【文档说明】2022届全国高考乙卷数学文科试卷及答案.docx，共(16)页，288.355 KB，由baby熊上传

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第1页，共16页2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合𝑀=*2,4,6,8,10+，𝑁=*𝑥|−1<𝑥<6+，则𝑀⋂𝑁=()A.*

2,4+B.*2,4,6+C.*2,4,6,8+D.*2,4,6,8,10+2.设(1+2𝑖)𝑎+𝑏=2𝑖，其中𝑎，𝑏为实数，则()A.𝑎=1，𝑏=−1B.𝑎=1，𝑏=1C.𝑎=−1，𝑏=1D.𝑎=−1，𝑏=−13.已知向量𝑎⃗⃗=(2,1)，𝑏⃗=(−

2,4)，则|𝑎⃗⃗−𝑏⃗|=()A.2B.3C.4D.54.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：𝑕)，得如下茎叶图：则下列结论中错误的是()A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.

4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.65.若𝑥，𝑦满足约束条件{𝑥+𝑦

≥2,𝑥+2𝑦≤4,𝑦≥0,则𝑧=2𝑥−𝑦的最大值是()A.−2B.4C.8D.126.设𝐹为抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点，点𝐴在𝐶上，点𝐵(3,0)，若|𝐴𝐹|=|𝐵𝐹|，则|𝐴𝐵|=()A.2B.2√2C.3D.3√27.

执行右边的程序框图，输出的𝑛=()A.3B.4第2页，共16页C.5D.68.右图是下列四个函数中的某个函数在区间,−3,3-的大致图像，则该函数是()A.𝑦=;𝑥3:3𝑥𝑥2:1B.𝑦=𝑥3;𝑥𝑥2:1C.𝑦=2𝑥c

os𝑥𝑥2:1D.𝑦=2sin𝑥𝑥2:19.在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐵，𝐵𝐶的中点，则()A.平面𝐵1𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1B.平面𝐵1𝐸𝐹⊥平面𝐴

1𝐵𝐷C.平面𝐵1𝐸𝐹//平面𝐴1𝐴𝐶D.平面𝐵1𝐸𝐹//平面𝐴1𝐶1𝐷10.已知等比数列*𝑎𝑛+的前3项和为168，𝑎2−𝑎5=42，则𝑎6=()A.14B.12C.6D.311.函数�

�(𝑥)=cos𝑥+(𝑥+1)sin𝑥+1在区间,0,2𝜋-的最小值，最大值分别为()A.−𝜋2，𝜋2B.−3𝜋2，𝜋2C.−𝜋2，𝜋2+2D.−3𝜋2，𝜋2+212.已知球𝑂的半径为1，四棱锥的顶点为𝑂，

底面的四个顶点均在球𝑂的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A.13B.12C.√33D.√22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记𝑆𝑛为等差数列*𝑎𝑛+的前𝑛项和.若2𝑆3=3𝑆2+6，则公差𝑑=

．14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．15.过四点(0,0)，(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为．16.若𝑓(𝑥)=ln|𝑎+11;𝑥|+𝑏是奇函数，则𝑎=，

𝑏=．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）第3页，共16页17.记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，已知sin𝐶sin(𝐴−𝐵)=sin𝐵sin(𝐶−𝐴)．(1)若𝐴=2𝐵，求𝐶:(2)证明：2𝑎2=𝑏2+𝑐2．18.如图，四面体

𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐵𝐷𝐶，𝐸为𝐴𝐶的中点．(1)证明：平面𝐵𝐸𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐷;(2)设𝐴𝐵=𝐵𝐷=2，∠𝐴𝐶𝐵=60∘，点𝐹在𝐵𝐷上，当△𝐴�

�𝐶的面积最小时，求三棱锥𝐹−𝐴𝐵𝐶的体积．19.某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积(心位：𝑚2)和材积量(𝑚3)，得到如下数据：

样本数号𝑖12345678910总和根部横截面积𝑥𝑖0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量𝑦𝑖0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得

∑𝑥𝑖210𝑖<1=0.038，∑𝑦𝑖210𝑖<1=1.6158，∑𝑥𝑖10𝑖<1𝑦1=0.2474．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：(2)求该林区这种树木的根部

横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186𝑚2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这

种树木的总材积量的估计值．附：相关系数𝑟=∑(𝑥𝑖;𝑥)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖;𝑦)√∑(𝑥𝑖;𝑥)2𝑛𝑖=1∑(𝑦𝑖;𝑦)2𝑛𝑖=1，√1.896≈1.377．第4页，共16页20.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1𝑥−(�

�+1)ln𝑥.(1)当𝑎=0时，求𝑓(𝑥)的最大值;(2)若𝑓(𝑥)恰有一个零点，求𝑎的取值范围．21.已知椭圆𝐸的中心为坐标原点，对称轴为𝑥轴，𝑦轴，且过𝐴(0,−2)，𝐵(32,−1)两点(1)求𝐸的方程;(2)设过点𝑃(1,−2)的直线交𝐸于�

�，𝑁两点，过𝑀且平行于𝑥的直线与线段𝐴𝐵交于点𝑇，点𝐻满足𝑀𝑇⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑇𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗，证明：直线𝐻𝑁过定点．22.在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，曲线𝐶的方程为{𝑥=√3cos2𝑡𝑦=2sin𝑡(𝑡为参数).以坐标原点为极点，𝑥轴正半轴为极

轴建立极坐标系，已知直线𝑙的极坐标方程为𝜌sin(𝜃+𝜋3)+𝑚=0．(1)写出𝑙的直角坐标方程：(2)若𝑙与𝐶有公共点，求𝑚的取值范围．已知𝑎.𝑏.𝑐为正数，且𝑎32+𝑏32+𝑐32=1，证明：(1)𝑎𝑏𝑐≤19(2)𝑎𝑏:𝑐

+𝑏𝑎:𝑐+𝑐𝑎:𝑏≤12√𝑎𝑏𝑐第5页，共16页答案和解析1.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题．【解答】解：∵𝑀=*2,4,6,8,10+，𝑁=*𝑥|−1<𝑥<6+，∴𝑀⋂𝑁=*2,4+．2.【答案】𝐴【解析】【分析】本

题考查了复数代数形式的运算，涉及复数相等的条件，属基础题．【解答】解：∵(1+2𝑖)𝑎+𝑏=2𝑖，其中𝑎，𝑏为实数，∴(𝑎+𝑏)+2𝑎𝑖=2𝑖，即{𝑎+𝑏=02𝑎=2得{𝑎=1

𝑏=−1，故A正确．3.【答案】𝐷【解析】【分析】本题主要考查向量线性运算的坐标表示及向量模的坐标运算，属于基础题．【解答】解：∵𝑎⃗⃗=(2,1)，𝑏⃗=(−2,4)，∴𝑎⃗⃗−𝑏⃗=(4,−3)．|𝑎⃗⃗−𝑏⃗|=|(4,−3)|=√42+(−3)2=5．4.【答案】𝐶【解析

】【分析】本题考查了茎叶图，平均数，中位数，用频率估计概率，属于基础题．第6页，共16页【解答】解：首先将茎叶图的数据还原：甲同学16周各周课外体育运动时长：5.1，5.6，6.0，6.3，6.5，6.8，7.2，7.3，7.5，7.7，8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4，乙同

学16周各周课外体育运动时长：6.3，7.4，7.6，8.1，8.2，8.2，8.5，8.6，8.6，8.6，8.6，9.0，9.2，9.3，9.8，10.1甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为：7.3:7.52=7.4，

乙同学周课外体育运动时长的样本平均数为：6.3:7.4:7.6:8.1:8.2×2:8.5:8.6×4:9.0:9.2:9.3:9.8:10.116=8.50625>8，甲同学周课外体育运动时长大于8的有6周，故甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为616

=0.375<0.4，乙同学周课外体育运动时长大于8的有13周，故乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为1316=0.8125>0.6，故C是错误的．5.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查了线性规划问

题，属于基础题．【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示：将𝑧=2𝑥−𝑦，变形为𝑦=2𝑥−𝑧，这是斜率为2、随𝑧变化的一族平行直线𝑙，−𝑧是直线𝑙在𝑦轴上的截距，当−𝑧取最小值时，𝑧的值最大．第7页，共16页作出直线𝑙0:𝑦=2𝑥，将直线�

�从直线𝑙0位置平移至直线𝑙1的位置时，截距−𝑧最小，对应𝑧最大，即直线𝑙经过如图所示的点𝐶时，𝑧取最大值，由{𝑥+2𝑦=4𝑦=0得{𝑥=4𝑦=0，即点𝐶坐标为(4,0)，因此，𝑧max=2×4−0=8．6.【答案】𝐵

【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题．【解答】解：易知抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点为𝐹(1,0)，于是有|𝐵𝐹|=2，故|𝐴𝐹|=2，注意到抛物线通径2𝑝=4，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知𝐴𝐹必为半焦点

弦，于是有𝐴𝐹⊥𝑥轴，于是有|𝐴𝐵|=√22+22=2√2．7.【答案】𝐵【解析】【分析】本题考查程序框图，属于基础题．【解答】解：第一次循环：𝑏=1+1×2=3，𝑎=3−1=2，𝑛=1+1=2，|𝑏2𝑎2−

2|=|(32)2−2|=14>0.01第二次循环：𝑏=3+2×2=7，𝑎=7−2=5，𝑛=2+1=3，|𝑏2𝑎2−2|=|(75)2−2|=325>0.01第三次循环，𝑏=7+2×5=17

，𝑎=17−5=12，𝑛=3+1=4，|𝑏2𝑎2−2|=第8页，共16页|(1712)2−2|=1144<0.01故输出𝑛=48.【答案】𝐴【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别，属于中档题．【解答】解：对于𝐵，当𝑥=1时，𝑦=0，与图象

不符，故B不正确．对于𝐶，当时，𝑦=0，与图象不符，故C不正确．对于𝐷，当𝑥=3时，𝑦=sin35>0，与图象不符，故D不正确．故综合分析𝐴选项符合题意．9.【答案】𝐴【解析】【分析】本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题．【解答】解：对于𝐴选项：在正方体𝐴𝐵�

�𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，因为𝐸𝐹分别为𝐴𝐵，𝐵𝐶的中点，易知𝐸𝐹⊥𝐵𝐷，从而𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1，又因为𝐸𝐹⊂平面𝐵𝐷𝐷1，所以平面𝐵1𝐸𝐹⊥平面𝐵𝐷𝐷1，所以𝐴选项正确;对于𝐵选项：因

为平面𝐴1𝐵𝐷∩平面𝐵𝐷𝐷1=𝐵𝐷，由上述过程易知平面𝐵1𝐸𝐹⊥平面𝐴1𝐵𝐷不成立;对于𝐶选项的直线𝐴𝐴1与直线𝐵1𝐸必相交，故平面𝐵1𝐸𝐹//面𝐴1𝐴

𝐶有公共点，从而𝐶的错误;对于𝐷选项：连接𝐴𝐶，𝐴𝐵1，𝐵1𝐶，易知平面𝐴𝐵1𝐶//平面𝐴1𝐶1𝐷，又因为平面𝐴𝐵1𝐶与平面𝐵1𝐸𝐹有公共点𝐵1，故平面𝐴𝐵

1𝐶与平面𝐵1𝐸𝐹第9页，共16页不平行，所以𝐷选项错误．10.【答案】𝐷【解析】【分析】本题主要考查等比数列前𝑛项和中的基本量计算，属于基础题．根据题干列出等式求得𝑎1与𝑞，进而求出𝑎6．【解答】解：设等比数列*𝑎𝑛+首项𝑎

1，公比𝑞．由题意，{𝑎1+𝑎2+𝑎3=168𝑎2−𝑎5=42，即{𝑎1(1+𝑞+𝑞2)=168𝑎1𝑞(1−𝑞3)=42，即{𝑎1(1+𝑞+𝑞2)=168𝑎1𝑞(1−𝑞)(1+𝑞+𝑞2)=42解得，𝑞=12，𝑎1=96

，所以𝑎6=𝑎1𝑞5=3．11.【答案】𝐷【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，考查了运算求解能力，属于基础题．【解答】解：𝑓(𝑥)=cos𝑥+(𝑥+1)sin𝑥+1，则𝑓′(𝑥)=−sin𝑥+sin𝑥+(𝑥

+1)cos𝑥=(𝑥+1)cos𝑥，当；当，𝑓′(𝑥)<0；当则𝑓(𝑥)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，第10页，共16页又𝑓(0)=2，，∴在区间,0,2𝜋-上，，．12.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查

圆锥体积，最值计算．【解答】解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是边长为𝑎的正方形，底面所在圆面的半径为𝑟，则𝑟=√22𝑎，所以该四棱锥的高𝑕=√1−𝑎22，所以体积𝑉=13𝑎2√1−𝑎2

2，设𝑎2=𝑡(0<𝑡<2)，𝑉=13√𝑡2−𝑡32，.𝑡2−𝑡32/′=2𝑡−3𝑡22，当0<𝑡<43，.𝑡2−𝑡32/′>0，单调递增，当43<𝑡<2，.𝑡2−𝑡32/′<0，单调递减，所以当𝑡=43时，�

�取最大，此时𝑕=√1−𝑎22=√33，13.【答案】2【解析】【分析】本题考查了等差数列前𝑛项和中的基本量计算，属基础题．【解答】解：∵2𝑆3=3𝑆2+6，∴2(3𝑎1+3𝑑)=3(2𝑎1+𝑑)+6，∴𝑑=2．第11页，共16页14.【答案】310【解析】【分析】本题考查了

古典概型及其计算，属于基础题．【解答】解：设“甲、乙都入选”为事件𝐴，则𝑃(𝐴)=𝐶31𝐶53=310．15.【答案】(𝑥−2)2+(𝑦−3)2=13或(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=5或(𝑥−43)2+(𝑦

−73)2=659或(𝑥−85)2+(𝑦−1)2=16925【解析】【分析】本题主要考查求圆的标准方程，属于基础题．圆过其中三点共有四种情况，解题关键是三点中的两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径，每种情况逐一求解即

可．【解答】解：设点𝐴(0,0)，𝐵(4,0)，𝐶(−1,1)，𝐷(4,2)．(1)若圆过𝐴、𝐵、𝐶三圆圆心在直线𝑥=2，设圆心坐标为(2,𝑎)，则4+𝑎2=9+(𝑎−1)2⇒𝑎=3

，𝑟=√4+𝑎2=√13，所以圆的方程为(𝑥−2)2+(𝑦−3)2=13;(2)若圆过𝐴、𝐵、𝐷三点，同(1)设圆心坐标为(2,𝑎)，则4+𝑎2=4+(𝑎−2)2⇒𝑎=1，𝑟=√

4+𝑎2=√5，所以圆的方程为(𝑥−2)2+(𝑦−1)2=5;(3)若圆过𝐴、𝐶、𝐷三点，则线段𝐴𝐶的中垂线方程为𝑦=𝑥+1，线段𝐴𝐷的中垂线方程为𝑦=−2𝑥+5，联立得{𝑥=43�

�=73⇒𝑟=√169+499=√653，所以圆的方程为(𝑥−43)2+(𝑦−73)2=659;(4)若圆过𝐵、𝐶、𝐷三点，则线段𝐵𝐷的中垂线方程为𝑦=1，线段𝐵𝐶中垂线方程为𝑦=5

𝑥−7，联立得{𝑥=85𝑦=1⇒𝑟=√.85−4/2+1=135,所以圆的方程(𝑥−85)+(𝑦−1)2=16925．第12页，共16页16.【答案】−12ln2【解析】【分析】本题主要考查利用函数的奇偶性

求参，属于较难题．【解答】解：𝑓(𝑥)=ln|𝑎;𝑎𝑥:11;𝑥|+𝑏=ln|𝑎𝑥;𝑎;1𝑥;1|+𝑏，𝑓(−𝑥)=ln|𝑎𝑥:𝑎:1𝑥:1|+𝑏，𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)

=ln|𝑎𝑥;(𝑎:1)𝑥;1|+ln|𝑎𝑥:(𝑎:1)𝑥:1|+2𝑏=0，∴ln|𝑎2𝑥2;(𝑎:1)2𝑥2;1|+2𝑏=0，故𝑎21=(𝑎:1)21⇒2𝑎+1=0⇒𝑎=−12，−2𝑏=ln14=−2ln2⇒𝑏=ln2，故𝑎=−12,𝑏=

ln2．17.【答案】(1)解：∵𝐴=2𝐵，知sin𝐶sin(𝐴−𝐵)=sin𝐵sin(𝐶−𝐴)，∴sin𝐶sin𝐵=sin𝐵sin(𝐶−2𝐵)，又sin𝐵≠0，∴sin𝐶=sin(𝐶−2𝐵)，可得𝐶

+𝐶−2𝐵=180°，又∵𝐴=2𝐵，𝐴+𝐵+𝐶=180°，可解得𝐶=112.5°；(2)证明：由sin𝐶sin(𝐴−𝐵)=sin𝐵sin(𝐶−𝐴)可化简为：sin𝐶sin𝐴cos𝐵−sin𝐶cos𝐴sin𝐵=sin𝐵sin𝐶co

s𝐴−sin𝐵cos𝐶sin𝐴，由正弦定理可得𝑎𝑐cos𝐵−𝑏𝑐cos𝐴=𝑏𝑐cos𝐴−𝑎𝑏cos𝐶，即𝑎𝑐cos𝐵=2𝑏𝑐cos𝐴−𝑎𝑏cos𝐶，由余弦定理可得𝑎𝑐×𝑎2:𝑐2

;𝑏22𝑎𝑐=2𝑏𝑐×𝑏2:𝑐2;𝑎22𝑏𝑐−𝑎𝑏×𝑎2:𝑏2;𝑐22𝑎𝑏，即证得2𝑎2=𝑏2+𝑐2【解析】本题主要考查了正余弦定理的综合应用，以及两角和与差的正弦公式，考查了运算求解能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：因为∠𝐴𝐷�

�=∠𝐵𝐷𝐶，𝐴𝐷=𝐶𝐷，𝐵𝐷=𝐵𝐷，所以△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐷𝐵，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶，第13页，共16页又因为𝐸是𝐴𝐶的中点，所以𝐵𝐸⊥𝐴𝐶，又因为𝐴𝐷=𝐷𝐶，所以𝐷

𝐸⊥𝐴𝐶，又因为𝐵𝐸⋂𝐷𝐸=𝐸，且𝐵𝐸、𝐷𝐸⊂平面𝐵𝐸𝐷，所以𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐸𝐷，因为𝐴𝐶⊂平面𝐴𝐶𝐷，所以平面𝐵𝐸𝐷⊥平面𝐴𝐶𝐷;(2)解：因为𝐴𝐵=𝐵𝐷=2，∠𝐴𝐶𝐵=60∘，所以结合(1)可知

𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐶=2，又𝐸为𝐴𝐶的中点，则𝐵𝐸=√3，连接𝐸𝐹，因为△𝐴𝐷𝐵≌△𝐶𝐷𝐵，所以𝐴𝐹=𝐶𝐹，所以𝐸𝐹⊥𝐴𝐶，所以在△𝐵𝐸𝐷中，当𝐸𝐹⊥𝐵𝐷时，𝑆△𝐴𝐹𝐶最小，因为

𝐴𝐷⊥𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐷𝐶，𝐴𝐶=2，𝐸为𝐴𝐶的中点，所以𝐷𝐸=1，又𝐷𝐸2+𝐵𝐸2=𝐵𝐷2，所以𝐵𝐸⊥𝐸𝐷，若𝐸𝐹⊥𝐵𝐷，在△𝐵𝐸𝐷中𝐸𝐹=𝐵𝐸·𝐷𝐸𝐵𝐷=√32，得𝐵𝐹=√�

�𝐸2−𝐸𝐹2=32，则𝑆△𝐵𝐸𝐹=12𝐵𝐹·𝐸𝐹=12×32×√32=3√38，因此，𝑉𝐹;𝐴𝐵𝐶=𝑉𝐴;𝐵𝐸𝐹+𝑉𝐶;𝐵𝐸𝐹=13𝑆△𝐵𝐸𝐹·𝐴𝐶=13×3√38×2=√34．【解析】本题考查

了面面垂直的判定、线面垂直的判定、棱锥的体积等知识，属中档题．19.【答案】解：(1)设这种树木平均一课的根部横截面积为𝑥，平均一个的材积量为𝑦，则𝑥=0.610=0.06，𝑦=3.910=0.39．(2)𝑟=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖;𝑛�

�𝑦√.∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1;𝑛𝑥2/.∑𝑦𝑖2𝑛𝑖=1;𝑛𝑦2/=0.2474;10×0.06×0.39√0.038;10×0.062√1.6158;10×039)2=0.0134√0.002×0.0948=0.01340.01×√1.896=0.01340.0

1377=0.97；(3)设从根部面积总和为𝑋，总材积量为𝑌，则𝑋𝑌=𝑥𝑦，故𝑌=3.90.6×186=1209(𝑚3).第14页，共16页【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数

，属于中档题．20.【答案】解：(1)当𝑎=0时，𝑓(𝑥)=−1𝑥−ln𝑥，定义域为(0,+∞)．𝑓′(𝑥)=1𝑥2−1𝑥=1;𝑥𝑥2，当𝑥∈(0,1)时,𝑓′(𝑥)>0,𝑓(𝑥)单调递增，当𝑥∈

(1,+∞)时,𝑓′(𝑥)<0,𝑓(𝑥)单调递减，故𝑓(𝑥)max=𝑓(1)=−1−0=−1．(2)𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1𝑥−(𝑎+1)ln𝑥，定义域为(0,+∞)．𝑓′(𝑥)=𝑎+1𝑥2−�

�:1𝑥=𝑎𝑥2;(𝑎:1)𝑥:1𝑥2，令𝑔(𝑥)=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1,𝑥∈(0,+∞)①若𝑎=0，𝑔(𝑥)=−𝑥+1，由(1)知𝑓(𝑥)⩽−1，此时无零点．②若𝑎≠0，△=(𝑎+1)2−4𝑎=(

𝑎−1)2，当𝑎=1时，𝑔(𝑥)=(𝑥−1)2⩾0，𝑓′(𝑥)⩾0，故𝑓(𝑥)单调递增，且𝑓(1)=0，符合题意．当𝑎≠1时，𝑔(𝑥)=0有两个不等的实根，𝑥1=1,𝑥2=1𝑎，若𝑎<0，𝑓

(𝑥)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)单调递减，此时𝑓(𝑥)⩽𝑓(1)=𝑎−1<0，此时无零点．若0<𝑎<1，𝑓(𝑥)在(0,1)上单调递增，在(1,1𝑎)单调递减，在(1𝑎,+∞)单调递增，又𝑓(1)=𝑎−1<0，𝑓

(1𝑎)=1−𝑎+(𝑎+1)𝑙𝑛𝑎<0，当𝑥→+∞时，𝑓(𝑥)>0，符合题意，若𝑎>1，𝑓(𝑥)在(0,1𝑎)上单调递增，在(1𝑎,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，又𝑓(1)=𝑎−1>0，𝑓(

1𝑎)>0，当𝑥→0时，𝑓(𝑥)<0，符合题意．综上，𝑎的取值范围为(0,+∞)．【解析】本题主要考查利用导数研究函数的最值及利用导数研究函数的零点，属于难题．21.【答案】解：(1)设𝐸的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，将𝐴(0,−2)，𝐵(3

2,−1)两点代入得{4𝑏2=194𝑎2+1𝑏2=1，解得𝑎2=3，𝑏2=4，故E的方程为𝑥23+𝑦24=1．(2)由𝐴(0,−2)，𝐵(32,−1)可得直线𝐴𝐵:𝑦=23𝑥−2①若过𝑃(1,−2)的直线的斜率不存在，直线为𝑥=1.代入𝑥23+𝑦24=1，可得�

�(1,2√63)，第15页，共16页𝑁(1,−2√63)，将𝑦=2√63代入𝐴𝐵:𝑦=23𝑥−2，可得𝑇(√6+3,2√63)，由𝑀𝑇⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑇𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗，得𝐻(2√6+5

,2√63).易求得此时直线𝐻𝑁:𝑦=(2−2√63)𝑥−2.过点(0,−2)；②若过𝑃(1,−2)的直线的斜率存在，设𝑘𝑥−𝑦−(𝑘+2)=0，𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)。联立{𝑘𝑥−𝑦−(𝑘+2)

=0𝑥23+𝑦24=1，得(3𝑘2+4)𝑥2−6𝑘(2+𝑘)𝑥+3𝑘(𝑘+4)=0，故有{𝑥1+𝑥2=6𝑘(2:𝑘)3𝑘2:4𝑥1𝑥2=3𝑘(4:𝑘)3𝑘2:4,{

𝑦1+𝑦2=;8(2:𝑘)3𝑘2:4𝑦1𝑦2=4(4:4𝑘;2𝑘2)3𝑘2:4，且𝑥1𝑦2+𝑥2𝑦1=;24𝑘3𝑘2:4(∗)联立{𝑦=𝑦1𝑦=23𝑥−2，可得𝑇(3𝑦12+3,𝑦1

)，𝐻(3𝑦1+6−𝑥1,𝑦1)，可求得此时𝐻𝑁:𝑦−𝑦2=𝑦1;𝑦23𝑦1:6;𝑥1;𝑥2(𝑥−𝑥2)将(0,−2)代入整理得2(𝑥1+𝑥2)−6(𝑦1+𝑦2)+𝑥1𝑦2+𝑥2𝑦1−3𝑦1𝑦

2−12=0将(∗)式代入，得24𝑘+12𝑘2+96+48𝑘−24𝑘−48−48𝑘+24𝑘2−36𝑘2−48=0，显然成立．综上，可得直线𝐻𝑁过定点(0,−2)．【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)根据点在椭圆上，坐

标满足椭圆方程，求出椭圆的标准方程；(2)分类讨论过点𝑃的直线斜率是否存在，再根据题干依次表示出𝑇，𝑁坐标，表示出直线𝐻𝑁方程，判断直线过定点即可．22.【答案】解：(1)由𝜌sin(𝜃+𝜋3)+𝑚=0可

得，𝜌(sin𝜃cos𝜋3+cos𝜃sin𝜋3)+𝑚=0，即𝜌(12sin𝜃+√32cos𝜃)+𝑚=0，12𝑦+√32𝑥+𝑚=0，故𝑙的方程为：√3𝑥+𝑦+2𝑚=0．(2)由�

�=√3cos2𝑡，得𝑥=√3(1−2sin2𝑡)=√3[1−2.𝑦2/2]=√3−√32𝑦2，联立{𝑥=√3−√32𝑦2√3𝑥+𝑦+2𝑚=0，3𝑦2−2𝑦−4𝑚−6=0，即3𝑦2−2𝑦−6=4𝑚(−2≤𝑦≤2)，−3≤4�

�√3≤6，即−193≤4𝑚≤10，−1912≤𝑚≤52，故𝑚的范围是−1912≤𝑚≤52．【解析】本题考查极坐标，极坐标的直线方程，求解参数，属于中档题．(1)根据题意，求出直线方程；第16页，共16页(1)求出𝐶的方程，联立求解参数范围．2

3.【答案】解：(1)证明：因为𝑎，𝑏，𝑐为正数，所以𝑎32+𝑏32+𝑐32≥3√𝑎32𝑏32𝑐323=3√𝑎𝑏𝑐，当且仅当𝑎=𝑏=𝑐=3;23时取等号，所以3√𝑎𝑏𝑐≤1，即𝑎𝑏

𝑐≤19，得证．(2)要证𝑎𝑏:𝑐+𝑏𝑎:𝑐+𝑐𝑎:𝑏≤12√𝑎𝑏𝑐成立，只需证𝑎32√𝑏𝑐𝑏:𝑐+𝑏32√𝑎𝑐𝑎:𝑐+𝑐32√𝑎𝑏𝑎:𝑏≤12，又因为𝑏+𝑐≥2

√𝑏𝑐，𝑎+𝑐≥2√𝑎𝑐，𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏，当且仅当𝑎=𝑏=𝑐=3;23时，同时取等，所以𝑎32√𝑏𝑐𝑏:𝑐+𝑏32√𝑎𝑐𝑎:𝑐+𝑐32√𝑎𝑏𝑎:𝑏⩽𝑎32√𝑏𝑐2√𝑏𝑐+𝑏32√𝑎𝑐2√𝑎𝑐+�

�32√𝑎𝑏2√𝑎𝑏=12，得证.【解析】本题考查了不等式的证明，掌握均值不等式是关键，属于中档题．(1)由均值不等式即可证；(2)先对不等式进行转化，再由均值不等式进行放缩可证.