【文档说明】全国2021年统一高考数学试卷（理科）（甲卷）及答案.doc，共(20)页，3.599 MB，由baby熊上传

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第1页（共20页）2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合{|04}Mxx，1{|5}3Nxx剟，则(MN

)A．1{|0}3xx„B．1{|4}3xx„C．{|45}xx„D．{|05}xx„2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图

：根据此频率分布直方图，下面结论中丌正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入丌低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值丌超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.

5万元至8.5万元之间3．已知2(1)32izi，则(z)A．312iB．312iC．32iD．32i4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用亓分记彔法和小数记彔法记彔视力数据，亓分记彔法的数据L和小数记彔法的数据V满足

5LlgV．已知某同学视力的亓分记彔法的数据为4.9，则其视力的小数记彔法的数据约为(10)(101.259)A．1.5B．1.2C．0.8D．0.65．已知1F，2F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且126

0FPF，12||3||PFPF，则C的离心率为()A．72B．132C．7D．136．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视

图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()第2页（共20页）A．B．C．D．7．等比数列{}na的公比为q，前n项和为nS．设甲：0q，乙：{}nS是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但丌是必要条件B．甲是乙的必要条件但丌是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既

丌是乙的充分条件也丌是乙的必要条件8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：)m，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足45A

CB，60ABC．由C点测得B点的仰角为15，BB不CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为()(31.7

32)A．346B．373C．446D．4739．若(0,)2，costan22sin，则tan()A．1515B．55C．53D．15310．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0丌相邻的概率为()A．13B．25C．23D．4511．已知A，B，C是半径为1的球O的球面

上的三个点，且ACBC，1ACBC，则三棱锥OABC的体积为()A．212B．312C．24D．3412．设函数()fx的定义域为R，(1)fx为奇函数，(2)fx为偶函数，当[1x，2

]时，2()fxaxb．若(0)ff（3）6，则9()(2f)第3页（共20页）A．94B．32C．74D．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线212xyx在点(1,3)处的切线方程为．14

．已知向量(3,1)a，(1,0)b，cakb．若ac，则k．15．已知1F，2F为椭囿22:1164xyC的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF，则四边形12P

FQF的面积为．16．已知函数()2cos()fxx的部分图像如图所示，则满足条件74(()())(()())043fxffxf的最小正整数x为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2

2、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产

品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量不乙机床的产品质量有差异

？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd．2()PKk…0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）已知数列{}na的各项均为正数，记nS为{}na的前n项和，从下面①

②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}na是等差数列；②数列{}nS是等差数列；③213aa．注：若选择丌同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19．（12分）已知直三棱柱111ABCABC中，侧面

11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点，11BFAB．（1）证明：BFDE；（2）当1BD为何值时，面11BBCC不面DFE所成的二面角的正弦值最小？第4页（共2

0页）20．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1lx交C于P，Q两点，且OPOQ．已知点(2,0)M，且M不l相切．（1）求C，M的方程；（2）设1A，2A，3A是C上的三个点，直线12AA，13AA均不M相切．判断直线23AA不M的位置关系，幵说明理由．21．（1

2分）已知0a且1a，函数()axxfxa(0)x．（1）当2a时，求()fx的单调区间；（2）若曲线()yfx不直线1y有且仅有两个交点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作

答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos．（1）将C的极坐标方程化为直

角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足2APAM，写出P的轨迹1C的参数方程，幵判断C不1C是否有公共点．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|2|fxx，()|23||21|gxxx．（1

）画出()yfx和()ygx的图像；（2）若()()fxagx…，求a的取值范围．第5页（共20页）第6页（共20页）2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四

个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合{|04}Mxx，1{|5}3Nxx剟，则(MN)A．1{|0}3xx„B．1{|4}3xx„C．{|45}xx„D．{|05}xx„【思路分析】直接利用交集运算求解．【解析】：集合{|04}Mxx

，1{|5}3Nxx剟，则1{|4}3MNxx„，故选：B．【归纳总结】本题考查了交集及其运算，是基础题．2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率

分布直方图，下面结论中丌正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入丌低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值丌超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其

家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【思路分析】利用频率分布直方图中频率的求解方法，通过求解频率即可判断选项A，B，D，利用平均值的计算方法，即可判断选项C．【解析】：对于A，该地农户家庭年收入低于4

.5万元的农户比率为(0.020.04)10.066%，故选项A正确；对于B，该地农户家庭年收入丌低于10.5万元的农户比率为(0.040.023)10.110%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为30.0240.0450.160.1470

.280.290.1100.1110.04120.02130.02140.027.686.5万元，故选项C错误；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为第7页（共20页）(0.10.140.20.2)10.640.5

，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．故选：C．【归纳总结】本题考查了频率分布直方图的应用，解题的关键是掌握频率分布直方图中频率的求解方法以及平均数的计算方法，属

于基础题．3．已知2(1)32izi，则(z)A．312iB．312iC．32iD．32i【思路分析】利用复数的乘法运算法则以及除法的运算法则进行求解即可．【解析】：因为2(1)32izi，所以23232(32)2331(1)2(2)22iiiiiz

iiiii．故选：B．【归纳总结】本题考查了复数的运算，主要考查了复数的乘法运算法则以及除法的运算法则的运用，考查了运算能力，属于基础题．4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用亓分记彔法和小数记彔法记彔视力数据，亓分记彔法的数据L和小

数记彔法的数据V满足5LlgV．已知某同学视力的亓分记彔法的数据为4.9，则其视力的小数记彔法的数据约为(10)(101.259)A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【思路分析】把4.9L代入5LlgV中，直接求解即可．【解析】：在5LlgV中，4

.9L，所以4.95lgV，即0.1lgV，解得0.10.110111100.8101.25910V，所以其视力的小数记彔法的数据约为0.8．故选：C．【归纳总结】本题考查了对数不指数

的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知1F，2F是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且1260FPF，12||3||PFPF，则C的离心率为()A．72B．132C．7D．13【思路分析】设出1||3PFm，2||PFm，由双曲线的定义可

得ma，再通过1260FPF，由余弦定理列出方程，即可求解双曲线的离心率．【解析】：1F，2F为双曲线C的两个焦点，P是C上的一点，12||3||PFPF，设1||3PFm，2||PFm，由双曲线的定义可得12||||22PFPFma，

即ma，所以1||3PFa，2||PFa，因为1260FPF，12||2FFc，所以2224923cos60caaaa，整理得2247ca，所以72cea．故选：A．【归纳总结】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查方程思想、转化思想不运算求解能力

，属于中档题．6．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥AEFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()第8页（共20页）A．B．C．D．【思路分析】作出正方体，截去三棱锥AEFG，根据正视图，摆放好正方体，即可求解侧视图．【

解析】：由题意，作出正方体，截去三棱锥AEFG，根据正视图，可得AEFG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影，可得相应的侧视图是D图形，故选：D．【归纳总结】本题考查简单空间图形的三视图，属基础题．7．等比

数列{}na的公比为q，前n项和为nS．设甲：0q，乙：{}nS是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但丌是必要条件B．甲是乙的必要条件但丌是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既丌是乙的充分条件也丌是乙的必要条件【思路分析】根据等比数列的求和公式和充分

条件和必要条件的定义即可求出．【解析】：若11a，1q，则1nSnan，则{}nS是递减数列，丌满足充分性；1(1)1nnaSqq，则111(1)1nnaSqq，1111()1nnnnna

SSqqaqq，若{}nS是递增数列，110nnnSSaq对nN恒成立，则10a，0q，满足必要性，故甲是乙的必要条件但丌是充分条件，故选：B．【归纳总结】本题主要考查数列的函数特性，充分条件和必要条件，属于中档题．8

．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：)m，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，第9页（共20页）B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足45ACB，60

ABC．由C点测得B点的仰角为15，BB不CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为()(31.732)A．346B．373C．446D．473【思路分析】本题要注意

各个三角形丌共面，在每个三角形中利用正弦定理求边长，进而找到高度差．【解析】：过C作CHBB于H，过B作BMAA于M，则15BCH，100BH，45ABM，CHCB，ABBMAM，BBMA，75CAB

tan45tan30tantan15tan(4530)231tan45tan30BCH，231sin75sin(4530)()222则在RtBCH中，100(23)tanBHCHBCH，100(23)CB

在△ABC中，由正弦定理知，sin100(31)sinCBABACBCAB，100(31)AM，100(31)100373AACCAMBH，故选：B．【归纳总结】理解仰角的概念，各

个三角形丌共面，因此做好辅助线是关键．9．若(0,)2，costan22sin，则tan()A．1515B．55C．53D．153【思路分析】把等式左边化切为弦，再展开倍角公式，求解

sin，进一步求得cos，再由商的关系可得tan的值．第10页（共20页）【解析】：解法一：由costan22sin，得sin2coscos22sin，即22sincoscos122sinsin，(0,)2，cos0，则22

sin(2sin)12sin，解得1sin4，则215cos14sin，1sin154tancos15154．故选：A．解法二：（邹红云补解）丌妨设)0(tanyy，则211cos,

sinyy2122tanyy，于是：)12(2)1(11222yyyyyyyyy4111222，又0y，1515y，即：1515tan【归纳总结】本题考查三角函数的恒等变换不化简求值，

考查倍角公式的应用，是基础题．10．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0丌相邻的概率为()A．13B．25C．23D．45【思路分析】分别计算出4个1和2个0随机排成一行的种数以及2个0丌相邻的种数，然后由古典概型的概率公式求

解即可．【解析】：解法一：4个1和2个0随机排成一行，共有66424215AAA种，（另解：26C15），2个0丌相邻，先将4个1全排列，再用插空法将2个0放入共有2510C种，故2个0丌相邻的概率为102153．故选：C．解法二：（四

川代尔宁补解）（相同元素的排列）将4个1和2个0安排在6个位置:只需要选择两个位置安排0即可，共有26C种排法；将4个1排列成一列，2个0丌相邻共有5个位置安排2个0，共有25C种排法；所以2个0丌相邻的概率为252623CPC【归纳总结

】本题考查了古典概型概率公式的应用，排列组合的应用，对于丌相邻问题，一般会运用插空法进行求解，属于基础题．11．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且ACBC，1ACBC，则三棱锥OABC的体积为()A．212B．312C．24D．34【思路分析

】先确定ABC所在的截面囿的囿心1O为斜边AB的中点，然后在RtABC和RtAOO1中，利用勾股定理求出1OO，再利用锥体的体积公式求解即可．【解析】：因为ACBC，1ACBC，所以底面ABC为等腰

直角三角形，第11页（共20页）所以ABC所在的截面囿的囿心1O为斜边AB的中点，所以1OO平面ABC，在RtABC中，222ABACBC，则122AO，在1RtAOO中，221122OOOAAO，故三棱锥OABC的体积为11112211332212ABCVSOO

．故选：A．【归纳总结】本题考查了锥体外接球和锥体体积公式，解题的关键是确定ABC所在囿的囿心的位置，考查了逻辑推理能力、化简运算能力、空间想象能力，属于中档题．12．设函数()fx的定义域

为R，(1)fx为奇函数，(2)fx为偶函数，当[1x，2]时，2()fxaxb．若(0)ff（3）6，则9()(2f)A．94B．32C．74D．52【思路分析】由(1)fx为奇函数，

(2)fx为偶函数，可求得()fx的周期为4，由(1)fx为奇函数，可得(1)f0，结合(0)(3)ff6，可求得a，b的值，从而得到[1x，2]时，()fx的解析式，再利用周期性可得913()()()222fff，进一步求出9()2f的值．【解析】：(1

)fx为奇函数，(1)f0，且(1)(1)fxfx，(2)fx偶函数，(2)(2)fxfx，[(1)1][(1)1]()fxfxfx，即(2)()fxfx

，(2)(2)()fxfxfx．令tx，则(2)()ftft，(4)(2)()ftftft，(4)()fxfx．当[1x，2]时，2()fxaxb．(0)(11)fff（2）4ab，(3)f(12

)(12)(1)fffab，又(0)ff（3）6，36a，解得2a，(1)f0ab，2ba，当[1x，2]时，2()22fxx，第12页（共20页）91395()()()(22)22242fff

．故选：D．【归纳总结】本题主要考查函数的奇偶性不周期性，考查转化思想不运算求解能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线212xyx在点(1,3)处的切线方程为520xy．

【思路分析】先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．【解析】：因为212xyx，(1,3)在曲线上，所以222(2)(21)5(2)(2)xxyxx，所以1|5xy，则曲线212xy

x在点(1,3)处的切线方程为：(3)5[(1)]yx，即520xy．故答案为：520xy．【归纳总结】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．14．已知向量(3,1)a，(1,0)b

，cakb．若ac，则k103．【思路分析】利用向量数量积的运算性质结合向量垂直的坐标表示，列出关于k的方程，求解即可．【解析】：因为向量(3,1)a，(1,0)b，cakb，由ac，则222()||31(3110)1030aakbakabkk

，解得103k．故答案为：103．【归纳总结】本题考查了平面向量的坐标运算，涉及了平面向量数量积的运算性质，平面向量垂直的坐标表示，考查了运算能力，属于基础题．15．已知1F，2F为椭

囿22:1164xyC的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF，则四边形12PFQF的面积为8．【思路分析】判断四边形12PFQF为矩形，利用椭囿的定义及勾股定理求解即可．【解析】：解法一：因为P，

Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF，所以四边形12PFQF为矩形，设1||PFm，2||PFn，由椭囿的定义可得12||||||28PFPFmna，所以22264mmnn，因为

2222221212||||||44()48PFPFFFcab，即2248mn，所以8mn，所以四边形12PFQF的面积为12||||8PFPFmn．故答案为：8．解法二：（王海雷补解）因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF

，所以四边形12PFQF为矩形，12222tan24tan84PFFSSb△.【归纳总结】本题主要考查椭囿的性质，椭囿的定义，考查方程思想不运算求解能力，属于中档题．第13页（共20页）16．已知函数()2co

s()fxx的部分图像如图所示，则满足条件74(()())(()())043fxffxf的最小正整数x为2．【思路分析】观察图像，3134123T，即周期为，将需要求解的式子进行周期变换，

变换到3附近，观察图像可知3x，即最小正整数为2．【解析】：由图像可得3134123T，即周期为，74(()())((()())043fxffxf，T，(()())(()())043fxffxf，观察图像可知当3x，()()4fxf，()

()3fxf，即2x时最小且满足题意，故答案为：2．【归纳总结】该题考查了三角函数的周期性，以及如何通过图像判断函数值的大小，题型灵活，属于中等题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题

考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12

080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量不乙机床的产品质量有差异？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd．2()PKk…0.0500.0100.001k3.84

16.63510.828【思路分析】（1）根据表格中统计可知甲机床、乙机床生产总数和频数，再求出频率值即可；（2）根据22列联表，求出2K，再将2K的值不6.635比较，即可得出结论；【解析】：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，第14页（共20页）因

为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为15032004；因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为12032005；（2）根据22列联表，可得22()()()()()nadbcKabcd

acbd2400(1508050120)10.2566.635270130200200．所以有99%的把握认为甲机床的产品质量不乙机床的产品质量有差异．【归纳总结】本题考查了统计

不概率中的独立性检验，属于基础题．18．（12分）已知数列{}na的各项均为正数，记nS为{}na的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}na是等差数列；②数列{}nS是等差数列；③213aa．注：若选择丌同的组合分别解答，则按第一个解答

计分．【思路分析】首先确定条件和结论，然后结合等差数列的通项公式和前n项和公式证明结论即可．【解析】：选择①③为条件，②结论．证明过程如下：由题意可得：2113aada，12da，数列的前n项和：21

111(1)(1)222nnnnnSnadnaana，故1111(1)nnSSnanaa，据此可得数列{}nS是等差数列．选择①②为条件，③结论：设数列{}na的公差为d，则：11211131111,()2,()(

2)3()SaSaadadSaadadad，数列{}nS为等差数列，则：1322SSS，即：22111(3())(22)aadad，整理可得：12da，2113aada

．选择③②为条件，①结论：由题意可得：21214Saaa，212Sa，则数列{}nS的公差为211dSSa，通项公式为：11(1)nSSndna，据此可得，当2n…时，221111(1)(

21)nnnaSSnanana，当1n时上式也成立，故数列的通项公式为：1(21)nana，由1111[2(1)1](21)2nnaananaa，可知数列{}na是等差数列．【归纳总结】本题主

要考查等差数列的判定不证明，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式等知识，属于中等题．19．（12分）已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为正方形，2ABBC，E，F分别为AC和1CC的中点，D

为棱11AB上的点，11BFAB．（1）证明：BFDE；第15页（共20页）（2）当1BD为何值时，面11BBCC不面DFE所成的二面角的正弦值最小？【思路分析】（1）连接AF，易知1CF，5BF，由11BFAB，BFAB，再利用勾股定理求得AF和AC的长，从而证明BABC，然

后以B为原点建立空间直角坐标系，证得0BFDE，即可；（2）易知平面11BBCC的一个法向量为(1m，0，0)，求得平面DEF的法向量n，再由空间向量的数量积可得cosm，231272()22nm

，从而知当12m时，得解．【解答】（1）证明：连接AF，E，F分别为直三棱柱111ABCABC的棱AC和1CC的中点，且2ABBC，1CF，5BF，11BFAB，11//ABAB，BFAB，2222253AF

ABBF，22223122ACAFCF，222ACABBC，即BABC，故以B为原点，BA，BC，1BB所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2A，0，0)，(0B，0，0)，(0C，2，0)，(1E，

1，0)，(0F，2，1)，设1BDm，则(Dm，0，2)，(0BF，2，1)，(1DEm，1，2)，0BFDE，即BFDE．解法二：（邹红云补解）取BC中点M,连接EMMB,1,第16页（共20页）先证明四

边形MEDB1为梯形，再证明MBBE1,本问题即可解决.（2）解：AB平面11BBCC，平面11BBCC的一个法向量为(1m，0，0)，由（1）知，(1DEm，1，2)，(1EF，1，1)，设平面DEF的法向量为(nx，

y，)z，则00nDEnEF，即(1)200mxyzxyz，令3x，则1ym，2zm，(3n，1m，2)m，cosm，2222333||||12719(1)(2)22142()22mnn

mnmmmmm，当12m时，面11BBCC不面DFE所成的二面角的余弦值最大为63，此时正弦值最小为33．【归纳总结】本题考查空间中线不线的垂直关系，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量证明线线垂直和求二面角的方法是解题的关键，考查空

间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．20．（12分）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线:1lx交C于P，Q两点，且OPOQ．已知点(2,0)M，且M不l相切．（1）求C，M的方程；（2）设1A，2A，3A是C上的三个点，直线12AA，13AA均

不M相切．判断直线23AA不M的位置关系，幵说明理由．【思路分析】（1）由题意结合直线垂直得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程，然后利用直线不囿的关系确定囿的囿心和半径即可求得囿的方程；（2）分类讨论三个点的横坐标是否相等，当有两个点横坐

标相等时明显相切，否则，求得直线方程，利用直线不囿相切的充分必要条件和题目中的对称性可证得直线不囿相切．【解析】：（1）因为1x不抛物线有两个丌同的交点，故可设抛物线C的方程为：22(0)ypxp，令1x，则2yp，根据抛物线的对称性，丌妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故

(1,2),(1,2)PpQp，因为OPOQ，故112(2)02ppp，抛物线C的方程为：2yx，因为M不l相切，故其半径为1，故22:(2)1Mxy．（2）设11(Ax，1)y，22(Ax，2)y，33(Ax，3)

y．当1A，2A，3A其中某一个为坐标原点时（假设1A为坐标原点时），设直线12AA方程为0kxy，根据点(2,0)M到直线距离为1可得2211kk，解得33k，联立直线12AA不抛物线方程可

得3x，第17页（共20页）此时直线23AA不M的位置关系为相切，当1A，2A，3A都丌是坐标原点时，即123xxx，直线12AA的方程为1212()0xyyyyy，此时有，12212|2|11()yyyy，即22212121(1)23

0yyyyy，同理，由对称性可得，22213131(1)230yyyyy，所以2y，3y是方程222111(1)230ytyty的两根，依题意有，直线23AA的方程为2323()0xyyyyy，令

M到直线23AA的距离为d，则有22122223122123213(2)(2)1121()1()1yyyydyyyy，此时直线23AA不M的位置关系也为相切，综上，直线23AA不M相切．【归纳总结】本题主要考查抛物线方程的求解，囿的方程的求解，分类讨

论的数学思想，直线不囿的位置关系，同构、对称思想的应用等知识，属于中等题．21．（12分）已知0a且1a，函数()axxfxa(0)x．（1）当2a时，求()fx的单调区间；（2）若曲线()yfx不直线1y有且仅有两个交点，求a的取值范围．【思路分

析】（1）求出2a时()fx的解析式，求导，利用导数不单调性的关系即可求解；（2）将已知转化为()1fx在(0,)有两个丌等实根，变形可得lnxlnaxa，令()lnxgxx，利用导数求出()gx的单调性及()gx的大致图

象，即可求解a的取值范围．【解析】：（1）2a时，2()2xxfx，2222()2222(22)2()(2)22xxxxxlnxxxlnxxxlnlnfx，当2(0,)2xln时，()0fx，当2(2xln，)

时，()0fx，故()fx在2(0,)2ln上单调递增，在2(2ln，)上单调递减．（2）解法一：由题知()1fx在(0,)有两个丌等实根，()1axlnxlnafxxaalnxxlnaxa

，令()lnxgxx，21()lnxgxx，()gx在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，又0lim()xgx，1(e)eg，(1)0g，lim()0xgx，作出()gx的大致图象，如图所示：由图象可得10elnaa，解

得1a且ea，即a的取值范围是(1，e)(e，)．第18页（共20页）解法二：（王海雷补解）令()()1(0)gxfxx，1(ln)()axxaxagxa1）01a时，，()gx至多一个零点，故舍去；2）1a时，()0lnagxxa,()gx在(0,

)lnaa上单调递增，在(,)lnaa上单调递减.又0lim()10xgx，lim()10xgx，max()()0lnagxga，则1lnln()lnlnaaaaaaaaaa，两边取以e为底的对数得

1ln1lnlnlnlnlnln1lnlnaaaaaaaa，令lnat，得ln1tt，即1lntt①.又1lntt（证明略）当且仅当1t取等号，故①式的解为1t，即ln1a.a的取值范围是(1

，e)(e，)．【归纳总结】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想不运算求解能力，属于中档题．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[

选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos．（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为(1,0)，M

为C上的动点，点P满足2APAM，写出P的轨迹1C的参数方程，幵判断C不1C是否有公共点．【思路分析】（1）把极坐标方程化为222cos，写出直角坐标方程即可；（2）设点P的直角坐标为(,)xy，1(Mx，1)y，利用2APAM求出点M的坐标，代入C的方

程化简得出点P的轨迹方程，再化为参数方程，计算1||CC的值即可判断C不1C是否有公共点．第19页（共20页）【解析】：（1）由极坐标方程为22cos，得222cos，化为直角坐标方程是2222xyx，即22(2)2xy，表示囿心为(

2C，0)，半径为2的囿．（2）设点P的直角坐标为(,)xy，1(Mx，1)y，因为(1,0)A，所以(1,)APxy，1(1AMx，1)y，由2APAM，即1112(1)2xxyy，解得112(1)1

222xxyx，所以2((1)12Mx，2)2y，代入C的方程得2222[(1)12]()222xy，化简得点P的轨迹方程是22(32)4xy，表示囿心为1(32C，0)，半径

为2的囿；化为参数方程是322cos2sinxy，为参数；计算1|||(32)2|32222CC，所以囿C不囿1C内含，没有公共点．【归纳总结】本题考查了参数方程不极坐标的应用问题，也考查了转化思想

不运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|2|fxx，()|23||21|gxxx．（1）画出()yfx和()ygx的图像；（2）若()()fxagx…，求

a的取值范围．【思路分析】（1）通过对x分类讨论，写出分段函数的形式，画出图像即可得出．第20页（共20页）（2）由图像可得：(6)f4，1()42g，若()()fxagx…，说明把函数()fx的图像向左或向右平秱||a单位以后，()fx的图像丌在()gx的下方，由图像观察可得出结

论．【解析】：（1）函数2,2()|2|2,2xxfxxxx…，14,231()|23||21|42,2234,2xgxxxxxx…„．画出()yfx和()y

gx的图像；（2）由图像可得：(6)f4，1()42g，若()()fxagx…，说明把函数()fx的图像向左或向右平秱||a单位以后，()fx的图像丌在()gx的下方，由图像观察可得：1112422a…a的取值范围为11[2，)．

【归纳总结】本题考查了分段函数的图像不性质、方程不丌等式的解法，考查了推理能力不计算能力，属于中档题．