【文档说明】2022北京市高考数学试题及答案.docx，共(19)页，180.564 KB，由baby熊上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-66622.html

以下为本文档部分文字说明：

试卷第1页，共4页2022年北京市高考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集𝑈=*𝑥|−3<𝑥<3+，集合𝐴=*𝑥|−2<𝑥≤1+，则∁𝑈𝐴=（）A．(−2,1-B．(−3

,−2)∪,1,3)C．,−2,1)D．(−3,−2-∪(1,3)2．若复数z满足i⋅𝑧=3−4i，则|𝑧|=（）A．1B．5C．7D．253．若直线2𝑥+𝑦−1=0是圆(𝑥−𝑎)2+𝑦2=1的一条对称轴，则𝑎=（）A．12B．−12C．1D．−14．己知函数𝑓

(𝑥)=11:2𝑥，则对任意实数x，有（）A．𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=0B．𝑓(−𝑥)−𝑓(𝑥)=0C．𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=1D．𝑓(−𝑥)−𝑓(𝑥)=135．已知函数𝑓(𝑥)=cos2𝑥−sin2𝑥，则（）A．𝑓(𝑥)在.−𝜋2,−𝜋6/

上单调递减B．𝑓(𝑥)在.−𝜋4,𝜋12/上单调递增C．𝑓(𝑥)在.0,𝜋3/上单调递减D．𝑓(𝑥)在.𝜋4,7𝜋12/上单调递增6．设*𝑎𝑛+是公差不为0的无穷等差数列，则“*𝑎𝑛+为递增数列”是“存在正整数𝑁0，当𝑛>�

�0时，𝑎𝑛>0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg�

�的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）试卷第2页，共4页A．当𝑇=220，𝑃=1026时，二氧化碳处于液态B．当𝑇=270，𝑃=128时，二氧化碳处于气态C．当𝑇=300，𝑃=9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当𝑇=360，𝑃

=729时，二氧化碳处于超临界状态8．若(2𝑥−1)4=𝑎4𝑥4+𝑎3𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0，则𝑎0+𝑎2+𝑎4=（）A．40B．41C．−40D．−419．已知正三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的六条棱

长均为6，S是△𝐴𝐵𝐶及其内部的点构成的集合．设集合𝑇=*𝑄∈𝑆|𝑃𝑄≤5+，则T表示的区域的面积为（）A．3𝜋4B．𝜋C．2𝜋D．3𝜋10．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶=3,𝐵𝐶=4,∠𝐶=90°．P为△𝐴𝐵𝐶所在平

面内的动点，且𝑃𝐶=1，则𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑的取值范围是（）A．,−5,3-B．,−3,5-C．,−6,4-D．,−4,6-二、填空题11．函数𝑓(𝑥)=1𝑥+√1−𝑥的定

义域是_________．12．已知双曲线𝑦2+𝑥2𝑚=1的渐近线方程为𝑦=±√33𝑥，则𝑚=__________．13．若函数𝑓(𝑥)=𝐴sin𝑥−√3cos𝑥的一个零点为𝜋3，则𝐴=________；𝑓(𝜋12)=________．14．己知数

列*𝑎𝑛+各项均为正数，其前n项和𝑆𝑛满足𝑎𝑛⋅𝑆𝑛=9(𝑛=1,2,⋯)．给出下列四个结论：①*𝑎𝑛+的第2项小于3；②*𝑎𝑛+为等比数列；③*𝑎𝑛+为递减数列；④*𝑎𝑛+中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是_

_________．三、双空题试卷第3页，共4页15．设函数𝑓(𝑥)={−𝑎𝑥+1,𝑥<𝑎,(𝑥−2)2,𝑥≥𝑎.若𝑓(𝑥)存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为_________

__．四、解答题16．在△𝐴𝐵𝐶中，sin2𝐶=√3sin𝐶．(1)求∠𝐶；(2)若𝑏=6，且△𝐴𝐵𝐶的面积为6√3，求△𝐴𝐵𝐶的周长．17．如图，在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧面𝐵𝐶𝐶1𝐵1为正方形

，平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，M，N分别为𝐴1𝐵1，AC的中点．(1)求证：𝑀𝑁∥平面𝐵𝐶𝐶1𝐵1；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：𝐴𝐵⊥𝑀�

�；条件②：𝐵𝑀=𝑀𝑁．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m以上（含9．50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：

m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅

球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；试卷第4页，共4页(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19．已知椭圆：𝐸

:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的一个顶点为𝐴(0,1)，焦距为2√3．(1)求椭圆E的方程；(2)过点𝑃(−2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当|𝑀𝑁|=2时，求k的值．20．

已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥ln(1+𝑥)．(1)求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(0,𝑓(0))处的切线方程；(2)设𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)，讨论函数𝑔(𝑥)在,0,+∞)上的单调性；(3)证明：对任意的𝑠,𝑡∈(0,+∞)，有𝑓(𝑠+𝑡)>𝑓(𝑠

)+𝑓(𝑡)．21．已知𝑄:𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑘为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的𝑛∈*1,2,⋯,𝑚+，在Q中存在𝑎𝑖,𝑎𝑖:1,𝑎𝑖:2,⋯,𝑎𝑖:𝑗(𝑗≥0)，使得𝑎𝑖+𝑎𝑖:1+𝑎𝑖:2+⋯+𝑎𝑖:𝑗=𝑛，

则称Q为𝑚−连续可表数列．(1)判断𝑄:2,1,4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；(2)若𝑄:𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑘为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；(3)若𝑄:𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑘为20−连续可表数列，且𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑘<

20，求证：𝑘≥7．答案第1页，共15页参考答案：1．D【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：∁𝑈𝐴=*𝑥|−3<𝑥≤−2或1<𝑥<3+，即∁𝑈𝐴=(−3,−2-∪(1,3)，故选：D．2．B【解析】【分析】利用复数四则运算，

先求出𝑧，再计算复数的模．【详解】由题意有𝑧=3;4ii=(3;4i)(;i)i⋅(;i)=−4−3i，故|𝑧|=√(−4)2+(−3)2=5．故选：B．3．A【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可

知圆心为(𝑎,0)，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2𝑎+0−1=0，解得𝑎=12．故选：A．4．C【解析】【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】𝑓(−𝑥)+𝑓(�

�)=11:2−𝑥+11:2𝑥=2𝑥1:2𝑥+11:2𝑥=1，故A错误，C正确；答案第2页，共15页𝑓(−𝑥)−𝑓(𝑥)=11:2−𝑥−11:2𝑥=2𝑥1:2𝑥−11:2𝑥=2𝑥;12𝑥:1=1−22𝑥:1

，不是常数，故BD错误；故选：C．5．C【解析】【分析】化简得出𝑓(𝑥)=cos2𝑥，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为𝑓(𝑥)=cos2𝑥−sin2𝑥=cos2𝑥.对于A选项，当−𝜋2<𝑥<−𝜋6时，−𝜋<2𝑥<−𝜋3，则𝑓(𝑥)在.−

𝜋2,−𝜋6/上单调递增，A错；对于B选项，当−𝜋4<𝑥<𝜋12时，−𝜋2<2𝑥<𝜋6，则𝑓(𝑥)在.−𝜋4,𝜋12/上不单调，B错；对于C选项，当0<𝑥<𝜋3时，0<2𝑥<2𝜋3，则𝑓(𝑥)在.0,𝜋3/上单调

递减，C对；对于D选项，当𝜋4<𝑥<7𝜋12时，𝜋2<2𝑥<7𝜋6，则𝑓(𝑥)在.𝜋4,7𝜋12/上不单调，D错.故选：C.6．C【解析】【分析】设等差数列*𝑎𝑛+的公差为𝑑，则𝑑≠0，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数

列*𝑎𝑛+的公差为𝑑，则𝑑≠0，记,𝑥-为不超过𝑥的最大整数.若*𝑎𝑛+为单调递增数列，则𝑑>0，若𝑎1≥0，则当𝑛≥2时，𝑎𝑛>𝑎1≥0；若𝑎1<0，则𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑，由𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑>0可得𝑛>1

−𝑎1𝑑，取𝑁0=01−𝑎1𝑑1+1，则当𝑛>𝑁0时，𝑎𝑛>0，所以，“*𝑎𝑛+是递增数列”⇒“存在正整数𝑁0，当𝑛>𝑁0时，𝑎𝑛>0”；若存在正整数𝑁0，当𝑛>𝑁0时，𝑎𝑛>0，取𝑘∈N∗

且𝑘>𝑁0，𝑎𝑘>0，假设𝑑<0，令𝑎𝑛=𝑎𝑘+(𝑛−𝑘)𝑑<0可得𝑛>𝑘−𝑎𝑘𝑑，且𝑘−𝑎𝑘𝑑>𝑘，当𝑛>0𝑘−𝑎𝑘𝑑1+1时，𝑎𝑛<0，与题设

矛盾，假设不成立，则𝑑>0，即数列*𝑎𝑛+是递增数答案第3页，共15页列.所以，“*𝑎𝑛+是递增数列”⇐“存在正整数𝑁0，当𝑛>𝑁0时，𝑎𝑛>0”.所以，“*𝑎𝑛+是递增数列”是“存在正整数𝑁0，当𝑛>𝑁0时

，𝑎𝑛>0”的充分必要条件.故选：C.7．D【解析】【分析】根据𝑇与lg𝑃的关系图可得正确的选项.【详解】当𝑇=220，𝑃=1026时，lg𝑃>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当𝑇=270，𝑃=128时，2<lg𝑃<3，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当�

�=300，𝑃=9987时，lg𝑃与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，另一方面，𝑇=300时对应的是非超临界状态，故C错误.当𝑇=360，𝑃=729时，因2<lg𝑃<3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故

选：D8．B【解析】【分析】利用赋值法可求𝑎0+𝑎2+𝑎4的值.【详解】令𝑥=1，则𝑎4+𝑎3+𝑎2+𝑎1+𝑎0=1，令𝑥=−1，则𝑎4−𝑎3+𝑎2−𝑎1+𝑎0=(−3)4=81，故𝑎4+𝑎2+𝑎0=1:812

=41，故选：B.9．B【解析】【分析】求出以𝑃为球心，5为半径的球与底面𝐴𝐵𝐶的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】答案第4页，共15页设顶点𝑃在底面上的投影为𝑂，连接𝐵𝑂，则𝑂为三角形𝐴𝐵𝐶的中心，且𝐵𝑂

=23×6×√32=2√3，故𝑃𝑂=√36−12=2√6.因为𝑃𝑄=5，故𝑂𝑄=1，故𝑆的轨迹为以𝑂为圆心，1为半径的圆，而三角形𝐴𝐵𝐶内切圆的圆心为𝑂，半径为2×√34×363×6=√

3>1，故𝑆的轨迹圆在三角形𝐴𝐵𝐶内部，故其面积为𝜋故选：B10．D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设𝑃(cos𝜃,sin𝜃)，表示出𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑，𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑，根据数

量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则𝐶(0,0)，𝐴(3,0)，𝐵(0,4)，答案第5页，共15页因为𝑃𝐶=1，所以𝑃在以𝐶为圆心，1为半径的圆上运动，设𝑃(cos𝜃,sin

𝜃)，𝜃∈,0,2𝜋-，所以𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=(3−cos𝜃,−sin𝜃)，𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=(−cos𝜃,4−sin𝜃)，所以𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑=(−cos𝜃)×(3−

cos𝜃)+(4−sin𝜃)×(−sin𝜃)=cos2𝜃−3cos𝜃−4sin𝜃+sin2𝜃=1−3cos𝜃−4sin𝜃=1−5sin(𝜃+𝜑)，其中sin𝜑=35，cos𝜑=45，因为−1≤sin(𝜃+𝜑)≤1，所以−4≤1−

5sin(𝜃+𝜑)≤6，即𝑃𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑃𝐵⃑⃑⃑⃑⃑∈,−4,6-；故选：D11．(−∞,0)∪(0,1-【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为𝑓(𝑥)=1𝑥+√

1−𝑥，所以21−𝑥≥0𝑥≠0，解得𝑥≤1且𝑥≠0，故函数的定义域为(−∞,0)∪(0,1-；故答案为：(−∞,0)∪(0,1-12．−3答案第6页，共15页【解析】【分析】首先可得𝑚<0，即可得到双曲线的标准方程，从而得到𝑎、𝑏，再跟渐

近线方程得到方程，解得即可；【详解】解：对于双曲线𝑦2+𝑥2𝑚=1，所以𝑚<0，即双曲线的标准方程为𝑦2−𝑥2;𝑚=1，则𝑎=1，𝑏=√−𝑚，又双曲线𝑦2+𝑥2𝑚=1的渐近线方程为𝑦=±√33𝑥，所以𝑎𝑏=√33，即1√;𝑚=√33，解得

𝑚=−3；故答案为：−313．1−√2【解析】【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为𝑓(𝑥)=2sin(𝑥−π3)，代入自变量𝑥=π12，计算即可.【详解】∵𝑓(π3)=√32𝐴−√32=

0，∴𝐴=1∴𝑓(𝑥)=sin𝑥−√3cos𝑥=2sin(𝑥−π3)𝑓(π12)=2sin(π12−π3)=−2sinπ4=−√2故答案为：1，−√214．①③④【解析】【分析】推导出𝑎𝑛=9𝑎𝑛−9𝑎𝑛−1，求出𝑎1、𝑎2的值，可判断①；

利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【详解】由题意可知，∀𝑛∈N∗，𝑎𝑛>0，当𝑛=1时，𝑎12=9，可得𝑎1=3；答案第7页，共15页当𝑛≥2时，由𝑆𝑛=9𝑎𝑛可得𝑆𝑛;1=9

𝑎𝑛−1，两式作差可得𝑎𝑛=9𝑎𝑛−9𝑎𝑛−1，所以，9𝑎𝑛−1=9𝑎𝑛−𝑎𝑛，则9𝑎2−𝑎2=3，整理可得𝑎22+3𝑎2−9=0，因为𝑎2>0，解得𝑎2=3√5

;32<3，①对；假设数列*𝑎𝑛+为等比数列，设其公比为𝑞，则𝑎22=𝑎1𝑎3，即.9𝑆2/2=81𝑆1𝑆3，所以，𝑆22=𝑆1𝑆3，可得𝑎12(1+𝑞)2=𝑎12(1+𝑞+𝑞2)，解得𝑞=0，不合乎题意，故数列*𝑎𝑛+不

是等比数列，②错；当𝑛≥2时，𝑎𝑛=9𝑎𝑛−9𝑎𝑛−1=9(𝑎𝑛−1;𝑎𝑛)𝑎𝑛𝑎𝑛−1>0，可得𝑎𝑛<𝑎𝑛;1，所以，数列*𝑎𝑛+为递减数列，③对；假设对任意的𝑛∈N∗，𝑎

𝑛≥1100，则𝑆100000≥100000×1100=1000，所以，𝑎100000=9𝑆100000≤91000<1100，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导

.15．0（答案不唯一）1【解析】【分析】根据分段函数中的函数𝑦=−𝑎𝑥+1的单调性进行分类讨论，可知，𝑎=0符合条件，𝑎<0不符合条件，𝑎>0时函数𝑦=−𝑎𝑥+1没有最小值，故𝑓(𝑥)的最小值只能取𝑦=(𝑥−2)2的最小值，根据定义

域讨论可知−𝑎2+1≥0或−𝑎2+1≥(𝑎−2)2，解得0<𝑎≤1.【详解】解：若𝑎=0时，𝑓(𝑥)=*1(𝑥−2)2,𝑥<0,𝑥≥0，∴𝑓(𝑥)min=0；若𝑎<0时，当𝑥<

𝑎时，𝑓(𝑥)=−𝑎𝑥+1单调递增，当𝑥→−∞时，𝑓(𝑥)→−∞，故𝑓(𝑥)没有最小值，不符合题目要求；若𝑎>0时，当𝑥<𝑎时，𝑓(𝑥)=−𝑎𝑥+1单调递减，𝑓(𝑥)

>𝑓(𝑎)=−𝑎2+1，答案第8页，共15页当𝑥>𝑎时，𝑓(𝑥)min=*0(𝑎−2)2(0<𝑎<2)(𝑎≥2)∴−𝑎2+1≥0或−𝑎2+1≥（𝑎−2）2，解得0<𝑎≤1，综上可得0≤𝑎≤1；故答案为：0（答案不唯一），116．(1)𝜋6(2)6+6√3【解析】【

分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos𝐶的值，结合角𝐶的取值范围可求得角𝐶的值；（2）利用三角形的面积公式可求得𝑎的值，由余弦定理可求得𝑐的值，即可求得△𝐴𝐵𝐶的周长.(1)解：因为𝐶∈(0,𝜋)，则sin𝐶>0，由已知可得√3

sin𝐶=2sin𝐶cos𝐶，可得cos𝐶=√32，因此，𝐶=𝜋6.(2)解：由三角形的面积公式可得𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑏sin𝐶=32𝑎=6√3，解得𝑎=4√3.由余弦定理可得𝑐2=𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏cos𝐶=48+36−2×4√3×6×

√32=12，∴𝑐=2√3，所以，△𝐴𝐵𝐶的周长为𝑎+𝑏+𝑐=6√3+6.17．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）取𝐴𝐵的中点为𝐾，连接𝑀𝐾,𝑁𝐾，可证平面𝑀𝐾𝑁//平面𝐶𝐵𝐵1𝐶1，从而可证𝑀𝑁//平面𝐶𝐵�

�1𝐶1.（2）选①②均可证明𝐵𝐵1⊥平面𝐴𝐵𝐶，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.(1)答案第9页，共15页取𝐴𝐵的中点为𝐾，连接𝑀𝐾,𝑁𝐾，由三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵

1𝐶1可得四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1为平行四边形，而𝐵1𝑀=𝑀𝐴1,𝐵𝐾=𝐾𝐴，则𝑀𝐾//𝐵𝐵1，而𝑀𝐾⊄平面𝐶𝐵𝐵1𝐶1，𝐵𝐵1⊂平面𝐶𝐵𝐵1𝐶1，故𝑀𝐾//平面𝐶�

�𝐵1𝐶1，而𝐶𝑁=𝑁𝐴,𝐵𝐾=𝐾𝐴，则𝑁𝐾//𝐵𝐶，同理可得𝑁𝐾//平面𝐶𝐵𝐵1𝐶1，而𝑁𝐾∩𝑀𝐾=𝐾,𝑁𝐾,𝑀𝐾⊂平面𝑀𝐾𝑁，故平面𝑀�

�𝑁//平面𝐶𝐵𝐵1𝐶1，而𝑀𝑁⊂平面𝑀𝐾𝑁，故𝑀𝑁//平面𝐶𝐵𝐵1𝐶1，(2)因为侧面𝐶𝐵𝐵1𝐶1为正方形，故𝐶𝐵⊥𝐵𝐵1，而𝐶𝐵⊂平面𝐶𝐵𝐵1𝐶1，平面𝐶𝐵𝐵1𝐶1⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，平面𝐶𝐵�

�1𝐶1∩平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1=𝐵𝐵1，故𝐶𝐵⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，因为𝑁𝐾//𝐵𝐶，故𝑁𝐾⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，因为𝐴𝐵⊂平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，故𝑁𝐾⊥𝐴𝐵，若选①，则𝐴𝐵⊥𝑀𝑁，而𝑁𝐾⊥𝐴𝐵，𝑁𝐾

∩𝑀𝑁=𝑁，故𝐴𝐵⊥平面𝑀𝑁𝐾，而𝑀𝐾⊂平面𝑀𝑁𝐾，故𝐴𝐵⊥𝑀𝐾，所以𝐴𝐵⊥𝐵𝐵1，而𝐶𝐵⊥𝐵𝐵1，𝐶𝐵∩𝐴𝐵=𝐵，故𝐵𝐵1⊥平面𝐴𝐵𝐶，故可建立如所示的空间直角坐标系

，则𝐵(0,0,0),𝐴(0,2,0),𝑁(1,1,0),𝑀(0,1,2)，故𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=(0,2,0),𝐵𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,1,0),𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,1,2)，设平面𝐵𝑁𝑀的法向量为𝑛⃑=(𝑥,𝑦,𝑧)，则*𝑛

⃑⋅𝐵𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0𝑛⃑⋅𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，从而*𝑥+𝑦=0𝑦+2𝑧=0，取𝑧=−1，则𝑛⃑=(−2,2,−1)，设直线𝐴𝐵与平面𝐵𝑁𝑀所成的角为𝜃，则sin𝜃=|cos〈𝑛⃑,𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑〉|

=42×3=23.若选②，因为𝑁𝐾//𝐵𝐶，故𝑁𝐾⊥平面𝐴𝐵𝐵1𝐴1，而𝐾𝑀⊂平面𝑀𝐾𝑁，故𝑁𝐾⊥𝐾𝑀，而𝐵1𝑀=𝐵𝐾=1,𝑁𝐾=1，故𝐵1𝑀=𝑁𝐾，而

𝐵1𝐵=𝑀𝐾=2，𝑀𝐵=𝑀𝑁，故△𝐵𝐵1𝑀≅△𝑀𝐾𝑁，所以∠𝐵𝐵1𝑀=∠𝑀𝐾𝑁=90°，故𝐴1𝐵1⊥𝐵𝐵1，而𝐶𝐵⊥𝐵𝐵1，𝐶𝐵∩𝐴𝐵=𝐵，故𝐵𝐵1⊥平面𝐴𝐵𝐶，故可建立如所示的空间直角坐标系，则𝐵

(0,0,0),𝐴(0,2,0),𝑁(1,1,0),𝑀(0,1,2)，故𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑=(0,2,0),𝐵𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1,1,0),𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(0,1,2)，答案第10页，共15页设平面𝐵𝑁𝑀的法向量为𝑛⃑=(𝑥,

𝑦,𝑧)，则*𝑛⃑⋅𝐵𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0𝑛⃑⋅𝐵𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0，从而*𝑥+𝑦=0𝑦+2𝑧=0，取𝑧=−1，则𝑛⃑=(−2,2,−1)，设直线𝐴𝐵与平面𝐵𝑁𝑀所成的角为𝜃，则sin𝜃=|cos〈𝑛⃑,𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑〉|=42×3

=23.18．(1)0.4(2)75(3)丙【解析】【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.(1)由频率估计概率可得甲获得优秀的概

率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4(2)设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3𝑃(𝑋=0)=𝑃(𝐴1̅̅̅𝐴2̅̅̅𝐴3̅̅̅)=0.6×0.5×0.5=320，答案第11页，共15页𝑃(𝑋=1)=

𝑃(𝐴1𝐴2̅̅̅𝐴3̅̅̅)+𝑃(𝐴1̅̅̅𝐴2𝐴3̅̅̅)+𝑃(𝐴1̅̅̅𝐴2̅̅̅𝐴3)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=820，𝑃(𝑋=2)=𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3̅̅̅)+𝑃(𝐴1𝐴

2̅̅̅𝐴3)+𝑃(𝐴1̅̅̅𝐴2𝐴3)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=720，𝑃(𝑋=3)=𝑃(𝐴1𝐴2𝐴3)=0.4×0.5×0.5=220.∴X的分布列为X0123P320820720220∴𝐸

(𝑋)=0×320+1×820+2×720+3×220=75(3)丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，

比赛次数越多，对丙越有利.19．(1)𝑥24+𝑦2=1(2)𝑘=−4【解析】【分析】（1）依题意可得{𝑏=12𝑐=2√3𝑐2=𝑎2−𝑏2，即可求出𝑎，从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程，设𝐵(𝑥1,𝑦1)、𝐶(𝑥2,𝑦2)，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理

，由直线𝐴𝐵、𝐴𝐶的方程，表示出𝑥𝑀、𝑥𝑁，根据|𝑀𝑁|=|𝑥𝑁−𝑥𝑀|得到方程，解得即可；(1)解：依题意可得𝑏=1，2𝑐=2√3，又𝑐2=𝑎2−𝑏2，所以𝑎=2，所以椭圆方程为𝑥24+𝑦2=1；

答案第12页，共15页(2)解：依题意过点𝑃(−2,1)的直线为𝑦−1=𝑘(𝑥+2)，设𝐵(𝑥1,𝑦1)、𝐶(𝑥2,𝑦2)，不妨令−2≤𝑥1<𝑥2≤2，由{𝑦−1=𝑘(𝑥+2)𝑥24+𝑦2=1，消去𝑦整理得(1+4𝑘2)�

�2+(16𝑘2+8𝑘)𝑥+16𝑘2+16𝑘=0，所以Δ=(16𝑘2+8𝑘)2−4(1+4𝑘2)(16𝑘2+16𝑘)>0，解得𝑘<0，所以𝑥1+𝑥2=−16𝑘2:8𝑘1:4𝑘2，𝑥1⋅

𝑥2=16𝑘2:16𝑘1:4𝑘2，直线𝐴𝐵的方程为𝑦−1=𝑦1;1𝑥1𝑥，令𝑦=0，解得𝑥𝑀=𝑥11;𝑦1，直线𝐴𝐶的方程为𝑦−1=𝑦2;1𝑥2𝑥，令𝑦=0，解得𝑥𝑁=𝑥21;𝑦2，所以|𝑀𝑁|=|𝑥𝑁

−𝑥𝑀|=|𝑥21;𝑦2−𝑥11;𝑦1|=|𝑥21−,𝑘(𝑥2+2)+1-−𝑥11−,𝑘(𝑥1+2)+1-|=|𝑥2−𝑘(𝑥2+2)+𝑥1𝑘(𝑥1+2)|=|(𝑥2+2)𝑥1−𝑥2(𝑥1+2)𝑘(𝑥2+2)(𝑥1

+2)|=2|𝑥1;𝑥2||𝑘|(𝑥2:2)(𝑥1:2)=2，所以|𝑥1−𝑥2|=|𝑘|(𝑥2+2)(𝑥1+2)，即√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=|𝑘|,𝑥2𝑥1+2(𝑥

2+𝑥1)+4-即√.−16𝑘2:8𝑘1:4𝑘2/2−4×16𝑘2:16𝑘1:4𝑘2=|𝑘|016𝑘2:16𝑘1:4𝑘2+2.−16𝑘2:8𝑘1:4𝑘2/+41即81:4𝑘2√(2𝑘2+𝑘)2−(1+4𝑘2)(𝑘2+𝑘)=|𝑘

|1:4𝑘2,16𝑘2+16𝑘−2(16𝑘2+8𝑘)+4(1+4𝑘2)-整理得8√−𝑘=4|𝑘|，解得𝑘=−420．(1)𝑦=𝑥(2)𝑔(𝑥)在,0,+∞)上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标

，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；答案第13页，共15页（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令𝑚(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑡)−𝑓(𝑥)，(𝑥,𝑡>0)，即证𝑚(𝑥)>𝑚(0)，由第二问结论可知𝑚(𝑥)在[0,+∞）上单调递增，

即得证.(1)解：因为𝑓(𝑥)=e𝑥ln(1+𝑥)，所以𝑓(0)=0，即切点坐标为(0,0)，又𝑓′(𝑥)=e𝑥(ln(1+𝑥)+11:𝑥)，∴切线斜率𝑘=𝑓′(0)=1∴切线方程为：𝑦=𝑥(2)解：因为𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)=e𝑥(ln(1+𝑥)+1

1:𝑥)，所以𝑔′(𝑥)=e𝑥(ln(1+𝑥)+21:𝑥−1(1:𝑥)2)，令𝑕(𝑥)=ln(1+𝑥)+21:𝑥−1(1:𝑥)2，则𝑕′(𝑥)=11:𝑥−2(1:𝑥)2+2(1:𝑥

)3=𝑥2:1(1:𝑥)3>0，∴𝑕(𝑥)在,0,+∞)上单调递增，∴𝑕(𝑥)≥𝑕(0)=1>0∴𝑔′(𝑥)>0在,0,+∞)上恒成立，∴𝑔(𝑥)在,0,+∞)上单调递增.(3)解：原不等式等价于𝑓(𝑠+𝑡)−𝑓(𝑠)>𝑓(𝑡)−𝑓

(0)，令𝑚(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑡)−𝑓(𝑥)，(𝑥,𝑡>0)，即证𝑚(𝑥)>𝑚(0)，∵𝑚(𝑥)=𝑓(𝑥+𝑡)−𝑓(𝑥)=e𝑥:𝑡ln(1+𝑥+𝑡)−e𝑥ln(1+𝑥)，𝑚′(𝑥)

=e𝑥:𝑡ln(1+𝑥+𝑡)+e𝑥+𝑡1:𝑥:𝑡−e𝑥ln(1+𝑥)−e𝑥1:𝑥=𝑔(𝑥+𝑡)−𝑔(𝑥)，由（2）知𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)=e𝑥(ln(1+𝑥)

+11:𝑥)在,0,+∞)上单调递增，∴𝑔(𝑥+𝑡)>𝑔(𝑥)，∴𝑚′(𝑥)>0答案第14页，共15页∴𝑚(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，又因为𝑥,𝑡>0，∴𝑚(𝑥)>𝑚(0)，所以命题得证.21．(1)是5−连续可表数列；不是6−连续可表

数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑𝑘≤3不符合，再列举一个𝑘=4合题即可；（3）𝑘≤5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论𝑘=6时，由𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎6<20可知里面必然有负

数，再确定负数只能是−1，然后分类讨论验证不行即可．(1)𝑎2=1，𝑎1=2，𝑎1+𝑎2=3，𝑎3=4，𝑎2+𝑎3=5，所以𝑄是5−连续可表数列；易知，不存在𝑖,𝑗使得𝑎𝑖+𝑎𝑖:1+⋯+𝑎𝑖:𝑗=6，

所以𝑄不是6−连续可表数列．(2)若𝑘≤3,设为𝑄:𝑎,𝑏,𝑐,则至多𝑎+𝑏,𝑏+𝑐,𝑎+𝑏+𝑐,𝑎,𝑏,𝑐，6个数字，没有8个，矛盾；当𝑘=4时,数列𝑄:1,4,1,2，满足𝑎1=1，𝑎4=2，𝑎3+𝑎4=3，

𝑎2=4，𝑎1+𝑎2=5，𝑎1+𝑎2+𝑎3=6，𝑎2+𝑎3+𝑎4=7，𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4=8，∴𝑘min=4．(3)𝑄:𝑎1,𝑎2,⋯,𝑎𝑘，若𝑖=𝑗最多有�

�种，若𝑖≠𝑗，最多有C𝑘2种，所以最多有𝑘+C𝑘2=𝑘(𝑘:1)2种，若𝑘≤5，则𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑘至多可表5(5:1)2=15个数，矛盾,从而若𝑘<7,则𝑘=6，𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,�

�至多可表6(6:1)2=21个数，而𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒+𝑓<20，所以其中有负的，从而𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓可表1~20及那个负数（恰21个），这表明𝑎~𝑓中仅一个负的，没有0，且这个负的在𝑎~𝑓中绝对值最小，同时𝑎~𝑓中没有两数相同,设那个负数为−𝑚(𝑚

≥1)，则所有数之和≥𝑚+1+𝑚+2+⋯+𝑚+5−𝑚=4𝑚+15，4𝑚+15≤19⇒𝑚=1，∴*𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓+=*−1,2,3,4,5,6+，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，

∵1=−1+2（仅一种方式），∴−1与2相邻，答案第15页，共15页若−1不在两端,则"𝑥,−1,2,__,__,__"形式，若𝑥=6，则5=6+(−1)（有2种结果相同，方式矛盾），∴𝑥≠6，同理𝑥≠5,4,3，故−1在一端，不妨为"−1,2,𝐴,𝐵,𝐶,𝐷"形

式，若𝐴=3,则5=2+3（有2种结果相同，矛盾），𝐴=4同理不行，𝐴=5，则6=−1+2+5（有2种结果相同，矛盾），从而𝐴=6，由于7=−1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能−1,2,6,3,5,4，①或−1,2,6,4,5,3，②这

2种情形，对①：9=6+3=5+4，矛盾，对②：8=2+6=5+3，也矛盾，综上𝑘≠6∴𝑘≥7．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为𝑚−可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到𝑚中间

的任意一个值．本题第二问𝑘≤3时，通过和值可能个数否定𝑘≤3；第三问先通过和值的可能个数否定𝑘≤5，再验证𝑘=6时，数列中的几项如果符合必然是*−1,2,3,4,5,6+的一个排序，可验证这组数不合题．