【文档说明】2022年高考数学新高考卷1卷及答案.docx，共(24)页，1.529 MB，由baby熊上传

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2022年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合{4},31,MxxNxx==∣∣…则MN=

.{02}Axx∣1.{2}3Bxx∣.{316}Cxx∣1.{16}3Dxx∣2.若()11,iz−=则zz+=.2A−.1B−C.1D.23.在ABC中，点D在边AB上，2.BDDA=记,,CACD==mn则CB=.32A−mn.23B−+mn.32C+mn.23D+mn4.南

水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库。知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为2140.0;km水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为2180.0.km将该水库

在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为()72.6593.1.010Am93.1.210Bm93.1.410Cm93.1.610Dm5.从2

至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为1.6A1.3B1.2C2.3D6.记函数()(sin0)4fxxb=++的最小正周期为T，若2,3T则()yfx=的

图像关于点3,22中心对称，则2f=A.13.2B5.2CD.37.设0.110.1,,ln0.9,9aebc===−则.Aabc.Bcba.Ccab.Dacb8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且33

3,l则该正四棱锥体积的取值范围是81.18,4A2781.,44B2764.,43CD.[18,27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知正方体1111,ABCDABCD−则A.直线1BC与1DA所成的角为90B.直线1BC与1CA所成的角为90C.直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D.直线1BC与平面ABCD所成的角为4510.已知函数()31,fxxx=−+则A.f(x)

有两个极值点B.f(x)有三个零点C.点(0，1)是曲线()yfx=的对称中心D.直线2yx=是曲线()yfx=的切线11.已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C:(220)xpyp=上，过点()0,1

B−的直线交C于P，Q两点，则A.C的准线为1y=−B.直线AB与C相切2.|||COPOQOA∣∣∣2.DBPBQBA∣∣∣∣∣∣12.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()().gxfx=若32,2fx−()2gx+均为偶函数，

则().00Af=1.02Bg−=C.()()14ff−=()().12Dgg−=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。()813.1yxyx−+的展开式中26xy的系

数为________(用数字作答).14.写出与圆221xy+=和()()223416xy−+−=都相切的一条直线的方程___________．.15.若曲线()xyxae=+有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_________.16.已知椭圆C:(222210),

xyabab+=C的上顶点为A，两个焦点为12,,FF离心率为12，过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，|6,DE=∣则ADE的周长是__________．.四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa=是公差为13，的等差数列.(1)求na的通项公式；(2)证明：121112.naaa+++18.(12分)记ABC!的

内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin2.1sin1cos2ABAB=++(1)若2,3C=求B；(2)求222abc+的最小值.19.(12分)如图，直三棱柱111ABCABC−的体积为4，1ABC!'的面积为22.(1)求A到平面1ABC的距离；(2)设D为1AC

的中点，1,AAAB=平面1ABC⊥平面11,ABBA求二面角ABDC−−的正弦值.20.(12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在己患该疾

病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习

惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，()()PBAPBA∣∣与()()PBAPBA∣∣的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明：()()()();PA

BPABRPABPAB=∣∣∣∣(ii)利用该调查数据，给出()()|,PABPAB∣的估计值，并利用(i)的结果给出R的估计值.附：，P(K2≥k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828

()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++21.(12分)已知点A(2，1)在双曲线C:(222211)1xyaaa−=−上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1

)求l的斜率；(2)若tan22,PAQ=求PAQ的面积.22.(12分)已知函数()xfxeax=−和()lngxaxx=−有相同的最小值.(1)求a；(2)证明：存在直线,yb=，其与两条曲线()yfx=和()ygx=共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．绝密☆

启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B

铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作

答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{4},{31

}MxxNxx==∣∣，则MN=（）A.02xxB.123xxC.316xxD.1163xx【答案】D【解析】【分析】求出集合,MN后可求MN.详解】1{16},{}3MxxNxx==∣0∣，故1163MNxx=

，故选：D2.若i(1)1z−=，则zz+=（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求z，从而可求zz+.【详解】由题设有21i1iiiz−===−，故1+iz=，故()()1i1i2zz+=++−=，故选

：D3.在ABC中，点D在边AB上，2BDDA=．记CAmCDn==，，则CB=（）A.32mn−B.23mn−+C.32mn+D.23mn+【答案】B【解析】【【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】

因为点D在边AB上，2BDDA=，所以2BDDA=，即()2CDCBCACD−=−，所以CB=3232CDCAnm−=−23mn=−+．故选：B．4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485

m．时，相应水面的面积为21400km．；水位为海拔1575m．时，相应水面的面积为21800km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m．上升到1575m．时，增加的水量约为（72.65）

（）A.931.010mB.931.210mC.931.410mD.931.610m【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN=−=(m)，所以增加

的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积262140.014010S==kmm，下底面积262180.018010S==kmm，∴()()661211914010180101401801033VhSSSS=++=++()()6799

333206071096182.65101.437101.410(m)=++=．故选：C．5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D【解

析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概

率2172213P−==.故选：D.6.记函数()sin(0)4fxxb=++的最小正周期为T．若23T，且()yfx=的图象关于点3,22中心对称，则2f=（）A.1

B.32C.52D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23T，得223，解得23，又因为函数图象关于点3,22对称，所以3,24kkZ+=，且2b=，所以

12,63kkZ=−+，所以52=，5()sin224fxx=++，所以5sin21244f=++=.故选：A7.设0.110.1e,ln0.99abc=

==−，，则（）A.abcB.cbaC.cabD.acb【答案】C【解析】【分析】构造函数()ln(1)fxxx=+−，导数判断其单调性，由此确定,,abc大小.【详解】设()ln(1)(1)

fxxxx=+−−，因为1()111xfxxx=−=−++，当(1,0)x−时，()0fx，当,()0x+时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx=+−在(0,)+单调递减，在(1,0)−上单调递增，所以1()(0)09f

f=，所以101ln099−，故110lnln0.999=−，即bc，所以1()(0)010ff−=，所以91ln+01010，故1109e10−，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx=+−，则()(

)21e11()+1e11xxxgxxxx−+=+=−−,令2()e(1)+1xhxx=−，2()e(21)xhxxx=+−，的当021x−时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx=−单调递减，当211x−

时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx=−单调递增，又(0)0h=，所以当021x−时，()0hx，所以当021x−时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx=+−单调

递增，所以(0.1)(0)0gg=，即0.10.1eln0.9−，所以ac故选：C.8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且333l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4B.2781,44C.2

764,43D.[18,27]【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36，所以球的半径

3R=,设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah=+，22232(3)ah=+−,所以26hl=，2222alh=−所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936lllVShahll=

==−−，所以5233112449696llVll−=−=，当326l时，0V，当2633l时，0V，所以当26l=时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为643，又3l=时，274V=，33l=时，814V=,所以正四棱锥的体积V的最小

值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443，.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知正方体1111

ABCDABCD−，则（）A.直线1BC与1DA所成的角为90B.直线1BC与1CA所成的角为90C.直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D.直线1BC与平面ABCD所成的角为45【答案】ABD【解析】【分析】

数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11//DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1BC与1DA所成的角，因为四边形11BBCC为正方形，则1BC⊥1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90

，A正确；连接1AC，因为11AB⊥平面11BBCC，1BC平面11BBCC，则111ABBC⊥，因为1BC⊥1BC，1111ABBCB=，所以1BC⊥平面11ABC，又1AC平面11ABC，所以11BCCA⊥，故B正确；连接11AC

，设1111ACBDO=，连接BO，因为1BB⊥平面1111DCBA，1CO平面1111DCBA，则11COBB⊥，因为111COBD⊥，1111BDBBB=，所以1CO⊥平面11BBDD，所以1CBO为直线1BC与平面11BB

DD所成的角，设正方体棱长为1，则122CO=，12BC=，1111sin2COCBOBC==，所以，直线1BC与平面11BBDD所成的角为30，故C错误；因为1CC⊥平面ABCD，所以1CBC为直线1BC与平面ABCD所成的角，易得145CBC

=，故D正确.故选：ABD10.已知函数3()1fxxx=−+，则（）A.()fx有两个极值点B.()fx有三个零点C.点(0,1)是曲线()yfx=的对称中心D.直线2yx=是曲线()yfx=的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A，结合()fx的单调性、极值可判断B，利

用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231fxx=−，令()0fx得33x或33x−，令()0fx得3333x−，所以()fx在33(,)33−上单调递减，在3(,)3−−，3(,)3+上单调递增，所

以33x=是极值点，故A正确；因323()1039f−=+，323()1039f=−，()250f−=−，所以，函数()fx在3,3−−上有一个零点，当33x时，()303fxf，即函数()fx在3

3,+上无零点，综上所述，函数()fx有一个零点，故B错误；令3()hxxx=−，该函数的定义域为R，()()()()33hxxxxxhx−=−−−=−+=−，则()hx是奇函数，(0,0)是()hx的对称中心，

将()hx的图象向上移动一个单位得到()fx的图象，所以点(0,1)是曲线()yfx=的对称中心，故C正确；令()2312fxx=−=，可得1x=，又()(1)11ff=−=，当切点为(1,1)时，切线方程为21yx=−，当切点为(1,1)−时，切线方程为23yx=+，故D错误.故选：

AC11.已知O为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)Cxpyp=上，过点(0,1)B−的直线交C于P，Q两点，则（）A.C的准线为1y=−B.直线AB与C相切C.2|OPOQOAD.2||

||||BPBQBA【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得12p=，所以抛物线方程为2xy=，

故准线方程为14y=−，A错误；.1(1)210ABk−−==−，所以直线AB的方程为21yx=−，联立221yxxy=−=，可得2210xx−+=，解得1x=，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l

的斜率存在，设其方程为1ykx=−，1122(,),(,)PxyQxy，联立21ykxxy=−=，得210xkx−+=，所以21212Δ401kxxkxx=−+==，所以2k或2k−，21212()1yyx

x==，又2221111||OPxyyy=+=+，2222222||OQxyyy=+=+，所以2121212||||(1)(1)||2||OPOQyyyykxkxkOA=++===，故C正确；因为21||

1||BPkx=+，22||1||BQkx=+，所以2212||||(1)||15BPBQkxxk=+=+，而2||5BA=，故D正确.故选：BCD12.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx=，若322fx−

，(2)gx+均为偶函数，则（）A.(0)0f=B.102g−=C.(1)(4)ff−=D.(1)(2)gg−=【答案】BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.

【详解】因为322fx−，(2)gx+均为偶函数，所以332222fxfx−=+即3322fxfx−=+，(2)(2)gxgx+=−，所以()()3fxfx−=，(4)()gxgx−=，则(1)(4)ff−=，故C正确；函数()fx，(

)gx的图象分别关于直线3,22xx==对称，又()()gxfx=，且函数()fx可导，所以()()30,32ggxgx=−=−，所以()(4)()3gxgxgx−==−−，所以()(2

)(1)gxgxgx+=−+=，所以13022gg−==，()()()112ggg−==−，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则函数()fxC+（C为常数）也满足题设条

件，所以无法确定()fx的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.81()

yxyx−+的展开式中26xy的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【解析】【分析】()81yxyx−+可化为()()88yxyxyx+−+，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为()()()8881=yyxyxyxyxx

−++−+，所以()81yxyx−+的展开式中含26xy的项为6265352688C28yxyCxyxyx−=−，()81yxyx−+的展开式中26xy的系数为-28故答案为：-2814.写出与圆221xy+=和

22(3)(4)16xy−+−=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544yx=−+或7252424yx=−或1x=−【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221xy+=的圆心为()0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy−+−=的圆心1

O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345+=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为143OOk=，所以34lk=−，设方程为3(0)4yxtt=−+O到l的距离||19116td==+，解得54t=，所

以l的方程为3544yx=−+，当切线为m时，设直线方程为0kxyp++=，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk=+++=+，解得7242524kp=−=，7252424yx=−当切线为n时，易知切线方程为1x=−，

故答案为：3544yx=−+或7252424yx=−或1x=−.15.若曲线()exyxa=+有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】()(),40,−−+【解析】【分析】设出切点横坐标0x，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于

0x的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.【详解】∵()exyxa=+，∴(1)exyxa=++，设切点为()00,xy,则()000exyxa=+,切线斜率()001exkxa=++,切线方程为：()()()00000e1exxy

xaxaxx−+=++−,∵切线过原点，∴()()()00000e1exxxaxax−+=++−,整理得：2000xaxa+−=,∵切线有两条，∴240aa=+,解得4a−或0a,∴a的取值范围是()(),40

,−−+,故答案为：()(),40,−−+16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，C的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，离心率为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，||6DE=，则ADE的周长是________________．【答案】

13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043xyxyccc+=+−=，即，根据离心率得到直线2AF的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：3xyc=−，代入椭圆方程22234120xyc+−=，整理化简得到：22136390ycyc

−−=，利用弦长公式求得138c=，得1324ac==，根据对称性将ADE的周长转化为2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a=.【详解】∵椭圆的离心率为12cea==，∴2ac=，∴22223bacc=−=，∴椭圆的方程为2222222134120

43xyxyccc+=+−=，即，不妨设左焦点为1F，右焦点为2F，如图所示，∵222AFaOFcac===，，，∴23AFO=，∴12AFF△为正三角形，∵过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，DE为线段2AF的垂直平分线，∴直线DE的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE的

方程：3xyc=−，代入椭圆方程22234120xyc+−=，整理化简得到：22136390ycyc−−=，判别式()2222634139616ccc=+=，∴()21213226461313cCDyy=+−===

，∴138c=，得1324ac==，∵DE为线段2AF的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF==，，∴ADE的周长等于2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到2FDE△周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDF

EFEFaaa++=+++=+++=+==.故答案为：13.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa=是公差为13的等

差数列．（1）求na的通项公式；（2）证明：121112naaa+++．【答案】（1）()12nnna+=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133nnSnna+=+−=，得到()23nnnaS+=，利用

和与项的关系得到当2n时，()()112133nnnnnnanaaSS−−++=−=−,进而得：111nnanan−+=−，利用累乘法求得()12nnna+=，检验对于1n=也成立，得到na的通项公式()12nnna+=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1

21111211naaan+++=−+，进而证得.【小问1详解】∵11a=，∴111Sa==,∴111Sa=,又∵nnSa是公差为13的等差数列，∴()121133nnSnna+=+−=,∴()23nnnaS+=,∴当2n时，()1113nnn

aS−−+=，∴()()112133nnnnnnanaaSS−−++=−=−,整理得：()()111nnnana−−=+,即111nnanan−+=−,∴31211221nnnnnaaaaaaaaaa−−−=

()1341123212nnnnnn++==−−，显然对于1n=也成立，∴na的通项公式()12nnna+=；【小问2详解】()12112,11nannnn==−++∴12111naaa+++1111112

121222311nnn=−+−+−=−++18.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB=++．（1）若23

C=，求B；（2）求222abc+的最小值．【答案】（1）π6；（2）425−．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cossin21sin1cos2ABAB=++化成()cossinABB+=，再结合π02B，即可求出；（2）由（1）知，π2CB=+，π22AB=−

，再利用正弦定理以及二倍角公式将222abc+化成2224cos5cosBB+−，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为2cossin22sincossin1sin1cos22coscosABBBBABBB===++，即()1sincoscossins

incoscos2BABABABC=−=+=−=，而π02B，所以π6B=；【小问2详解】由（1）知，sincos0BC=−，所以πππ,022CB，而πsincossin2BCC=−=−，所以π2

CB=+，即有π22AB=−．所以222222222sinsincos21cossincosabABBBcCB+++−==()2222222cos11cos24cos5285425coscosBBBBB−+−==+−−=−．当且仅当2

2cos2B=时取等号，所以222abc+的最小值为425−．19.如图，直三棱柱111ABCABC−的体积为4，1ABC的面积为22．（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB=，平面1ABC⊥平面11ABBA，求二面角ABDC−−的

正弦值．【答案】（1）2（2）32【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC⊥平面11ABBA，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱111ABCABC−中，

设点A到平面1ABC的距离为h，则111111112211433333AABCAAABCAABCABBCCCBVShhVSAAV−−−======，解得2h=，所以点A到平面1ABC的距离为2；【小问2详解】取1AB的中点E,

连接AE,如图，因为1AAAB=，所以1AEAB⊥,又平面1ABC⊥平面11ABBA，平面1ABC平面111ABBAAB=，且AE平面11ABBA，所以AE⊥平面1ABC，在直三棱柱111ABCABC−中，1BB

⊥平面ABC，由BC平面1ABC，BC平面ABC可得AEBC⊥，1BBBC⊥，又1,AEBB平面11ABBA且相交，所以BC⊥平面11ABBA，所以1,,BCBABB两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标

系，如图，由（1）得2AE=，所以12AAAB==，122AB=，所以2BC=，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0AABC,所以1AC的中点()1,1,1D，则()1,

1,1BD=，()()0,2,0,2,0,0BABC==,设平面ABD的一个法向量(),,mxyz=，则020mBDxyzmBAy=++===，可取()1,0,1m=−，设平面BDC的一个法向量(),,nabc=，则020mBDabcmBCa=++=

==，可取()0,1,1n=−r，则11cos,222mnmnmn===，所以二面角ABDC−−的正弦值为213122−=.20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该

疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习

惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)PBAPBA与(|)(|)PBAPBA的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB=；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)PABPAB的估计

值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案见解析（2）（i）证明

见解析；(ii)6R=；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概

率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求R.【小问1详解】由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100nadbcKabcdacbd−−==++++，又2(6.635)=0.01

PK，246.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()PBAPBAPABPAPABPARPB

APBAPAPABPAPAB=，所以()()()()()()()()PABPBPABPBRPBPABPBPAB=所以(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB=，(ii)由已知40(|)100PAB=，10(|)10

0PAB=，又60(|)100PAB=，90(|)100PAB=，所以(|)(|)=6(|)(|)PABPABRPABPAB=21.已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa−=−上，直线l交C于P，Q两点，直线,APAQ的斜率之和为

0．（1）求l的斜率；（2）若tan22PAQ=，求PAQ△的面积．【答案】（1）1−；（2）1629．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设:lykxm=+，()()1122,,,PxyQxy，再根据0APBPkk+=

，即可解出l的斜率；（2）根据直线,APAQ的斜率之和为0可知直线,APAQ的倾斜角互补，再根据tan22PAQ=即可求出直线,APAQ的斜率，再分别联立直线,APAQ与双曲线方程求出点,PQ的坐标，即可得到直线PQ的方程以及

PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出PAQ△的面积．【小问1详解】因为点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa−=−上，所以224111aa−=−，解得22a=，即

双曲线22:12xCy−=易知直线l的斜率存在，设:lykxm=+，()()1122,,,PxyQxy，联立2212ykxmxy=+−=可得，()222124220kxmkxm−−−−=，所以，2121222

422,2121mkmxxxxkk++=−=−−，()()22222216422210120mkmkmk=++−−+．所以由0APBPkk+=可得，212111022yyxx−−+=−−，即()()()()122121210xkxmxkxm−+−+−+−=，即()()()1

212212410kxxmkxxm+−−+−−=，所以()()2222242124102121mmkkmkmkk++−−−−−=−−，化简得，()2844410kkmk+−++=，即()()1210kkm+−+=，所以1k=−或12mk=−，当12m

k=−时，直线():21lykxmkx=+=−+过点()2,1A，与题意不符，舍去，故1k=−．【小问2详解】不妨设直线,PAPB的倾斜角为(),，因为0APBPkk+=，所以π+=，因为tan22PAQ=，所以()tan22−=，即tan222=−，即2

2tantan20−−=，解得tan2=，于是，直线():221PAyx=−+，直线():221PByx=−−+，联立()2222112yxxy=−+−=可得，()232122104202xx+−+−=，因为方程有一个根为2，所以10423Px−=，Py=4253−，同理可得，1

0423Qx+=，Qy=4253−−．所以5:03PQxy+−=，163PQ=，点A到直线PQ的距离52122332d+−==，故PAQ△的面积为116221622339=．22.已知函数()xfxeax=−和()lngxaxx=−有相同最

小值．的（1）求a；（2）证明：存在直线yb=，其与两条曲线()yfx=和()ygx=共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）1a=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求

a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b时，exxb−=的解的个数、lnxxb−=的解的个数均为2，构建新函数()eln2xhxxx=+−，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),fxgx的大小关系，根

据存在直线yb=与曲线()yfx=、()ygx=有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】()exfxax=−的定义域为R，而()e=−xfxa，若0a，则()0fx，此时()fx无最小值，故0a.()lngxaxx=−的定义域为()0,+

，而11()axgxaxx−=−=.当lnxa时，()0fx，故()fx在(),lna−上为减函数，当lnxa时，()0fx，故()fx在()ln,a+上为增函数，故()min()lnlnfxfaaaa==−.当10xa时，

()0gx，故()gx在10,a上为减函数，当1xa时，()0gx，故()gx在1,a+上为增函数，故min11()1lngxgaa==−.因为()exfxax=−和()lngxaxx=−有相同的最小

值，故11lnlnaaaa−=−，整理得到1ln1aaa−=+，其中0a，设()1ln,01agaaaa−=−+，则()()()222211011agaaaaa−−=−=++，故()ga为()0,+上的减函数，而()10g=，故()0ga=的唯一解为1a=

，故1ln1aaa−=+的解为1a=.综上，1a=.【小问2详解】由（1）可得e()xxfx=−和()lngxxx=−的最小值为11ln11ln11−=−=.当1b时，考虑exxb−=的解的个数、lnxxb−=的解的个数.设()exSxxb=−−，()e1xSx=−，当

0x时，()0Sx，当0x时，()0Sx，故()Sx在(),0−上为减函数，在()0,+上为增函数，所以()()min010SxSb==−，而()e0bSb−−=，()e2bSbb=−，设()e2bubb=−

，其中1b，则()e20bub=−，故()ub在()1,+上为增函数，故()()1e20ubu=−，故()0Sb，故()exSxxb=−−有两个不同的零点，即exxb−=的解的个数为2.设()lnTx

xxb=−−，()1xTxx−=，当01x时，()0Tx¢<，当1x时，()0Tx，故()Tx在()0,1上为减函数，在()1,+上为增函数，所以()()min110TxTb==−，而()ee0bbT−−=，()ee20bbTb=−，()lnTxxxb=−−有两个不同的零点即l

nxxb−=的解的个数为2.当1b=，由（1）讨论可得lnxxb−=、exxb−=仅有一个零点，当1b时，由（1）讨论可得lnxxb−=、exxb−=均无零点，故若存在直线yb=与曲线()yfx=、()ygx=有三个不同

的交点，则1b.设()eln2xhxxx=+−，其中0x，故1()e2xhxx=+−，设()e1xsxx=−−，0x，则()e10xsx=−，故()sx在()0,+上为增函数，故()()00sxs=即e1xx+，所以1()1210hxx

x+−−，所以()hx在()0,+上为增函数，而(1)e20h=−，31e333122()e3e30eeeh=−−−−，故()hx在()0,+上有且只有一个零点0x，0311ex且：当00xx时，()0h

x即elnxxxx−−即()()fxgx，当0xx时，()0hx即elnxxxx−−即()()fxgx，因此若存在直线yb=与曲线()yfx=、()ygx=有三个不同交点，故()()001bfxgx==，此时exxb−=有两个不同的零点1010,(0)xxxx，

此时lnxxb−=有两个不同的零点0404,(01)xxxx，故11exxb−=，00exxb−=，44ln0xxb−−=，00ln0xxb−−=所以44lnxbx−=即44exbx−=即()44e0xbx

bb−−−−=，故4xb−为方程exxb−=的解，同理0xb−也为方程exxb−=的解又11exxb−=可化为11exxb=+即()11ln0xxb−+=即()()11ln0xbxbb+−+−=，故1xb+为方程lnxxb−=的解，同理0xb+也为方程lnxxb−=的解，所以

1004,,xxxbxb=−−，而1b，故0410xxbxxb=−=−即1402xxx+=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注

意利用方程的特征找到两类根之间的关系。的