【文档说明】2022全国高考甲卷数学（文科）试题及答案.docx，共(19)页，819.309 KB，由baby熊上传

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试卷第1页，共5页2022年全国高考甲卷数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合𝐴=*−2,−1,0,1,2+,𝐵=2𝑥∣0

≤𝑥<523，则𝐴∩𝐵=（）A．*0,1,2+B．*−2,−1,0+C．*0,1+D．*1,2+2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各

回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于

讲座前正确率的极差3．若𝑧=1+i．则|i𝑧+3𝑧̅|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√24．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）试卷第2页，共5页

A．8B．12C．16D．205．将函数𝑓(𝑥)=sin.𝜔𝑥+π3/(𝜔>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则𝜔的最小值是（）A．16B．14C．13D．126．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机

抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）A．15B．13C．25D．237．函数𝑦=(3𝑥−3;𝑥)cos𝑥在区间0−π2,π21的图象大致为（）A．B．C．D．8．当𝑥=1时，函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥+𝑏𝑥取得最大值−2，则𝑓′(2)=（）

A．−1B．−12C．12D．1试卷第3页，共5页9．在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，已知𝐵1𝐷与平面𝐴𝐵𝐶𝐷和平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵所成的角均为30°，则（）A．𝐴𝐵=2𝐴𝐷

B．AB与平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷所成的角为30°C．𝐴𝐶=𝐶𝐵1D．𝐵1𝐷与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶所成的角为45°10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为𝑆甲和𝑆乙，

体积分别为𝑉甲和𝑉乙．若𝑆甲𝑆乙=2，则𝑉甲𝑉乙=（）A．√5B．2√2C．√10D．5√10411．已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为13，𝐴1,𝐴2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若𝐵𝐴1→⋅𝐵𝐴2→=−

1，则C的方程为（）A．𝑥218+𝑦216=1B．𝑥29+𝑦28=1C．𝑥23+𝑦22=1D．𝑥22+𝑦2=112．已知9𝑚=10,𝑎=10𝑚−11,𝑏=8𝑚−9，则（）A．𝑎>0>𝑏B．�

�>𝑏>0C．𝑏>𝑎>0D．𝑏>0>𝑎二、填空题13．已知向量𝑎⃑=(𝑚,3),𝑏⃑⃑=(1,𝑚+1)．若𝑎⃑⊥𝑏⃑⃑，则𝑚=______________．14．设点M在直线2𝑥+𝑦−1=0上，点(3

,0)和(0,1)均在⊙𝑀上，则⊙𝑀的方程为______________．15．记双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离心率为e，写出满足条件“直线𝑦=2𝑥与C无公共点”的e的一个值______________．16．已知△𝐴𝐵𝐶中，点D在边BC上，∠�

�𝐷𝐵=120°,𝐴𝐷=2,𝐶𝐷=2𝐵𝐷．当𝐴𝐶𝐴𝐵取得最小值时，𝐵𝐷=________．三、解答题17．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次

数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；试卷第4页，共5页(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司

有关？附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑;𝑏𝑐)2(𝑎:𝑏)(𝑐:𝑑)(𝑎:𝑐)(𝑏:𝑑)，𝑃(𝐾2⩾𝑘)0.1000.0500.010𝑘2.7063.8416.63518．记𝑆𝑛为数列*𝑎𝑛+的前n项和．已知2𝑆𝑛𝑛+𝑛=2𝑎𝑛+1．

(1)证明：*𝑎𝑛+是等差数列；(2)若𝑎4,𝑎7,𝑎9成等比数列，求𝑆𝑛的最小值．19．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为8（单位：cm）的正方形，△𝐸𝐴𝐵,△𝐹𝐵

𝐶,△𝐺𝐶𝐷,△𝐻𝐷𝐴均为正三角形，且它们所在的平面都与平面𝐴𝐵𝐶𝐷垂直．(1)证明：𝐸𝐹//平面𝐴𝐵𝐶𝐷；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．已知函数𝑓(𝑥)

=𝑥3−𝑥,𝑔(𝑥)=𝑥2+𝑎，曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥1,𝑓(𝑥1))处的切线也是曲线𝑦=𝑔(𝑥)的切线．(1)若𝑥1=−1，求a；(2)求a的取值范围．21．设抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为F，点𝐷(𝑝,

0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|𝑀𝐹|=3．(1)求C的方程；(2)设直线𝑀𝐷,𝑁𝐷与C的另一个交点分别为A，B，记直线𝑀𝑁,𝐴𝐵的倾斜角分别为𝛼,𝛽．当𝛼−𝛽取得最大值时，求直线AB的方程．试卷第5页，共5页22．在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中

，曲线𝐶1的参数方程为{𝑥=2:𝑡6𝑦=√𝑡（t为参数），曲线𝐶2的参数方程为{𝑥=−2:𝑠6𝑦=−√𝑠（s为参数）．(1)写出𝐶1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶3的极坐标方程为2cos𝜃−sin𝜃=0，求𝐶3与

𝐶1交点的直角坐标，及𝐶3与𝐶2交点的直角坐标．23．已知a，b，c均为正数，且𝑎2+𝑏2+4𝑐2=3，证明：(1)𝑎+𝑏+2𝑐≤3；(2)若𝑏=2𝑐，则1𝑎+1𝑐≥3．答案第1页，共14页参考答案：1．A【解析

】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为𝐴=*−2,−1,0,1,2+，𝐵=2𝑥∣0≤𝑥<523，所以𝐴∩𝐵=*0,1,2+．故选：A.2．B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差

的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%:75%2>70%,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座

前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%−80%=20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%−60%=35%>20%,所以D错.故选:B.3．D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的

概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为𝑧=1+i，所以i𝑧+3𝑧̅=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|i𝑧+3𝑧̅|=√4+4=2√2．故选：D.4．B答案第2页，共14页【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图

还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积𝑉=2:42×2×2=12.故选：B.5．C【解析】【分析】先由平移求出曲线𝐶的解析式，再结合对称性得𝜔𝜋2+𝜋3=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝐙，即可求出�

�的最小值.【详解】由题意知：曲线𝐶为𝑦=sin0𝜔.𝑥+𝜋2/+𝜋31=sin(𝜔𝑥+𝜔𝜋2+𝜋3)，又𝐶关于𝑦轴对称，则𝜔𝜋2+𝜋3=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝐙，解得𝜔=13+2𝑘,𝑘∈𝐙

，又𝜔>0，故当𝑘=0时，𝜔的最小值为13.故选：C.6．C【解析】【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5

),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种答案第3页，共14页情况，其中数字之积为4的倍数的有(1,4),

(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为615=25.故选：C.7．A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令𝑓(𝑥)=(3𝑥−3;𝑥)cos𝑥,𝑥∈,−𝜋2,�

�2-，则𝑓(−𝑥)=(3;𝑥−3𝑥)cos(−𝑥)=−(3𝑥−3;𝑥)cos𝑥=−𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)为奇函数，排除BD；又当𝑥∈(0,𝜋2)时，3𝑥−3;𝑥>0,cos𝑥>0，所以𝑓(𝑥)>0，排除C.故选：A.8．B【解析】【分析】根

据题意可知𝑓(1)=−2，𝑓′(1)=0即可解得𝑎,𝑏，再根据𝑓′(𝑥)即可解出．【详解】因为函数𝑓(𝑥)定义域为(0,+∞)，所以依题可知，𝑓(1)=−2，𝑓′(1)=0，而𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥−𝑏𝑥2，所以𝑏=−2,𝑎−𝑏=0，即𝑎

=−2,𝑏=−2，所以𝑓′(𝑥)=−2𝑥+2𝑥2，因此函数𝑓(𝑥)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，𝑥=1时取最大值，满足题意，即有𝑓′(2)=−1+12=−12．故选：B.9．D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征

即可求出．【详解】如图所示：答案第4页，共14页不妨设𝐴𝐵=𝑎,𝐴𝐷=𝑏,𝐴𝐴1=𝑐，依题以及长方体的结构特征可知，𝐵1𝐷与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成角为∠𝐵1𝐷𝐵，𝐵1𝐷与平面𝐴𝐴1𝐵1𝐵所成角为∠𝐷𝐵1𝐴，所以sin30∘=𝑐𝐵1𝐷=�

�𝐵1𝐷，即𝑏=𝑐，𝐵1𝐷=2𝑐=√𝑎2+𝑏2+𝑐2，解得𝑎=√2𝑐．对于A，𝐴𝐵=𝑎，𝐴𝐷=𝑏，𝐴𝐵=√2𝐴𝐷，A错误；对于B，过𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐵

1于𝐸，易知𝐵𝐸⊥平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷，所以𝐴𝐵与平面𝐴𝐵1𝐶1𝐷所成角为∠𝐵𝐴𝐸，因为tan∠𝐵𝐴𝐸=𝑐𝑎=√22，所以∠𝐵𝐴𝐸≠30∘，B错误；对于C，𝐴𝐶=√𝑎2+𝑏2=√3𝑐，𝐶𝐵1=√𝑏2+𝑐2=√2𝑐，𝐴�

�≠𝐶𝐵1，C错误；对于D，𝐵1𝐷与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶所成角为∠𝐷𝐵1𝐶，sin∠𝐷𝐵1𝐶=𝐶𝐷𝐵1𝐷=𝑎2𝑐=√22，而0<∠𝐷𝐵1𝐶<90∘，所以∠𝐷𝐵1𝐶

=45∘．D正确．故选：D．10．C【解析】【分析】设母线长为𝑙，甲圆锥底面半径为𝑟1，乙圆锥底面圆半径为𝑟2，根据圆锥的侧面积公式可得𝑟1=2𝑟2，再结合圆心角之和可将𝑟1,𝑟2分别用𝑙表示，再利用勾股定理分别求出两圆

锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为𝑙，甲圆锥底面半径为𝑟1，乙圆锥底面圆半径为𝑟2，则𝑆甲𝑆乙=𝜋𝑟1𝑙𝜋𝑟2𝑙=𝑟1𝑟2=2，所以𝑟1=2𝑟2，又2𝜋𝑟1𝑙+2𝜋𝑟2𝑙=2𝜋，答案第5页，共14页则

𝑟1:𝑟2𝑙=1，所以𝑟1=23𝑙,𝑟2=13𝑙，所以甲圆锥的高𝑕1=√𝑙2−49𝑙2=√53𝑙，乙圆锥的高𝑕2=√𝑙2−19𝑙2=2√23𝑙，所以𝑉甲𝑉乙=13𝜋𝑟12ℎ113𝜋𝑟22ℎ2=49𝑙2×√53𝑙

19𝑙2×2√23𝑙=√10.故选：C.11．B【解析】【分析】根据离心率及𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1，解得关于𝑎2,𝑏2的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率𝑒

=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2=13，解得𝑏2𝑎2=89，𝑏2=89𝑎2，𝐴1,𝐴2分别为C的左右顶点，则𝐴1(−𝑎,0),𝐴2(𝑎,0)，B为上顶点，所以𝐵(0,𝑏).所以𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−𝑎,−𝑏),𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑

⃑⃑=(𝑎,−𝑏)，因为𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1所以−𝑎2+𝑏2=−1，将𝑏2=89𝑎2代入，解得𝑎2=9,𝑏2=8，故椭圆的方程为𝑥29+𝑦28=

1.故选：B.12．A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知𝑚=log910>1，再利用基本不等式，换底公式可得𝑚>lg11，log89>𝑚，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由9𝑚=10可得𝑚=log910=lg10lg9>1，而lg9lg11<.lg

9:lg112/2=.lg992/2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即𝑚>lg11，所以𝑎=10𝑚−11>10lg11−11=0．答案第6页，共14页又lg8lg10<.lg8:lg102/2=.lg8

02/2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log89>𝑚，所以𝑏=8𝑚−9<8log89−9=0．综上，𝑎>0>𝑏．故选：A.13．−34##−0.75【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：𝑎⃑⋅𝑏⃑⃑=𝑚+3(𝑚+

1)=0，解得𝑚=−34.故答案为：−34.14．(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙𝑀上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M在直线2𝑥+𝑦−1=0上，∴设点M为(�

�,1−2𝑎)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙𝑀上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴√(𝑎−3)2+(1−2𝑎)2=√𝑎2+(−2𝑎)2=𝑅，𝑎2−6𝑎+9+4𝑎2−4𝑎+1=5𝑎2，解得𝑎=1

，∴𝑀(1,−1)，𝑅=√5，⊙𝑀的方程为(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=5.故答案为：(𝑥−1)2+(𝑦+1)2=515．2（满足1<𝑒≤√5皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线𝑦=±𝑏𝑎𝑥中0<𝑏𝑎≤2即可求得满足要求的e值.【详解】答

案第7页，共14页解：𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)，所以C的渐近线方程为𝑦=±𝑏𝑎𝑥,结合渐近线的特点，只需0<𝑏𝑎≤2，即𝑏2𝑎2≤4，可满足条件“直线𝑦=2𝑥与C无公共点”所以𝑒=𝑐𝑎=√1+𝑏2𝑎2≤√1+4=√5，又

因为𝑒>1，所以1<𝑒≤√5，故答案为：2（满足1<𝑒≤√5皆可）16．√3−1##−1+√3【解析】【分析】设𝐶𝐷=2𝐵𝐷=2𝑚>0，利用余弦定理表示出𝐴𝐶2𝐴𝐵2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设𝐶𝐷=2𝐵𝐷

=2𝑚>0，则在△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵2=𝐵𝐷2+𝐴𝐷2−2𝐵𝐷⋅𝐴𝐷cos∠𝐴𝐷𝐵=𝑚2+4+2𝑚，在△𝐴𝐶𝐷中，𝐴𝐶2=𝐶𝐷2+𝐴𝐷2−2𝐶𝐷⋅𝐴𝐷cos∠𝐴𝐷𝐶=4𝑚2+4−4𝑚，所以𝐴𝐶2𝐴𝐵2=4𝑚2:4

;4𝑚𝑚2:4:2𝑚=4(𝑚2:4:2𝑚);12(1:𝑚)𝑚2:4:2𝑚=4−12(𝑚:1):3𝑚:1≥4−122√(𝑚:1)⋅3𝑚:1=4−2√3，当且仅当𝑚+1=3𝑚:1即𝑚=√3

−1时，等号成立，所以当𝐴𝐶𝐴𝐵取最小值时，𝑚=√3−1.故答案为：√3−1.17．(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为1213，78(2)有答案第8页，共14页【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算

𝐾2，再利用临界值表比较即可得结论.(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则𝑃(𝑀)=240260=1213；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则𝑃(𝑁)=210240

=78.A家公司长途客车准点的概率为1213；B家公司长途客车准点的概率为78.(2)列联表准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏

)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=500×(240×30;210×20)2260×240×450×50≈3.205>2.706，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18．(1)证明见解析；(2)−78

．答案第9页，共14页【解析】【分析】（1）依题意可得2𝑆𝑛+𝑛2=2𝑛𝑎𝑛+𝑛，根据𝑎𝑛={𝑆1,𝑛=1𝑆𝑛−𝑆𝑛;1,𝑛≥2，作差即可得到𝑎𝑛−𝑎𝑛;1=1，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出𝑎1，即可得到*𝑎𝑛+的通项公式与前

𝑛项和，再根据二次函数的性质计算可得．(1)解：因为2𝑆𝑛𝑛+𝑛=2𝑎𝑛+1，即2𝑆𝑛+𝑛2=2𝑛𝑎𝑛+𝑛①，当𝑛≥2时，2𝑆𝑛;1+(𝑛−1)2=2(𝑛−1)𝑎𝑛;1+(𝑛−1)②，①−②

得，2𝑆𝑛+𝑛2−2𝑆𝑛;1−(𝑛−1)2=2𝑛𝑎𝑛+𝑛−2(𝑛−1)𝑎𝑛;1−(𝑛−1)，即2𝑎𝑛+2𝑛−1=2𝑛𝑎𝑛−2(𝑛−1)𝑎𝑛;1+1，即2(𝑛−1)𝑎𝑛−2(𝑛−1)𝑎𝑛;1=2(𝑛−1)，所以𝑎𝑛−𝑎𝑛;1=1，

𝑛≥2且𝑛∈N*，所以*𝑎𝑛+是以1为公差的等差数列．(2)解：由（1）可得𝑎4=𝑎1+3，𝑎7=𝑎1+6，𝑎9=𝑎1+8，又𝑎4，𝑎7，𝑎9成等比数列，所以𝑎72=𝑎4⋅𝑎9，即(𝑎1+6)2=(𝑎1+3)⋅(𝑎1+8)，解得𝑎1=−12，所以𝑎𝑛

=𝑛−13，所以𝑆𝑛=−12𝑛+𝑛(𝑛;1)2=12𝑛2−252𝑛=12.𝑛−252/2−6258，所以，当𝑛=12或𝑛=13时(𝑆𝑛)min=−78．19．(1)证明见解析；(2)6403√3．【解析】【

分析】（1）分别取𝐴𝐵,𝐵𝐶的中点𝑀,𝑁，连接𝑀𝑁，由平面知识可知𝐸𝑀⊥𝐴𝐵,𝐹𝑁⊥𝐵𝐶，𝐸𝑀=𝐹𝑁，依题从而可证𝐸𝑀⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐹𝑁⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，根据线面

垂直的性质定理可知𝐸𝑀//𝐹𝑁，即可知四边形𝐸𝑀𝑁𝐹为平行四边形，于是𝐸𝐹//𝑀𝑁，最后根据线面平行的判定定理即可证出；（2）再分别取𝐴𝐷,𝐷𝐶中点𝐾,𝐿，由（1）知，该几何体的体积等于长方体𝐾𝑀𝑁𝐿−𝐸𝐹𝐺𝐻的体积加上四棱锥𝐵−𝑀�

�𝐹𝐸体积的4倍，即可解出．答案第10页，共14页(1)如图所示：，分别取𝐴𝐵,𝐵𝐶的中点𝑀,𝑁，连接𝑀𝑁，因为△𝐸𝐴𝐵,△𝐹𝐵𝐶为全等的正三角形，所以𝐸𝑀⊥𝐴𝐵,𝐹𝑁⊥𝐵𝐶，𝐸𝑀=�

�𝑁，又平面𝐸𝐴𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，平面𝐸𝐴𝐵∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐵，𝐸𝑀⊂平面𝐸𝐴𝐵，所以𝐸𝑀⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，同理可得𝐹𝑁⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，根据线面垂直的性质定理可知𝐸𝑀//𝐹𝑁，而𝐸𝑀=𝐹𝑁，所以四边形𝐸

𝑀𝑁𝐹为平行四边形，所以𝐸𝐹//𝑀𝑁，又𝐸𝐹⊄平面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝑀𝑁⊂平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝐸𝐹//平面𝐴𝐵𝐶𝐷．(2)如图所示：，分别取𝐴𝐷,𝐷𝐶中点𝐾,𝐿，由（1）知

，𝐸𝐹//𝑀𝑁且𝐸𝐹=𝑀𝑁，同理有，𝐻𝐸//𝐾𝑀,𝐻𝐸=𝐾𝑀，𝐻𝐺//𝐾𝐿,𝐻𝐺=𝐾𝐿，𝐺𝐹//𝐿𝑁,𝐺𝐹=𝐿𝑁，由平面知识可知，𝐵𝐷⊥𝑀𝑁，𝑀𝑁⊥𝑀�

�，𝐾𝑀=𝑀𝑁=𝑁𝐿=𝐿𝐾，所以该几何体的体积等于长方体𝐾𝑀𝑁𝐿−𝐸𝐹𝐺𝐻的体积加上四棱锥𝐵−𝑀𝑁𝐹𝐸体积的4倍．因为𝑀𝑁=𝑁𝐿=𝐿𝐾=𝐾𝑀=4√2，𝐸𝑀=8sin60∘=4√3，点𝐵到平面𝑀𝑁

𝐹𝐸的距离即为点𝐵到直线𝑀𝑁的距离𝑑，𝑑=2√2，所以该几何体的体积𝑉=(4√2)2×4√3+4×13×4√2×答案第11页，共14页4√3×2√2=128√3+2563√3=6403√3．20．(1)3(2),−1,+∞)

【解析】【分析】（1）先由𝑓(𝑥)上的切点求出切线方程，设出𝑔(𝑥)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出𝑎即可；（2）设出𝑔(𝑥)上的切点坐标，分别由𝑓(𝑥)和𝑔(𝑥)及切点表示出切线方程，由

切线重合表示出𝑎，构造函数，求导求出函数值域，即可求得𝑎的取值范围.(1)由题意知，𝑓(−1)=−1−(−1)=0，𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1，𝑓′(−1)=3−1=2，则𝑦=𝑓(𝑥)在点(−1,0)处的切线方程为𝑦=2(𝑥+1)，即𝑦=2𝑥+2，设该切线与𝑔(𝑥

)切于点(𝑥2,𝑔(𝑥2))，𝑔′(𝑥)=2𝑥，则𝑔′(𝑥2)=2𝑥2=2，解得𝑥2=1，则𝑔(1)=1+𝑎=2+2，解得𝑎=3；(2)𝑓′(𝑥)=3𝑥2−1，则𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑥

1,𝑓(𝑥1))处的切线方程为𝑦−(𝑥13−𝑥1)=(3𝑥12−1)(𝑥−𝑥1)，整理得𝑦=(3𝑥12−1)𝑥−2𝑥13，设该切线与𝑔(𝑥)切于点(𝑥2,𝑔(𝑥2))，𝑔′(𝑥)=2𝑥，则𝑔′(𝑥2)=2𝑥2

，则切线方程为𝑦−(𝑥22+𝑎)=2𝑥2(𝑥−𝑥2)，整理得𝑦=2𝑥2𝑥−𝑥22+𝑎，则{3𝑥12−1=2𝑥2−2𝑥13=−𝑥22+𝑎，整理得𝑎=𝑥22−2𝑥13=.3𝑥122−12/2−2𝑥13=94𝑥14−2𝑥13

−32𝑥12+14，令𝑕(𝑥)=94𝑥4−2𝑥3−32𝑥2+14，则𝑕′(𝑥)=9𝑥3−6𝑥2−3𝑥=3𝑥(3𝑥+1)(𝑥−1)，令𝑕′(𝑥)>0，解得−13<𝑥<0或

𝑥>1，令𝑕′(𝑥)<0，解得𝑥<−13或0<𝑥<1，则𝑥变化时，𝑕′(𝑥),𝑕(𝑥)的变化情况如下表：𝑥(−∞,−13)−13(−13,0)0(0,1)1(1,+∞)𝑕′(𝑥)−0+0−0+𝑕(𝑥)↘527↗14↘−1↗答案第12页，共14页则𝑕(�

�)的值域为,−1,+∞)，故𝑎的取值范围为,−1,+∞).21．(1)𝑦2=4𝑥；(2)𝐴𝐵:𝑥=√2𝑦+4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得|𝑀𝐹|=𝑝+𝑝2，即可得解；（2）设点的坐标及直

线𝑀𝑁:𝑥=𝑚𝑦+1，由韦达定理及斜率公式可得𝑘𝑀𝑁=2𝑘𝐴𝐵，再由差角的正切公式及基本不等式可得𝑘𝐴𝐵=√22，设直线𝐴𝐵:𝑥=√2𝑦+𝑛，结合韦达定理可解.(1)抛物线的准线为𝑥=−𝑝2，当𝑀𝐷与x轴垂直时，点M的横坐标为p，此时|𝑀𝐹

|=𝑝+𝑝2=3，所以𝑝=2，所以抛物线C的方程为𝑦2=4𝑥；(2)设𝑀(𝑦124,𝑦1),𝑁(𝑦224,𝑦2),𝐴(𝑦324,𝑦3),𝐵(𝑦424,𝑦4)，直线𝑀𝑁:𝑥=𝑚𝑦+1，由*𝑥=𝑚𝑦+1𝑦2=4𝑥可得𝑦

2−4𝑚𝑦−4=0，Δ>0,𝑦1𝑦2=−4，由斜率公式可得𝑘𝑀𝑁=𝑦1;𝑦2𝑦124;𝑦224=4𝑦1:𝑦2，𝑘𝐴𝐵=𝑦3;𝑦4𝑦324;𝑦424=4𝑦3:𝑦4，直线𝑀𝐷:𝑥=𝑥1;2𝑦1⋅𝑦+

2，代入抛物线方程可得𝑦2−4(𝑥1;2)𝑦1⋅𝑦−8=0，Δ>0,𝑦1𝑦3=−8，所以𝑦3=2𝑦2，同理可得𝑦4=2𝑦1，所以𝑘𝐴𝐵=4𝑦3:𝑦4=42(𝑦1:𝑦2)=𝑘𝑀𝑁2又因为直线MN、AB的倾斜角分别为𝛼,𝛽，所以𝑘𝐴𝐵=

tan𝛽=𝑘𝑀𝑁2=tan𝛼2，若要使𝛼−𝛽最大，则𝛽∈(0,𝜋2)，设𝑘𝑀𝑁=2𝑘𝐴𝐵=2𝑘>0，则tan(𝛼−𝛽)=tan𝛼;tan𝛽1:tan𝛼tan𝛽=𝑘1:2𝑘2=11𝑘:2𝑘≤12√1𝑘⋅2𝑘=

√24，当且仅当1𝑘=2𝑘即𝑘=√22时，等号成立，答案第13页，共14页所以当𝛼−𝛽最大时，𝑘𝐴𝐵=√22，设直线𝐴𝐵:𝑥=√2𝑦+𝑛，代入抛物线方程可得𝑦2−4√2𝑦−4𝑛=0，Δ

>0,𝑦3𝑦4=−4𝑛=4𝑦1𝑦2=−16，所以𝑛=4，所以直线𝐴𝐵:𝑥=√2𝑦+4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.22．(1)𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)；(2)�

�3,𝐶1的交点坐标为.12,1/，(1,2)，𝐶3,𝐶2的交点坐标为.−12,−1/，(−1,−2)．【解析】【分析】(1)消去𝑡，即可得到𝐶1的普通方程；(2)将曲线𝐶2,𝐶3的方程化成普通方程，联立求

解即解出．(1)因为𝑥=2:𝑡6，𝑦=√𝑡，所以𝑥=2:𝑦26，即𝐶1的普通方程为𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)．(2)因为𝑥=−2:𝑠6,𝑦=−√𝑠，所以6𝑥=−2−𝑦2，即𝐶2的普通方程为𝑦2

=−6𝑥−2(𝑦≤0)，由2cos𝜃−sin𝜃=0⇒2𝜌cos𝜃−𝜌sin𝜃=0，即𝐶3的普通方程为2𝑥−𝑦=0．联立{𝑦2=6𝑥−2(𝑦≥0)2𝑥−𝑦=0，解得：{𝑥=12𝑦=1或{𝑥=1𝑦=2，即交点坐标为.12,1/，(1,2)；联立{𝑦2=−6

𝑥−2(𝑦≤0)2𝑥−𝑦=0，解得：{𝑥=−12𝑦=−1或{𝑥=−1𝑦=−2，即交点坐标为.−12,−1/，(−1,−2)．23．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据𝑎2+𝑏2

+4𝑐2=𝑎2+𝑏2+(2𝑐)2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得0<𝑎+4𝑐≤3，即可得到1𝑎:4𝑐≥13，再根据权方和不等式即可得证.答案第14页，共14页(1)证明：由柯西不等式有,𝑎2+𝑏2+(2𝑐)2-(12+12+

12)≥(𝑎+𝑏+2𝑐)2，所以𝑎+𝑏+2𝑐≤3，当且仅当𝑎=𝑏=2𝑐=1时，取等号，所以𝑎+𝑏+2𝑐≤3；(2)证明：因为𝑏=2𝑐，𝑎>0，𝑏>0，𝑐>0，由（1）得𝑎+𝑏+2𝑐=𝑎+4𝑐≤3，即0<𝑎+4𝑐≤3，所以1𝑎:4𝑐≥13，由

权方和不等式知1𝑎+1𝑐=12𝑎+224𝑐≥(1:2)2𝑎:4𝑐=9𝑎:4𝑐≥3，当且仅当1𝑎=24𝑐，即𝑎=1，𝑐=12时取等号，所以1𝑎+1𝑐≥3.