【文档说明】2022年高考全国乙卷理科数学试题及答案(定稿).doc，共(20)页，2.219 MB，由baby熊上传

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数学试题第1页（共20页）2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用

2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、

不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集{1,2,3,4,5}U，集合

M满足{1,3}UMð，则A．2MB．3MC．4MD．5M2．已知12zi，且0zazb，其中a，b为实数，则A．1,2abB．1,2abC．1,2abD．1,2ab3．已知向量,ab满足||1,||3,|2|3a

bab，则abA．2B．1C．1D．24．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b，212111b，31231111b

，…，依此类推，其中(1,2,)kkN．则A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb5．设F为抛物线2:4Cyx的焦点，点A在C上，点(3,0)B，若AFBF，则ABA．2B．22C．3D．326．执行下边的程序框图，输出的nA．3B

．4C．5D．6绝密★启用前数学试题第2页（共20页）7．在正方体中1111ABCDABCD，E，F分别为,ABBC的中点，则A．平面1BEF平面1BDDB．平面1BEF平面1ABDC．平面1//BEF平面1AACD．平面1//BEF平面11ACD8．已知等比数列n

a的前3项和为168，2542aa，则6aA．14B．12C．6D．39．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为A．13B．12C．33D．2210．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该

棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,ppp，且3210ppp．记该棋手连胜两盘的概率为p，则A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11．双曲线C的两个焦点为12,FF，以

C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C的两支交于M，N两点，且123cos5FNF，则C的离心率为A．52B．32C．132D．17212．已知函数(),()fxgx的定义域均为R，且()(2)5,()(4)7fxgxgxfx．若()ygx

的图像关于直线2x对称，(2)4g，则221()kfkA．21B．22C．23D．24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为______

______．14．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．15．记函数cos(0,0π)fxx的最小正周期为T，若3()2fT，9x为()fx的零点，则的最小值为

____________．16．已知1xx和2xx分别是函数2()2exfxax（0a且1a）的极小值点和极大值点．若12xx，则a的取值范围是____________．数学试题第3页（共20页）三、解答题：共70分。解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sins

in()CABBCA．（1）证明：2222abc；（2）若255,cos31aA，求ABC的周长．18．（12分）如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点．（1）证明：平面BED平面ACD；（2）

设2,60ABBDACB，点F在BD上，当AFC△的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值．19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(

单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.4

00.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10210.038iix，10211.6158iiy，1010.2474iiixy．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（

2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0．01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为1862m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木

的总材积量的估计值．附：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy，1.8961.377．数学试题第4页（共20页）20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过30,

2,,12AB两点．（1）求E的方程；（2）设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．21．（12分）已知函数ln1exfxxax（1）当1a时，求曲线

yfx在点0,0f处的切线方程；（2）若fx在区间1,0,0,各恰有一个零点，求a的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22

．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos22sinxtyt，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin03m．（1）写出l的直角坐标方程；

（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b，c都是正数，且3332221abc，证明：（1）19abc；（2）12abcbcacababc

．数学试题第5页（共20页）1.设全集1,2,3,4,5U，集合M满足1,3UCM，则A．2MB．3MB．C．4MD．5M解析：由题设，易知2,4,5M，对比选项，选择A.2.已知12zi，且0zazb，其中,ab为实数，则A．1,2ab

B．1,2abC．1,2abD．1,2ab解析:由题设，12zi，12zi，代入有1220abai，故1,2ab，选择A.3.已知向量,ab满足1a，3b，23ab，则abA．2B．1B．C．1D．2解

析：由题设，23ab，得22449aabb，代入1a，3b，有44ab，故1ab.选择C．4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星.为研究嫦娥

二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb:1111ba，212111baa，31231111baaa，，以此类推，其中其中kaN，1,2,k则A．15bbB．38bbC

．62bbD．47bb解析：由已知，1111ba，212111baa，112111aaa，故12bb；同理可得23bb,13bb，又因为22341111aaaa，故24bb；于是

得1357bbbb，排除A，数学试题第6页（共20页）22361111aaaa，故26bb，排除C，而178bbb，排除B.故选择D.方法二：（取特殊值）取1na，于是有12b，232b，353b，485b，，分子分母分别构成斐波那契数

列，于是有5138b，62113b，73421b，85534b.于是得15bb，382222111133334bb，628111132bb.对比选项，选D.5.设F为抛物线2:4Cyx的焦点

，点A在C上，点3,0B，若AFBF，则ABA．2B．22C．3D．32解析：易知抛物线2:4Cyx的焦点为1,0F，于是有2BF，故2AF，注意到抛物线通径24p，通径为抛物线最短的焦点弦，分析知AF必为半焦点弦，于是有AFx轴，于是有2222

22AB.6.执行下边的程序框图，输出的nA．3B．4C．5D．6数学试题第7页（共20页）【答案】B【解析】第一次循环：1123b，312a，112n，22231|2||()2|0.0124ba第二次循环：3227b

，725a，213n，22271|2||()2|0.01525ba第三次循环：72517b，17512a，314n，222171|2||()2|0.0112144ba故输出4n故选B7.在正方体1111ABCDABCD中，E，F分别

为AB，BC的中点，则A．平面1BEF平面1BDDB．平面1BEF平面1ABDC．平面1//BEF平面1AACD．平面1//BEF平面11ACD【答案】A【解析】对于A选项：在正方体1111ABCDA

BCD中，因为EF分别为AB，BC的中点，易知EFBD，从而EF平面1BDD，又因为EF平面1BDD，所以平面1BEF平面1BDD，所以A选项正确；对于B选项：因为平面1ABD平面1BDDBD,由上述过程易知平面1BEF平面1ABD不成立；对于C选项：由题意知直线1AA

与直线1BE必相交，故平面1//BEF平面1AAC有公共数学试题第8页（共20页）点，从而C选项错误；对于D选项：连接AC，1AB，1BC，易知平面1//ABC平面11ACD，又因为平面1ABC与平面1BEF有公共点1B，故平面1

ABC与平面1BEF不平行，所以D选项错误.8.已知等比数列{}na的前3项和为168，2542aa，则6aA．14B．12C．6D．3【答案】D【解析】设等比数列{}na首项1a，公比q由题意，1232516842aaaaa

，即2131(1)168(1)42aqqaqq，即2121(1)168(1)(1)42aqqaqqqq解得，12q，196a，所以5613aaq故选D9.已知球O的半径为1

，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为A．13B．12C．33D．22【答案】C【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关，不是一般性，假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则22ra所以该四棱锥的高212ah，所以体积2222222

23311444144421(1)()()32344233339aaaaaaaVa„当且仅当22142aa，即243a时，等号成立所以该四棱锥的高22311233ah数学试题第9页（共2

0页）故选C10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立。已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p，2p，3p且3210ppp.记该棋手连胜两盘的概率为p，则A．p与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋

手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙由题意123321213123=[(1)(1

)]2Ppppppppppppp甲213311223123=[(1)(1)]2Ppppppppppppp乙312211323123=[(1)(1)]2Ppppppppppppp丙所以31=()02PPppp甲丙，132=()0PPppp乙丙所以

P丙最大，故选D.11．双曲线C的两个焦点1F，2F，以C的实轴为直径的圆记为D，过1F作D的切线与C交于M，N两点，且53cos21NFF，则C的离心率为A．25B．23C．213D．217【答案】C【解析】由

题意，点N在双曲线右支.记切点为点A，连接OA，则MNOA，aOA，又cOF1，则bacAF221.过点2F作MNBF2交直线MN于点B，连接NF2，则OABF//2,又点O为21FF中点，则aOABF222，bAFBF2211.由数学试题第10页（共20页）53

cos21NFF，得54sin21NFF，34tan21NFF，所以25sin2122aNFFBFNF，23tan212aNFFBFBN．故23211abBNBFNF，由双曲线定义，aNFNF221，则aab22，即23ab，所以2134

91122abe.12．已知函数)(xf，)(xg的定义域均为R,且5)2()(xgxf，7)4()(xfxg.若)(xgy的图像关于直线2x对称，4)2(g，则221)(kkfA．21B．22C．23D．24【答案】D【解析】若)(xgy的图像关于直线

2x对称，则)2()2(xgxg，因为5)2()(xgxf，所以5)2()(xgxf，故)()(xfxf，)(xf为偶函数.由4)2(g，5)2()0(gf，得1)0(f.由7)4()(xfxg，得7)2()2(xfxg，代入

5)2()(xgxf，得2)2()(xfxf，)(xf关于点)1,1(中心对称，所以1)1()1(ff.由2)2()(xfxf，)()(xfxf，得2)2()(

xfxf，所以2)4()2(xfxf，故)()4(xfxf，)(xf周期为4.由2)2()0(ff，得3)2(f，又1)1()1()3(fff，所以)4(5)3(5)2(6)1(6)(

221ffffkfk24)3(615)1(11.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为．【答案】103数学试题第11页（共20页）【解析】设“甲、乙都入选”为事件A，则

103)(3513CCAP.14、过四点中的三点的一个圆的方程为___________【答案】133222yx或51222yx或965373422y

x或2516915822yx【解析】设点A，圆过其中三点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交点为圆心，圆心到任一点的距离为半径。（1）若圆过A、B、C三点，则圆心在直线，设圆心坐标为，则134,3194222a

raaa，所以圆的方程为133222yx（2）若圆过A、B、D三点，同（1）设圆心坐标为，则54,1244222araaa，所以圆的方程为51222yx（3）若圆过A、C、D三点，则线段AC的中垂线方程为1

xy，线段AD的中垂线方程为52xy，联立得3659499163734ryx，所以圆的方程为965373422yx（4）若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为1y，线段BC中

垂线方程为7-5xy，联立得51314-581582ryx，所以圆的方程为2516915822yx数学试题第12页（共20页）15、记函数)0,0)(cos()(xxf的最小正周期为T，

若23)(Tf，9x为)(xf的零点，则的最小值为_________【答案】3【解析】23cos0fTf，且0，故6，ZkkZkkf93269069cos9

，又0，故的最小值为3.16、已知1xx和2xx分别是函数)10(2)(2aaexaxfx且的极小值点和极大值点，若21xx，则a的取值范围是___________【答案】e1,0【解析】exaaxfxln2'至少要有两个零点1xx

和2xx，我们对其求导，eaaxfx2ln22''，（1）若1a，则xf''在R上单调递增，此时若00''xf，则xf'在0,x上单调递减，在,0x上单调递增，此时若有1

xx和2xx分别是函数)10(2)(2aaexaxfx且的极小值点和极大值点，则21xx，不符合题意。（2）若10a，则xf''在R上单调递减，此时若00''xf，则xf'在0,x上单调递增，在

,0x上单调递减，且20lnlogaexa。此时若有1xx和2xx分别是函数)10(2)(2aaexaxfx且的极小值点和极大值点，且21xx，则需满足00'xf，即数学试题第13页（共20页）22ln12ln12l

nln1lnln1lnlnlnlnlnloglnaaaaeaaeaaeeaeaaa，可解得ea或ea10，由于10a，取交集即得ea10。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）记ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sinsin()sinsin()CABBCA.（

1）证明：2222abc；（2）若5a，25cos31A，求ABC的周长.【答案】（1）见证明过程；（2）14；【解析】1.已知sinsin()sinsin()CABBCA可化简为sins

incossincossinsinsincossincossinCABCABBCABCA，由正弦定理可得coscoscoscosacBbcAbcAabC，即cos2coscosacBbcAabC，由

余弦定理可得2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab，即证2222abc，（2）由（1）可知222250bca，22250252525cos22231bcaAbcbcbc，231bc，2222()81bcbcbc

，9bc，14abc，ABC的周长为1418.（12分）如图，四面体ABCD中,,,ADCDADCDADBBDCE为AC中点.(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设02,60,ABBDACB点F

在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值.数学试题第14页（共20页）解析：（1）,ADCDADBBDCBD且为公共边,ADBBDC与全等ABBC.,EACADCD又为中点且,D

EACBEAC同理.,DEBEEBED又且均含于平面,ACBED平面.,ACACD又平面平面BED平面ACD.（2）在ABC中，0=2,60,ABACBABBC=2,=3ACBE.在ACD

中，,,,2,ADCDADCDAACCE为中点,,=1DEACDE.2222,,BDDEBEBDDEBE又即.AC直线、ED直线、EB直线两两互相垂直.由点F在BD上且,ADBBDC与全等AFFC，由

于EAC为中点EFAC数学试题第15页（共20页）当AFC的面积最小时EFBD在RtDEB中，=3,=1BEDE33,22EFBF如图，以点E为坐标原点，直线ACEBED、、分别为xyz、、轴建立空间直角坐标系.(1,0,0)C、(1,0

,0)A、(0,3,0)B、(0,0,1)D、33(0,,)44F(0,3,1)BD、(1,0,1)AD、(1,3,0)BC34CFBFBCBDBC=33(1,,)44设平面ABD的法向量为(,,)mxyz.可得00BDmADm

设1y(3,1,3)m设m与CF所成的角为，CF与平面ABD所成角的为所以CF与平面ABD所成角的正弦值为437.19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树

木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）和材积量（单位：3m），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积ix0．040．060．040．080．080．050．050．070．070．060．6材积量iy0．250．400．220．540．510．340．360．

460．420．403．943sincos7mCFmCF数学试题第16页（共20页）并计算得10210.038iix，10211.6158iiy，1010.2474iiixy．（1）估计

该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0．01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为1

862m．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy，1.8961.377．【答案】（1）0.0

6,0.39；（2）0.97；（3）1209【答案】（1）0.06,0.39；（2）0.97；（3）1209【解析】（1）设这种树木平均一课的根部横截面积为x，平均一个的材积量为y，则0.60.0610x==，3.90.3910y==.（2）

221221221)39.0106158..1()06.010038.0(39.006.0102474.0niiniiniiiynyxn

xyxnyxr97.001377.00134.0896.101.00134.00948.0002.00134.0（3）设从根部面积总和为X，总材积量为Y，则XxYy=，故12091866.09.3Y（3m）

.20．（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过(0,2)A，3(,1)2B两点。（1）求E的方程；（2）设过点(1,2)P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH，证明：直线HN过定点．【答案】（1）22134xy；（

2）直线HN过定点(0,2)数学试题第17页（共20页）【解析】（1）设E的方程为22221xyab，将(0,2)A，3(,1)2B两点代入得222419114bab，解得23a，2

4b，故E的方程为22134xy。（2）由(0,2)A，3(,1)2B可得直线2:23AByx①若过(1,2)P的直线的斜率不存在，直线为1x。代入22134xy，可得26(1,)3M，26(1,)3N，将263y代入2:23AByx，可得26(63,)

3T，由MTTH，得26(265,)3H。易求得此时直线:HN26(2)23yx。过点(0,2)。②若过(1,2)P的直线的斜率存在，设(2)0kxyk，11(,)Mxy，22(,)Nxy。联立22(2)0134kxykxy，得2

2(34)6(2)3(4)0kxkkxkk故有1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk，12221228(2)344(442)34kyykkkyyk，且

122122434kxyxyk（*）联立1223yyyx，可得113(3,)2yTy，111(36,)Hyxy，可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx将(0,2)代入整理得12121221122()6()3

120xxyyxyxyyy将（*）式代入，得222241296482448482436480kkkkkkk，显然成立。数学试题第18页（共20页）综上，可得直线HN过定点(0,2)。21.（12分）已知函数()ln(1).xfxxaxe

（1）当1a时，求曲线()fx在点(0(0))f，处的切线方程；（2）若()fx在区间(10)(0)，，，各恰有一个零点，求a的取值范围.【答案】（1）2yx；（2）1a.【解析】（1）(0)

0,(0)2ff,所以()fx在点(0,(0))f处的切线方程为2yx;（2）1(1)()(1)1xaxfxxxe.(I)当0a时，当(1,0]x时，()0fx成立，所以()fx在(1,0]

x单调递增，且()0fx，故(1,0]x时，()fx无零点，舍去。(II)当0a时,当1x时,(),(0)0fxf，由题意可知，必有(0)10fa，即1a.(i)当1a时,2111()1(1)xxxefxxexexx

，令2()1xegxx，当(0,)x时，'()20xegxx，故()(0)0gxg，故()0fx，()fx单调递增，在(0,)x无零点，舍去。(ii)当1a时，2()(1)xxaxefxaxe，令2()xhexaxa

，'()2xxehxa数学试题第19页（共20页）①当0x时，'()0hx，()hx单调递增，且(0)10ha，(1)0he，故0(0,1)x，使得0()0hx，当0(0,)xx时，(

)0hx，)0(fx，()fx单调递减；0(,)xx时，()0hx，)0(fx，()fx单调递增；又(0)0f，且当x时,()fx，此时在(0,)上有一个零点；②当(1,0)x时，'()2xxehxa，由

'()hx单调递增，且'11(1)220haee，'(0)10h，故1(1,0)x，使得'1()0hx，当1(1,)xx时，)0(hx，()hx单调递减，1(,0)xx时，)0(hx，()hx单调递增；又1(1)0

he，(0)10ha，故2(1,0)x，使得2()0hx，当2(1,)xx时，()0hx，)0(fx，()fx单调递增，2(,0)xx时，()0hx，)0(fx，()fx单调递减；又(0)0f，且当1x时,()fx，此时在(1,

0)上有一个零点；综上，1a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为3cos22sinxtyt（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴

正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin()03m.(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围.答案：（1）320xym；（2）195122m.解析：（1）由sin()03m可得，sincoscossin033

m，数学试题第20页（共20页）即13sincos022m，13022yxm，故l的方程为：320xym.（2）由3cos2xt，得22233(12sin)3[12]322yx

ty，联立2332320xyxym，232460yym，即2326422yymy，4363m，即194103m，195122m

故m的范围是195122m.23．[选修4-5：不等式]（10分）已知a,b,c为正数，且3332221abc++=,证明：（1）19abc≤（2）12abcbcacababc+++++≤证明：（1）因为a,b,c为正数，所以33

3333322222233abcabcabc++=≥，当且仅当233abc-===时取等号，所以31abc≤，即19abc≤，得证.（2）要证12abcbcacababc+++++≤成立，只需证33322212abcbaccabbcacab+++++≤，又因为2bcbc

+≥,2acac+≥,2abab+≥，当且仅当233abc-===时，同时取等，所以333333333222222222122222abcbaccababcbaccababcbcbcacab++++++==+≤，得证.