【文档说明】2022年全国统一高考甲卷文科数学试卷及答案.pdf，共(15)页，464.620 KB，由baby熊上传

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第1页共15页2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合{2A，1，0，1，2}，5{|0}2Bxx„，则(AB

)A．{0，1，2}B．{2，1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前

和讲座后问卷答题的正确率如图：则()A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3

．若1zi，则|3|(izz)A．45B．42C．25D．224．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为()第2页共15页A．8B．12C．16D．205．将函数()sin

()(0)3fxx的图像向左平移2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是()A．16B．14C．13D．126．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张

卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A．15B．13C．25D．237．函数()(33)cosxxfxx在区间[2，]2的图像大致为()A．B．第3页共15页C．D．8．当1x时，函数()bfxalnxx取得最大值2，则f（2）()A．1B．1

2C．12D．19．在长方体1111ABCDABCD中，已知1BD与平面ABCD和平面11AABB所成的角均为30，则()A．2ABADB．AB与平面11ABCD所成的角为30C．1ACCBD．1BD与平面11BBCC所成的角为4510．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面

展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若2SS甲乙，则(VV甲乙)A．5B．22C．10D．510411．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为13，1A，2A分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若

121BABA，则C的方程为()A．2211816xyB．22198xyC．22132xyD．2212xy12．已知910m，1011ma，89mb，则()第4页共15页A．0abB．0ab

C．0baD．0ba二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量(,3)am，(1,1)bm．若ab，则m．14．设点M在直线210xy上，点(3,0

)和(0,1)均在M上，则M的方程为．15．记双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为e，写出满足条件“直线2yx与C无公共点”的e的一个值．16．已知ABC中，点D在边BC上，120ADB，2AD，2CDBD．当ACAB取得

最小值时，BD．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这

两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的

长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()nadbcKabcdacbd．2()PKk0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518．（12分）记nS为数列{}na的前n项和．已知221nnSnan．（1）证明：{}

na是等差数列；（2）若4a，7a，9a成等比数列，求nS的最小值．19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：)cm的正方形，EAB，FBC，GCD，HDA均为

正三角第5页共15页形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．（1）证明：//EF平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．20．（12分）已知函数3()fxxx，2()gxxa

，曲线()yfx在点1(x，1())fx处的切线也是曲线()ygx的切线．（1）若11x，求a；（2）求a的取值范围．21．（12分）设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点(,0)Dp，过F的直线交C于M，N两点

．当直线MD垂直于x轴时，||3MF．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线AB的方程．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐

标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2,6(txtyt为参数），曲线2C的参数方程为2,6(sxsys为参数）．第6页共15页（1）写出1C

的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：（1）23abc

„；（2）若2bc，则113ac．第7页共15页2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A2．B3．D4．B．5．C6．C7．A8

．B9．D10．C11．B12．A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．34．14．22(1)(1)5xy．15．2((1e，5]内的任意一个值都满足题意）．16．31．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班

次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数第8页共15页A24020B21030（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()

()()()nadbcKabcdacbd．2()PKk0.1000.0500.010k2.7063.8416.635【分析】（1）根据题设数据直接计算即可；（2）由题设数据代入公式直接计算即可得出结论．【解答】（1）

A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为2401226013；B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为21072408；（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班

次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆，22500(2403021020)3.22.70626024045050K，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．【点评】本题

考查概率计算以及独立性检验，考查运算求解能力，属于基础题．18．（12分）记nS为数列{}na的前n项和．已知221nnSnan．（1）证明：{}na是等差数列；（2）若4a，7a，9a成等比数列，求n

S的最小值．【分析】（1）由已知把n换为1n作差可得递推关系从而证明，（2）由4a，7a，9a成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出na正负分界点计算即可．【解答】（1）证明：由已知有：222nnSnnan①，把n换成

1n，2112(1)2(1)1nnSnnan②，②①可得：1122(1)22nnnananan，第9页共15页整理得：11nnaa，由等差数列定义有na为等差数列；（2）由已知有2749aaa，设

等差数列na的首项为x，由（1）有其公差为1，故2(6)(3)(8)xxx，解得12x，故112a，所以12(1)113nann，故可得：123120aaaa，130a，140a，故nS在12n或者13n时取最小值，12

13(120)13782SS，故nS的最小值为78．19．（12分）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8（单位：)cm的正方形，EAB，FBC，GCD，HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面AB

CD垂直．（1）证明：//EF平面ABCD；（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．【分析】（1）将几何体补形之后结合线面平行的判断定理即可证得题中的结论；（2）首先确定几何体的空间特征，然后结合相关的棱长计算其体积即可．【解答】（1）证明：如图所示，将几何体补

形为长方体，做EEAB于点E，做FFBC于点F，由于底面为正方形，ABE，BCF均为等边三角形，故等边三角形的高相等，即EEFF，第10页共15页由面面垂直的性质可知EE，FF均与底面垂直，则//EEFF，四边形EEFF为平行四边形，则//

EFEF，由于EF不在平面ABCD内，EF在平面ABCD内，由线面平行的判断定理可得//EF平面ABCD．（2）解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积，其中长方体的高143AAEE，长方体的体积3188432563Vcm，一个三

棱锥的体积3211323(44)43323Vcm，则包装盒的容积为312323640425634333VVVcm．20．（12分）已知函数3()fxxx，2()gxxa，曲线()yfx在点1(x，1())fx处的切线也是曲线()ygx的切线．（1）若11x，

求a；（2）求a的取值范围．【分析】（1）由题意结合函数的切线方程即可确定实数a的值；（2）由题意结合函数图象即可确定实数a的取值范围．【解答】（1）由题意可得2()31fxx，则切线的斜率(1)2kf

，第11页共15页且(1)0f，故切线方程为2(1)yx，即220xy，由()22gxx可得1x，则切点坐标为(1,1)a，由于切点在直线220xy上，故2(1)20a

，解得3a．（2）由题意可得2()31fxx，当33x时，()0fx，()fx单调递增，当3333x时，()0fx，()fx单调递减，当33x时，()0fx，()fx单调递增，且函数的零点为11x，21x，30x，绘制函数()fx和

函数()gx的图象如图所示，观察可得，当1a时，函数()fx和函数()gx在点(1,1)处有公共点，函数存在公切线，当1a时，函数()fx和函数()gx不存在公切线，当1a时，函数()fx和函数()gx存在公切线，第12页共15页则实数a的取值范围是[1，

)．21．（12分）设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，点(,0)Dp，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，||3MF．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个

交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线AB的方程．【分析】（1）由已知求得||2MDp，||2pFD，则在RtMFD中，利用勾股定理得2p，则C的方程可求；（2）设M，N，A，B的坐标，写出tan与tan，再由三点共线可得

318yy，428yy；由题意可知，直线MN的斜率不为0，设:1MNlxmy，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得124yym，124yy，求得tan与tan，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程．【解

答】（1）由题意可知，当xp时，222yp，得2Myp，可知||2MDp，||2pFD．则在RtMFD中，222||||||FDDMFM，得22()(2)92pp，解得2p．则C的方程为24yx；（2）设1(Mx，1

)y，2(Nx，2)y，3(Ax，3)y，4(Bx，4)y，由（1）可知(1,0)F，(2,0)D，则1212221212124tan44MNyyyykyyxxyy，又N、D、B三点共线，则NDBDkk，即24240022yyxx，

242224002244yyyy，得248yy，即428yy；同理由M、D、A三点共线，得318yy．则34123434124tan2()yyyyxxyyyy．由题意可知，直线MN的斜率

不为0，设:1MNlxmy，第13页共15页由241yxxmy，得2440ymy，124yym，124yy，则41tan4mm，41tan242mm，则11tant

an12tan()1111tantan122mmmmmm，当0m时，112tan()141222mmmm„；当0m时，tan()无最大值，当且仅当12mm，即22m时，等号成立，tan()取最大值，此

时AB的直线方程为33344()yyxxyy，即34344()0xyyyyy，又123412128()88842yyyymyyyy，34128816yyyy，AB的方程为442160xy，即240xy．（二）选考题：共10分。请

考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2,6(txtyt为参数），曲线2C的参数方程为2,6(sxsys为参数）．（1）写

出1C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标．【分析】（1）消去参数t，可得1C的普通方

程；（2）消去参数s，可得2C的普通方程，化3C的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解3C与1C、3C与2C交点的直角坐标．【解答】（1）由2,6(txtyt为参数），消去参数t，第14页共15页可得

1C的普通方程为262(0)yxy；（2）由2,6(sxsys为参数），消去参数s，可得2C的普通方程为262(0)yxy„．由2cossin0，得2cossin0，则曲线3C的直角坐标方

程为20xy．联立2262yxyx，解得121xy或12xy，3C与1C交点的直角坐标为1(2，1)与(1,2)；联立2262yxyx，解得121xy

或12xy，3C与2C交点的直角坐标为1(2，1)与(1,2)．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：（1）23abc„；（2）若2bc，则113ac．【分析】（1）由已知

结合柯西不等式证明；（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明．【证明】（1）a，b，c均为正数，且22243abc，由柯西不等式知，2222222(4)(111)(2)abcabc，即233(2)abc，23abc„；当且仅当2a

bc，即1ab，12c时取等号；（2）由（1）知，23abc„且2bc，故043ac„，则1143ac，由权方和不等式可知，2211129344acacac，当且仅当124ac，即1a，12c时取第15页共15页等号，故113ac．