【文档说明】2022全国新高考II卷数学试题及答案.docx，共(20)页，519.273 KB，由baby熊上传

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试卷第1页，共4页2022年全国新高考II卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合𝐴=*−1,1,2,4+,𝐵=*𝑥||𝑥−1|≤1+，则𝐴∩𝐵=（）A．

*−1,2+B．*1,2+C．*1,4+D．*−1,4+2．(2+2i)(1−2i)=（）A．−2+4iB．−2−4iC．6+2iD．6−2i3．图1是中国古代建筑中的举架结构，𝐴𝐴′,𝐵𝐵′,𝐶𝐶′,𝐷𝐷′是桁，相邻桁的水

平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中𝐷𝐷1,𝐶𝐶1,𝐵𝐵1,𝐴𝐴1是举，𝑂𝐷1,𝐷𝐶1,𝐶𝐵1,𝐵𝐴1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为𝐷𝐷1𝑂𝐷1=0.5,𝐶𝐶1𝐷

𝐶1=𝑘1,𝐵𝐵1𝐶𝐵1=𝑘2,𝐴𝐴1𝐵𝐴1=𝑘3．已知𝑘1,𝑘2,𝑘3成公差为0.1的等差数列，且直线𝑂𝐴的斜率为0.725，则𝑘3=（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.94．已知向量𝑎⃑=(3,4),𝑏⃑⃑=(

1,0),𝑐⃑=𝑎⃑+𝑡𝑏⃑⃑，若<𝑎⃑,𝑐⃑>=<𝑏⃑⃑,𝑐⃑>，则𝑡=（）A．−6B．−5C．5D．65．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种6．若sin(�

�+𝛽)+cos(𝛼+𝛽)=2√2cos.𝛼+𝜋4/sin𝛽，则（）A．tan(𝛼−𝛽)=1B．tan(𝛼+𝛽)=1C．tan(𝛼−𝛽)=−1D．tan(𝛼+𝛽)=−17．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3√3和4√3，其

顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）试卷第2页，共4页A．100πB．128πC．144πD．192π8．已知函数𝑓(𝑥)的定义域为R，且𝑓(𝑥+𝑦)+𝑓(𝑥−𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),𝑓(1)=

1，则∑22𝑘<1𝑓(𝑘)=（）A．−3B．−2C．0D．1二、多选题9．已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)(0<𝜑<π)的图像关于点.2π3,0/中心对称，则（）A．𝑓(𝑥)在区间.0,5π12/单调

递减B．𝑓(𝑥)在区间.−π12,11π12/有两个极值点C．直线𝑥=7π6是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称轴D．直线𝑦=√32−𝑥是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线10．已知O为坐标原点，过抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥

(𝑝>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点𝑀(𝑝,0)，若|𝐴𝐹|=|𝐴𝑀|，则（）A．直线𝐴𝐵的斜率为2√6B．|𝑂𝐵|=|𝑂𝐹|C．|𝐴𝐵|>4|𝑂𝐹|D．∠𝑂𝐴𝑀+∠𝑂𝐵𝑀<180°11．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷

为正方形，𝐸𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐹𝐵∥𝐸𝐷,𝐴𝐵=𝐸𝐷=2𝐹𝐵，记三棱锥𝐸−𝐴𝐶𝐷，𝐹−𝐴𝐵𝐶，𝐹−𝐴𝐶𝐸的体积分别为𝑉1,𝑉2,𝑉3，则（）A．𝑉3=2�

�2B．𝑉3=𝑉1C．𝑉3=𝑉1+𝑉2D．2𝑉3=3𝑉112．若x，y满足𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1，则（）A．𝑥+𝑦≤1B．𝑥+𝑦≥−2C．𝑥2+𝑦2≤2D．𝑥2+𝑦2≥1三、填空题13

．已知随机变量X服从正态分布𝑁(2,𝜎2)，且𝑃(2<𝑋≤2.5)=0.36，则𝑃(𝑋>试卷第3页，共4页2.5)=____________．14．设点𝐴(−2,3),𝐵(0,𝑎)，若直线𝐴𝐵关于𝑦=𝑎对

称的直线与圆(𝑥+3)2+(𝑦+2)2=1有公共点，则a的取值范围是________．15．已知直线l与椭圆𝑥26+𝑦23=1在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且|𝑀𝐴|=|𝑁𝐵|,|𝑀𝑁|=2√3，则l的方程为

___________．四、双空题16．曲线𝑦=ln|𝑥|过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．五、解答题17．已知*𝑎𝑛+为等差数列，*𝑏𝑛+是公比为2的等比数列，且𝑎2−𝑏2=𝑎3−𝑏

3=𝑏4−𝑎4．(1)证明：𝑎1=𝑏1；(2)求集合*𝑘|𝑏𝑘=𝑎𝑚+𝑎1,1≤𝑚≤500+中元素个数．18．记△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为𝑆1,𝑆2,

𝑆3，已知𝑆1−𝑆2+𝑆3=√32,sin𝐵=13．(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；(2)若sin𝐴sin𝐶=√23，求b．19．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年

龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间,20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间,40,50)的人口占该地区总

人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间,40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.20．如图，𝑃𝑂是三棱锥𝑃−𝐴�

�𝐶的高，𝑃𝐴=𝑃𝐵，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，E是𝑃𝐵的中点．试卷第4页，共4页(1)证明：𝑂𝐸//平面𝑃𝐴𝐶；(2)若∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐶𝐵𝑂=30°，𝑃𝑂=3，𝑃𝐴

=5，求二面角𝐶−𝐴𝐸−𝐵的正弦值．21．已知双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的右焦点为𝐹(2,0)，渐近线方程为𝑦=±√3𝑥．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近

线分别交于A，B两点，点𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2)在C上，且𝑥1>𝑥2>0,𝑦1>0．过P且斜率为−√3的直线与过Q且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在𝐴𝐵上；

②𝑃𝑄∥𝐴𝐵；③|𝑀𝐴|=|𝑀𝐵|．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.22．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥e𝑎𝑥−e𝑥．(1)当𝑎=1时，讨论𝑓(𝑥)的单调性；(2)当𝑥>0时，𝑓(𝑥)<−1，求a的取值范围；(3)设𝑛

∈𝑁∗，证明：1√12:1+1√22:2+⋯+1√𝑛2:𝑛>ln(𝑛+1)．答案第1页，共16页参考答案：1．B【解析】【分析】求出集合𝐵后可求𝐴∩𝐵.【详解】𝐵=*𝑥|0≤𝑥≤2+，故𝐴∩𝐵=*1,2+，故选：B.2．D【解析】【分析】利用复数的乘法可求(

2+2i)(1−2i).【详解】(2+2i)(1−2i)=2+4−4i+2i=6−2i，故选：D.3．D【解析】【分析】设𝑂𝐷1=𝐷𝐶1=𝐶𝐵1=𝐵𝐴1=1，则可得关于𝑘3的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】设𝑂𝐷1=𝐷𝐶1=𝐶𝐵1=𝐵𝐴1=1，则𝐶𝐶1=𝑘1,𝐵𝐵1=𝑘2,𝐴𝐴1=𝑘3，依题意，有𝑘3−0.2=𝑘1,𝑘3−0.1=𝑘2，且𝐷𝐷1:𝐶𝐶1:𝐵𝐵1:𝐴𝐴1𝑂𝐷1:𝐷𝐶1:𝐶𝐵1

:𝐵𝐴1=0.725，所以0.5:3𝑘3;0.34=0.725，故𝑘3=0.9，故选：D4．C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】答案第2页，共16页解：𝑐⃗=(3+𝑡,4),cos〈𝑎⃗,𝑐⃗〉=cos〈�

�,𝑐⃗〉,即9:3𝑡:165|𝑐⃗|=3:𝑡|𝑐⃗|,解得𝑡=5,故选：C5．B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且

只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，故选：B6．C【解析】【分析】由两角和差的正

余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽−sin𝛼sin𝛽=2(cos𝛼−sin𝛼)sin𝛽,即：sin𝛼cos𝛽−cos𝛼sin𝛽+cos𝛼cos𝛽+sin𝛼s

in𝛽=0，即：sin(𝛼−𝛽)+cos(𝛼−𝛽)=0,所以tan(𝛼−𝛽)=−1,故选：C7．A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径𝑟1,𝑟2，再根据球心距，圆面半径

，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径𝑟1,𝑟2，所以2𝑟1=3√3sin60∘,2𝑟2=4√3sin60∘，即𝑟1=3,𝑟2=4，答案第3页，共16页设球心到上下底面的距离分别为𝑑1,

𝑑2，球的半径为𝑅，所以𝑑1=√𝑅2−9，𝑑2=√𝑅2−16，故|𝑑1−𝑑2|=1或𝑑1+𝑑2=1，即|√𝑅2−9−√𝑅2−16|=1或√𝑅2−9+√𝑅2−16=1，解得𝑅2=25符合题意，所以球的表

面积为𝑆=4π𝑅2=100π．故选：A．8．A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数𝑓(𝑥)的一个周期为6，求出函数一个周期中的𝑓(1),𝑓(2),⋯,𝑓(6)的值，即可解出．【详解】因

为𝑓(𝑥+𝑦)+𝑓(𝑥−𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)，令𝑥=1,𝑦=0可得，2𝑓(1)=𝑓(1)𝑓(0)，所以𝑓(0)=2，令𝑥=0可得，𝑓(𝑦)+𝑓(−𝑦)=2𝑓(𝑦)，即�

�(𝑦)=𝑓(−𝑦)，所以函数𝑓(𝑥)为偶函数，令𝑦=1得，𝑓(𝑥+1)+𝑓(𝑥−1)=𝑓(𝑥)𝑓(1)=𝑓(𝑥)，即有𝑓(𝑥+2)+𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+1)，从而可知𝑓(𝑥+2)=−𝑓(𝑥−1)，

𝑓(𝑥−1)=−𝑓(𝑥−4)，故𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥−4)，即𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+6)，所以函数𝑓(𝑥)的一个周期为6．因为𝑓(2)=𝑓(1)−𝑓(0)=1−2=−1，𝑓(3)=𝑓(2)−𝑓(1)=−1−1=−2，𝑓(4)=�

�(−2)=𝑓(2)=−1，𝑓(5)=𝑓(−1)=𝑓(1)=1，𝑓(6)=𝑓(0)=2，所以一个周期内的𝑓(1)+𝑓(2)+⋯+𝑓(6)=0．由于22除以6余4，所以∑𝑓(𝑘)22𝑘<1=𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)=1−1−2−1=−3．故选：A．

9．AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：𝑓.2π3/=sin.4π3+𝜑/=0，所以4π3+𝜑=𝑘π，𝑘∈𝑍，即𝜑=−4π3+𝑘π,𝑘∈𝑍，又0<𝜑<π，所以𝑘=2时，𝜑=2π3，故𝑓(𝑥)=sin.2𝑥+2π3/．

答案第4页，共16页对A，当𝑥∈.0,5π12/时，2𝑥+2π3∈.2π3,3π2/，由正弦函数𝑦=sin𝑢图象知𝑦=𝑓(𝑥)在.0,5π12/上是单调递减；对B，当𝑥∈.−π12,11π12/时，2𝑥+2π3∈.π2,5π2

/，由正弦函数𝑦=sin𝑢图象知𝑦=𝑓(𝑥)只有1个极值点，由2𝑥+2π3=3π2，解得𝑥=5π12，即𝑥=5π12为函数的唯一极值点；对C，当𝑥=7π6时，2𝑥+2π3=3π，𝑓(7π6)=0，直线𝑥=7π6不是对称轴；对D，由𝑦′=2cos.2𝑥+2π3

/=−1得：cos.2𝑥+2π3/=−12，解得2𝑥+2π3=2π3+2𝑘π或2𝑥+2π3=4π3+2𝑘π,𝑘∈𝑍,从而得：𝑥=𝑘π或𝑥=π3+𝑘π,𝑘∈𝑍,所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在点.0,√

32/处的切线斜率为𝑘=𝑦′|𝑥<0=2cos2π3=−1，切线方程为：𝑦−√32=−(𝑥−0)即𝑦=√32−𝑥．故选：AD．10．ACD【解析】【分析】由|𝐴𝐹|=|𝐴𝑀|及抛物线方程求得𝐴(3𝑝4,√6𝑝2)，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线𝐴𝐵的方

程，联立抛物线求得𝐵(𝑝3,−√6𝑝3)，即可求出|𝑂𝐵|判断B选项；由抛物线的定义求出|𝐴𝐵|=25𝑝12即可判断C选项；由𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑<0，𝑀𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

<0求得∠𝐴𝑂𝐵，∠𝐴𝑀𝐵为钝角即可判断D选项.【详解】答案第5页，共16页对于A，易得𝐹(𝑝2,0)，由|𝐴𝐹|=|𝐴𝑀|可得点𝐴在𝐹𝑀的垂直平分线上，则𝐴点横坐标为𝑝2:𝑝2=3𝑝4，代入抛物线可得𝑦2=2𝑝⋅3𝑝4=

32𝑝2，则𝐴(3𝑝4,√6𝑝2)，则直线𝐴𝐵的斜率为√6𝑝23𝑝4;𝑝2=2√6，A正确；对于B，由斜率为2√6可得直线𝐴𝐵的方程为𝑥=12√6𝑦+𝑝2，联立抛物线方程得𝑦2−1√6𝑝𝑦−𝑝2=

0，设𝐵(𝑥1,𝑦1)，则√62𝑝+𝑦1=√66𝑝，则𝑦1=−√6𝑝3，代入抛物线得.−√6𝑝3/2=2𝑝⋅𝑥1，解得𝑥1=𝑝3，则𝐵(𝑝3,−√6𝑝3)，则|𝑂𝐵|=√.𝑝3/2+.−√6𝑝3/

2=√7𝑝3≠|𝑂𝐹|=𝑝2，B错误；对于C，由抛物线定义知：|𝐴𝐵|=3𝑝4+𝑝3+𝑝=25𝑝12>2𝑝=4|𝑂𝐹|，C正确；对于D，𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑂𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3𝑝4,√6�

�2)⋅(𝑝3,−√6𝑝3)=3𝑝4⋅𝑝3+√6𝑝2⋅.−√6𝑝3/=−3𝑝24<0，则∠𝐴𝑂𝐵为钝角，又𝑀𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑀𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−𝑝4,√6𝑝2)⋅(−2𝑝3,−√6𝑝3)=−𝑝4⋅.−2𝑝3/

+√6𝑝2⋅.−√6𝑝3/=−5𝑝26<0，则∠𝐴𝑀𝐵为钝角，又∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐴𝑀𝐵+∠𝑂𝐴𝑀+∠𝑂𝐵𝑀=360∘，则∠𝑂𝐴𝑀+∠𝑂𝐵𝑀<180∘，D正确.故选：ACD.11．CD【解析】

【分析】直接由体积公式计算𝑉1,𝑉2，连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝑀，连接𝐸𝑀,𝐹𝑀，由𝑉3=𝑉𝐴;𝐸𝐹𝑀+𝑉𝐶;𝐸𝐹𝑀计算出𝑉3，依次判断选项即可.【详解】答案第6页，共16页设𝐴𝐵=𝐸𝐷=2𝐹𝐵=2�

�，因为𝐸𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐹𝐵∥𝐸𝐷，则𝑉1=13⋅𝐸𝐷⋅𝑆△𝐴𝐶𝐷=13⋅2𝑎⋅12⋅(2𝑎)2=43𝑎3，𝑉2=13⋅𝐹𝐵⋅𝑆△𝐴𝐵𝐶=13⋅𝑎⋅1

2⋅(2𝑎)2=23𝑎3，连接𝐵𝐷交𝐴𝐶于点𝑀，连接𝐸𝑀,𝐹𝑀，易得𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，又𝐸𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐴𝐶⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，则𝐸𝐷⊥𝐴𝐶，又𝐸𝐷∩𝐵𝐷=𝐷，𝐸𝐷,𝐵�

�⊂平面𝐵𝐷𝐸𝐹，则𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐷𝐸𝐹，又𝐵𝑀=𝐷𝑀=12𝐵𝐷=√2𝑎，过𝐹作𝐹𝐺⊥𝐷𝐸于𝐺，易得四边形𝐵𝐷𝐺𝐹为矩形，则𝐹𝐺=𝐵𝐷=2√2𝑎,𝐸𝐺=𝑎，则𝐸𝑀=

√(2𝑎)2+(√2𝑎)2=√6𝑎,𝐹𝑀=√𝑎2+(√2𝑎)2=√3𝑎，𝐸𝐹=√𝑎2+(2√2𝑎)2=3𝑎，𝐸𝑀2+𝐹𝑀2=𝐸𝐹2，则𝐸𝑀⊥𝐹𝑀，𝑆△𝐸𝐹𝑀=12𝐸𝑀⋅𝐹𝑀=3√22𝑎2，

𝐴𝐶=2√2𝑎，则𝑉3=𝑉𝐴;𝐸𝐹𝑀+𝑉𝐶;𝐸𝐹𝑀=13𝐴𝐶⋅𝑆△𝐸𝐹𝑀=2𝑎3，则2𝑉3=3𝑉1，𝑉3=3𝑉2，𝑉3=𝑉1+𝑉2，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.12．BC【解析】【

分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为𝑎𝑏≤.𝑎:𝑏2/2≤𝑎2:𝑏22（𝑎,𝑏∈R），由𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1可变形为，(𝑥+𝑦)2−1=3𝑥𝑦≤3.𝑥:𝑦2/2，解得−2≤𝑥

+𝑦≤2，当且仅当𝑥=𝑦=−1时，𝑥+𝑦=−2，当且仅当𝑥=𝑦=1时，𝑥+𝑦=2，所以A错误，B正确；由𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1可变形为(𝑥2+𝑦2)−1=𝑥𝑦≤𝑥2:𝑦22，解得𝑥2+𝑦2≤2，当且仅当𝑥=𝑦=±1时取等号，所

以C正确；答案第7页，共16页因为𝑥2+𝑦2−𝑥𝑦=1变形可得.𝑥−𝑦2/2+34𝑦2=1，设𝑥−𝑦2=cos𝜃,√32𝑦=sin𝜃，所以𝑥=cos𝜃+1√3sin𝜃,𝑦=2√3sin𝜃，因此𝑥2+𝑦2=cos2𝜃+53

sin2𝜃+2√3sin𝜃cos𝜃=1+1√3sin2𝜃−13cos2𝜃+13=43+23sin.2𝜃−π6/∈023,21，所以当𝑥=√33,𝑦=−√33时满足等式，但是𝑥2+𝑦2≥1不成立，所以D错误．故选：BC．13．0.14##750．

【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为𝑋∼𝑁(2,𝜎2)，所以𝑃(𝑋<2)=𝑃(𝑋>2)=0.5，因此𝑃(𝑋>2.5)=𝑃(𝑋>2)−𝑃(2<𝑋≤2.5)=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.1

4．14．013,321【解析】【分析】首先求出点𝐴关于𝑦=𝑎对称点𝐴′的坐标，即可得到直线𝑙的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：𝐴(−2,3)关于𝑦=𝑎对称的点的坐标为𝐴′(−2,2�

�−3)，𝐵(0,𝑎)在直线𝑦=𝑎上，所以𝐴′𝐵所在直线即为直线𝑙，所以直线𝑙为𝑦=𝑎;3;2𝑥+𝑎，即(𝑎−3)𝑥+2𝑦−2𝑎=0；圆𝐶:(𝑥+3)2+(𝑦+2)2=1，圆心𝐶(−

3,−2)，半径𝑟=1，依题意圆心到直线𝑙的距离𝑑=|;3(𝑎;3);4;2𝑎|√(𝑎;3)2:22≤1，即(5−5𝑎)2≤(𝑎−3)2+22，解得13≤𝑎≤32，即𝑎∈013,321；故答案为：013,321答案

第8页，共16页15．𝑥+√2𝑦−2√2=0【解析】【分析】令𝐴𝐵的中点为𝐸，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，利用点差法得到𝑘𝑂𝐸⋅𝑘𝐴𝐵=−12，设直线𝐴𝐵:𝑦=𝑘𝑥+𝑚，𝑘<0，𝑚>0，求出𝑀、𝑁的坐标，再根据|𝑀𝑁|求

出𝑘、𝑚，即可得解；【详解】解：令𝐴𝐵的中点为𝐸，因为|𝑀𝐴|=|𝑁𝐵|，所以|𝑀𝐸|=|𝑁𝐸|，设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则𝑥126+𝑦123=

1，𝑥226+𝑦223=1，所以𝑥126−𝑥226+𝑦123−𝑦223=0，即(𝑥1;𝑥2)(𝑥1:𝑥2)6+(𝑦1:𝑦2)(𝑦1;𝑦2)3=0所以(𝑦1:𝑦2)(𝑦1;𝑦2)(𝑥1;𝑥2)(𝑥1:𝑥2)=−12，即𝑘�

�𝐸⋅𝑘𝐴𝐵=−12，设直线𝐴𝐵:𝑦=𝑘𝑥+𝑚，𝑘<0，𝑚>0，令𝑥=0得𝑦=𝑚，令𝑦=0得𝑥=−𝑚𝑘，即𝑀.−𝑚𝑘,0/，𝑁(0,𝑚)，所以𝐸.−𝑚2𝑘,𝑚2/，即𝑘×𝑚2;𝑚2𝑘=−12，解得𝑘

=−√22或𝑘=√22（舍去），又|𝑀𝑁|=2√3，即|𝑀𝑁|=√𝑚2+(√2𝑚)2=2√3，解得𝑚=2或𝑚=−2（舍去），所以直线𝐴𝐵:𝑦=−√22𝑥+2，即𝑥+√2𝑦−2√2=0；故答案为：𝑥+√2

𝑦−2√2=016．𝑦=1e𝑥𝑦=−1e𝑥【解析】答案第9页，共16页【分析】分𝑥>0和𝑥<0两种情况，当𝑥>0时设切点为(𝑥0,ln𝑥0)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出𝑥0，即可求出切线方程，当

𝑥<0时同理可得；【详解】解：因为𝑦=ln|𝑥|，当𝑥>0时𝑦=ln𝑥，设切点为(𝑥0,ln𝑥0)，由𝑦′=1𝑥，所以𝑦′|𝑥<𝑥0=1𝑥0，所以切线方程为𝑦−ln𝑥0=1𝑥0(𝑥−𝑥0)，又切线过坐标原点，所以−ln𝑥

0=1𝑥0(−𝑥0)，解得𝑥0=e，所以切线方程为𝑦−1=1e(𝑥−e)，即𝑦=1e𝑥；当𝑥<0时𝑦=ln(−𝑥)，设切点为(𝑥1,ln(−𝑥1))，由𝑦′=1𝑥，所以𝑦′|𝑥

<𝑥1=1𝑥1，所以切线方程为𝑦−ln(−𝑥1)=1𝑥1(𝑥−𝑥1)，又切线过坐标原点，所以−ln(−𝑥1)=1𝑥1(−𝑥1)，解得𝑥1=−e，所以切线方程为𝑦−1=1;e(𝑥+e)，即𝑦=

−1e𝑥；故答案为：𝑦=1e𝑥；𝑦=−1e𝑥17．(1)证明见解析；(2)9．【解析】【分析】（1）设数列*𝑎𝑛+的公差为𝑑，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得𝑚=2𝑘;2，

即可解出．(1)设数列*𝑎𝑛+的公差为𝑑，所以，{𝑎1+𝑑−2𝑏1=𝑎1+2𝑑−4𝑏1𝑎1+𝑑−2𝑏1=8𝑏1−(𝑎1+3𝑑)，即可解得，𝑏1=𝑎1=𝑑2，所以原命题得证．(2)由（1）知，𝑏1=𝑎1=𝑑2，所以𝑏𝑘=𝑎𝑚+𝑎1⇔𝑏1

×2𝑘;1=𝑎1+(𝑚−1)𝑑+𝑎1，即2𝑘;1=2𝑚，答案第10页，共16页亦即𝑚=2𝑘;2∈,1,500-，解得2≤𝑘≤10，所以满足等式的解𝑘=2,3,4,⋯,10，故集合*𝑘|𝑏𝑘=𝑎𝑚+𝑎1,1≤𝑚≤500+中的元素个数为10−2+1=9．18．(1)

√28(2)12【解析】【分析】（1）先表示出𝑆1,𝑆2,𝑆3，再由𝑆1−𝑆2+𝑆3=√32求得𝑎2+𝑐2−𝑏2=2，结合余弦定理及平方关系求得𝑎𝑐，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得𝑏2sin2𝐵=𝑎𝑐sin

𝐴sin𝐶，即可求解.(1)由题意得𝑆1=12⋅𝑎2⋅√32=√34𝑎2,𝑆2=√34𝑏2,𝑆3=√34𝑐2，则𝑆1−𝑆2+𝑆3=√34𝑎2−√34𝑏2+√34𝑐2=√32，即𝑎2+�

�2−𝑏2=2，由余弦定理得cos𝐵=𝑎2:𝑐2;𝑏22𝑎𝑐，整理得𝑎𝑐cos𝐵=1，则cos𝐵>0，又sin𝐵=13，则cos𝐵=√1−.13/2=2√23，𝑎𝑐=1cos

𝐵=3√24，则𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=√28；(2)由正弦定理得：𝑏sin𝐵=𝑎sin𝐴=𝑐sin𝐶，则𝑏2sin2𝐵=𝑎sin𝐴⋅𝑐sin𝐶=𝑎𝑐sin𝐴sin𝐶=3√24√23=94，则𝑏sin𝐵=32，𝑏=

32sin𝐵=12.19．(1)47.9岁；(2)0.89；(3)0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设𝐴={一人患这种疾病的年龄在区间,20,70)}，根据对立事件的概率

公式𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴̅)即可解出；答案第11页，共16页（3）根据条件概率公式即可求出．(1)平均年龄𝑥̅=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×1

0=47.9（岁）．(2)设𝐴={一人患这种疾病的年龄在区间,20,70)}，所以𝑃(𝐴)=1−𝑃(𝐴̅)=1−(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1−0.11=0.89．(3)设𝐵=*任选一人年龄位于区间,4

0,50)+，𝐶=*任选一人患这种疾病+，则由条件概率公式可得𝑃(𝐶|𝐵)=𝑃(𝐵𝐶)𝑃(𝐵)=0.1%×0.023×1016%=0.001×0.230.16=0.0014375≈0.0014．20．(1)证明见解析(2)1113【解析】【分析】（1

）连接𝐵𝑂并延长交𝐴𝐶于点𝐷，连接𝑂𝐴、𝑃𝐷，根据三角形全等得到𝑂𝐴=𝑂𝐵，再根据直角三角形的性质得到𝐴𝑂=𝐷𝑂，即可得到𝑂为𝐵𝐷的中点从而得到𝑂𝐸//𝑃𝐷，即可得证；（2）过点𝐴作

𝐴𝑧//𝑂𝑃，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；(1)证明：连接𝐵𝑂并延长交𝐴𝐶于点𝐷，连接𝑂𝐴、𝑃𝐷，因为𝑃𝑂是三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的高

，所以𝑃𝑂⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐴𝑂,𝐵𝑂⊂平面𝐴𝐵𝐶，所以𝑃𝑂⊥𝐴𝑂、𝑃𝑂⊥𝐵𝑂，又𝑃𝐴=𝑃𝐵，所以△𝑃𝑂𝐴≅△𝑃𝑂𝐵，即𝑂𝐴=𝑂𝐵，所以∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐵𝐴，又𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，即∠𝐵𝐴𝐶=90°，所以∠𝑂�

�𝐵+∠𝑂𝐴𝐷=90°，∠𝑂𝐵𝐴+∠𝑂𝐷𝐴=90°，所以∠𝑂𝐷𝐴=∠𝑂𝐴𝐷所以𝐴𝑂=𝐷𝑂，即𝐴𝑂=𝐷𝑂=𝑂𝐵，所以𝑂为𝐵𝐷的中点，又𝐸为𝑃𝐵的中点，所以𝑂𝐸//𝑃𝐷，又𝑂

𝐸⊄平面𝑃𝐴𝐶，𝑃𝐷⊂平面𝑃𝐴𝐶，所以𝑂𝐸//平面𝑃𝐴𝐶答案第12页，共16页(2)解：过点𝐴作𝐴𝑧//𝑂𝑃，如图建立平面直角坐标系，因为𝑃𝑂=3，𝐴𝑃=5，所以�

�𝐴=√𝐴𝑃2−𝑃𝑂2=4，又∠𝑂𝐵𝐴=∠𝑂𝐵𝐶=30°，所以𝐵𝐷=2𝑂𝐴=8，则𝐴𝐷=4，𝐴𝐵=4√3，所以𝐴𝐶=12，所以𝑂(2√3,2,0)，𝐵(4√3,0,0)，𝑃(2√3,2,3)，𝐶(0,12,0)，所以𝐸.3√3,

1,32/，则𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑⃑=.3√3,1,32/，𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(4√3,0,0)，𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,12,0)，设平面𝐴𝐸𝐵的法向量为𝑛⃑⃑=(𝑥,𝑦,𝑧)，则{𝑛⃑⃑⋅𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3√3𝑥+𝑦+32𝑧=0𝑛⃑⃑⋅𝐴𝐵⃑

⃑⃑⃑⃑⃑=4√3𝑥=0，令𝑧=2，则𝑦=−3，𝑥=0，所以𝑛⃑⃑=(0,−3,2)；设平面𝐴𝐸𝐶的法向量为𝑚⃑⃑⃑=(𝑎,𝑏,𝑐)，则{𝑚⃑⃑⃑⋅𝐴𝐸⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3√3𝑎+𝑏+32𝑐=

0𝑚⃑⃑⃑⋅𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12𝑏=0，令𝑎=√3，则𝑐=−6，𝑏=0，所以𝑚⃑⃑⃑=(√3,0,−6)；所以cos⟨𝑛⃑⃑,𝑚⃑⃑⃑⟩=𝑛⃑⃑⋅𝑚⃑⃑⃑⃑|𝑛⃑⃑||𝑚⃑⃑⃑⃑|=;12√13×√39=−4√313答案第1

3页，共16页设二面角𝐶−𝐴𝐸−𝐵为𝜃，由图可知二面角𝐶−𝐴𝐸−𝐵为钝二面角，所以cos𝜃=−4√313，所以sin𝜃=√1−cos2𝜃=1113故二面角𝐶−𝐴𝐸−𝐵的正弦值为1113；21．(1)𝑥2−𝑦23=1(2

)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得𝑐的值，利用渐近线方程求得𝑎,𝑏的关系，进而利用𝑎,𝑏,𝑐的平方关系求得𝑎,𝑏的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线𝐴𝐵的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,

y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到𝑥0+𝑘𝑦0=8𝑘2𝑘2;3；由直线𝑃𝑀和𝑄𝑀的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率𝑚=3𝑥0𝑦0，由②𝑃𝑄//𝐴𝐵等价

转化为𝑘𝑦0=3𝑥0，由①𝑀在直线𝐴𝐵上等价于𝑘𝑦0=𝑘2(𝑥0−2)，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为𝐹(2,0)，∴𝑐=2,∵渐近线方程为𝑦=±√3𝑥，∴𝑏𝑎=√3，∴𝑏=√3𝑎，∴�

�2=𝑎2+𝑏2=4𝑎2=4，∴𝑎=1，∴𝑏=√3．∴C的方程为：𝑥2−𝑦23=1；(2)由已知得直线𝑃𝑄的斜率存在且不为零，直线𝐴𝐵的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直

线𝐴𝐵的斜率存在且不为零；若选①③推②，则𝑀为线段𝐴𝐵的中点，假若直线𝐴𝐵的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知𝑀在𝑥轴上，即为焦点𝐹,此时由对称性可知𝑃、𝑄关于𝑥轴对称，与从而𝑥1=𝑥2，已知不符；总之，直线𝐴𝐵的斜率存在且不为零.设直线�

�𝐵的斜率为𝑘,直线𝐴𝐵方程为𝑦=𝑘(𝑥−2),则条件①𝑀在𝐴𝐵上，等价于𝑦0=𝑘(𝑥0−2)⇔𝑘𝑦0=𝑘2(𝑥0−2)；两渐近线的方程合并为3𝑥2−𝑦2=0,答案第14页，共16页联立消去y

并化简整理得：(𝑘2−3)𝑥2−4𝑘2𝑥+4𝑘2=0设𝐴(𝑥3,𝑦3),𝐵(𝑥3,𝑦4),线段中点为𝑁(𝑥𝑁,𝑦𝑁),则𝑥𝑁=𝑥3:𝑥42=2𝑘2𝑘2;3,𝑦𝑁=𝑘(𝑥𝑁−2)=6𝑘�

�2;3,设𝑀(𝑥0,𝑦0),则条件③|𝐴𝑀|=|𝐵𝑀|等价于(𝑥0−𝑥3)2+(𝑦0−𝑦3)2=(𝑥0−𝑥4)2+(𝑦0−𝑦4)2,移项并利用平方差公式整理得：(𝑥3−𝑥4),2𝑥0−(𝑥3+𝑥4)-+(𝑦3−𝑦4),

2𝑦0−(𝑦3+𝑦4)-=0，,2𝑥0−(𝑥3+𝑥4)-+𝑦3;𝑦4𝑥3;𝑥4,2𝑦0−(𝑦3+𝑦4)-=0,即𝑥0−𝑥𝑁+𝑘(𝑦0−𝑦𝑁)=0,即𝑥0+𝑘𝑦0=8𝑘2𝑘2;3；由题意知直线𝑃𝑀的斜率为−√3,直线𝑄

𝑀的斜率为√3,∴由𝑦1−𝑦0=−√3(𝑥1−𝑥0),𝑦2−𝑦0=√3(𝑥2−𝑥0),∴𝑦1−𝑦2=−√3(𝑥1+𝑥2−2𝑥0),所以直线𝑃𝑄的斜率𝑚=𝑦1;𝑦2𝑥1;𝑥

2=−√3(𝑥1:𝑥2;2𝑥0)𝑥1;𝑥2,直线𝑃𝑀:𝑦=−√3(𝑥−𝑥0)+𝑦0,即𝑦=𝑦0+√3𝑥0−√3𝑥,代入双曲线的方程3𝑥2−𝑦2−3=0,即(√3𝑥+𝑦)(√3𝑥−𝑦)=3中，得：(𝑦0+√3𝑥0)[2√3𝑥−(𝑦0+√

3𝑥0)]=3,解得𝑃的横坐标：𝑥1=12√3.3𝑦0:√3𝑥0+𝑦0+√3𝑥0/,同理：𝑥2=−12√3.3𝑦0;√3𝑥0+𝑦0−√3𝑥0/，∴𝑥1−𝑥2=1√3.3𝑦0𝑦02;3𝑥02+𝑦0/,𝑥1+𝑥2−2𝑥0=−3𝑥0�

�02;3𝑥02−𝑥0,∴𝑚=3𝑥0𝑦0,∴条件②𝑃𝑄//𝐴𝐵等价于𝑚=𝑘⇔𝑘𝑦0=3𝑥0，综上所述：条件①𝑀在𝐴𝐵上，等价于𝑘𝑦0=𝑘2(𝑥0−2)；条件②𝑃𝑄//𝐴𝐵等价

于𝑘𝑦0=3𝑥0；条件③|𝐴𝑀|=|𝐵𝑀|等价于𝑥0+𝑘𝑦0=8𝑘2𝑘2;3；选①②推③:由①②解得：𝑥0=2𝑘2𝑘2;3,∴𝑥0+𝑘𝑦0=4𝑥0=8𝑘2𝑘2;3,∴③成立；答案第15页，共16页选

①③推②：由①③解得：𝑥0=2𝑘2𝑘2;3，𝑘𝑦0=6𝑘2𝑘2;3，∴𝑘𝑦0=3𝑥0，∴②成立；选②③推①：由②③解得：𝑥0=2𝑘2𝑘2;3，𝑘𝑦0=6𝑘2𝑘2;3，∴𝑥0−

2=6𝑘2;3，∴𝑘𝑦0=𝑘2(𝑥0−2)，∴①成立.22．(1)𝑓(𝑥)的减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞).(2)𝑎≤12(3)见解析【解析】【分析】（1）求出𝑓′(𝑥)，讨论其符号后可

得𝑓(𝑥)的单调性.（2）设𝑕(𝑥)=𝑥e𝑎𝑥−e𝑥+1，求出𝑕″(𝑥)，先讨论𝑎>12时题设中的不等式不成立，再就0<𝑎≤12结合放缩法讨论𝑕′(𝑥)符号，最后就𝑎≤0结合

放缩法讨论𝑕(𝑥)的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得2ln𝑡<𝑡−1𝑡对任意的𝑡>1恒成立，从而可得ln(𝑛+1)−ln𝑛<1√𝑛2:𝑛对任意的𝑛∈𝑁∗恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等

式.(1)当𝑎=1时，𝑓(𝑥)=(𝑥−1)e𝑥，则𝑓′(𝑥)=𝑥e𝑥，当𝑥<0时，𝑓′(𝑥)<0，当𝑥>0时，𝑓′(𝑥)>0，故𝑓(𝑥)的减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞).(2)设𝑕(𝑥)=𝑥e𝑎𝑥−e𝑥+1，则𝑕(0)=0，又𝑕′

(𝑥)=(1+𝑎𝑥)e𝑎𝑥−e𝑥，设𝑔(𝑥)=(1+𝑎𝑥)e𝑎𝑥−e𝑥，则𝑔′(𝑥)=(2𝑎+𝑎2𝑥)e𝑎𝑥−e𝑥，若𝑎>12，则𝑔′(0)=2𝑎−1>0，因为𝑔′(𝑥)为连续不间断函数，答案第16页

，共16页故存在𝑥0∈(0,+∞)，使得∀𝑥∈(0,𝑥0)，总有𝑔′(𝑥)>0，故𝑔(𝑥)在(0,𝑥0)为增函数，故𝑔(𝑥)>𝑔(0)=0，故𝑕(𝑥)在(0,𝑥0)为增函数，故𝑕(𝑥)>𝑕(0)=−1，

与题设矛盾.若0<𝑎≤12，则𝑕′(𝑥)=(1+𝑎𝑥)e𝑎𝑥−e𝑥=e𝑎𝑥:ln(1:𝑎𝑥)−e𝑥，下证：对任意𝑥>0，总有ln(1+𝑥)<𝑥成立，证明：设𝑆(𝑥)=ln(1+𝑥)−𝑥，故𝑆′(𝑥)=11:𝑥−1=;𝑥1:𝑥<0，故𝑆(𝑥)在(

0,+∞)上为减函数，故𝑆(𝑥)<𝑆(0)=0即ln(1+𝑥)<𝑥成立.由上述不等式有e𝑎𝑥:ln(1:𝑎𝑥)−e𝑥<e𝑎𝑥:𝑎𝑥−e𝑥=e2𝑎𝑥−e𝑥≤0，故𝑕′(𝑥)≤0总成立，即𝑕(𝑥)在

(0,+∞)上为减函数，所以𝑕(𝑥)<𝑕(0)=−1.当𝑎≤0时，有𝑕′(𝑥)=e𝑎𝑥−e𝑥+𝑎𝑥e𝑎𝑥<1−1+0=0，所以𝑕(𝑥)在(0,+∞)上为减函数，所以𝑕(𝑥)<𝑕(0)=−1.综上，𝑎≤12.(3)取𝑎=12，

则∀𝑥>0，总有𝑥e12𝑥−e𝑥+1<0成立，令𝑡=e12𝑥，则𝑡>1,𝑡2=e𝑥,𝑥=2ln𝑡，故2𝑡ln𝑡<𝑡2−1即2ln𝑡<𝑡−1𝑡对任意的𝑡>1恒成立.所以对任意的𝑛∈𝑁∗，有2ln√𝑛:1𝑛<√𝑛:1𝑛−√𝑛𝑛:1，整理得到：l

n(𝑛+1)−ln𝑛<1√𝑛2:𝑛，故1√12:1+1√22:2+⋯+1√𝑛2:𝑛>ln2−ln1+ln3−ln2+⋯+ln(𝑛+1)−ln𝑛=ln(𝑛+1)，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导

数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.