【文档说明】2022全国新高考I卷数学试题及答案.docx，共(22)页，357.632 KB，由baby熊上传

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试卷第1页，共4页2022年全国新高考I卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合𝑀=*𝑥∣√𝑥<4+

,𝑁=*𝑥∣3𝑥≥1+，则𝑀∩𝑁=（）A．*𝑥|0≤𝑥<2+B．2𝑥|13≤𝑥<23C．*𝑥|3≤𝑥<16+D．2𝑥|13≤𝑥<1632．若i(1−𝑧)=1，则𝑧+𝑧̅=（）A．−2B．−1C．1D．23．在△𝐴𝐵𝐶中，点D在边AB上，

𝐵𝐷=2𝐷𝐴．记𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=𝑚⃑⃑，𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑=𝑛⃑，则𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=（）A．3𝑚⃑⃑−2𝑛⃑B．−2𝑚⃑⃑+3𝑛⃑C．3𝑚⃑⃑+2𝑛⃑D．2𝑚⃑⃑+3𝑛⃑4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.

已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（√

7≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m35．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．236．记函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜋4)+𝑏(

𝜔>0)的最小正周期为T．若2𝜋3<𝑇<𝜋，且𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于点(3𝜋2,2)中心对称，则𝑓(𝜋2)=（）A．1B．32C．52D．37．设𝑎=0.1e0.1,𝑏=19，𝑐=−ln0.9，则（

）A．𝑎<𝑏<𝑐B．𝑐<𝑏<𝑎C．𝑐<𝑎<𝑏D．𝑎<𝑐<𝑏8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36𝜋，且3≤𝑙≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A．018,8141B．0274,8141C．0274,6431D．,18,27-二、多选题9．已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，则（）A．直线𝐵𝐶1与𝐷𝐴1所成的角为90°B．直线𝐵𝐶1与𝐶𝐴1所成的角为90°试卷第2页，共

4页C．直线𝐵𝐶1与平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷所成的角为45°D．直线𝐵𝐶1与平面ABCD所成的角为45°10．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥+1，则（）A．𝑓(𝑥)有两个极值点B．𝑓(𝑥)有三个零点C．点(0,1)是曲线𝑦=𝑓

(𝑥)的对称中心D．直线𝑦=2𝑥是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线11．已知O为坐标原点，点𝐴(1,1)在抛物线𝐶:𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)上，过点𝐵(0,−1)的直线交C于P，Q两点，则（）A．C的准线为𝑦=−1B．直线AB与C相切C．|𝑂𝑃|⋅|𝑂�

�|>|𝑂𝐴|2D．|𝐵𝑃|⋅|𝐵𝑄|>|𝐵𝐴|212．已知函数𝑓(𝑥)及其导函数𝑓′(𝑥)的定义域均为𝑅，记𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)，若𝑓.32−2𝑥/，𝑔(2+𝑥)均为偶函数，则（）A．

𝑓(0)=0B．𝑔.−12/=0C．𝑓(−1)=𝑓(4)D．𝑔(−1)=𝑔(2)三、填空题13．.1−𝑦𝑥/(𝑥+𝑦)8的展开式中𝑥2𝑦6的系数为________________（用数

字作答）．14．写出与圆𝑥2+𝑦2=1和(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=16都相切的一条直线的方程________________．15．若曲线𝑦=(𝑥+𝑎)e𝑥有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

________________．16．已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，C的上顶点为A，两个焦点为𝐹1，𝐹2，离心率为12．过𝐹1且垂直于𝐴𝐹2的直线与C交于D，E两点，|𝐷𝐸|=6，则△𝐴𝐷𝐸的周长

是________________．四、解答题17．记𝑆𝑛为数列*𝑎𝑛+的前n项和，已知𝑎1=1,2𝑆𝑛𝑎𝑛3是公差为13的等差数列．(1)求*𝑎𝑛+的通项公式；(2)证明：1𝑎1+1𝑎2+⋯+1𝑎𝑛<2．18

．记△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos𝐴1:sin𝐴=sin2𝐵1:cos2𝐵．(1)若𝐶=2𝜋3，求B；(2)求𝑎2:𝑏2𝑐2的最小值．19．如图，直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积为4，△𝐴1

𝐵𝐶的面积为2√2．试卷第3页，共4页(1)求A到平面𝐴1𝐵𝐶的距离；(2)设D为𝐴1𝐶的中点，𝐴𝐴1=𝐴𝐵，平面𝐴1𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，求二面角𝐴−𝐵𝐷

−𝐶的正弦值．20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据

：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到

的人患有该疾病”．𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐵̅|𝐴)与𝑃(𝐵|𝐴̅)𝑃(𝐵̅|𝐴̅)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：𝑅=𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴̅|𝐵)⋅𝑃(𝐴̅|𝐵̅

)𝑃(𝐴|𝐵̅)；（ⅱ）利用该调查数据，给出𝑃(𝐴|𝐵),𝑃(𝐴|𝐵̅)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附𝐾2=𝑛(𝑎𝑑;𝑏𝑐)2(𝑎:𝑏)(𝑐:𝑑)(𝑎:𝑐)(𝑏:𝑑)，𝑃(𝐾2≥𝑘)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828试卷第4页，共4页21．已知点𝐴(2,1)在双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2;1=1(𝑎>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线𝐴𝑃,𝐴𝑄的斜率之和为0．(1)求l的斜率；(2

)若tan∠𝑃𝐴𝑄=2√2，求△𝑃𝐴𝑄的面积．22．已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥和𝑔(𝑥)=𝑎𝑥−ln𝑥有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线𝑦=𝑏，其与两条曲线𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦

=𝑔(𝑥)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．答案第1页，共18页参考答案：1．D【解析】【分析】求出集合𝑀,𝑁后可求𝑀∩𝑁.【详解】𝑀=*𝑥∣0≤𝑥<16+,

𝑁=*𝑥∣𝑥≥13+，故𝑀∩𝑁=*𝑥|13≤𝑥<16+，故选：D2．D【解析】【分析】利用复数的除法可求𝑧，从而可求𝑧+𝑧̅.【详解】由题设有1−𝑧=1i=ii2=−i，故𝑧=1+i，故𝑧+𝑧̅=(1+i)+(1−i)=2，故选：D3．B【解析】【分析】根据几何条件以及

平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，𝐵𝐷=2𝐷𝐴，所以𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2𝐷𝐴⃑⃑⃑⃑⃑，即𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑−𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=2(𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑−𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑)，所以𝐶𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=3𝐶𝐷⃑⃑⃑⃑⃑−2𝐶𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=3

𝑛⃑−2𝑚⃑⃑=−2𝑚⃑⃑+3𝑛⃑．故选：B．4．C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为𝑀𝑁=157.5−148.5=9(m)，所以增加的

水量即为棱台的体积𝑉．答案第2页，共18页棱台上底面积𝑆=140.0𝑘𝑚2=140×106𝑚2，下底面积𝑆′=180.0𝑘𝑚2=180×106𝑚2，∴𝑉=13𝑕(𝑆+𝑆′+√𝑆𝑆′)=13×9×(140×106+18

0×106+√140×180×1012)=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．故选：C．5．D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即

可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率𝑃=21;721=23.故

选：D.6．A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足2𝜋3<𝑇<𝜋，得2𝜋3<2𝜋𝜔<𝜋，解得2<𝜔<3，又因为函数图象关于点(3𝜋2,

2)对称，所以3𝜋2𝜔+𝜋4=𝑘𝜋,𝑘∈𝑍，且𝑏=2，所以𝜔=−16+23𝑘,𝑘∈𝑍，所以𝜔=52，𝑓(𝑥)=sin(52𝑥+𝜋4)+2，所以𝑓(𝜋2)=sin(54𝜋+𝜋4)+2=1.答案第3页，共18页故选：A7．C【解析】【分析】构造函

数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥，导数判断其单调性，由此确定𝑎,𝑏,𝑐的大小.【详解】设𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥(𝑥>−1)，因为𝑓′(𝑥)=11:𝑥−1=−𝑥1:𝑥，当𝑥∈(−

1,0)时，𝑓′(𝑥)>0，当𝑥∈(0,+∞)时𝑓′(𝑥)<0，所以函数𝑓(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥在(0,+∞)单调递减，在(−1,0)上单调递增，所以𝑓(19)<𝑓(0)=0，所以ln109−19<0，故19>l

n109=−ln0.9，即𝑏>𝑐，所以𝑓(−110)<𝑓(0)=0，所以ln910+110<0，故910<e;110，所以110e110<19，故𝑎<𝑏，设𝑔(𝑥)=𝑥e𝑥+ln(1−𝑥)

(0<𝑥<1)，则𝑔′(𝑥)=(𝑥+1)e𝑥+1𝑥;1=(𝑥2;1)e𝑥:1𝑥;1,令𝑕(𝑥)=e𝑥(𝑥2−1)+1，𝑕′(𝑥)=e𝑥(𝑥2+2𝑥−1)，当0<𝑥<√2−1时，𝑕′(𝑥)

<0，函数𝑕(𝑥)=e𝑥(𝑥2−1)+1单调递减，当√2−1<𝑥<1时，𝑕′(𝑥)>0，函数𝑕(𝑥)=e𝑥(𝑥2−1)+1单调递增，又𝑕(0)=0，所以当0<𝑥<√2−1时，𝑕(𝑥)<0，所以当0<𝑥<√2−1时，𝑔′(𝑥

)>0，函数𝑔(𝑥)=𝑥e𝑥+ln(1−𝑥)单调递增，所以𝑔(0.1)>𝑔(0)=0，即0.1e0.1>−ln0.9，所以𝑎>𝑐故选：C.8．C【解析】【分析】设正四棱锥的高为𝑕，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围

.【详解】∵球的体积为36𝜋，所以球的半径𝑅=3,答案第4页，共18页设正四棱锥的底面边长为2𝑎，高为𝑕，则𝑙2=2𝑎2+𝑕2，32=2𝑎2+(3−𝑕)2,所以6𝑕=𝑙2，2𝑎2=

𝑙2−𝑕2所以正四棱锥的体积𝑉=13𝑆𝑕=13×4𝑎2×𝑕=23×(𝑙2−𝑙436)×𝑙26=19.𝑙4−𝑙636/，所以𝑉′=19.4𝑙3−𝑙56/=19𝑙3.24;𝑙2

6/，当3≤𝑙≤2√6时，𝑉′>0，当2√6<𝑙≤3√3时，𝑉′<0，所以当𝑙=2√6时，正四棱锥的体积𝑉取最大值，最大值为643，又𝑙=3时，𝑉=274，𝑙=3√3时，𝑉=814,所以正四棱锥的体积𝑉的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是0274，64

31.故选：C.9．ABD【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接𝐵1𝐶、𝐵𝐶1，因为𝐷𝐴1//𝐵1𝐶，所以直线𝐵𝐶1与𝐵1𝐶所成的角即为直线𝐵𝐶1与𝐷𝐴1所

成的角，因为四边形𝐵𝐵1𝐶1𝐶为正方形，则𝐵1𝐶⊥𝐵𝐶1，故直线𝐵𝐶1与𝐷𝐴1所成的角为90°，A正确；连接𝐴1𝐶，因为𝐴1𝐵1⊥平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶，𝐵𝐶1⊂平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶，则𝐴1𝐵1⊥𝐵�

�1，因为𝐵1𝐶⊥𝐵𝐶1，𝐴1𝐵1∩𝐵1𝐶=𝐵1，所以𝐵𝐶1⊥平面𝐴1𝐵1𝐶，又𝐴1𝐶⊂平面𝐴1𝐵1𝐶，所以𝐵𝐶1⊥𝐶𝐴1，故B正确；答案第5页，共18页连接𝐴1𝐶1，设𝐴1𝐶1∩�

�1𝐷1=𝑂，连接𝐵𝑂，因为𝐵𝐵1⊥平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，𝐶1𝑂⊂平面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，则𝐶1𝑂⊥𝐵1𝐵，因为𝐶1𝑂⊥𝐵1𝐷1，𝐵1𝐷1∩𝐵1𝐵=𝐵1，所以𝐶1𝑂⊥平面�

�𝐵1𝐷1𝐷，所以∠𝐶1𝐵𝑂为直线𝐵𝐶1与平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷所成的角，设正方体棱长为1，则𝐶1𝑂=√22，𝐵𝐶1=√2，sin∠𝐶1𝐵𝑂=𝐶1𝑂𝐵𝐶1=12，所以，直线𝐵𝐶1与平面𝐵𝐵

1𝐷1𝐷所成的角为30∘，故C错误；因为𝐶1𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以∠𝐶1𝐵𝐶为直线𝐵𝐶1与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角，易得∠𝐶1𝐵𝐶=45∘，故D正确.故选：ABD10．AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合𝑓(𝑥)的单调性、极值可

判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1，令𝑓′(𝑥)>0得𝑥>√33或𝑥<−√33，令𝑓′(𝑥)<0得−√33<𝑥<√33，所以𝑓(𝑥)在(−√33,√33)上单调递减，在(−∞

,−√33)，(√33,+∞)上单调递增，所以𝑥=±√33是极值点，故A正确；因𝑓(−√33)=1+2√39>0，𝑓(√33)=1−2√39>0，𝑓(−2)=−5<0，所以，函数𝑓(𝑥)在.−∞,−√33/上有一个零点

，当𝑥≥√33时，𝑓(𝑥)≥𝑓.√33/>0，即函数𝑓(𝑥)在.√33,+∞/上无零点，综上所述，函数𝑓(𝑥)有一个零点，故B错误；令𝑕(𝑥)=𝑥3−𝑥，该函数的定义域为𝑅，

𝑕(−𝑥)=(−𝑥)3−(−𝑥)=−𝑥3+𝑥=−𝑕(𝑥)，则𝑕(𝑥)是奇函数，(0,0)是𝑕(𝑥)的对称中心，将𝑕(𝑥)的图象向上移动一个单位得到𝑓(𝑥)的图象，所以点(0,1)是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称中心，

故C正确；答案第6页，共18页令𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1=2，可得𝑥=±1，又𝑓(1)=𝑓(−1)=1，当切点为(1,1)时，切线方程为𝑦=2𝑥−1，当切点为(−1,1)时，切线方程为𝑦=2𝑥+3，故D错误

.故选：AC.11．BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点𝐴的代入抛物线方程得1=2𝑝，所以抛物线方程为𝑥2=𝑦，

故准线方程为𝑦=−14，A错误；𝑘𝐴𝐵=1;(;1)1;0=2，所以直线𝐴𝐵的方程为𝑦=2𝑥−1，联立{𝑦=2𝑥−1𝑥2=𝑦，可得𝑥2−2𝑥+1=0，解得𝑥=1，故B正确；设过𝐵的直线为𝑙，若直线𝑙与𝑦轴

重合，则直线𝑙与抛物线𝐶只有一个交点，所以，直线𝑙的斜率存在，设其方程为𝑦=𝑘𝑥−1，𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2)，联立{𝑦=𝑘𝑥−1𝑥2=𝑦，得𝑥2−𝑘𝑥+1=0，所以{Δ=𝑘2−

4>0𝑥1+𝑥2=𝑘𝑥1𝑥2=1，所以𝑘>2或𝑘<−2，𝑦1𝑦2=(𝑥1𝑥2)2=1，又|𝑂𝑃|=√𝑥12+𝑦12=√𝑦1+𝑦12，|𝑂𝑄|=√𝑥22+𝑦22=√𝑦2+𝑦22，所以|𝑂𝑃|⋅|𝑂𝑄|=√𝑦1�

�2(1+𝑦1)(1+𝑦2)=√𝑘𝑥1×𝑘𝑥2=|𝑘|>2=|𝑂𝐴|2，故C正确；因为|𝐵𝑃|=√1+𝑘2|𝑥1|，|𝐵𝑄|=√1+𝑘2|𝑥2|，所以|𝐵𝑃|⋅|𝐵𝑄|=(1+𝑘2)|𝑥1𝑥2|=1+𝑘

2>5，而|𝐵𝐴|2=5，故D正确.故选：BCD12．BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断答案第7页，共18页即可得解.【详解】因为𝑓(32−2𝑥)，𝑔(2+𝑥)均为偶函数，所以𝑓(

32−2𝑥)=𝑓(32+2𝑥)即𝑓(32−𝑥)=𝑓(32+𝑥)，𝑔(2+𝑥)=𝑔(2−𝑥)，所以𝑓(3−𝑥)=𝑓(𝑥)，𝑔(4−𝑥)=𝑔(𝑥)，则𝑓(−1)=𝑓(4)，故C正确；函数𝑓(𝑥)，𝑔(𝑥

)的图象分别关于直线𝑥=32,𝑥=2对称，又𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)，且函数𝑓(𝑥)可导，所以𝑔(32)=0,𝑔(3−𝑥)=−𝑔(𝑥)，所以𝑔(4−𝑥)=𝑔(𝑥)=−𝑔(3−𝑥)，所以𝑔(𝑥+2)=−𝑔(𝑥+1)=𝑔(

𝑥)，所以𝑔(−12)=𝑔(32)=0，𝑔(−1)=𝑔(1)=−𝑔(2)，故B正确，D错误；若函数𝑓(𝑥)满足题设条件，则函数𝑓(𝑥)+𝐶（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定𝑓(𝑥)的函数值，故A错

误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.13．-28【解析】【分析】.1−𝑦𝑥/(𝑥+𝑦)8可化为(𝑥+𝑦)8−𝑦𝑥(𝑥+𝑦)8

，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为.1−𝑦𝑥/(𝑥+𝑦)8=(𝑥+𝑦)8−𝑦𝑥(𝑥+𝑦)8，所以.1−𝑦𝑥/(𝑥+𝑦)8的展开式中含𝑥2𝑦6的项为C86𝑥2

𝑦6−𝑦𝑥𝐶85𝑥3𝑦5=−28𝑥2𝑦6，.1−𝑦𝑥/(𝑥+𝑦)8的展开式中𝑥2𝑦6的系数为-28故答案为：-2814．𝑦=−34𝑥+54或𝑦=724𝑥−2524或�

�=−1答案第8页，共18页【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆𝑥2+𝑦2=1的圆心为𝑂(0,0)，半径为1，圆(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=16的圆心𝑂1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为√32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，

当切线为l时，因为𝑘𝑂𝑂1=43，所以𝑘𝑙=−34，设方程为𝑦=−34𝑥+𝑡(𝑡>0)O到l的距离𝑑=|𝑡|√1:916=1，解得𝑡=54，所以l的方程为𝑦=−34𝑥+54，当

切线为m时，设直线方程为𝑘𝑥+𝑦+𝑝=0，其中𝑝>0，𝑘<0，由题意{|𝑝|√1:𝑘2=1|3𝑘:4:𝑝|√1:𝑘2=4，解得{𝑘=−724𝑝=2524，𝑦=724𝑥−2524当切线为n时，易知切线方程为𝑥=−1，故答案为：𝑦=−34𝑥+54

或𝑦=724𝑥−2524或𝑥=−1.15．(−∞,−4)∪(0,+∞)【解析】【分析】设出切点横坐标𝑥0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于𝑥0的方答案第9页，共18页程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得𝑎的取值范

围.【详解】∵𝑦=(𝑥+𝑎)e𝑥，∴𝑦′=(𝑥+1+𝑎)e𝑥，设切点为(𝑥0,𝑦0),则𝑦0=(𝑥0+𝑎)e𝑥0,切线斜率𝑘=(𝑥0+1+𝑎)e𝑥0,切线方程为：𝑦−(𝑥0+𝑎)e𝑥0=(𝑥0+1+𝑎)e𝑥0(𝑥−𝑥0),∵切线过原点

，∴−(𝑥0+𝑎)e𝑥0=(𝑥0+1+𝑎)e𝑥0(−𝑥0),整理得：𝑥02+𝑎𝑥0−𝑎=0,∵切线有两条，∴Δ=𝑎2+4𝑎>0,解得𝑎<−4或𝑎>0,∴𝑎的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞),故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)16．13【解析】【分

析】利用离心率得到椭圆的方程为𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1，即3𝑥2+4𝑦2−12𝑐2=0，根据离心率得到直线𝐴𝐹2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线𝐷𝐸的斜率，写出直线𝐷𝐸的方程：𝑥=√3𝑦−

𝑐，代入椭圆方程3𝑥2+4𝑦2−12𝑐2=0，整理化简得到：13𝑦2−6√3𝑐𝑦−9𝑐2=0，利用弦长公式求得𝑐=138，得𝑎=2𝑐=134，根据对称性将△𝐴𝐷𝐸的周长转化为△𝐹2𝐷𝐸的周长，利用椭圆的

定义得到周长为4𝑎=13.【详解】∵椭圆的离心率为𝑒=𝑐𝑎=12，∴𝑎=2𝑐，∴𝑏2=𝑎2−𝑐2=3𝑐2，∴椭圆的方程为𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1，即3𝑥2+4𝑦2−12𝑐

2=0，不妨设左焦点为𝐹1，右焦点为𝐹2，如图所示，∵𝐴𝐹2=𝑎，𝑂𝐹2=𝑐，𝑎=2𝑐，∴∠𝐴𝐹2𝑂=𝜋3，∴△𝐴𝐹1𝐹2为正三角形，∵过𝐹1且垂直于𝐴𝐹2的直线与C交于D，E两点，𝐷𝐸为线

段𝐴𝐹2的垂直平分线，∴直线𝐷𝐸的斜率为√33，斜率倒数为√3，直线𝐷𝐸的方程：𝑥=√3𝑦−𝑐，代入椭圆方程3𝑥2+4𝑦2−12𝑐2=0，整理化简得到：13𝑦2−6√3𝑐𝑦−9𝑐2=0，判别式Δ=(6√3�

�)2+4×13×9𝑐2=62×16×𝑐2，∴|𝐶𝐷|=√1+(√3)2|𝑦1−𝑦2|=2×√Δ13=2×6×4×𝑐13=6，答案第10页，共18页∴𝑐=138，得𝑎=2𝑐=134，∵

𝐷𝐸为线段𝐴𝐹2的垂直平分线，根据对称性，𝐴𝐷=𝐷𝐹2，𝐴𝐸=𝐸𝐹2，∴△𝐴𝐷𝐸的周长等于△𝐹2𝐷𝐸的周长，利用椭圆的定义得到△𝐹2𝐷𝐸周长为|𝐷𝐹2|+|𝐸𝐹2|+|𝐷𝐸|=|𝐷𝐹2|+|𝐸𝐹2|+|𝐷𝐹1|+|�

�𝐹1|=|𝐷𝐹1|+|𝐷𝐹2|+|𝐸𝐹1|+|𝐸𝐹2|=2𝑎+2𝑎=4𝑎=13.故答案为：13.17．(1)𝑎𝑛=𝑛(𝑛:1)2(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得𝑆𝑛𝑎𝑛

=1+13(𝑛−1)=𝑛:23，得到𝑆𝑛=(𝑛:2)𝑎𝑛3，利用和与项的关系得到当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛;1=(𝑛:2)𝑎𝑛3−(𝑛:1)𝑎𝑛−13,进而得：𝑎𝑛𝑎𝑛−1=𝑛:

1𝑛;1，利用累乘法求得𝑎𝑛=𝑛(𝑛:1)2，检验对于𝑛=1也成立，得到*𝑎𝑛+的通项公式𝑎𝑛=𝑛(𝑛:1)2；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1𝑎1+1𝑎2+⋯+1𝑎𝑛=2.1−

1𝑛:1/，进而证得.(1)∵𝑎1=1，∴𝑆1=𝑎1=1,∴𝑆1𝑎1=1,又∵2𝑆𝑛𝑎𝑛3是公差为13的等差数列，∴𝑆𝑛𝑎𝑛=1+13(𝑛−1)=𝑛:23,∴𝑆𝑛=(𝑛:2)𝑎𝑛3,答案第11页，共18页∴当𝑛≥2时，𝑆�

�;1=(𝑛:1)𝑎𝑛−13，∴𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛;1=(𝑛:2)𝑎𝑛3−(𝑛:1)𝑎𝑛−13,整理得：(𝑛−1)𝑎𝑛=(𝑛+1)𝑎𝑛;1,即𝑎𝑛𝑎𝑛−1=𝑛:1𝑛;1,∴𝑎

𝑛=𝑎1×𝑎2𝑎1×𝑎3𝑎2×…×𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2×𝑎𝑛𝑎𝑛−1=1×32×43×…×𝑛𝑛;2×𝑛:1𝑛;1=𝑛(𝑛:1)2，显然对于𝑛=1也成立，∴*𝑎𝑛+的通项公式𝑎𝑛=𝑛(𝑛:1)2；(2)1𝑎𝑛=2𝑛(𝑛:1)=

2.1𝑛−1𝑛:1/,∴1𝑎1+1𝑎2+⋯+1𝑎𝑛=20.1−12/+.12−13/+⋯.1𝑛−1𝑛:1/1=2.1−1𝑛:1/<218．(1)π6；(2)4√2−5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos𝐴1

:sin𝐴=sin2𝐵1:cos2𝐵化成cos(𝐴+𝐵)=sin𝐵，再结合0<𝐵<π2，即可求出；（2）由（1）知，𝐶=π2+𝐵，𝐴=π2−2𝐵，再利用正弦定理以及二倍角公式将𝑎2:𝑏2𝑐2化

成4cos2𝐵+2cos2𝐵−5，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为cos𝐴1:sin𝐴=sin2𝐵1:cos2𝐵=2sin𝐵cos𝐵2cos2𝐵=sin𝐵cos𝐵，即sin𝐵=cos𝐴cos𝐵−sin𝐴sin𝐵=cos(𝐴

+𝐵)=−cos𝐶=12，而0<𝐵<π2，所以𝐵=π6；(2)答案第12页，共18页由（1）知，sin𝐵=−cos𝐶>0，所以π2<𝐶<π,0<𝐵<π2，而sin𝐵=−cos𝐶=sin.𝐶−π2/，所以𝐶=π2+𝐵，即有𝐴=π2−2

𝐵．所以𝑎2:𝑏2𝑐2=sin2𝐴:sin2𝐵sin2𝐶=cos22𝐵:1;cos2𝐵cos2𝐵=(2cos2𝐵;1)2:1;cos2𝐵cos2𝐵=4cos2𝐵+2cos2𝐵−5≥2√8−5=4√2−5．当且仅当cos2𝐵=

√22时取等号，所以𝑎2:𝑏2𝑐2的最小值为4√2−5．19．(1)√2(2)√32【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，建立空间直角坐标系，利

用空间向量法即可得解.(1)在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，设点A到平面𝐴1𝐵𝐶的距离为h，则𝑉𝐴;𝐴1𝐵𝐶=13𝑆△𝐴1𝐵𝐶⋅𝑕=2√23𝑕=𝑉𝐴1;𝐴𝐵𝐶=13𝑆△𝐴𝐵𝐶⋅𝐴1𝐴=13𝑉𝐴𝐵𝐶;�

�1𝐵1𝐶1=43，解得𝑕=√2，所以点A到平面𝐴1𝐵𝐶的距离为√2；(2)取𝐴1𝐵的中点E,连接AE,如图，因为𝐴𝐴1=𝐴𝐵，所以𝐴𝐸⊥𝐴1𝐵,又平面𝐴1𝐵𝐶⊥平面�

�𝐵𝐵1𝐴1，平面𝐴1𝐵𝐶∩平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1=𝐴1𝐵，且𝐴𝐸⊂平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，所以𝐴𝐸⊥平面𝐴1𝐵𝐶，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐵𝐵1⊥平面𝐴𝐵𝐶，由𝐵𝐶⊂平面𝐴1𝐵𝐶，𝐵𝐶⊂

平面𝐴𝐵𝐶可得𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，𝐵𝐵1⊥𝐵𝐶，又𝐴𝐸,𝐵𝐵1⊂平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1且相交，所以𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，所以𝐵𝐶,𝐵𝐴,𝐵𝐵1两两垂直，以B为原点，建立

空间直角坐标系，如图，答案第13页，共18页由（1）得𝐴𝐸=√2，所以𝐴𝐴1=𝐴𝐵=2，𝐴1𝐵=2√2，所以𝐵𝐶=2，则𝐴(0,2,0),𝐴1(0,2,2),𝐵(0,0,0),𝐶(2,0,0),所以𝐴1�

�的中点𝐷(1,1,1)，则𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,1,1)，𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=(0,2,0),𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=(2,0,0),设平面𝐴𝐵𝐷的一个法向量𝑚⃑⃑=(𝑥,𝑦,𝑧)，则*𝑚⃑⃑⋅𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑥+𝑦+𝑧=0𝑚⃑⃑⋅𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑

⃑=2𝑦=0，可取𝑚⃑⃑=(1,0,−1)，设平面𝐵𝐷𝐶的一个法向量𝑛⃑=(𝑎,𝑏,𝑐)，则*𝑚⃑⃑⋅𝐵𝐷⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑎+𝑏+𝑐=0𝑚⃑⃑⋅𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑=2𝑎=0，可取𝑛⃑=(0,1,−1)，则cos〈𝑚⃑⃑,𝑛⃑〉=𝑚⃑⃑⃑⋅𝑛⃑|𝑚⃑⃑⃑

|⋅|𝑛⃑|=1√2×√2=12，所以二面角𝐴−𝐵𝐷−𝐶的正弦值为√1−(12)2=√32.20．(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；(ii)𝑅=6；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出𝐾2的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病

群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求𝑅.(1)由已知𝐾2=𝑛(𝑎𝑑;𝑏𝑐)2(𝑎:𝑏)(𝑐:𝑑)(𝑎:𝑐)(𝑏:𝑑)=200(40×90;60×10

)250×150×100×100=24，又𝑃(𝐾2≥6.635)=0.01，24>6.635，答案第14页，共18页所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)因为𝑅=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐵̅|𝐴)⋅𝑃(𝐵̅|𝐴̅)𝑃(𝐵|𝐴̅

)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐴)𝑃(𝐴𝐵̅)⋅𝑃(𝐴̅𝐵̅)𝑃(𝐴̅)⋅𝑃(𝐴̅)𝑃(𝐴̅𝐵)，所以𝑅=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐵)𝑃(𝐴̅𝐵)⋅�

�(𝐴̅𝐵̅)𝑃(𝐵̅)⋅𝑃(𝐵̅)𝑃(𝐴𝐵̅)所以𝑅=𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴̅|𝐵)⋅𝑃(𝐴̅|𝐵̅)𝑃(𝐴|𝐵̅)，(ii)由已知𝑃(𝐴|𝐵)=40100，𝑃(

𝐴|𝐵̅)=10100，又𝑃(𝐴̅|𝐵)=60100，𝑃(𝐴̅|𝐵̅)=90100，所以𝑅=𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴̅|𝐵)⋅𝑃(𝐴̅|𝐵̅)𝑃(𝐴|𝐵̅)=621．(1)−1；(2)16√29．【解析】【分析】（1）由点𝐴(2,1)

在双曲线上可求出𝑎，易知直线l的斜率存在，设𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑚，𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2)，再根据𝑘𝐴𝑃+𝑘𝐵𝑃=0，即可解出l的斜率；（2）根据直线𝐴𝑃,𝐴𝑄的斜率之和为0可知直线𝐴𝑃,�

�𝑄的倾斜角互补，再根据tan∠𝑃𝐴𝑄=2√2即可求出直线𝐴𝑃,𝐴𝑄的斜率，再分别联立直线𝐴𝑃,𝐴𝑄与双曲线方程求出点𝑃,𝑄的坐标，即可得到直线𝑃𝑄的方程以及𝑃𝑄的长，由点到直线的距离公式求出点𝐴到直线𝑃𝑄的距离，即可得出△𝑃𝐴𝑄的面积．(1)因

为点𝐴(2,1)在双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2;1=1(𝑎>1)上，所以4𝑎2−1𝑎2;1=1，解得𝑎2=2，即双曲线𝐶:𝑥22−𝑦2=1易知直线l的斜率存在，设𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑚，𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2)，联立

{𝑦=𝑘𝑥+𝑚𝑥22−𝑦2=1可得，(1−2𝑘2)𝑥2−4𝑚𝑘𝑥−2𝑚2−2=0，所以，𝑥1+𝑥2=−4𝑚𝑘2𝑘2;1,𝑥1𝑥2=2𝑚2:22𝑘2;1，Δ=16𝑚2𝑘2+4(2𝑚2+2)(2𝑘2−1)>0⇒𝑚

2−答案第15页，共18页1+2𝑘2>0．所以由𝑘𝐴𝑃+𝑘𝐵𝑃=0可得，𝑦2;1𝑥2;2+𝑦1;1𝑥1;2=0，即(𝑥1−2)(𝑘𝑥2+𝑚−1)+(𝑥2−2)(𝑘𝑥1+𝑚−1)=0，即

2𝑘𝑥1𝑥2+(𝑚−1−2𝑘)(𝑥1+𝑥2)−4(𝑚−1)=0，所以2𝑘×2𝑚2:22𝑘2;1+(𝑚−1−2𝑘).−4𝑚𝑘2𝑘2;1/−4(𝑚−1)=0，化简得，8𝑘2+4𝑘−4+4𝑚(𝑘+1)=0，即(𝑘+1)(2𝑘−1+𝑚)=0，所以𝑘=−1或

𝑚=1−2𝑘，当𝑚=1−2𝑘时，直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑚=𝑘(𝑥−2)+1过点𝐴(2,1)，与题意不符，舍去，故𝑘=−1．(2)不妨设直线𝑃𝐴,𝑃𝐵的倾斜角为𝛼,𝛽(𝛼<𝛽)，因为𝑘𝐴𝑃+𝑘𝐵𝑃=0，所以𝛼+𝛽=π，因为

tan∠𝑃𝐴𝑄=2√2，所以tan(𝛽−𝛼)=2√2，即tan2𝛼=−2√2，即√2tan2𝛼−tan𝛼−√2=0，解得tan𝛼=√2，于是，直线𝑃𝐴:𝑦=√2(𝑥−2)+1，直线𝑃𝐵:𝑦=−√2(𝑥−2)+1，联立{𝑦=√2

(𝑥−2)+1𝑥22−𝑦2=1可得，32𝑥2+2(1−2√2)𝑥+10−4√2=0，因为方程有一个根为2，所以𝑥𝑃=10;4√23，𝑦𝑃=4√2;53，同理可得，𝑥𝑄=10:4√23，𝑦𝑄=;4√2;53．所以𝑃𝑄:𝑥+𝑦−53=0，|𝑃𝑄|=163，点𝐴到

直线𝑃𝑄的距离𝑑=|2:1;53|√2=2√23，故△𝑃𝐴𝑄的面积为12×163×2√23=16√29．22．(1)𝑎=1(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.答案第16页，共18页（

2）根据（1）可得当𝑏>1时，e𝑥−𝑥=𝑏的解的个数、𝑥−ln𝑥=𝑏的解的个数均为2，构建新函数𝑕(𝑥)=e𝑥+ln𝑥−2𝑥，利用导数可得该函数只有一个零点且可得𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)的大小关系，根据存在直线𝑦=𝑏与曲线𝑦=𝑓(𝑥)、𝑦=𝑔(𝑥)有三个不

同的交点可得𝑏的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑎𝑥的定义域为𝑅，而𝑓′(𝑥)=e𝑥−𝑎，若𝑎≤0，则𝑓′(𝑥)>0，此时𝑓(𝑥)无最小值，故𝑎>0.𝑔(𝑥)=𝑎𝑥−ln𝑥的定义域为(

0,+∞)，而𝑔′(𝑥)=𝑎−1𝑥=𝑎𝑥;1𝑥.当𝑥<ln𝑎时，𝑓′(𝑥)<0，故𝑓(𝑥)在(−∞,ln𝑎)上为减函数，当𝑥>ln𝑎时，𝑓′(𝑥)>0，故𝑓(𝑥)在(ln𝑎,+∞)上为增函数，故𝑓(𝑥)min=𝑓(ln�

�)=𝑎−𝑎ln𝑎.当0<𝑥<1𝑎时，𝑔′(𝑥)<0，故𝑔(𝑥)在(0,1𝑎)上为减函数，当𝑥>1𝑎时，𝑔′(𝑥)>0，故𝑔(𝑥)在(1𝑎,+∞)上为增函数，故𝑔(𝑥)min=𝑔(1𝑎)=1−ln1𝑎.因为𝑓

(𝑥)=e𝑥−𝑎𝑥和𝑔(𝑥)=𝑎𝑥−ln𝑥有相同的最小值，故1−ln1𝑎=𝑎−𝑎ln𝑎，整理得到𝑎;11:𝑎=ln𝑎，其中𝑎>0，设𝑔(𝑎)=𝑎;11:𝑎−ln𝑎,𝑎>0，则𝑔′(𝑎)=2(1:𝑎)2−1𝑎=;𝑎2;1𝑎(1:

𝑎)2≤0，故𝑔(𝑎)为(0,+∞)上的减函数，而𝑔(1)=0，故𝑔(𝑎)=0的唯一解为𝑎=1，故1;𝑎1:𝑎=ln𝑎的解为𝑎=1.综上，𝑎=1.(2)由（1）可得𝑓(𝑥)=e𝑥−𝑥和𝑔(𝑥)=𝑥−ln𝑥的最小值为1−ln1=1−

ln11=1.当𝑏>1时，考虑e𝑥−𝑥=𝑏的解的个数、𝑥−ln𝑥=𝑏的解的个数.设𝑆(𝑥)=e𝑥−𝑥−𝑏，𝑆′(𝑥)=e𝑥−1，当𝑥<0时，𝑆′(𝑥)<0，当𝑥>0时，𝑆′(𝑥)>0，故𝑆(𝑥)在(−∞,0

)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数，所以𝑆(𝑥)min=𝑆(0)=1−𝑏<0，答案第17页，共18页而𝑆(−𝑏)=e;𝑏>0，𝑆(𝑏)=e𝑏−2𝑏，设𝑢(𝑏)=e𝑏−2𝑏，其中𝑏>1，则𝑢′(𝑏)=e𝑏−

2>0，故𝑢(𝑏)在(1,+∞)上为增函数，故𝑢(𝑏)>𝑢(1)=e−2>0，故𝑆(𝑏)>0，故𝑆(𝑥)=e𝑥−𝑥−𝑏有两个不同的零点，即e𝑥−𝑥=𝑏的解的个数为2.设𝑇(𝑥)=�

�−ln𝑥−𝑏，𝑇′(𝑥)=𝑥;1𝑥，当0<𝑥<1时，𝑇′(𝑥)<0，当𝑥>1时，𝑇′(𝑥)>0，故𝑇(𝑥)在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，所以𝑇(𝑥)min=𝑇(1)=1−𝑏<0，而𝑇(e;𝑏)=e;𝑏

>0，𝑇(e𝑏)=e𝑏−2𝑏>0，𝑇(𝑥)=𝑥−ln𝑥−𝑏有两个不同的零点即𝑥−ln𝑥=𝑏的解的个数为2.当𝑏=1，由（1）讨论可得𝑥−ln𝑥=𝑏、e𝑥−𝑥=𝑏仅有一个零点，当𝑏<1时，由（1）讨论可得𝑥−ln𝑥=𝑏、e𝑥−𝑥=𝑏均无

零点，故若存在直线𝑦=𝑏与曲线𝑦=𝑓(𝑥)、𝑦=𝑔(𝑥)有三个不同的交点，则𝑏>1.设𝑕(𝑥)=e𝑥+ln𝑥−2𝑥，其中𝑥>0，故𝑕′(𝑥)=e𝑥+1𝑥−2，设𝑠(𝑥)

=e𝑥−𝑥−1，𝑥>0，则𝑠′(𝑥)=e𝑥−1>0，故𝑠(𝑥)在(0,+∞)上为增函数，故𝑠(𝑥)>𝑠(0)=0即e𝑥>𝑥+1，所以𝑕′(𝑥)>𝑥+1𝑥−1≥2−1>0，所

以𝑕(𝑥)在(0,+∞)上为增函数，而𝑕(1)=e−2>0，𝑕(1e3)=e1e3−3−2e3<e−3−2e3<0，故𝑕(𝑥)在(0,+∞)上有且只有一个零点𝑥0，1e3<𝑥0<1且：当0<𝑥<𝑥0时，𝑕(𝑥)<0即e𝑥

−𝑥<𝑥−ln𝑥即𝑓(𝑥)<𝑔(𝑥)，当𝑥>𝑥0时，𝑕(𝑥)>0即e𝑥−𝑥>𝑥−ln𝑥即𝑓(𝑥)>𝑔(𝑥)，因此若存在直线𝑦=𝑏与曲线𝑦=𝑓(𝑥)、𝑦=𝑔

(𝑥)有三个不同的交点，故𝑏=𝑓(𝑥0)=𝑔(𝑥0)>1，此时e𝑥−𝑥=𝑏有两个不同的零点𝑥1,𝑥0(𝑥1<0<𝑥0)，此时𝑥−ln𝑥=𝑏有两个不同的零点𝑥0,𝑥4(0<𝑥0<1<𝑥4)，故e𝑥1−𝑥1=�

�，e𝑥0−𝑥0=𝑏，𝑥4−ln𝑥4−𝑏=0，𝑥0−ln𝑥0−𝑏=0所以𝑥4−𝑏=ln𝑥4即e𝑥4;𝑏=𝑥4即e𝑥4;𝑏−(𝑥4−𝑏)−𝑏=0，答案第18页，共18页故𝑥4−𝑏为方程e𝑥−𝑥=𝑏的解，同理𝑥0−

𝑏也为方程e𝑥−𝑥=𝑏的解又e𝑥1−𝑥1=𝑏可化为e𝑥1=𝑥1+𝑏即𝑥1−ln(𝑥1+𝑏)=0即(𝑥1+𝑏)−ln(𝑥1+𝑏)−𝑏=0，故𝑥1+𝑏为方程𝑥−ln𝑥=𝑏的解，同理𝑥0+𝑏也为方程𝑥

−ln𝑥=𝑏的解，所以*𝑥1,𝑥0+=*𝑥0−𝑏,𝑥4−𝑏+，而𝑏>1，故*𝑥0=𝑥4−𝑏𝑥1=𝑥0−𝑏即𝑥1+𝑥4=2𝑥0.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，

而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.