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011，01101，01110，10101，10110，11010，共6种方法，满足题意的概率为60.610=，故选：C．【归纳总

结】本题主要考查古典概型计算公式，排列组合公式在古典概型计算中的应用，属于基础题．11．若(0,)2，costan22sin=−，则tan(=)A．1515B．55C．53D．153【思路分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角

公式，求解sin，进一步求得cos，再由商的关系可得tan的值．【解析】：由costan22sin=−，得sin2coscos22sin=−，即22sincoscos122sinsin=−−，(0,)2，cos0，则2

2sin(2sin)12sin−=−，解得1sin4=，第9页（共17页）则215cos14sin=−=，1sin154tancos15154===．故选：A．【归纳总结】本题考查三角函数的

恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．12．设()fx是定义域为R的奇函数，且(1)()fxfx+=−．若11()33f−=，则5()(3f=)A．53−B．13−C．13D．53【思路分析】由已知()()fxfx−=−及(1)()fxfx+=−进行转化得(2)()

fxfx+=，再结合11()33f−=从而可求．【解析】：解法一：由题意得()()fxfx−=−，又(1)()()fxfxfx+=−=−，所以(2)()fxfx+=，又11()33f−=，则5111()(2)()3333fff=−=−=．故选：C．解法二：（范世祥补解）：由)()1

(xfxf−=+知函数)(xf的图象关于直线12x=对称，又)(xf为奇函数，所以)(xf是周期函数，且14|0|22T=−=，则31)31()235()35(=−=−=fff，故选C.【归纳总结】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数值，解题的关键是进行合理的转化，属于基础题．二、

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若向量a，b满足||3a=，||5ab−=，1ab=，则||b=32．【思路分析】由题意首先计算2(?)ab，然后结合所给的条件，求出向量的模即可．【解析】：由题意，可得222(?)?225abaabb=+=，因为|

|3a=，1ab=，所以29?2125b+=，所以2218,||32bbb===．故答案为：32．【归纳总结】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算和向量的模，属于基础题．14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30，则该圆锥的

侧面积为39．【思路分析】由题意，设圆锥的高为h，根据圆锥的底面半径为6，其体积为30求出h，再求得母线的长度，然后确定圆锥的侧面积即可．【解析】：由圆锥的底面半径为6，其体积为30，设圆锥的高为h，则21(6)303h=，解得52h=，第10页（共17页）所以圆锥的母线

长22513()622l=+=，所以圆锥的侧面积136392Srl===．故答案为：39．【归纳总结】本题考查了圆锥的侧面积公式和圆锥的体积公式，考查了方程思想，属于基础题．15．已知函数()2cos()fxx=+的部分图像如图所示，则()2f=3−．【

思路分析】根据图象可得()fx的最小正周期，从而求得，然后利用五点作图法可求得，得到()fx的解析式，再计算()2f的值．【解析】：由图可知，()fx的最小正周期413()3123T=−=，所以22T==，因为13132cos2126f=+=，得

26k=−+，所以()2cos(2)6fxx=−，则()2cos(2)2cos32266f=−=−=−.故答案为：3−．【归纳总结】本题主要考查由cos()yAx=+的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力

，属于基础题．16．已知1F，2F为椭圆22:1164xyC+=的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF=，则四边形12PFQF的面积为8．【思路分析】判断四边形12PFQF为矩形

，利用椭圆的定义及勾股定理求解即可．【解析】：解法一：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF=，所以四边形12PFQF为矩形，设1||PFm=，2||PFn=，由椭圆的定义可得12||||||28PFPFmna+=+==，所以22264mmnn++=，因为

2222221212||||||44()48PFPFFFcab+===−=，即2248mn+=，所以8mn=，所以四边形12PFQF的面积为12||||8PFPFmn==．故答案为：8．解法二：（范世祥补解）：因为四边形12PFQF的对角线12PQFF=，所以四边形12PFQF为

矩形，则由焦点三角形面积公式得1222tan24184FQFPSb===.【归纳总结】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须

作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：第11页（共17页）共60分。17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品

二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++．

2()PKk…0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【思路分析】（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；（2）根据22列联表，求出2K，再将2K的值与6.635比较，即可得出结论；【解析】：由题意，可得甲机

床、乙机床生产总数均为200件，因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为15032004=；因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为12032005=；（2）根据22列联表，可得22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++240

0(1508050120)10.2566.635270130200200−=．所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．【归纳总结】本题考查了统计与概率中的独立性检验，

属于基础题．18．（12分）记nS为数列{}na的前n项和，已知0na，213aa=，且数列{}nS是等差数列，证明：{}na是等差数列．【思路分析】设等差数列{}nS的公差为d，可用1S、2S求出d，得到nS的通项公式，利用

1nnnaSS−=−可求出na的通项，从而证明{}na是等差数列．【解答】证明：设等差数列{}nS的公差为d，由题意得11Sa=；2121142Saaaa=+==，则211112dSSaaa=−=−=，所以111(1)nS

anana=+−=，所以21nSna=①；当2n…时，有211(1)nSna−=−②．由①②，得221111(1)(21)nnnaSSnanana−=−=−−=−③，经检验，当1n=时也满足③．所以1(21)nana=−，nN+，第12页

（共17页）当2n…时，1111(21)(23)2nnaananaa−−=−−−=，所以数列{}na是等差数列．【归纳总结】本题考查了等差数列的概念和性质，涉及逻辑推理，数学运算等数学学科核心素养，属于中档题．19．（12分）已知直三棱柱11

1ABCABC−中，侧面11AABB为正方形，2ABBC==，E，F分别为AC和1CC的中点，11BFAB⊥．（1）求三棱锥FEBC−的体积；（2）已知D为棱11AB上的点，证明：BFDE⊥．【思路分析】（1）先证明AB⊥平面11BCCB，即可得到ABA

C⊥，再根据直角三角形的性质可知2CEBE==，最后根据三棱锥的体积公式计算即可；（2）取BC中点G，连接EG，1BG，先证明1////EGABBD，从而得到E、G、1B、D四点共面，再由（1）及线面垂直的性质定理可得BFEG⊥，通过角的正切值判断出1CBF

BBG=，再通过角的代换可得，1BFBG⊥，再根据线面垂直的判定定理可得BF⊥平面1EGBD，进而得证．【解析】：（1）在直三棱柱111ABCABC−中，111BBAB⊥，又11BFAB⊥，1BBBFB=，1BB，BF平面11

BCCB，11AB⊥平面11BCCB，11//ABAB，AB⊥平面11BCCB，ABAC⊥，又ABAC=，故222222AC=+=，2CEBE==，而侧面11AABB为正方形，111122CFCCAB===，11112213323EBCVSCF==

=，即三棱锥FEBC−的体积为13；（2）证明：如图，取BC中点G，连接EG，1BG，设1BGBFH=，点E是AC的中点，点G时BC的中点，//EGAB，1////EGABBD，第13页（共17页）E、G、1B、D四点共面，由（1）可得AB⊥平面11BCCB，EG

⊥平面11BCCB，BFEG⊥，1111tan,tan22CFBGCBFBBGBCBB====，且这两个角都是锐角，1CBFBBG=，111190BHBBGBCBFBGBBBG=+=+=，1BFBG⊥，又

1EGBGG=，EG，1BG平面1EGBD，BF⊥平面1EGBD，又DE平面1EGBD，BFDE⊥．【归纳总结】本题主要考查三棱锥体积的求法以及线线，线面间的垂直关系，考查运算求解能力及逻辑推

理能力，属于中档题．20．（12分）设函数22()31fxaxaxlnx=+−+，其中0a．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()yfx=的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．【思路分析】（1）对()fx求导得(23)(1)()axaxfxx+−=，

分析()fx的正负，即可得出()fx的单调区间．（2）由（1）可知，1()()minfxfa=，由()yfx=的图像与x轴没有公共点，得330lna+，即可解出a的取值范围．【解析】：（1）222323(23)(1)()2axaxaxaxfxaxaxxx+−+−=

+−==，0x，因为0a，所以3102aa−，所以在1(0,)a上，()0fx，()fx单调递减，在1(a，)+上，()0fx，()fx单调递增．第14页（共17页）综上所述，()fx在1(0,)a上单调递减，在1(a，)+上()fx单调递增．

（2）由（1）可知，221111()()()3133minfxfaalnlnaaaaa==+−+=+，因为()yfx=的图像与x轴没有公共点，所以330lna+，所以1ae，所以a的取值范围为1(e，)+．【归纳总结】本题考查导数的综合应

用，解题中需要理清思路，属于中档题．21．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1lx=交C于P，Q两点，且OPOQ⊥．已知点(2,0)M，且M与l相切．（1）求C，M的方程；（2）设1A，2A，3A是C上

的三个点，直线12AA，13AA均与M相切．判断直线23AA与M的位置关系，并说明理由．【思路分析】（1）由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程，然后利用直线与圆的关系确定圆的圆心和半径即可求得圆的方程；（2）分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐标相等时

明显相切，否则，求得直线方程，利用直线与圆相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线与圆相切．【解析】：（1）因为1x=与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：22(0)ypxp=，令1x=，则2yp=，

根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故(1,2),(1,?2)PpQp，因为OPOQ⊥，故112(?2)02ppp+==，抛物线C的方程为：2yx=，因为M与l相切，故其半径为1，故22:(2)1

Mxy−+=．（2）设11(Ax，1)y，22(Ax，2)y，33(Ax，3)y．当1A，2A，3A其中某一个为坐标原点时（假设1A为坐标原点时），设直线12AA方程为0kxy−=，根据点(2,0)M到直线距离为1可得2211kk=+，解得33k=，联

立直线12AA与抛物线方程可得3x=，此时直线23AA与M的位置关系为相切，当1A，2A，3A都不是坐标原点时，即123xxx，直线12AA的方程为1212?()0xyyyyy++=，此时有，12212|2|11()yyyy+=++，即2

2212121(?1)23?0yyyyy++=，同理，由对称性可得，22213131(?1)23?0yyyyy++=，所以2y，3y是方程222111(?1)23?0ytyty++=的两根，第15页（共17页）依题

意有，直线23AA的方程为2323?()0xyyyyy++=，令M到直线23AA的距离为d，则有22122223122123213?(2)(2)?11?21()1()?1yyyydyyyy++===+++，此时直线23AA与M的位置关系也为相切，综上，直线23AA与M

相切．【归纳总结】本题主要考查抛物线方程的求解，圆的方程的求解，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于中等题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22

．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos=．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满

足2APAM=，写出P的轨迹1C的参数方程，并判断C与1C是否有公共点．【思路分析】（1）把极坐标方程化为222cos=，写出直角坐标方程即可；（2）设点P的直角坐标为(,)xy，1(Mx，1)y，利用2APAM=求出点M的坐标，

代入C的方程化简得出点P的轨迹方程，再化为参数方程，计算1||CC的值即可判断C与1C是否有公共点．【解析】：（1）由极坐标方程为22cos=，得222cos=，化为直角坐标方程是2222xyx+=，即22(2

)2xy−+=，表示圆心为(2C，0)，半径为2的圆．（2）设点P的直角坐标为(,)xy，1(Mx，1)y，因为(1,0)A，所以(1,)APxy=−，1(1AMx=−，1)y，由2APAM=，即1112(1)2xxyy

−=−=，解得112(1)1222xxyx=−+=，所以2((1)12Mx−+，2)2y，代入C的方程得2222[(1)12]()222xy−+−+=，化简得点P的轨迹方程是22(32)4xy−++=，表示圆心为1(32C−，0)，半径为2的圆；化为参数方程是322co

s2sinxy=−+=，为参数；计算1|||(32)2|32222CC=−−=−−，所以圆C与圆1C内含，没有公共点．【归纳总结】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了转化思想与运算

求解能力，第16页（共17页）是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|2|fxx=−，()|23||21|gxxx=+−−．（1）画出()yfx=和()ygx=的图像；（2）若()()fxagx+…，求a的

取值范围．【思路分析】（1）通过对x分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出．（2）由图像可得：f（6）4=，1()42g=，若()()fxagx+…，说明把函数()fx的图像向左或向右平移||a单位以后，()fx的图像不在()gx的下

方，由图像观察可得出结论．【解析】：（1）函数2,2()|2|2,2xxfxxxx−=−=−…，14,231()|23||21|42,2234,2xgxxxxxx=+−−=+−−−…„．画出()yfx=和()ygx=的图像；（2）由图像可得：f（6）

4=，1()42g=，若()()fxagx+…，说明把函数()fx的图像向左或向右平移||a单位以后，()fx的图像不在()gx的下方，由图像观察可得：1112422a−+=…a的取值范围为11[2，)+

．第17页（共17页）【归纳总结】本题考查了分段函数的图像与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．