【文档说明】2022届高考数学全国1卷及答案.pdf，共(26)页，1.039 MB，由baby熊上传

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2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合{/4}Mxx=<，{31}Nxx=≥，则MN=A.{

|02}xx≤<B.1{|2}3xx≤<C.{|316}xx≤<D.1{|16}3xx≤<2.若i(1)1z−=，则zz+=A.2−B.1−C.1D.23.在△ABC中，点D在边AB上，2BDDA=，记CAm=，CDn=，则

CB=A.32mn−B.23mn−+C.32mn+D.23mn+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位韦海拔148.5m时，相应水面的面积为140.02km；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为18

02km.将该水库在两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（72.65≈）A.931.010m×B.931.210m×C.931.410m×D.931.610m×

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互为质数的概率为A.16B.13C.12D.236.记函数π()sin()(0)4fxxb=++>ωω的最小正周期为T.若2ππ3T<<，且()yfx=的图象关于点3π(2)2，中心对称，则π()2f=A.1B.32C.52D.37

.设0.10.1ea=，19b=，ln0.9c=−，则A.abc<<B.cba<<C.cab<<D.acb<<8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且333l≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是A.81[18,]4B.

2781[,]44C.2764[,]43D.[18,27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知正方体1111ABCDABCD−，则A.直线

1BC与1DA所成的角为90°B.直线1BC与1CA所成的角为90°C.直线1BC与平面11BBDD所成的角为45°D.直线1BC与平面ABCD所成的角为45°10.已知函数3()1fxxx=−+，则A.()fx有两个极值点B.()fx有三个零点C.点(01)，是曲线()yfx

=的对称中心D.直线2yx=是曲线()yfx=的切线11.已知O为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)Cxpyp=>上，过点(01)B−，的直线交C于P，Q两点，则A.C的准线为1y=−B.直线AB与C相切C.2OPOQOA>D.2BPBQBA>1

2.已知函数()fx及其导函数()fx′的定义域均为R，记()()gxfx′=，若3(2)2fx−，(2)gx+均为偶函数，则A.(0)0f=B.1()02g−=C.(1)(4)ff−=D.(1)(2)gg−=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，

共20分。13.8(1)()yxyx−+的展开式中26xy的系数为__________（用数字作答）.14.写出与圆221xy+=和22(3)(4)16xy−+−=都相切的一条直线的方程__________.15.若曲线()exyxa=+有两条过坐

标原点的切线，则a的取值范围是__________.16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=>>，C的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，离心率为12.过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，6DE=，则△ADE的周长是______

____.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）记nS为数列{}na是前n项和，已知11a=，{}nnSa是公差为13的等差数列.（1）求{}na的通项公式；（2）证明：121112naaa+++<.18.（12分）记△A

BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB=++.（1）若2π3C=，求B；（2）求222abc+的最小值.19.（12分）如图，直三棱柱111ABCABC−的体积为4，△1ABC的面积为22.（1）求A到平面1ABC的距离；（2）

设D为1AC的中点，1AAAB=，平面1ABC⊥平面11ABBA，求二面角ABDC−−的正弦值.20.（12分）一医疗队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例

组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组）.得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中人选一

人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，(|)(|)PBAPBA与(|)(|)PBAPBA的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.（i）证明：(|B)(|B)(|)(|)PAPARPABPAB=；（

ii）利用该调查数据，给出(|B)PA，(|)PAB的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.附：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，21.（12分）已知点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa−=>−上，直线l交C于P，Q两点，直线A

P，AQ的斜率之和为0.（1）求l的斜率；（2）若tan22PAQ∠=，求△PAQ的面积.22.（12分）已知函数()exfxax=−和()lngxaxx=−有相同的最小值.（1）求a；（2）证明：存在直线yb=

，其与两条曲线()yfx=和()ygx=有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.2()PKk≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282022年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项

：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后

再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.1.若集合{4},{31}MxxNxx∣∣，则MN（）A.02xxB.123xxC.316xxD.1163xx【答案】D【解析】【分析】求出集

合,MN后可求MN.【详解】1{16},{}3MxxNxx∣0∣，故1163MNxx，故选：D2.若i(1)1z，则zz（）A.2B.1C.1D.2【答案】D【解析】【分析】利

用复数的除法可求z，从而可求zz.【详解】由题设有21i1iiiz，故1+iz，故1i1i2zz，故选：D3.在ABC中，点D在边AB上，2BDDA．记CAmCDn，，则CB

（）A.32mnB.23mnC.32mnD.23mn【答案】B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D在边AB上，2BDDA，所以2B

DDA，即2CDCBCACD，所以CB3232CDCAnm23mn．故选：B．4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海

拔1485m．时，相应水面的面积为21400km．；水位为海拔1575m．时，相应水面的面积为21800km．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m．上升到1575m．时，增加的水量约为（72.65）（

）A.931.010mB.931.210mC.931.410mD.931.610m【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN(m)，所以增加的水量即为棱台的体积

V．棱台上底面积262140.014010Skmm，下底面积262180.018010Skmm，∴661211914010180101401801033VhSSSS

6799333206071096182.65101.437101.410(m)．故选：C．5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16B.1

3C.12D.23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共

7种，故所求概率2172213P.故选：D.6.记函数()sin(0)4fxxb的最小正周期为T．若23T，且()yfx的图象关于点3,22中心对称，则2f（）A.1B.32C.52D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的

图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23T，得223，解得23，又因为函数图象关于点3,22对称，所以3,24kkZ，且2b，所以12,63kkZ，所以52，5()s

in224fxx，所以5sin21244f.故选：A7.设0.110.1e,ln0.99abc，，则（）A.abcB.cbaC.cabD.acb【答案】C【解析】【分析】构造函

数()ln(1)fxxx，导数判断其单调性，由此确定,,abc的大小.【详解】设()ln(1)(1)fxxxx，因为1()111xfxxx，当(1,0)x时，()0fx

，当,()0x时()0fx，所以函数()ln(1)fxxx在(0,)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以1()(0)09ff，所以101ln099，故110lnln0.999，即bc，所以1()

(0)010ff，所以91ln+01010，故1109e10，所以11011e109，故ab，设()eln(1)(01)xgxxxx，则21e11()+1e11xxxgxxxx,令2()e(1)

+1xhxx，2()e(21)xhxxx，当021x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递减，当211x时，()0hx，函数2()e(1)+1xhxx单调递增，又(0)0h

，所以当021x时，()0hx，所以当021x时，()0gx，函数()eln(1)xgxxx单调递增，所以(0.1)(0)0gg，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.8.已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36，且3

33l，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4B.2781,44C.2764,43D.[18,27]【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性

质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36，所以球的半径3R,设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则2222lah，22232(3)ah,所以26hl，2222alh所以正四棱锥的体积

42622411214()=333366936lllVShahll，所以5233112449696llVll，当326l时，0V，当2633l时，0V，所以当26l时，正四棱锥

的体积V取最大值，最大值为643，又3l时，274V，33l时，814V,所以正四棱锥的体积V的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443，.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小

题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知正方体1111ABCDABCD，则（）A.直线1BC与1DA所成的角为90B.直线1BC与1CA所成的角为90

C.直线1BC与平面11BBDD所成的角为45D.直线1BC与平面ABCD所成的角为45【答案】ABD【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1BC、1BC，因为11//DABC，所以直线1BC与1BC所成的角即为直线1BC与1DA所成

的角，因为四边形11BBCC为正方形，则1BC1BC，故直线1BC与1DA所成的角为90，A正确；连接1AC，因为11AB平面11BBCC，1BC平面11BBCC，则111ABBC，因为1BC1BC，1111ABBCB，所以1BC平面11ABC，又1AC平面11ABC，所

以11BCCA，故B正确；连接11AC，设1111ACBDO，连接BO，因为1BB平面1111DCBA，1CO平面1111DCBA，则11COBB，因为111COBD，1111BDBBB，所以1CO平面11BBDD，所以1CBO为直线1

BC与平面11BBDD所成的角，设正方体棱长为1，则122CO，12BC，1111sin2COCBOBC，所以，直线1BC与平面11BBDD所成的角为30，故C错误；因为1CC平面ABCD，所以1CBC为直线1BC与平面ABCD所成的角，

易得145CBC，故D正确.故选：ABD10.已知函数3()1fxxx，则（）A.()fx有两个极值点B.()fx有三个零点C.点(0,1)是曲线()yfx的对称中心D.直线2yx是曲线()yfx的切线【答案】AC【解析】【分析】利用极值点的定义可判断

A，结合()fx的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，231fxx，令0fx得33x或33x，令()0fx得3333x，所以()fx在33(,)33上单调递减，在3(,)3，3

(,)3上单调递增，所以33x是极值点，故A正确；因323()1039f，323()1039f，250f，所以，函数fx在3,3上有一个零点，当33x时

，303fxf，即函数fx在33,+上无零点，综上所述，函数()fx有一个零点，故B错误；令3()hxxx，该函数的定义域为R，33hxxxxxhx，则()hx是奇函数，(0,0)是()hx的对称中心

，将()hx的图象向上移动一个单位得到()fx的图象，所以点(0,1)是曲线()yfx的对称中心，故C正确；令2312fxx，可得1x，又(1)11ff，当切点为(1,1)

时，切线方程为21yx，当切点为(1,1)时，切线方程为23yx，故D错误.故选：AC.11.已知O为坐标原点，点(1,1)A在抛物线2:2(0)Cxpyp上，过点(0,1)B的直线交C

于P，Q两点，则（）A.C的准线为1yB.直线AB与C相切C.2|OPOQOAD.2||||||BPBQBA【答案】BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交

点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得12p，所以抛物线方程为2xy，故准线方程为14y，A错误；1(1)210ABk，所以直线AB的方程为21yx，联立221yxxy，可得2210xx

，解得1x，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率存在，设其方程为1ykx，1122(,),(,)PxyQxy，联立21ykxxy，得210xkx，所以21212Δ401k

xxkxx，所以2k或2k，21212()1yyxx，又2221111||OPxyyy，2222222||OQxyyy，所以2121212||||(1)(1)||2||OPOQyy

yykxkxkOA，故C正确；因为21||1||BPkx，22||1||BQkx，所以2212||||(1)||15BPBQkxxk，而2||5BA，故D正确.故选：BCD12.已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，记()()gxfx，若3

22fx，(2)gx均为偶函数，则（）A.(0)0fB.102gC.(1)(4)ffD.(1)(2)gg【答案】BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数

的性质逐项判断即可得解.【详解】因为322fx，(2)gx均为偶函数，所以332222fxfx即3322fxfx，(2)(2)gxgx，所以3fxfx，(4

)()gxgx，则(1)(4)ff，故C正确；函数()fx，()gx的图象分别关于直线3,22xx对称，又()()gxfx，且函数()fx可导，所以30,32ggxgx，所以(4)()3gxgx

gx，所以(2)(1)gxgxgx，所以13022gg，112ggg，故B正确，D错误；若函数()fx满足题设条件，则函数()fxC（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定()fx的函数值

，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.81()yxyx的展开式

中26xy的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【解析】【分析】81yxyx可化为88yxyxyx，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为8881=yyxyxyxyxx，所

以81yxyx的展开式中含26xy的项为6265352688C28yxyCxyxyx，81yxyx的展开式中26xy的系数为-28故答案为：-2814.写出与圆221xy和22(3)(4)16xy

都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544yx或7252424yx或1x【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221xy的圆心为0,0O，半径为1，圆22(3)(4)16xy的圆

心1O为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为22345，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为143OOk，所以34lk，设方程为3(0)4yxttO到l的距离||19116td，解得54t，所以l的方程为3544yx

，当切线为m时，设直线方程为0kxyp，其中0p，0k，由题意22113441pkkpk，解得7242524kp，7252424yx当切线为n时，易知切线方程为1x，故答案为：3544yx或7252424yx

或1x.15.若曲线()exyxa有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．【答案】,40,【解析】【分析】设出切点横坐标0x，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x的方程，根据此方程应有两个不同的实数

根，求得a的取值范围.【详解】∵()exyxa，∴(1)exyxa，设切点为00,xy,则000exyxa,切线斜率001exkxa,切线方程为：00000e1exxyx

axaxx,∵切线过原点，∴00000e1exxxaxax,整理得：2000xaxa,∵切线有两条，∴240aa,解得4a或0a,∴a的取值范围是,40,,故答案为：,40,16.已知椭圆22

22:1(0)xyCabab，C的上顶点为A，两个焦点为1F，2F，离心率为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，||6DE，则ADE的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利

用离心率得到椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，根据离心率得到直线2AF的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120xyc，整理化简得到：22136390ycyc，利用弦

长公式求得138c，得1324ac，根据对称性将ADE的周长转化为2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a.【详解】∵椭圆的离心率为12cea，∴2ac，∴22223bacc，

∴椭圆的方程为222222213412043xyxyccc，即，不妨设左焦点为1F，右焦点为2F，如图所示，∵222AFaOFcac，，，∴23AFO，∴12AFF△为正三角形，∵过1F且垂直于2AF的直线与C交于D，E两点，DE为线段2AF的垂直平分线，∴直线DE的斜

率为33，斜率倒数为3，直线DE的方程：3xyc，代入椭圆方程22234120xyc，整理化简得到：22136390ycyc，判别式2222634139616ccc，∴21213226461313cCDyy，∴138c，得

1324ac，∵DE为线段2AF的垂直平分线，根据对称性，22ADDFAEEF，，∴ADE的周长等于2FDE△的周长，利用椭圆的定义得到2FDE△周长为222211121222413DFEFDEDFEFDFEFDFDFEFEFaaa

.故答案为：13.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa是公差为13

的等差数列．（1）求na的通项公式；（2）证明：121112naaa．【答案】（1）12nnna（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得121133nnSnna，得到

23nnnaS，利用和与项的关系得到当2n时，112133nnnnnnanaaSS,进而得：111nnanan，利用累乘法求得12nnna，检验对于1n也成立，得到na的通项公式12nnna；（2）由（

1）的结论，利用裂项求和法得到121111211naaan，进而证得.【小问1详解】∵11a，∴111Sa,∴111Sa,又∵nnSa是公差为13的等差数列，∴121133nnSnna,∴23nnnaS

,∴当2n时，1113nnnaS，∴112133nnnnnnanaaSS,整理得：111nnnana,即111nnanan,∴31211221nnnnnaaaaaaa

aaa1341123212nnnnnn，显然对于1n也成立，∴na的通项公式12nnna；【小问2详解】12112,11nannnn∴12111n

aaa1111112121222311nnn18.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．（1）若23

C，求B；（2）求222abc的最小值．【答案】（1）π6；（2）425．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cossin21sin1cos2ABAB化成cossinABB

，再结合π02B，即可求出；（2）由（1）知，π2CB，π22AB，再利用正弦定理以及二倍角公式将222abc化成2224cos5cosBB，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为2cossin22sincossin1sin1cos22coscosA

BBBBABBB，即1sincoscossinsincoscos2BABABABC，而π02B，所以π6B；【小问2详解】由（1）知，sincos0BC，所以πππ,022CB，而πsincossin2BCC，所以π2

CB，即有π22AB．所以222222222sinsincos21cossincosabABBBcCB2222222cos11cos24cos5285425coscosBBBBB．当且仅当22cos2B时取

等号，所以222abc的最小值为425．19.如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，1ABC的面积为22．（1）求A到平面1ABC的距离；（2）设D为1AC的中点，1AAAB，平面1ABC平面11ABBA，求二面角ABDC的正弦值．【答案】（1）2（2）32【解析】【分

析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC平面11ABBA，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱111ABCABC中，设点A到平面1ABC的距离为h，则111111112211433333AABCAAABCA

ABCABBCCCBVShhVSAAV，解得2h，所以点A到平面1ABC的距离为2；【小问2详解】取1AB的中点E,连接AE,如图，因为1AAAB，所以1AEAB,又平面1ABC平面11ABBA，平面1ABC平面111ABBA

AB，且AE平面11ABBA，所以AE⊥平面1ABC，在直三棱柱111ABCABC中，1BB平面ABC，由BC平面1ABC，BC平面ABC可得AEBC，1BBBC，又1,AEBB平面11ABBA且相交，所以BC平面11ABBA，所以1,,BCB

ABB两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得2AE，所以12AAAB，122AB，所以2BC，则10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0AABC,所以1AC的

中点1,1,1D，则1,1,1BD，0,2,0,2,0,0BABC,设平面ABD的一个法向量,,mxyz，则020mBDxyzmBAy，可取1,0,1m，设平面BDC的一个法

向量,,nabc，则020mBDabcmBCa，可取0,1,1nr，则11cos,222mnmnmn，所以二面

角ABDC的正弦值为213122.20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为

对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示

事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)PBAPBA与(|)(|)PBAPBA的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)PABPAB

的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．附22()()()()()nadbcKabcdacbd，2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）答案见解析（2）（i）证明见解析；(ii)6R；

【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求R.【小问1详解】由已知222()200(40906010)=

24()()()()50150100100nadbcKabcdacbd，又2(6.635)=0.01PK，246.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】(i)因为(|)(|)()()()()=(|

)(|)()()()()PBAPBAPABPAPABPARPBAPBAPAPABPAPAB，所以()()()()()()()()PABPBPABPBRPBPABPBPAB所以(|)(|)(|)(|)PABPABRPABPAB，(ii

)由已知40(|)100PAB，10(|)100PAB，又60(|)100PAB，90(|)100PAB，所以(|)(|)=6(|)(|)PABPABRPABPAB21.已知点(2,1)A在双曲线222

2:1(1)1xyCaaa上，直线l交C于P，Q两点，直线,APAQ的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若tan22PAQ，求PAQ△的面积．【答案】（1）1；（2）1629．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A在双曲线上可求出a，易知直

线l的斜率存在，设:lykxm，1122,,,PxyQxy，再根据0APBPkk，即可解出l的斜率；（2）根据直线,APAQ的斜率之和为0可知直线,APAQ的倾斜角互补，再根据tan22PAQ即可求出直线,A

PAQ的斜率，再分别联立直线,APAQ与双曲线方程求出点,PQ的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出PAQ△的面积．【小问1详解】因为点(2,1)A在双曲线2222:1(1)1xyCaaa上，所以224111aa

，解得22a，即双曲线22:12xCy易知直线l的斜率存在，设:lykxm，1122,,,PxyQxy，联立2212ykxmxy可得，222124220kxmkxm

，所以，2121222422,2121mkmxxxxkk，22222216422210120mkmkmk．所以由0APBPkk可得，212111022yyxx，即1

22121210xkxmxkxm，即1212212410kxxmkxxm，所以2222242124102121mmkkmkmkk

，化简得，2844410kkmk，即1210kkm，所以1k或12mk，当12mk时，直线:21lykxmkx过点2,1A，与题意不符，舍去，故1k．【小问2详解】不妨设直线,PA

PB的倾斜角为,，因为0APBPkk，所以π，因为tan22PAQ，所以tan22，即tan222，即22tantan20，解得tan2，于是，直线:221PAyx，直线:221P

Byx，联立2222112yxxy可得，232122104202xx，因为方程有一个根为2，所以10423Px，Py4253，同理可得，10423Qx，Qy4253．所以5:03PQ

xy，163PQ，点A到直线PQ的距离52122332d，故PAQ△的面积为116221622339．22.已知函数()xfxeax和()lngxaxx有相同的最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线yb，其与两条曲线()yfx和()ygx共有三个不同的交点

，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）1a（2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1

b时，exxb的解的个数、lnxxb的解的个数均为2，构建新函数()eln2xhxxx，利用导数可得该函数只有一个零点且可得,fxgx的大小关系，根据存在直线yb与曲线yfx、()ygx=有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等

差数列.【小问1详解】()exfxax的定义域为R，而()exfxa，若0a，则()0fx，此时()fx无最小值，故0a.()lngxaxx的定义域为0,，而11()axgxaxx.当lnxa时，(

)0fx，故()fx在,lna上为减函数，当lnxa时，()0fx，故()fx在ln,a上为增函数，故min()lnlnfxfaaaa.当10xa时，()0gx，故()gx在10,a上为减函数，当1xa时，()0gx，故()gx在1,a

上为增函数，故min11()1lngxgaa.因为()exfxax和()lngxaxx有相同的最小值，故11lnlnaaaa，整理得到1ln1aaa，其中0a，设1ln,0

1agaaaa，则222211011agaaaaa，故ga为0,上的减函数，而()10g=，故0ga的唯一解为1a，故1ln1aaa的解为1a.综上，1a.【小问2详解】由（1）可得e()xxfx和

()lngxxx的最小值为11ln11ln11.当1b时，考虑exxb的解的个数、lnxxb的解的个数.设exSxxb，e1xSx，当0x时，0Sx，当0x时，0Sx，故Sx在,0

上为减函数，在0,上为增函数，所以min010SxSb，而e0bSb，e2bSbb，设e2bubb，其中1b，则e20bub，故ub在1,上为增函数，故1e20ubu，故0Sb，故exSxxb

有两个不同的零点，即exxb的解的个数为2.设lnTxxxb，1xTxx，当01x时，()0Tx¢<，当1x时，0Tx，故Tx在()0,1上为减函数，在1,上为增函数，所以min110TxT

b，而ee0bbT，ee20bbTb，lnTxxxb有两个不同的零点即lnxxb的解的个数为2.当1b，由（1）讨论可得lnxxb、exxb仅有一个零点，当1b时，由（1）讨论可得lnxxb、exxb均无零点

，故若存在直线yb与曲线yfx、()ygx=有三个不同的交点，则1b.设()eln2xhxxx，其中0x，故1()e2xhxx，设e1xsxx，0x，则e10xsx，故sx在0,上为增函数，故00sxs即e1x

x，所以1()1210hxxx，所以()hx在0,上为增函数，而(1)e20h，31e333122()e3e30eeeh，故hx在0,上有且只有一个零点0x，0

311ex且：当00xx时，0hx即elnxxxx即fxgx，当0xx时，0hx即elnxxxx即fxgx，因此若存在直线yb与曲线yfx、()ygx=有三个不同的交点，故

001bfxgx，此时exxb有两个不同的零点1010,(0)xxxx，此时lnxxb有两个不同的零点0404,(01)xxxx，故11exxb，00exxb，44ln0xxb，00ln0xxb所以44lnxbx即44exb

x即44e0xbxbb，故4xb为方程exxb的解，同理0xb也为方程exxb的解又11exxb可化为11exxb即11ln0xxb即11ln0xbx

bb，故1xb为方程lnxxb的解，同理0xb也为方程lnxxb的解，所以1004,,xxxbxb，而1b，故0410xxbxxb即1402xxx.【点睛】思

路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.