【文档说明】2022年全国统一高考数学试卷新高考全国2卷及答案.pdf，共(14)页，451.930 KB，由baby熊上传

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第1页共14页2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合{1A，1，2，4}，{||1|1}

Bxx„，则(AB)A．{1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{1，4}2．(22i)(12i)()A．24iB．24iC．62iD．62i3．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA

，BB，CC，DD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中1DD，1CC，1BB，1AA是举，1OD，1DC，1CB，1BA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为110.5DDOD

，111CCkDC，121BBkCB，131AAkBA．已知1k，2k，3k成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则3(k)A．0.75B．0.8C．0.85D．0.94．已知向量(3,4)a，(1,0)b，c

atb，若a，cb，c，则(t)A．6B．5C．5D．65．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A．12种B．24种C．36种D．48种6．若sin()cos()22cos()s

in4，则()A．tan()1B．tan()1C．tan()1D．tan()17．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，第2页共14页则该球的表面积为()A．100

B．128C．144D．1928．已知函数()fx的定义域为R，且()()()()fxyfxyfxfy，f（1）1，则221()(kfk)A．3B．2C．0D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每

小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数()sin(2)(0)fxx的图像关于点2(3，0)中心对称，则()A．()fx在区间5(0,)12单调递减B．()fx在区间(12，1

1)12有两个极值点C．直线76x是曲线()yfx的对称轴D．直线32yx是曲线()yfx的切线10．已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp焦点F的直线与C交于A，B两点，

其中A在第一象限，点(,0)Mp．若||||AFAM，则()A．直线AB的斜率为26B．||||OBOFC．||4||ABOFD．180OAMOBM11．如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，//FBED，2ABEDFB．记三棱锥EACD，FABC，

FACE的体积分别为1V，2V，3V，则()A．322VVB．31VVC．312VVVD．3123VV12．若x，y满足221xyxy，则()A．1xy„B．2xyC．222xy„D．221xy第3页共14页三、填空题：本题共4小题，每小题5分

，共20分。13．已知随机变量X服从正态分布2(2,)N，且(22.5)0.36PX„，则(2.5)PX．14．（5分）曲线||ylnx过坐标原点的两条切线的方程为，．15．设点(2,3)A，(0,)Ba，若直线AB

关于ya对称的直线与圆22(3)(2)1xy有公共点，则a的取值范围是．16．已知直线l与椭圆22163xy在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且||||MANB，||23MN，则l的方程为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤。17．（10分）已知{}na是等差数列，{}nb是公比为2的等比数列，且223344ababba．（1）证明：11ab；（2）求集合1{|kmkbaa，1500}m„„中元素的个数．18．（12分）记ABC的内角A，B

，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为1S，2S，3S．已知12332SSS，1sin3B．（1）求ABC的面积；（2）若2sinsin3AC，求b．19．（12分）在某地区进行流行

病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；第4页共14页（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；（3）

已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间

的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．20．（12分）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点．（1）证明：//OE平面PAC；（2）若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB

的正弦值．21．（12分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点1(Px，1)y，2(Qx，2)y在C上，且120xx，10y．过P且斜率

为3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②//PQAB；③||||MAMB．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．22．（12分）已知函数()axxfxxee．（1）当1a时，讨论()fx

的单调性；（2）当0x时，()1fx，求a的取值范围；第5页共14页（3）设*nN，证明：222111(1)1122lnnnn．第6页共14页2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）参考答案一、选择题：本题共8小题，每

小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B2．D．3．D．4．C．5．B．6．C．7．A8．A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．AD．10．ACD

．11．CD．12．BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．0.14．14．e0xy，e0xy．15．1[3，3]2．16．2220xy．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知{}na是等差数列，{}nb是公比为2的等比数列，且223344ababba．（1）证明：11ab；（2）求集合1{|kmkbaa，1500}m„„中元素的个数

．【分析】（1）设等差数列{}na的公差为d，由题意可得1111224adbadb，11124(3)adbdad，根据这两式即可证明11ab；（2）由题设条件可知122km，由m的范围，求出k的范围，进而得出答案．第7页共14页

【解答】（1）证明：设等差数列{}na的公差为d，由2233abab，得1111224adbadb，则12db，由2244abba，得111128(3)adbbad，即11124(3)adbdad，11ab．（2）由

（1）知，1122dba，由1kmbaa知，11112(1)kbamda，111112(1)2kbbmbb，即122km，又1500m„„，故1221000k„„，则210k„„，故集合1{|kmkbaa，1500}m„„中元素个数为9个．18．（1

2分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为1S，2S，3S．已知12332SSS，1sin3B．（1）求ABC的面积；（2）若2sinsin3AC，求b．【分析】（1）根据12332SSS，求得2222abc

，由余弦定理求得ac的值，根据1sin2SacB，求ABC面积．（2）由正弦定理得sinsinbAaB，sinsinbCcB，且324ac，求解即可．【解答】（1）22221132sin60224Saa，22222132sin60224Sbb

，22223132sin60224Scc，22222212333332224442SSSabc，解得：2222abc，1sin3B，22220abc，即cos0B，22cos3B，22222cos23

acbBac，第8页共14页解得：324ac，12sin28ABCSacB．ABC的面积为28．（2）由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，sinsinbAaB，sinsi

nbCcB，由（1）得324ac，sinsin32sinsin4bAbCacBB已知，1sin3B，2sinsin3AC，解得：12b．19．（12分）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计

该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人

口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．【分析】（1）利用平均数公式求解即可．（2）利用频率分布直方图求出频率，进而得到概率．（

3）利用条件概率公式计算即可．【解答】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：第9页共14页50.00110150.00210250.01210350.01710450.02310550.02010650.01710750.00610850.0021047.9x

岁．（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的频率为：(0.0120.0170.0230.0200.017)100.89，估计该地区一位这

种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率为0.89．（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50)为事件B，此人患这种疾病为事件C，则()0.1%0.02310(|)0.0014()

16%PBCPCBPB．20．（12分）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点．（1）证明：//OE平面PAC；（2）若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB的

正弦值．【分析】（1）连接OA，OB，可证得OAOB，延长BO交AC于点F，可证得//OEPF，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面ACE及平面ABE的法向量，利用向量的夹角公式得解．【解答】（1）证明：连接O

A，OB，依题意，OP平面ABC，又OA平面ABC，OB平面ABC，则OPOA，OPOB，90POAPOB，又PAPB，OPOP，则POAPOB，OAOB，延长BO交AC于点F，又AB

AC，则在RtABF中，O为BF中点，连接PF，在PBF中，O，E分别为BF，BP的中点，则//OEPF，OE平面PAC，PF平面PAC，//OE平面PAC；（2）过点A作//AMOP，以AB，AC，AF分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空第1

0页共14页间直角坐标系，由于3PO，5PA，由（1）知4OAOB，又30ABOCBO，则43AB，3(23,2,3),(43,0,0),(0,0,0),(33,1,)2PBAE，设ACt，则(0C，t，0)，设平面AEB的一个法向量为(,,)nxyz，又3(43,

0,0),(33,1,)2ABAE，则43033302nABxnAExyz，则可取(0,3,2)n，设平面AEC的一个法向量为(,,)mabc，又3(0,,0),(33,1,)

2ACtAE，则033302mACtbmAEabc，则可取(3,0,6)m，设锐二面角CAEB的平面角为，则43cos|cos,|||||||13mnmnmn，211sin113cos

，即二面角CAEB正弦值为1113．21．（12分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点1(Px，1)y，2(Qx，2)y

在C上，且120xx，10y．过P且斜率为3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M．从第11页共14页下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②//PQAB；③||||MAM

B．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【分析】（1）根据渐近线方程和222abc即可求出；（2）首先求出点M的轨迹方程即为3MMyxk，其中k为直线PQ的斜率，若选择①②：设直线AB的

方程为(2)ykx，求出点M的坐标，可得M为AB的中点，即可||||MAMB；若选择①③：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(2)(0)ymxm，求出点M的坐标，即可//PQAB；若选择②③：设直线AB的方程为(2)ykx，设AB的中点(CCx，)Cy，求出点

C的坐标，可得点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．【解答】（1）由题意可得3ba，222ab，解得1a，3b，因此C的方程为2213xy，（2）设直线PQ的方程为ykxb，(0)k，将直线PQ的方程代入2213xy可得222(3)230kxkbxb

，12223kbxxk，212233bxxk，2221212122233()43bkxxxxxxk，设点M的坐标为(.)MMxy，则11223()3()MMMMyyxxyy

xx，两式相减可得1212233()Myyxxx，1212()yykxx，1212233()()Mxxxkxx，解得22233MkbkkbXk

，两式相减可得12122()3()Myyyxx，第12页共14页1212()2yykxxb，121223()()2Myxxkxxb，解得2223333Mbkbyk，3MMyxk，其中

k为直线PQ的斜率；若选择①②：设直线AB的方程为(2)ykx，并设A的坐标为3(x，3)y，B的坐标为4(x，4)y，则3333(2)3ykxyx，解得323kxk，3233kyk，同理可得24243kx

k，4233kyk，234243kxxk，342123kyyk，此时点M的坐标满足(2)3MMMMykxyxk，解得234221()32MkXxxk，34261()32Mkyyyk，M为AB的中点，即||||MAMB；若选择①③：当直线

AB的斜率不存在时，点M即为点(2,0)F，此时不在直线3yxk上，矛盾，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为(2)(0)ymxm，并设A的坐标为3(x，3)y，B的坐标为4(x，4)y，则3333(2)3

ymxyx，解得323mxk，3233myk，同理可得423mxm，4233mym，此时234212()23Mmxxxm，34216()23Mmyyym，由于点M同

时在直线3yxk上，故2362mmk，解得km，第13页共14页因此//PQAB．若选择②③，设直线AB的方程为(2)ykx，并设A的坐标为3(x，3)y，B的坐标为4(x，4)y，则3333(2)3ykxyx，解得323kxk，3233kyk，同理可

得423kxk，4233kyk，设AB的中点(CCx，)Cy，则234212()23Ckxxxk，34216()23Ckyyyk，由于||||MAMB，故M在AB的垂直平分线上，即点M在直线1()CCyyxxk上

，将该直线3yxk联立，解得2223MCkxxk，263MCkyyk，即点M恰为AB中点，故点M在直线AB上．22．（12分）已知函数()axxfxxee．（1）当1a时，讨论()fx的单调性；（2）当0x时，()1fx，求a的取值范围；（3）设*nN，证明

：222111(1)1122lnnnn．【分析】（1）先求出导函数()fx，再根据导函数()fx的正负即可得到函数()fx的单调性．（2）构造函数()()11(0)axxgxfxxeex，则()(0)

0gxg在0x上恒成立，又()axaxxgxexaee，令()()hxgx，则()(2)axaxxhxaeaxee，根据(0)h的正负分情况讨论，得到()gx的单调性以及最值，判断是否满足题意，即可求出a的取值范围．（3）

求导易得12(1)tlnttt，令11tn，利用上述不等式，结合对数的运算性质即可证得结论．【解答】（1）当1a时，()(1)xxxfxxeeex，()(1)xxxfxexexe

，0xe，当(0,)x时，()0fx，()fx单调递增；当(,0)x时，()0fx，()fx单调递减．第14页共14页（2）令()()11(0)axxgxfxxeex，()1fx，()10fx，()(0)0gxg在0x

上恒成立，又()axaxxgxexaee，令()()hxgx，则()()(2)axaxaxxaxaxxhxaeaeaxeeaeaxee，(0)21ha，①当210a，

即12a，00()(0)()(0)limlim00nngxggxhxx，00x，使得当0(0,)xx，有()0gxx，()0gx，所以()gx单调递增，0()(0)0gxg，矛盾；①当210a„，即12a„，111

1(1)(1)2222()0xlnxxxaxaxxaxlnaxxxxgxxexaeeeeeeee„„，所以()gx在[0，)上单调递减，()(0)0gxg„，符合题意．综上所述，实数a的取值范围是12a„．（3）求导易得12(1)tlnttt，令11

tn，11112111lnnnn，可得11(1)11nlnnn，211()nlnnnn，21111231()(...)(1)12nnkkknlnlnlnnknkk

，即222111...(1)1122lnnnn．