【文档说明】2022届全国新高考1卷数学试卷真题答案.docx，共(19)页，261.100 KB，由baby熊上传

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第1页，共19页2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考1卷）数学一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合𝑀=*𝑥|√𝑥<4+，𝑁=*𝑥|3𝑥≥1+，则𝑀∩𝑁=()A.*𝑥|0≤𝑥<2+B.*𝑥|13≤𝑥<2+C

.*𝑥|3≤𝑥<16+D.*𝑥|13≤𝑥<16+2.若𝑖(1−𝑧)=1，则𝑧+𝑧=()A.−2B.−1C.1D.23.在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在边𝐴𝐵上，𝐵𝐷=2𝐷𝐴.记𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚⃗⃗⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑛

⃗⃗，则𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=()A.3𝑚⃗⃗⃗−2𝑛⃗⃗B.−2𝑚⃗⃗⃗+3𝑛⃗⃗C.3𝑚⃗⃗⃗+2𝑛⃗⃗D.2𝑚⃗⃗⃗+3𝑛⃗⃗4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.

已知该水库水位为海拔148.5𝑚时，相应水面的面积为140.0𝑘𝑚2;水位为海拔157.5𝑚时，相应水面的面积为180.0𝑘𝑚2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5𝑚上升到157.5𝑚时，增加的水量约为(√7≈2.65)()A.1.0×109�

�3B.1.2×109𝑚3C.1.4×109𝑚3D.1.6×109𝑚35.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.236.记函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜋4)+𝑏(𝜔>0

)的最小正周期为𝑇.若2𝜋3<𝑇<𝜋，且𝑦=𝑓(𝑥)的图像关于点(3𝜋2,2)中心对称，则𝑓(𝜋2)=()A.1B.32C.52D.37.设𝑎=0.1𝑒0.1，𝑏=19，𝑐=−ln0.9，

则()A.𝑎<𝑏<𝑐B.𝑐<𝑏<𝑎C.𝑐<𝑎<𝑏D.𝑎<𝑐<𝑏8.已知正四棱锥的侧棱长为𝑙，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36𝜋，且3≤𝑙≤3√3，则该正四棱锥体积的取值范围是()A.,18,814-B.,27

4,814-C.,274,643-D.,18,27-二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，则()第2页，共19页A.直线𝐵𝐶1与𝐷𝐴1所成的角为90∘B.直线𝐵𝐶1与𝐶𝐴1所成的角为9

0∘C.直线𝐵𝐶1与平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷所成的角为45∘D.直线𝐵𝐶1与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角为45∘10.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥+1，则()A.𝑓(𝑥)有两个极值点B.𝑓(𝑥)有三个零点C.点(0,1)是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的对称中心D.直线𝑦

=2𝑥是曲线𝑦=𝑓(𝑥)的切线11.已知𝑂为坐标原点，点𝐴(1,1)在抛物线𝐶:𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)上，过点𝐵(0,−1)的直线交𝐶于𝑃，𝑄两点，则()A.𝐶的准线为𝑦=−1B.直线𝐴𝐵与𝐶相切C.

|𝑂𝑃|⋅|𝑂𝑄|>|𝑂𝐴|2D.|𝐵𝑃|⋅|𝐵𝑄|>|𝐵𝐴|212.已知函数𝑓(𝑥)及其导函数𝑓′(𝑥)的定义域为𝑅，记𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥).若𝑓(32−2𝑥)，𝑔(2+𝑥)均为

偶函数，则()A.𝑓(0)=0B.𝑔(−12)=0C.𝑓(−1)=𝑓(4)D.𝑔(−1)=𝑔(2)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1−𝑦𝑥)(𝑥+𝑦)8的展开式中𝑥2𝑦6的系数

为(用数字作答)．14.写出与圆𝑥2+𝑦2=1和(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=16都相切的一条直线的方程．15.若曲线𝑦=(𝑥+𝑎)𝑒𝑥有两条过坐标原点的切线，则𝑎的取值范围是．16.已知椭圆𝐶:𝑥2

𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，𝐶的上顶点为𝐴，两个焦点为𝐹1，𝐹2，离心率为12，过𝐹1且垂直于𝐴𝐹2的直线与𝐶交于𝐷，𝐸两点，|𝐷𝐸|=6，则△𝐴𝐷𝐸的周长是．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.记𝑆𝑛为数列*

𝑎𝑛+的前𝑛项和，已知𝑎1=1，{𝑆𝑛𝑎𝑛}是公差为13的等差数列．(1)求*𝑎𝑛+的通项公式;(2)证明：1𝑎1+1𝑎2+⋯+1𝑎𝑛<2．第3页，共19页18.记△𝐴𝐵𝐶的内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为

𝑎，𝑏，𝑐，已知cos𝐴1:sin𝐴=sin2𝐵1:cos2𝐵．(1)若𝐶=2𝜋3，求𝐵;(2)求𝑎2:𝑏2𝑐2的最小值．19.如图，直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积为4

，△𝐴1𝐵𝐶的面积为2√2．(1)求𝐴到平面𝐴1𝐵𝐶的距离;(2)设𝐷为𝐴1𝐶的中点，𝐴𝐴1=𝐴𝐵，平面𝐴1𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，求二面角𝐴−𝐵𝐷−𝐶的正弦值．20.一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病

与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(

1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异⋅(2)从该地的人群中任选一人，𝐴表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，𝐵表示事件“选到的人患有该疾病”，𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)与𝑃(𝐵|𝐴

)𝑃(𝐵|𝐴)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为𝑅．(𝑖)证明：𝑅=𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)．𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴|𝐵);(𝑖𝑖)利用该调查数据，给出𝑃(𝐴|𝐵)，𝑃(

𝐴|𝐵)的估计值，并利用(𝑖)的结果给出𝑅的估第4页，共19页计值．附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑;𝑏𝑐)2(𝑎:𝑏)(𝑐:𝑑)(𝑎:𝑐)(𝑏:𝑑)，𝑃(𝐾2≥𝑘)0.0500.0100.001

𝑘3.8416.63510.82821.已知点𝐴(2,1)在双曲线𝐶:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑎2;1=1(𝑎>1)上，直线𝑙交𝐶于𝑃，𝑄两点，直线𝐴𝑃，𝐴𝑄的斜率之和为0．(1)求𝑙的斜率;(2)若tan∠𝑃𝐴𝑄=2

√2，求△𝑃𝐴𝑄的面积．已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥和𝑔(𝑥)=𝑎𝑥−ln𝑥有相同的最小值．(1)求𝑎;(2)证明：存在𝑦=𝑏直线，其与两条曲线𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．第5页，共19

页答案和解析1.【答案】𝐷【解析】【分析】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．【解答】解：因为𝑀=*𝑥|0≤𝑥<16+，𝑁=*𝑥|𝑥≥13+，故𝑀∩𝑁=*𝑥|13≤𝑥<16+．2.【答案】𝐷【解析】【分析

】本题考查了复数代数形式的四则运算及共轭复数，属基础题．【解答】解：𝑧=1+𝑖，𝑧+𝑧=1+𝑖+1−𝑖=2．3.【答案】𝐵【解析】【分析】本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题．【解答】解：𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=23𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗，𝐶�

�⃗⃗⃗⃗⃗=3𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−2𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝑚⃗⃗⃗+3𝑛⃗⃗．4.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查了棱台的体积公式的应用，属于基础题．【解答】第6页，共19页解：依据棱台的体积公式𝑉=13⋅(𝑆+𝑆′+√𝑆𝑆′)⋅𝑕=13⋅(140

000000+180000000+√14000000×18000000)×9≈1.4×109𝑚3．5.【答案】𝐷【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，涉及组合数公式、对立事件的概率公式，属基础题．

【解答】解：由题可知，总的取法有𝐶72=21种，不互质的数对情况有：两个偶数，3和6．所以两个数互质的概率为𝑃=1−𝐶42:121=23．6.【答案】𝐴【解析】【分析】本题主要考查三角函数的周期性和对称性，属于中档题．【解答】解：由题可知：𝑇=2

𝜋𝜔∈(2𝜋3,𝜋)，所以𝜔∈(2,3)．又因为𝑦=𝑓(𝑥)的图像关于点(3𝜋2,2)中心对称，所以𝑏=2，且𝑓(3𝜋2)=sin(𝜔×3𝜋2+𝜋4)+𝑏=2．所以𝜔=23(𝑘−14)，𝑘∈𝑍，所以𝜔=52.所以𝑓(𝑥)=sin(52𝑥+𝜋4)

+2.所以𝑓(𝜋2)=1．7.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查了利用导数比较大小，关键是构造合适的函数，考查了运算能力，属于较难题．【解答】第7页，共19页解：𝑎=0.1𝑒0.1，𝑏=0.11;0.1，𝑐=−ln(1−0.1)，①ln𝑎−ln𝑏=0.1+ln(1−0.

1)，令𝑓(𝑥)=𝑥+ln(1−𝑥),𝑥∈(0,0.1-,则𝑓′(𝑥)=1−11;𝑥=;𝑥1;𝑥<0，故𝑓(𝑥)在(0,0.1-上单调递减，可得𝑓(0.1)<𝑓(0)=0，即ln𝑎−ln𝑏<0，所以𝑎<𝑏；②𝑎−𝑐=0.1𝑒0.1+ln(1−0.

1)，令𝑔(𝑥)=𝑥𝑒𝑥+ln(1−𝑥),𝑥∈(0,0.1-,则𝑔′(𝑥)=𝑥𝑒𝑥+𝑒𝑥−11;𝑥(1:𝑥)(1;𝑥)𝑒𝑥;11;𝑥，令𝑘(𝑥)=(1+𝑥)(1−𝑥)𝑒𝑥−1，所以𝑘′(𝑥)=(1−𝑥2−2𝑥)𝑒𝑥>

0，所以𝑘(𝑥)在(0,0.1-上单调递增，可得𝑘(𝑥)>𝑘(0)>0，即𝑔′(𝑥)>0，所以𝑔(𝑥)在(0,0.1-上单调递增，可得𝑔(0.1)>𝑔(0)=0，即𝑎−𝑐>0，所以𝑎>𝑐．故𝑐<𝑎<𝑏．8.【答案】𝐶【解析】【分析】本题考查

了球的内接问题，涉及棱锥的体积、球的体积、基本不等式、导数等知识，属较难题．【解答】解：方法(1)：设正四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷的高为𝑃𝑂1=𝑕，底面边长为𝑎，球心为𝑂，由已知易得球半径为𝑅=3，所以{(√22𝑎)2+(𝑕−3)2=9

(√22𝑎)2+𝑕2=𝑙2⇒{6𝑕=𝑙2𝑎2=2(6𝑕−𝑕2)，因为3≤𝑙≤3√3⇒9≤6𝑕≤27⇒32≤𝑕≤92，故所以𝑉=13𝑎2𝑕=23(6𝑕−𝑕2)𝑕=13(12−2𝑕)�

�×𝑕≤13×,(12;2ℎ):ℎ:ℎ3-3=643(当且仅当𝑕=4取到)，当𝑕=32时，得𝑎=3√3√2，则𝑉min=13𝑎2𝑕=13(3√3√2)2×32=274;第8页，共19页当𝑙=3√3时，球心在正

四棱锥高线上，此时𝑕=32+3=92，√22𝑎=3√32⇒𝑎=3√3√2，正四棱锥体积𝑉1=13𝑎2𝑕=13(3√3√2)2×92=814<643，故该正四棱锥体积的取值范围是,274,643-.方法(2):由方法(1)中知𝑉=23(6−𝑕)𝑕2，32≤𝑕≤92

，求导𝑉′=2(4−𝑕)𝑕，所以𝑉=23(6−𝑕)𝑕2在,32,4-上单调递增，在,4,92-上单调递减，所以𝑉max=𝑉(4)=643，𝑉min=min*𝑉(32),𝑉(92)+=𝑉(32)=274，

故该正四棱锥体积的取值范围是,274,643-.9.【答案】𝐴𝐵𝐷【解析】【分析】本题主要考查直线与直线所成角及直线与平面所成角，属于中档题．【解答】解：如图，因为𝐵𝐶1⊥𝐵1𝐶，𝐵1𝐶//𝐷𝐴1，所以𝐵𝐶1⊥𝐷𝐴1，故A正确;对于选

项B:因为直线𝐵𝐶1⊥平面𝐶𝐷𝐴1𝐵1，且𝐶𝐴1⊂平面𝐶𝐷𝐴1𝐵1，所以直线𝐵𝐶1⊥𝐶𝐴1，故B正确;对于选项C:连接𝐴1𝐶1与𝐵1𝐷1交于点𝑂1，则∠𝑂1𝐵𝐶1即为直线𝐵𝐶1与

平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷所成的角，sin∠𝑂1𝐵𝐶1=𝑂1𝐶1𝐵𝐶1=12，所以∠𝑂1𝐵𝐶1=30∘，故C错误;对于选项D:直线𝐵𝐶1与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角即为∠𝐶1𝐵𝐶=45∘，所以D正确．10.【答案】�

�𝐶【解析】【分析】第9页，共19页本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题．【解答】解：𝑓(𝑥)=𝑥3−𝑥+1⇒𝑓′(𝑥)=3

𝑥2−1，令𝑓′(𝑥)=0得：𝑥=±√33，𝑓′(𝑥)>0⇒𝑥<−√33或𝑥>√33；𝑓′(𝑥)<0⇒−√33<𝑥<√33，所以𝑓(𝑥)在(−∞,−√33)上单调递增，在(−√

33,√33)上单调递减，在(√33,+∞)上单调递增，所以𝑓(𝑥)有两个极值点(𝑥=−√33为极大值点，𝑥=√33为极小值点)，故A正确;又𝑓(−√33)=−√39−(−√33)+1=1+

2√39>0，𝑓(√33)=√39−√33+1=1−2√39>0，所以𝑓(𝑥)仅有1个零点(如图所示)，故B错;又𝑓(−𝑥)=−𝑥3+𝑥+1⇒𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=2，所以𝑓(𝑥)关于(0,1)对称，故C正确;对于𝐷选项，设切点𝑃(𝑥0,𝑦0)，在𝑃处的切

线为𝑦−(𝑥03−𝑥0+1)=(3𝑥02−1)(𝑥−𝑥0)，即𝑦=(3𝑥02−1)𝑥−2𝑥03+1，若𝑦=2𝑥是其切线，则{3𝑥02−1=2−2𝑥03+1=0，方程组无解，所以𝐷错

．11.【答案】𝐵𝐶𝐷【解析】【分析】本题考查了直线与抛物线的位置关系，属较难题．【解答】第10页，共19页解：点𝐴(1,1)在抛物线𝐶:𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝>0)上，即1=2𝑝⇒𝐶:𝑥2=𝑦，所以准线为𝑦=−14，所以𝐴错;直线𝐴𝐵:𝑦=2𝑥−1代入

𝑥2=𝑦得：𝑥2−2𝑥+1=0⇒(𝑥−1)2=0⇒𝑥=0，所以𝐴𝐵与𝐶相切，故B正确．由题知直线𝑃𝑄的斜率一定存在，则可设直线𝑃𝑄:𝑦=𝑘𝑥−1，𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，则{𝑦=𝑘𝑥−1𝑦=𝑥2⇒𝑥2−𝑘𝑥+1=0

，𝛥=𝑘2−4>0⇒𝑘<−2或𝑘>2，此时{𝑥1+𝑥2=𝑘𝑥1𝑥2=1,{𝑦1+𝑦2=𝑥12+𝑥22=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2=𝑘2−2𝑦1𝑦2=𝑥12𝑥22=1

,|𝑂𝑃|⋅|𝑂𝑄|=√(𝑥12+𝑦12)(𝑥22+𝑦22)=√(𝑦1+𝑦12)(𝑦2+𝑦22)=√(𝑦1𝑦2)2+(𝑦1𝑦2)(𝑦1+𝑦2)+𝑦1𝑦2=√2+(𝑘2−2)=√𝑘2>2=|𝑂𝐴|2，故C正确;|𝐵𝑃|⋅|𝐵�

�|=√1+𝑘2|𝑥1−0|√1+𝑘2|𝑥2−0|=(1+𝑘2)|𝑥1𝑥2|=(1+𝑘2)>5=|𝐵𝐴|2，故D正确．12.【答案】𝐵𝐶【解析】【分析】本题主要考查导函数与原函数的关系，函数的对称性及奇偶性，属于难题．【解答】解：由𝑓(32−2𝑥)为

偶函数可知𝑓(𝑥)关于直线𝑥=32对称，由𝑔(2+𝑥)为偶函数可知𝑔(𝑥)关于直线𝑥=2对称，结合𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)，根据𝑔(𝑥)关于直线𝑥=2对称可知𝑓(𝑥)关于点(2,𝑡)对称，

第11页，共19页根据𝑓(𝑥)关于直线𝑥=32对称可知：𝑔(𝑥)关于点(32,0)对称，综上，函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)均是周期为2的周期函数，所以有𝑓(0)=𝑓(2)=𝑡，所以𝐴不正确;

𝑓(−1)=𝑓(1)，𝑓(4)=𝑓(2)，𝑓(1)=𝑓(2)，故𝑓(−1)=𝑓(4)，所以C正确．𝑔(−12)=𝑔(32)=0，𝑔(−1)=𝑔(1)，所以B正确;又𝑔(1)+𝑔(2)=0，所以𝑔(−1)+𝑔(2)=0，所以𝐷不正确．

13.【答案】−28【解析】【分析】本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题．【解答】解：因为(𝑥+𝑦)8展开式的通项𝑇𝑟:1=𝐶8𝑟𝑥8;𝑟𝑦𝑟，令𝑟=5，则𝑥3𝑦5的系数为𝐶85=56；令𝑟=6

，则𝑥2𝑦6的系数为𝐶86=28，所以𝑥2𝑦6的系数为−56+28=−28．14.【答案】𝑥+1=07𝑥−24𝑦−25=03𝑥+4𝑦−5=0(填一条即可)【解析】【分析】本题考查了圆与圆的公切线问题，涉

及圆与圆的位置关系、点到直线的距离等知识，属较难题．【解答】解：方法1:显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0，于是|𝑐|√1:𝑏2=1，|3:4𝑏:𝑐|√1:𝑏2=4．故𝑐2=

1+𝑏2①，|3+4𝑏+𝑐|=|4𝑐|.于是3+4𝑏+𝑐=4𝑐或3+4𝑏+𝑐=−4𝑐，再结合①解得{𝑏=0𝑐=1或{𝑏=−247𝑐=−257或{𝑏=43𝑐=−53，所以直线方程有三条，分别为𝑥+1=0，7𝑥−24𝑦−2

5=0，3𝑥+4𝑦−5=0．(填一条即可)方法2:设圆𝑥2+𝑦2=1的圆心𝑂(0,0)，半径为𝑟1=1，圆(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=16的圆心𝐶(3,4)，半径𝑟2=4，则|𝑂𝐶|=5=𝑟1+𝑟2，因此

两圆外切，第12页，共19页由图像可知，共有三条直线符合条件，显然𝑥+1=0符合题意；又由方程(𝑥−3)2+(𝑦−4)2=16和𝑥2+𝑦2=1相减可得方程3𝑥+4𝑦−5=0，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线�

�𝐶的方程为4𝑥−3𝑦=0，直线𝑂𝐶与直线𝑥+1=0的交点为(−1,−43)，设过该点的直线为𝑦+43=𝑘(𝑥+1)，则|𝑘;43|√𝑘2:1=1，解得𝑘=724，从而该切线的方程为7𝑥−24𝑦−25=0.(填一条

即可)15.【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)【解析】【分析】本题主要考查过曲线外一点的切线问题，属于中档题．【解答】解：𝑦′=(𝑥+𝑎+1)𝑒𝑥，设切点为(𝑥0,𝑦0)，故𝑦0𝑥0=(𝑥0+𝑎+1)𝑒𝑥0，即(𝑥0:𝑎)𝑒𝑥0�

�0=(𝑥0+𝑎+1)𝑒𝑥0.由题意可得，方程𝑥+𝑎=𝑥(𝑥+𝑎+1)在(−∞,0)∪(0,+∞)上有两个不相等的实数根.化简得，𝑥2+𝑎𝑥−𝑎=0，△=𝑎2+4𝑎>0，解得𝑎<−4或𝑎>0，显然此时0不是根，故满足题意．16.【答案】13

【解析】【分析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题．第13页，共19页【解答】解：由椭圆离心率为12，可得𝑎=2𝑐，则𝑏=√𝑎2−

𝑐2=√3𝑐，则𝐶：𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1，𝐴(0,√3𝑐)，𝐹1(−𝑐,0)，𝐹2(𝑐,0)，易得𝑙𝐴𝐹2：𝑦=−√3𝑥+√3𝑐，𝑙𝐸𝐷：𝑦=√33(𝑥+

𝑐)，可解得𝐴𝐹2与𝐷𝐸的交点𝑀(𝑐2,√3𝑐2)，故直线𝐷𝐸垂直平分𝐴𝐹2，即𝐸𝐴=𝐸𝐹2，𝐷𝐴=𝐷𝐹2，又{𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1𝑦=√33(

𝑥+𝑐)⇒13𝑥2+8𝑐𝑥−32𝑐2=0⇒{𝑥𝐷+𝑥𝐸=−8𝑐13𝑥𝐷𝑥𝐸=−32𝑐213∴|𝐷𝐸|=√1+13|𝑥𝐷−𝑥𝐸|=6⇒(𝑥𝐷+𝑥𝐸)2−4𝑥𝐷𝑥𝐸=27⇒𝑐=138，所以△𝐴𝐷𝐸的周长𝐴𝐷+𝐴𝐸+

𝐷𝐸=𝐷𝐹2+𝐸𝐹2+𝐷𝐹1+𝐸𝐹1=4𝑎=8𝑐=13．17.【答案】解：(1)𝑆𝑛𝑎𝑛=𝑆1𝑎1+13(𝑛−1)=𝑛:23⇒𝑆𝑛=𝑛:23𝑎𝑛①;∴𝑆𝑛:1=𝑛+33𝑎𝑛:1②;由②−

①得：𝑎𝑛:1=𝑛:33𝑎𝑛:1−𝑛:23𝑎𝑛⇒𝑎𝑛+1𝑎𝑛=𝑛:2𝑛;∴当𝑛⩾2且𝑛∈𝑁∗时，𝑎𝑛𝑎1=𝑎𝑛𝑎𝑛−1⋅𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2⋯𝑎3𝑎2⋅𝑎2𝑎1=𝑛:1𝑛;1⋅𝑛𝑛;2⋯53⋅4

2⋅31=(𝑛:1)𝑛2⇒𝑎𝑛=𝑛(𝑛:1)2，又𝑎1=1也符合上式，因此𝑎𝑛=𝑛(𝑛:1)2(𝑛∈𝑁∗);(2)∵1𝑎𝑛=2𝑛(𝑛:1)=2(1𝑛−1𝑛:1)，∴1𝑎1+1𝑎2+⋯+1𝑎𝑛=2(11−12+12−13+⋯+1𝑛−1

𝑛:1)=2(1−1𝑛:1)<2，即原不等式成立．【解析】本题考查了数列与不等式，涉及裂项相消法求和、等差数列的通项公式、根据数列的递推公式求通项公式等知识，属中档题．第14页，共19页18.【答案】解：(1)∵cos𝐴1:sin𝐴

=sin2𝐵1:cos2𝐵，∴cos2𝐴2;sin2𝐴2cos2𝐴2:sin2𝐴2:2sin𝐴2cos𝐴2=2sin𝐵cos𝐵1:2cos2𝐵;1且cos𝐵≠0，∴cos𝐴2;sin𝐴2cos𝐴2:sin𝐴2=sin𝐵cos𝐵∴1;

tan𝐴21:tan𝐴2=tan𝐵，∴tan(𝜋4−𝐴2)=tan𝐵，又𝐴，𝐵∈(0,𝜋)，𝜋4−𝐴2∈(−𝜋4,𝜋4)，∴𝜋4−𝐴2=𝐵．又∵𝐶=2𝜋3，∴𝐴+𝐵=𝜋3，∴𝐵=𝜋6．(2)由正弦定理𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐s

in𝐶，得𝑎2:𝑏2𝑐2=sin2𝐴:sin2𝐵sin2𝐶=sin2𝐴:sin2(𝜋4;𝐴2)sin2(𝐴:𝜋4;𝐴2)1−cos2𝐴2:1−cos2(𝜋4−𝐴2)21−cos2(𝐴+𝜋4−𝐴2)2=1;cos2

𝐴:1;sin𝐴1:sin𝐴=2sin2𝐴;sin𝐴:11:sin𝐴，{𝐴∈(0,𝜋)𝜋4−𝐴2=𝐵∈(0,𝜋)⇒𝐴∈(0,𝜋2)，令𝑡=1+sin𝐴∈(1,2)，则𝑦=2(𝑡;1)2;(𝑡;

1):1𝑡=2𝑡−5+4𝑡，𝑡∈(1,2)，𝑦=2𝑡−5+4𝑡在𝑡∈(1,√2)时递减，在𝑡∈(√2,2)时递增，因此𝑡=√2时，𝑦min=4√2−5．【解析】本题主要考查三角恒等变换的综合应用及利用余弦定理和对勾函数解决最值问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)设𝐴

到平面𝐴1𝐵𝐶的距离为𝑑，因为直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积为4，即可得𝑆△𝐴𝐵𝐶·𝐴𝐴1=4，故𝑉𝐴1;𝐴𝐵𝐶=13𝑆△𝐴𝐵𝐶·𝐴𝐴1=43，又𝑉𝐴1;𝐴𝐵𝐶=𝑉𝐴;𝐴1𝐵𝐶=13𝑆△𝐴1𝐵𝐶·

𝑑=13×2√2×𝑑=43，解得𝑑=√2，所以𝐴到平面𝐴1𝐵𝐶的距离为√2；(2)连接𝐴𝐵1，因为直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐴1=𝐴𝐵，故𝐴𝐴1𝐵1𝐵为正方形，即𝐴

𝐵1⊥𝐴1𝐵，又平面𝐴1𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，平面𝐴1𝐵𝐶∩平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1=𝐴1𝐵，𝐴𝐵1⊂平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，故𝐴𝐵1⊥平面𝐴1𝐵𝐶，所以𝐴𝐵1⊥𝐵𝐶，又因为𝐴𝐴1⊥𝐵𝐶，

𝐴𝐵1,𝐴𝐴1⊂平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，且𝐴𝐵1∩𝐴𝐵1=𝐴，故𝐵𝐶⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，则𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，所以𝐵𝐵1,𝐴𝐵,𝐵𝐶三条直线两两垂直，故如图可以以𝐵为原点建立空间直角坐标系，第15页，共19页设𝐴𝐴1=𝐴𝐵=

𝑎，𝐵𝐶=𝑏，则𝐴1𝐵=√2𝑎，由条件可得{12𝑎×𝑏×𝑎=412×√2𝑎×𝑏=2√2，解得{𝑎=2𝑏=2,则𝐵(0,0,0)，𝐶(2,0,0)，𝐴(0,2,0)，𝐴1(0,2,2

)，𝐴1𝐶的中点𝐷(1,1,1)，所以𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,1)，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0)设平面𝐴𝐵𝐷的一个法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，{𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=0⇒{2𝑦=0𝑥+𝑦+𝑧=0，取𝑛1⃗⃗⃗⃗=(1,0,−1)，同理可求得平面𝐵𝐶𝐷的一个法向量为𝑛2⃗⃗⃗⃗=(0,1,−1)所以|cos<𝑛1⃗⃗⃗⃗，𝑛2⃗⃗⃗⃗>|=|𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗|·|𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗|=12，

所以二面角𝐴−𝐵𝐷−𝐶的正弦值为√32．【解析】本题考查了平面与平面所成角的空间向量求法、点到面的距离的几何求法、几何体的体积公式，考查了空间中的垂直关系的证明与应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)得到2×2联表如下：不够良好良好

总计病例组4060100对照组1090100总计50150200∵𝐾2=200×(40×90−60×10)2100×100×50×150=24>10.828第16页，共19页∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异;(2)(𝑖)证明

：∵𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐴)，𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐴)，𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐴)，𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐴)，∴𝑅=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)÷𝑃

(𝐵|𝐴)𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐴)𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐴)÷𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐴)𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐵𝐴)·𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐵𝐴)又∵𝑃(𝐴|𝐵)

=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)，𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)，𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)，𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)，∴𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)·𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)=

𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)·𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴𝐵)·𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵𝐴)𝑃(𝐵𝐴)·𝑃(𝐵𝐴)

𝑃(𝐵𝐴)，∴𝑅=𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)·𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴|𝐵);(𝑖𝑖)∵𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)=40100=25，𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)=60100=35，𝑃(𝐴

|𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)=90100=910，𝑃(𝐴|𝐵)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)=10100=110∴𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)⋅𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)=2535×910110=6∴𝑅=𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴|�

�)．𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)=6即𝑃(𝐴|𝐵)=25，𝑃(𝐴|𝐵)=110，𝑅的估计值为6．【解析】本题考查了独立性检验和条件概率的计算，属中档题．21.【答案】解：(1)将点𝐴代入双曲线方

程得4𝑎2−1𝑎2;1=1，化简得𝑎4−4𝑎2+4=0得：𝑎2=2，故双曲线方程为𝑥22−𝑦2=1;由题显然直线𝑙的斜率存在，设𝑙:𝑦=𝑘𝑥+𝑚，设𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，则联立直线与双曲线得：(2𝑘2−1)𝑥

2+4𝑘𝑚𝑥+2𝑚2+2=0，△>0，故𝑥1+𝑥2=−4𝑘𝑚2𝑘2;1，𝑥1𝑥2=2𝑚2:22𝑘2;1，𝑘𝐴𝑃+𝑘𝐴𝑄=𝑦1;1𝑥1;2+𝑦2;1𝑥2;2=𝑘𝑥1:𝑚;1𝑥1;2+𝑘𝑥2:�

�;1𝑥2;2=0，化简得：2𝑘𝑥1𝑥2+(𝑚−1−2𝑘)(𝑥1+𝑥2)−4(𝑚−1)=0，故2𝑘(2𝑚2:2)2𝑘2;1+(𝑚−1−2𝑘)(−4𝑘𝑚2𝑘2;1)−4(𝑚−1)=0，第17页，共19页即(𝑘+1)(𝑚+2𝑘−1

)=0，而直线𝑙不过𝐴点，故𝑘=−1．(2)设直线𝐴𝑃的倾斜角为𝛼，由tan∠𝑃𝐴𝑄=2√2，得tan∠𝑃𝐴𝑄2=√22，由2𝛼+∠𝑃𝐴𝑄=𝜋，得𝑘𝐴𝑃=tan𝛼=√2，即𝑦

1;1𝑥1;2=√2，联立𝑦1;1𝑥1;2=√2，及𝑥122−𝑦12=1得𝑥1=10;4√23，𝑦1=4√2;53，同理，𝑥2=10:4√23，𝑦2=;4√2;53，故𝑥1+𝑥2=203，𝑥1𝑥2=689而|𝐴𝑃|=√3|𝑥1

−2|，|𝐴𝑄|=√3|𝑥2−2|，由tan∠𝑃𝐴𝑄=2√2，得sin∠𝑃𝐴𝑄=2√23，故𝑆△𝑃𝐴𝑄=12|𝐴𝑃||𝐴𝑄|sin∠𝑃𝐴𝑄=√2|𝑥1𝑥2−2(𝑥1+𝑥2)+4|=16√29．【解析】本题主要考查直线

与双曲线的位置关系及双曲线中面积问题，属于难题．22.【答案】解：(1)由题知𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎，𝑔′(𝑥)=𝑎−1𝑥，①当𝑎≤0时，𝑓′(𝑥)>0，，𝑔′(𝑥)<0，则两函数均无最小值，不符题意;②当𝑎>0时，𝑓(𝑥)在(−∞,ln𝑎)单调递减，

在(ln𝑎,+∞)单调递增；𝑔(𝑥)在(0,1𝑎)单调递减，在(1𝑎,+∞)单调递增；故𝑓(𝑥)min=𝑓(ln𝑎)=𝑎−𝑎ln𝑎，𝑔(𝑥)min=𝑔(1𝑎)=1−ln1𝑎，所以𝑎−𝑎ln𝑎=1−ln

1𝑎，即ln𝑎−𝑎;1𝑎:1=0，令𝑝(𝑎)=ln𝑎−𝑎;1𝑎:1，则𝑝′(𝑎)=1𝑎−2(𝑎:1)2=𝑎2:1𝑎(𝑎:1)2>0，则𝑝(𝑎)在(0,+∞)单调递增，又𝑝(1)=0，所以𝑎=1．(2)由(1)知，𝑓(𝑥)

=𝑒𝑥−𝑥，𝑔(𝑥)=𝑥−ln𝑥，且𝑓(𝑥)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；𝑔(𝑥)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且𝑓(𝑥)min=𝑔(𝑥)min=1．①𝑏<1时，此时𝑓(𝑥)mi

n=𝑔(𝑥)min=1>𝑏，显然𝑦=𝑏与两条曲线𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)共有0个交点，不符合题意；②𝑏=1时，此时𝑓(𝑥)min=𝑔(𝑥)min=1=𝑏，故𝑦=𝑏与两条曲线𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)共

有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；③𝑏>1时，首先，证明𝑦=𝑏与曲线𝑦=𝑓(𝑥)有2个交点，第18页，共19页即证明𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑏有2个零点，𝐹′(𝑥)=𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−1

，所以𝐹(𝑥)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，又因为𝐹(−𝑏)=𝑒;𝑏>0，𝐹(0)=1−𝑏<0，𝐹(𝑏)=𝑒𝑏−2𝑏>0，(令𝑡(𝑏)=𝑒𝑏−2𝑏，则

𝑡′(𝑏)=𝑒𝑏−2>0，𝑡(𝑏)>𝑡(1)=𝑒−2>0)所以𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑏在(−∞,0)上存在且只存在1个零点，设为𝑥1，在(0,+∞)上存在且只存在1个零点，设为�

�2．其次，证明𝑦=𝑏与曲线和𝑦=𝑔(𝑥)有2个交点，即证明𝐺(𝑥)=𝑔(𝑥)−𝑏有2个零点，𝐺′(𝑥)=𝑔′(𝑥)=1−1𝑥，所以𝐺(𝑥)(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，又因为𝐺(𝑒;𝑏)=𝑒;𝑏>0，�

�(0)=1−𝑏<0，𝐺(2𝑏)=𝑏−ln2𝑏>0，(令𝜇(𝑏)=𝑏−ln2𝑏，则𝜇′(𝑏)=1−1𝑏>0，𝜇(𝑏)>𝜇(1)=1−ln2>0)所以𝐺(𝑥)=𝑔(𝑥)−𝑏在(0,1)上存在且只存在1个零点，设为𝑥3，

在(1,+∞)上存在且只存在1个零点，设为𝑥4．再次，证明存在𝑏，使得𝑥2=𝑥3:因为𝐹(𝑥2)=𝐺(𝑥3)=0，所以𝑏=𝑒𝑥2−𝑥2=𝑥3−ln𝑥3，若𝑥2=𝑥3，则𝑒𝑥2−𝑥2=𝑥2−ln�

�2，即𝑒𝑥2−2𝑥2+ln𝑥2=0，所以只需证明𝑒𝑥−2𝑥+ln𝑥=0在(0,1)上有解即可，即𝜑(𝑥)=𝑒𝑥−2𝑥+ln𝑥在(0,1)上有零点，因为𝜑(1𝑒3)=𝑒1𝑒3−2𝑒3−3<0，𝜑(1)=𝑒−2>0，所以𝜑(𝑥)=𝑒

𝑥−2𝑥+ln𝑥在(0,1)上存在零点，取一零点为𝑥0，令𝑥2=𝑥3=𝑥0即可，此时取𝑏=𝑒𝑥0−𝑥0则此时存在直线𝑦=𝑏，其与两条曲线𝑦=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)共有三

个不同的交点，最后证明𝑥1+𝑥4=2𝑥0，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，因为𝐹(𝑥1)=𝐹(𝑥2)=𝐹(𝑥0)=0=𝐺(𝑥3)=𝐺(𝑥0)=𝐺(𝑥4)所以𝐹(𝑥1)=𝐺(𝑥0)=𝐹

(ln𝑥0)，又因为𝐹(𝑥)在(−∞,0)上单调递减，𝑥1<0，0<𝑥0<1即ln𝑥0<0，所以𝑥1=ln𝑥0，同理，因为𝐹(𝑥0)=𝐺(𝑒𝑥0)=𝐺(𝑥4)，又因为𝐺(𝑥)在(1,+∞)上单调递增

，𝑥0>0即𝑒𝑥0>1，𝑥1>1，所以𝑥4=𝑒𝑥0，又因为𝑒𝑥0−2𝑥0+ln𝑥0=0，所以𝑥1+𝑥4=𝑒𝑥0+ln𝑥0=2𝑥0，第19页，共19页即直线𝑦=𝑏与两条曲线�

�=𝑓(𝑥)和𝑦=𝑔(𝑥)从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【解析】本题主要考查了利用导数研究函数单调性、最值，函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于难题．