【文档说明】2022年高考数学真题分类汇编07《三角函数与解三角形》及答案.docx，共(18)页，702.335 KB，由baby熊上传

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2022高考数学真题分类汇编五、三角函数与解三角形一、单选题1.（2022·全国甲（文）T5）将函数π()sin(0)3fxx的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴

对称，则的最小值是（）A.16B.14C.13D.12【答案】C【解析】【分析】先由平移求出曲线C的解析式，再结合对称性得,232kkZ，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C为sinsin()2323yxx

，又C关于y轴对称，则,232kkZ，解得12,3kkZ，又0，故当0k时，的最小值为13.故选：C.2.（2022·全国甲（理）T11）设函数π()sin3fxx在区间(0,π

)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A.513,36B.519,36C.138,63D.1319,66【答案】C【解析】【分析】由x的取值范围得到3x的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得

即可．【详解】解：依题意可得0，因为0,x，所以,333x，要使函数在区间0,恰有三个极值点、两个零点，又sinyx，,33x的图象如下所示：则

5323，解得13863，即138,63．故选：C．3.（2022·全国乙（文）T11）函数cos1sin1fxxxx在区间0,2π的最小值、最大值分别为（）A.ππ22，B.3ππ22，C.ππ222

，D.3ππ222，【答案】D【解析】【分析】利用导数求得fx的单调区间，从而判断出fx在区间0,2π上的最小值和最大值.【详解】sinsin1cos1cosfxxxxxxx，所以fx在区间π0,2和3π,2π2上

0fx，即fx单调递增；在区间π3π,22上0fx，即fx单调递减，又02π2ff，ππ222f，3π3π3π11222f，所以fx在区间

0,2π上的最小值为3π2，最大值为π22.故选：D4.（2022·新高考Ⅰ卷T6）记函数()sin(0)4fxxb的最小正周期为T．若23T，且()yfx的图象关于点3,22中心对称，则2f（）A.1B.32C

.52D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23T，得223，解得23，又因为函数图象关于点3

,22对称，所以3,24kkZ，且2b，所以12,63kkZ，所以52，5()sin224fxx，所以5sin21244f.故选：A5.（2022·北京卷T5）已知函

数22()cossinfxxx，则（）A.()fx在,26上单调递减B.()fx在,412上单调递增C.()fx在0,3上单调递减D.()fx在7,412上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出cos2fxx，利用

余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为22cossincos2fxxxx.对于A选项，当26x时，23x，则fx在,26上单调递增，A错；对于B选项，当412x时，226x，则fx在

,412上不单调，B错；对于C选项，当03x时，2023x，则fx在0,3上单调递减，C对；对于D选项，当7412x时，7226x，则fx在

7,412上不单调，D错.故选：C.6.（2022·北京卷T10）在ABC中，3,4,90ACBCC．P为ABC所在平面内的动点，且1PC，则PAPB的取值范围是（）A.[5,3]B.[3,5]C.[6,

4]D.[4,6]【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设cos,sinPθθ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则0,0C，3,0A

，0,4B，因为1PC，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设cos,sinPθθ，0,2，所以3cos,sinPA，cos,4sinPB，所以cos3cos4sinsinPAPB

22cos3cos4sinsin13cos4sin15sin，其中3sin5，4cos5，因为1sin1，所以415sin6，即4,6PAPB；故选：D7.（202

2·浙江卷T6）为了得到函数2sin3yx的图象，只要把函数π2sin35yx图象上所有的点（）A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度C向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度【答案】D.【解析】【分析

】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin32sin3155yxx，所以把函数π2sin35yx图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得

到函数2sin3yx的图象．故选：D.二、填空题1.（2022·全国甲（文）T16）.已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD．当ACAB取得最小值时，BD________．【答案】31##

1+3【解析】【分析】设220CDBDm，利用余弦定理表示出22ACAB后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CDBDm，则在ABD△中，22222cos42ABBDADBDADADBmm，在ACD△中，22222cos4

44ACCDADCDADADCmm，所以2222224421214441243424211mmmACmmABmmmmmm1244233211mm

，当且仅当311mm即31m时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m.故答案为：31.2.（2022·全国甲（理）T16）已知ABC中，点D在边BC上，120,2,2ADBADCDBD．当ACAB取得最小值时，

BD________．【答案】31##1+3【解析】【分析】设220CDBDm，利用余弦定理表示出22ACAB后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CDBDm，则在ABD△中，22222cos42ABBDADBDADADBmm，在ACD△中，2222

2cos444ACCDADCDADADCmm，所以2222224421214441243424211mmmACmmABmmmmmm1244233211mm

，当且仅当311mm即31m时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，31m.故答案为：31.3.（2022·全国乙（理）T15）记函数cos(0,0π)fxx的最小正周期为T，若

3()2fT，9x为()fx的零点，则的最小值为____________．【答案】3【解析】【分析】首先表示出T，根据32fT求出，再根据π9x为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为cosfx

x，（0，0π）所以最小正周期2πT，因为2π3coscos2πcos2fT，又0π，所以π6，即πcos6fxx，又π9x为

fx的零点，所以ππππ,Z962kk，解得39,Zkk，因为0，所以当0k时min3；故答案为：34.（2022·新高考Ⅱ卷T6）角,满足sin()cos()22cossin4

，则（）A.tan()1B.tan()1C.tan()1D.tan()1【答案】D【解析】【分析】由两角和差正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sincoscossincosco

ssinsin2cossinsin,即：sincoscossincoscossinsin0，即：sincos0,所以tan1,故选：D5.（2022·新高考

Ⅱ卷T9）函数()sin(2)(0π)fxx的图象以2π,03中心对称，则（）A.y()fx在5π0,12单调递减B.y()fx在π11π,1212有2个极值点C.直线7π6x

是一条对称轴D.直线32yx是一条切线【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin033f，所以4ππ3k，kZ，即4ππ,3kkZ，又0π，所以2k时，2π3

，故2π()sin23fxx．的对A，当5π0,12x时，2π2π3π2,332x，由正弦函数sinyu图象知()yfx在5π0,12上是单调递减；对B，当π11π,1212x

时，2ππ5π2,322x，由正弦函数sinyu图象知()yfx只有1个极值点，由2π3π232x，解得5π12x，即5π12x为函数的唯一极值点；对C，当7π6x时，2π23π3x，7π()06f，直线7π6x

不是对称轴；对D，由2π2cos213yx得：2π1cos232x，解得2π2π22π33xk或2π4π22π,33xkkZ,从而得：πxk或ππ,3xkkZ,所以函数()yfx在点3

0,2处的切线斜率为02π2cos13xky，切线方程为：3(0)2yx即32yx．故选：AD．6.（2022·北京卷T13）若函数()sin3cosfxAxx的一个零点为3，则A________；12f

________．【答案】①.1②.2【解析】【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为π()2sin()3fxx，代入自变量π12x，计算即可.【详解】∵π33()0322fA，∴1A∴π()sin3cos2sin()3fxxxxππππ()2sin()2sin21

21234f故答案为：1，27.（2022·浙江卷T11）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是2222221

42cabSca，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边2,3,2abc，则该三角形的面积S___________．【答案】234.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为222222142

cabSca，所以242312342442S．故答案为：234.8.（2022·浙江卷T13）若3sinsin10,2，则sin

__________，cos2_________．【答案】①.31010②.45【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．【详解】2，∴sincos

，即3sincos10，即3101010sincos101010，令10sin10，310cos10，则10sin10，∴22kkZ，，即22k，∴310sinsin2cos210

k，则224cos22cos12sin15．故答案为：31010；45．三、解答题1.（2022·全国乙（文）T17）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinsinsinsinCABBCA．（1）若2AB

，求C；（2）证明：2222abc【答案】（1）5π8；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，sinsinCCA，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinsincoscossinsinsincoscossinCAB

ABBCACA，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【小问1详解】由2AB，sinsinsinsinCABBCA可得，sinsinsinsinCBBCA，而π02B，所以sin0,1B，即有sinsin0CCA，而0π,0πC

CA，显然CCA，所以，πCCA，而2AB，πABC，所以5π8C．【小问2详解】由sinsinsinsinCABBCA可得，sinsincoscossinsinsincoscossinCABAB

BCACA，再由正弦定理可得，coscoscoscosacBbcAbcAabC，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222acbbcabcaabc，化简得

：2222abc，故原等式成立．2.（2022·全国乙（理）T17）记ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知sinsin()sinsin()CABBCA．（1）证明：2222abc

；（2）若255,cos31aA，求ABC的周长．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从

而可求得bc，即可得解.【小问1详解】证明：因为sinsinsinsinCABBCA，所以sinsincossinsincossinsincossinsincosCABCBABCABAC，所以2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab

，即22222222222acbabcbca，所以2222abc；【小问2详解】解：因为255,cos31aA，由（1）得2250bc，由余弦定理可得2222cosabc

bcA，则50502531bc，所以312bc，故2222503181bcbcbc，所以9bc，所以ABC的周长为14abc.3.（2022·新高考Ⅰ卷T18）记ABC的内角A

，B，C的对边分别为a，b，c，已知cossin21sin1cos2ABAB．（1）若23C，求B；（2）求222abc的最小值．【答案】（1）π6；（2）425．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cossin21sin1cos

2ABAB化成cossinABB，再结合π02B，即可求出；（2）由（1）知，π2CB，π22AB，再利用正弦定理以及二倍角公式将222abc化成2224cos5cosBB，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为2cossin22si

ncossin1sin1cos22coscosABBBBABBB，即1sincoscossinsincoscos2BABABABC，而π02B，所以π6B；【小问2详解】由（1）知，sincos0B

C，所以πππ,022CB，而πsincossin2BCC，所以π2CB，即有π22AB．所以222222222sinsincos21cossincosabABBBcCB2222222cos11cos24co

s5285425coscosBBBBB．当且仅当22cos2B时取等号，所以222abc的最小值为425．4.（2022·新高考Ⅱ卷T18）记ABC的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次

为123,,SSS，已知12331,sin23SSSB．（1）求ABC的面积；（2）若2sinsin3AC，求b．【答案】（1）28（2）12【解析】【分析】（1）先表示出123,,SSS，再由12332

SSS求得2222acb，结合余弦定理及平方关系求得ac，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sinsinsinbacBAC，即可求解.【小问1详解】由题意得2222123133

33,,22444SaaSbSc，则22212333334442SSSabc，即2222acb，由余弦定理得222cos2acbBac，整理得cos1acB，则cos0B，又1sin3B，则2122cos13

3B，132cos4acB，则12sin28ABCSacB；【小问2详解】由正弦定理得：sinsinsinbacBAC，则223294sinsinsinsinsin423bacacBACAC，则3sin2bB，31sin22bB.

5.（2022·北京卷T16）在ABC中，sin23sinCC．（1）求C；（2）若6b，且ABC的面积为63，求ABC的周长．【答案】（1）6（2）663+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合

角C的取值范围可求得角C的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得ABC的周长.【小问1详解】解：因为0,C，则sin0C，由已知可得3sin2sincosCCC，可得3cos2C，因此，6C.【小问2

详解】解：由三角形的面积公式可得13sin6322ABCSabCa，解得43a.由余弦定理可得22232cos48362436122cababC，23c，所以，ABC的周长为63

6abc.6.（2022·浙江卷T18）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知345,cos5acC．（1）求sinA的值；（2）若11b，求ABC的面积．【答案】（1）55；（2）22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sinC，再根据正弦定理即可解出；（2）

根据余弦定理的推论222cos2abcCab以及45ac可解出a，即可由三角形面积公式in12sSabC求出面积．【小问1详解】由于3cos5C，0πC，则4sin5C．因为45ac，由正弦定理知4sin5sinAC，则55sinsin45AC

．【小问2详解】因为45ac，由余弦定理，得2222221612111355cos22225aaaabcCabaa，即26550aa，解得5a，而4sin5C，11b，所以ABC的面

积114sin51122225SabC．