【文档说明】2022年全国统一高考乙卷理科数学试卷及答案.pdf，共(13)页，519.576 KB，由baby熊上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-66639.html

以下为本文档部分文字说明：

第1页（共13页）2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集{1U，2，3，4，5}，集合M满足{1UMð，3}，则()A．2MB．3MC．4MD．5M2．已知12zi

，且0zazb，其中a，b为实数，则()A．1a，2bB．1a，2bC．1a，2bD．1a，2b3．已知向量a，b满足||1a，||3b，|2|3ab，则(ab)A．2B．1C．1

D．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列111{}:1nbb，212111b，31231111b

，，依此类推，其中*(1kNk，2，)．则()A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb5．设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若||||AFBF，则||(AB)A．2B．22C．3D．326．执行如图的程序框图，输出的(n)第

2页（共13页）A．3B．4C．5D．67．在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A．平面1BEF平面1BDDB．平面1BEF平面1ABDC．平面1//BEF平面1AACD．平面1//BEF平面11ACD8．已知等比

数列{}na的前3项和为168，2542aa，则6(a)A．14B．12C．6D．39．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A．13B．12C．33D．2210

．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p，2p，3p，且3210ppp．记该棋手连胜两盘的概率为p，则()A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最

大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11．双曲线C的两个焦点为1F，2F，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C交于M，N两点，且123cos5FNF，则C的离心率为()A．52B．32C．132D．17212．已知函数(

)fx，()gx的定义域均为R，且()(2)5fxgx，()(4)7gxfx．若()ygx的图像关于直线2x对称，g（2）4，则221()(kfk)A．21B．22C．23D

．24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．14．（5分）过四点(0,0)，(4,0)，(1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为．15．记函数()cos()(0fxx

，0)的最小正周期为T．若3()2fT，9x为()fx的零点，则的最小值为．16．已知1xx和2xx分别是函数2()2(0xfxaexa且1)a的极小值点和极大值点．若第3页（共13页）12x

x，则a的取值范围是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sins

in()sinsin()CABBCA．（1）证明：2222abc；（2）若5a，25cos31A，求ABC的周长．18．（12分）如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点．（1）证明：平面B

ED平面ACD；（2）设2ABBD，60ACB，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截

面积（单位：2)m和材积量（单位：3)m，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.

340.360.460.420.403.9并计算得10210.038iix，10211.6158iiy，1010.2474iiixy．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的

样本相关系数（精确到0.01)；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区第4页（共13页）这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数1221

1()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，1.8961.377．20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（，﹣1）两点．（1）求E

的方程；（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点．21．（12分）已知函数()(1)xfxlnxaxe．（1）当1a时，求曲线()yfx在点(0，(0))f处的切线方程；（2）若()fx在区

间(1,0)，(0,)各恰有一个零点，求a的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3c

os2,(2sinxttyt为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin()03m．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c都是

正数，且3332221abc，证明：（1）19abc„；（2）12abcbcacababc„．第5页（共13页）2022年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本

题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A2．A3．C4．D5．B6．B7．A8．D9．C10．D11．AC．12．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。第6页（共13

页）13．310．14．22460xyxy（或22420xyxy或22814033xyxy或22161620)55xyxy．15．3．16．1(,1)e．三、解答题：共70分。解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsin()sinsin()CABBCA．（1）证明：22

22abc；（2）若5a，25cos31A，求ABC的周长．【分析】（1）利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求得结论；（2）利用（1）中结论求出22bc和2bc的值，即可求出ABC的周长．【解答

】（1）证明：ABC中，sinsin()sinsin()CABBCA，所以sin(sincoscossin)sin(sincoscossin)CABABBCACA，所以sinsincossinc

ossin2cossinsinABCABCABC，即sin(sincoscossin)2cossinsinABCBCABC，所以sinsin()2cossinsinABCABC，由正弦定理得22cosabcA，由

余弦定理得2222cosabcbcA，所以2222abc；（2）当5a，25cos31A时，2222550bc，22523125cos31abcA，所以222()2503181bcbcbc，解得9bc，所以A

BC的周长为5914abc．18．（12分）如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的第7页（共13页）中点．（1）证明：平面BED平面ACD；（2）设2ABBD，60ACB

，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．【分析】（1）利用三角形全等可得ABBC，可证EBAC，易证DEAC，从而可证平面BED平面ACD；（2）由题意可知AFC的面积最小时，EFBD，据此计算可求得CF与平面ABD

所成的角的正弦值．【解答】（1）证明：ADCD，E为AC的中点．DEAC，又ADCD，ADBBDC，BDBD，ABDCBD，ABBC，又E为AC的中点．EBAC，又BEDEE，BE平面BED，DE平面BED，AC平面BED，又A

C平面ACD，平面BED平面ACD；（2）解：连接EF，由（1）知ACEF，12AFCSACEF，故EF最小时，AFC的面积最小，EFBD时，AFC的面积最小，又AC平面BED，BD平面BED，ACBD

，又ACEFE，AC平面AFC，EF平面AFC，BD平面AFC，又BD平面ABD，平面ABD平面AFC，过C作CMAF于点M，则CM平面ABD，故CFM，即CFA为直线CF与平面ABD所成的角，由2ABBD，60ACB，

知BAC是2为边长的等边三角形，第8页（共13页）故2AC，由已知可得1DE，3BE，又2BD，222BDEDEB，90BED，所以32BEDEEFBD，237142CF，72AF，在ACF中，由余弦定理得774144cos777222AFC

，43sin7AFC．故CF与平面ABD所成的角的正弦值为437．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2)m和材积量（单位：3)m，得到如下数据：样本号

i12345678910总和根部横截面积ix0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10210.038iix，10211

.6158iiy，1010.2474iiixy．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01)；（3）现测量了该林区所有

这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxx

yy，1.8961.377．【分析】根据题意结合线性回归方程求平均数、样本相关系数，并估计该林区这种树木的总材积量的值即可．【解答】（1）设这棵树木平均一棵的根部横截面积为x，平均一棵的材积量为y，则根据题中数据得：20.60.0610xm，33.90.3910ym

；第9页（共13页）（2）由题可知，101011101010102222221111()()0.01340.01340.01340.970.013770.0020.09480.011.896()()()()iiiiiiiiiiiiiixxyyxynxyrxxyyxnxyny

；（3）设从根部面积总和X，总材积量为Y，则XxYy，故30.391861209()0.06Ym．20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x

轴、y轴，且过A（0，﹣2），B（，﹣1）两点．（1）求E的方程；（2）设过点P（1，﹣2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝．证明：直线HN过定点．【分析】（1）设E的方程为，将A，B两点坐标代入即可求解；（2）由可得直线，①若

过P（1，﹣2）的直线的斜率不存在，直线为x＝1，代入椭圆方程，根据＝即可求解；②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，结合韦

达定理和已知条件即可求解．【解答】（1）设E的方程为，将两点代入得，解得a2＝3，b2＝4，故E的方程为；（2）由可得直线第10页（共13页）①若过P（1，﹣2）的直线的斜率不存在，直线为x＝1，代入，可得，，将代入，可得，由＝，得，易求得此时直线，过点（0，﹣

2）；②若过P（1，﹣2）的直线的斜率存在，设kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，故有，且（*），联立，可得，可求得此时，将（0，﹣2）代入整理得2（x1+x2）﹣6（y1+y2

）+x1y2+x2y1﹣3y1y2﹣12＝0，将（*）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48＝0，显然成立．综上，可得直线HN过定点（0，﹣2）．21．（12分）已知函数()(1)xfxlnxaxe．（1）当1a时，求曲线

()yfx在点(0，(0))f处的切线方程；（2）若()fx在区间(1,0)，(0,)各恰有一个零点，求a的取值范围．【分析】（1）将1a代入，对函数()fx求导，求出(0)f及(0)f，由点斜式得答案；（2）对函数()fx求导，分0a及0a讨论，当0a

时容易判断不合题意，当0a时，令第11页（共13页）2(1)()1xaxgxe，利用导数判断()gx的性质，进而判断得到函数()fx的单调性并结合零点存在性定理即可得解．【解答】（1）当1a时，()(1)xfx

lnxxe，则1()1xxfxexex，(0)112f，又(0)0f，所求切线方程为2yx；（2）1(1)()1xaxfxxe，若0a，当10x时，()0fx，()fx单调递增，则()(0)0fxf

，不合题意；故0a，21(1)()(1)1xaxfxxe，令2(1)()1xaxgxe，注意到(12)(12)(1)1,(0)1,()xaxxggagxe，令()0gx，解得112x或12x，令()0gx

，解得1212x，()gx在(1,12),(12,)单调递增，在(12,12)单调递减，且1x时，()0gx，①若(0)10ga，当0x时，()0gx，()fx单调递增，不合题意；②若(0)10ga，(0)gg（1）0，

则存在0(0,1)x，使得0()0gx，且当0(0,)xx时，()(0)0gxg，()fx单调递减，则0()(0)0fxf，当1x时，()(1)0fxlnxa，(1)0afe，则由零点存在性定理可知()fx在(1,1)ae上存在一个根，当120x时，()0

gx，()fx单调递减，(12)(0)0ff，当112x时，()(1)0fxlnxae，(1)0aefe，则由零点存在性定理可知()fx在(1,12)aee上存在一个根．综上，实数a的取值范围为(,

1)．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos2,(2sinxttyt为参数）．以坐标原点为极点，x轴正

半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为第12页（共13页）sin()03m．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．【分析】（1）由sin()03m，展开两角

和的正弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得l的直角坐标方程；（2）化曲线C的参数方程为普通方程，联立直线方程与曲线C的方程，化为关于y的一元二次方程，再求解m的取值范围．【解答】（1）由sin()03m，得(sincoscossin

)033m，13sincos022m，又cosx，siny，13022yxm，即l的直角坐标方程为320xym；（2）由曲线C的参数方程为3cos2,(2sin

xttyt为参数）．消去参数t，可得22323yx，联立23202323xymyx，得232460(22)yymy„„．4363m„„，即1941

03m„„，195122m„„，m的取值范围是19[12，5]2．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c都是正数，且3332221abc，证明：（1）19abc„；（2）12abcbcacababc„．【分析】结合基本不等式与恒成立问题证明即可．

【解答】（1）证明：a，b，c都是正数，第13页（共13页）33333313222222233()abcabcabc，当且仅当233abc时，等号成立．因为3332221abc，所以1213()abc，所以12

1()3abc，所以19abc„，得证．（2）根据基本不等式2bcbc，2acac，2abab，333333222222122222222abcabcabcabcbcacabbcacababcabcabcabcabc„，当且仅当abc时等号成

立，故得证．