【文档说明】2022年全国统一高考数学试卷新高考全国1卷及答案.pdf，共(12)页，404.747 KB，由baby熊上传

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第1页共12页2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合{|4}Mxx，{|31}Nxx，则(MN)A．{|02}xx„B．1{|2}3xx„C．{|316}xx

„D．1{|16}3xx„2．若i(1)1z，则(zz)A．2B．1C．1D．23．在ABC中，点D在边AB上，2BDDA．记CAm，CDn，则(CB)

A．32mnB．23mnC．32mnD．23mn4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为2140.0km；水位为海拔

157.5m时，相应水面的面积为2180.0km．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(72.65)()A．931.010mB．931.210mC．931.410mD．931.610m

5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A．16B．13C．12D．236．记函数()sin()(0)4fxxb的最小正周期为T．若23T，且()yfx的图像关于点3(2，2)中心

对称，则()(2f)A．1B．32C．52D．37．设0.10.1ea，19b，ln0.9c，则()A．abcB．cbaC．cabD．acb8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36，且333l„„，则该正四

棱锥体积的取值范围是()A．[18，81]4B．27[4，81]4C．27[4，64]3D．[18，27]第2页共12页二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知正方体1111ABCDABCD，则()A．直线1BC与1DA所成的角为90B．直线1BC与1CA所成的角为90C．直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D．直线1BC

与平面ABCD所成的角为4510．已知函数3()1fxxx，则()A．()fx有两个极值点B．()fx有三个零点C．点(0,1)是曲线()yfx的对称中心D．直线2yx是曲线()yfx的切线11．已知O为坐标原点，点(1,1)A在抛物线

2:2(0)Cxpyp上，过点(0,1)B的直线交C于P，Q两点，则()A．C的准线为1yB．直线AB与C相切C．2||||||OPOQOAD．2||||||BPBQBA12．已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记(

)()gxfx．若3(2)2fx，(2)gx均为偶函数，则()A．(0)0fB．1()02gC．(1)ff（4）D．(1)gg（2）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．8(1)()yxyx的展开式中26xy的系数为（用数字作答）．

14．写出与圆221xy和22(3)(4)16xy都相切的一条直线的方程．15．若曲线()exyxa有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．16．已知椭圆2222:1(0)xyCabab，C的上顶点为A，

两个焦点为1F，2F，离心率为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，||6DE，则ADE的周长是．第3页共12页四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记nS为数列{}na的前n项和，已知11a，{}nnSa是公

差为13的等差数列．（1）求{}na的通项公式；（2）证明：121112naaa．18．（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．（1）若23C，求B；（2）求222abc

的最小值．19．（12分）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，△1ABC的面积为22．（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面角ABDC的正弦值．第4页共12页20．（12分）一医疗团队为研究

某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组406

0对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，(|)(|)PBAPBA与(|)(|)PBAPBA的比值是卫生习惯不够良好对患

该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|)PAB，(|)PAB的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附：22()()()()

()nadbcKabcdacbd．2()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，直线l

交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan22PAQ，求PAQ的面积．22．（12分）已知函数()xfxeax和()gxaxlnx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线yb

，其与两条曲线()yfx和()ygx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．第5页共12页2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。1．D2．D．3．B．4．C．5．D．6．A7．C．8．C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．ABD．10．AC．11．BCD．12．BC．三、

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．28．14．1x（填3450xy，724250xy都正确）．15．(,4)(0,)16．13．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记nS为数列{}na的前n项和，已知11a，{}nnSa是公差为13的等差数列．（1）求{}na的通项公式；（2）证明：121112naaa

．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【解答】（1）已知11a，{}nnSa是公差为13

的等差数列，所以1121(1)333nnSnna，整理得1233nnnSnaa，①，故当2n时，11112(1)33nnnSnaa，②，①②得：1111113333nnnnananaa，故1(1)(1)nnnana，化简得：111nnana

n，122nnanan，........，3242aa，2131aa；所以1(1)2nanna，第6页共12页故(1)2nnna（首项符合通项）．所以(1)2nnna．证明：（2）由于(1)2nnna，所以12112()(1)1nannnn，所以121

11111111...2(1...)2(1)222311naaannn．18．（12分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．（1）若23C，求B

；（2）求222abc的最小值．【分析】（1）利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B．（2）利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论．【解答】（1）cossin21sin1cos2ABAB，2cos2sinc

ossin1sin2cosABBBAcosBB，化为：coscossinsinsinABABB，cos()sinBAB，cossinCB，23C，1sin2B，03B，6B．（2）由（1

）可得：cossin0CB，cos0C，(2C，)，C为钝角，B，A都为锐角，2BC．sinsin()sin(2)cos22ABCCC，第7页共12页222222222222242222sinsinsin

cos2cossin(12sin)(1sin)sin24sin5sinsin24sin5sin2245425abABcCCCCCCCCCCCC，当且仅当41sin2C时取等号．222ab

c的最小值为425．19．（12分）如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，△1ABC的面积为22．（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面

角ABDC的正弦值．【分析】（1）利用体积法可求点A到平面1ABC的距离；（2）以B为坐标原点，BC，BA，1BB所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角ABDC的正弦值．【解答】（1）由直三棱柱111A

BCABC的体积为4，可得11111433AABCABCABCVV，设A到平面1ABC的距离为d，由11AABCAABCVV，11433ABCSd，142233d，解得2d．（2）由直三棱柱111ABCABC知1BB平面ABC，所以平面ABC平面

11ABBA，又平面1ABC平面11ABBA，又平面ABC平面1ABCBC，所以BC平面11ABBA，1BCAB，BCAB，以B为坐标原点，BC，BA，1BB所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，第8页共12页1AAAB，12222BCAB，又1142ABBC

AA，解得12ABBCAA，则(0B，0，0)，(0A，2，0)，(2C，0，0)，1(0A，2，2)，(1D，1，1)，则(0BA，2，0)，(1BD，1，1)，(2BC，0，0)，设平面ABD的一个法向量为

(nx，y，)z，则200nBAynBDxyz，令1x，则0y，1z，平面ABD的一个法向量为(1n，0，1)，设平面BCD的一个法向量为(ma，

b，)c，200mBCamBDabc，令1b，则0a，1c，平面BCD的一个法向量为(0m，1，1)，cosn，11222m，二面角ABDC的正弦值为2131()22

．20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）

，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，(|)(|)PBA

PBA与(|)(|)PBAPBA的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险第9页共12页程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|)PAB，(|)PAB的估计值，并利用（

ⅰ）的结果给出R的估计值．附：22()()()()()nadbcKabcdacbd．2()PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）补充列联表，根据表中数据

计算2K，对照附表得出结论．（2）()i根据条件概率的定义与运算性质，证明即可；（ⅱ）利用调查数据和对立事件的概率公式，计算即可．【解答】（1）补充列联表为：不够良好良好合计病例组4060100对照组109010

0合计50150200计算22200(40901060)246.63510010050150K，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．（2）()i证明：(

)()()()(|)(|)(|)(|)()()(|)(|)()()()():()()()()(|)(|)(|)(|)()()(|)(|)()()()()PABPABPABPABPBAPBAPBAPBAPABPABPABPABPAPAPBPBR

PABPABPABPABPBAPBAPBAPBAPABPABPABPABPAPBPAPB；（ⅱ）利用调查数据，402(|)1005PAB，101(|)10010PAB，3(|)1(

|)5PABPAB，9(|)1(|)10PABPAB，所以29510631510R．第10页共12页21．（12分）已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan

22PAQ，求PAQ的面积．【分析】（1）将点A代入双曲线方程得2212xy，由题显然直线l的斜率存在，设:lykxm，与双曲线联立后，根据直线AP，AQ的斜率之和为0，求解即可；（2）设直线AP的倾斜角为，由

tan22PAQ，得2tan22PAQ，联立11122yx，及221112xy，根据三角形面积公式即可求解．【解答】（1）将点A代入双曲线方程得224111aa，化简得42440aa，22a，故双曲线方程为2212xy，由题显然直线l的斜率存在，设:ly

kxm，设1(Px，12)(yQx，2)y，则联立双曲线得：222(21)4220kxkmxm，故122421kmxxk，21222221mxxk，12121212111102222APAQyykxmkxmkkxxxx

，化简得：12122(12)()4(1)0kxxmkxxm，故2222(22)4(12)()4(1)02121kmkmmkmkk，即(1)(21)0kmk，而直

线l不过A点，故1k；（2）设直线AP的倾斜角为，由tan22PAQ，22tan22212PAQPAQtan，得2tan22PAQ，由2PAQ，2PAQ，得tan2APk，

即11122yx，联立11122yx，及221112xy得111042425,33xy，第11页共12页代入直线l得53m，故12122068,39xxxx，而12||3|2|,||3|2|APxAQx，由tan22PAQ，得

22sin3PAQ，故12121162||||sin2|2()4|29PAQSAPAQPAQxxxx．22．（12分）已知函数()exfxax和()gxaxlnx有相同的最小值．（1）求a；

（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线()yfx和()ygx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【分析】（1）先对两个函数求导，然后由函数有相同的最小值得到函数()fx和()gx的单调性，从而求得()fx和()

gx的零点，进而得到函数的最小值，然后列出方程求得a的值；（2）设三个交点的横坐标从小到大依次为1x，2x，3x，得到有关1x，2x，3x的方程，然后化简利用函数()fx的单调性求得1x，3x和2x的数量关系，进而得证命题．【解答】（1）()

xfxeax，()gxaxlnx，()xfxea，1()gxax，xye在xR上单调递增，函数1yx在(0,)x上单调递增，函数()fx和函数()gx在各自定义域上单调递增，又函数()xfxeax和()gxaxlnx

有最小值，当()0fx时，xlna，当()0gx时，1xa，函数()fx在(,)lna上单调递减，在(,)lna上单调递增，函数()gx在1(0,)a上单调递减，在1(a，)上单调递增

，()()minfxflnaaalna，()1mingxlna，函数()xfxeax和()gxaxlnx有相同的最小值1aalnalna，解得：1a．（2）证明：设三个交点的横坐标从小到大依次为1x，2x，3x，第1

2页共12页函数()gx在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，1(,0)x，2(0,1)x，3(1,)x，12122233xxbexexxlnxxlnx，2222xxelnx

，1122xexxlnx，2233xexxlnx，1212xlnxexelnx，3223lnxxexelnx，12()()fxflnx，23()()fxflnx，2(,0)lnx，3(0,)ln

x，12xlnx，23xlnx，23xxe，213222xxxlnxex，1x，2x，3x成等差数列，存在直线yb，其与两条曲线()yfx和()ygx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．