【文档说明】2022年高考数学真题分类汇编06《数列》及答案.docx，共(14)页，773.431 KB，由baby熊上传

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2022高考数学真题分类汇编六、数列一、选择题1.（2022·全国乙（文）T10）已知等比数列na的前3项和为168，2542aa，则6a（）A.14B.12C.6D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列na的公比为

,0qq，易得1q，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列na的公比为,0qq，若1q，则250aa，与题意矛盾，所以1q，则3112342511

1168142aqaaaqaaaqaq，解得19612aq，所以5613aaq.故选：D.2.（2022·全国乙（理）T8）已知等比数列na的前3项和为1

68，2542aa，则6a（）A.14B.12C.6D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列na的公比为,0qq，易得1q，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列

na的公比为,0qq，若1q，则250aa，与题意矛盾，所以1q，则31123425111168142aqaaaqaaaqaq，解得19612aq，所以5613aaq.故选：D.3.（202

2·全国乙（理）T4）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb：1111b，212111b，31231111b

，…，依此类推，其中(1,2,)kkN．则（）A15bbB.38bbC.62bbD.47bb【答案】D【解析】【分析】根据*1,2,kkN…，再利用数列nb与k的关系判断nb中各项的大小

，即可求解.【详解】解：因为*1,2,kkN，所以1121，112111，得到12bb，同理11223111，可得23bb，13bb又因为223411,11112233411111

，故24bb，34bb；的.以此类推，可得1357bbbb…，78bb，故A错误；178bbb，故B错误；26231111…，得26bb，故C错误；1123726

4111111…，得47bb，故D正确.故选：D.4.（2022·新高考Ⅱ卷T3）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，1111,,,DDCCBBAA是举，1111,,,ODDCCBBA是相等的步，

相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DDCCBBAAkkkODDCCBBA，若123,,kkk是公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则3k（）A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9【答案】D【解析】【分析】设11111ODDCCBBA

，则可得关于3k的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111ODDCCBBA，则111213,,CCkBBkAAk，依题意，有31320.2,0.1kkkk，且111111110.725DDCC

BBAAODDCCBBA，所以30.530.30.7254k，故30.9k，故选：D5.（2022·浙江卷T10）已知数列na满足21111,3nnnaaaanN，则（）A.100521002aB.100510032a

C.100731002aD.100710042a【答案】B【解析】【分析】先通过递推关系式确定na除去1a，其他项都在()0,1范围内，再利用递推公式变形得到1111133nnnaaa，累

加可求出11(2)3nna，得出1001003a，再利用11111111333132nnnaaann，累加可求出111111113323nnan，再次放缩可得出100510

02a．【详解】∵11a，易得220,13a，依次类推可得0,1na由题意，1113nnnaaa，即1131133nnnnnaaaaa，∴1111133nnnaa

a，即211113aa，321113aa，431113aa，…，1111,(2)3nnnaa，累加可得11113nna，即11(2),(2)3nnna，∴3,22nann，即100134a，10010010

0334a,又11111111,(2)333132nnnnaaann，∴211111132aa，321111133aa，431111134aa

，…，111111,(3)3nnnaan，累加可得11111111,(3)3323nnnan，∴10011111111133334943932399326a

，即100140a，∴100140a，即10051002a；综上：100510032a．故选：B．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.二、

填空题1.（2022·全国乙（文）T13）记nS为等差数列na的前n项和．若32236SS，则公差d_______．【答案】2【解析】【分析】转化条件为112+226adad，即可得解.【详解】由32236SS可得123122+3

6aaaaa，化简得31226aaa，即112+226adad，解得2d.故答案为：2.2.（2022·北京卷T15）己知数列na各项均为正数，其前n项和nS满足9(1,2,)nnaSn．给出下列四个结论：①na的第2项小于3；②na为等比数列；③

na为递减数列；④na中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】推导出199nnnaaa，求出1a、2a的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判

断③.【详解】由题意可知，Nn，0na，当1n时，219a，可得13a；当2n时，由9nnSa可得119nnSa，两式作差可得199nnnaaa，所以，199nnnaaa，则2293aa，整理可得222390aa，因为20a，解得235332a

，①对；假设数列na为等比数列，设其公比为q，则2213aaa，即2213981SSS，所以，2213SSS，可得22221111aqaqq，解得0q，不合乎题意

，故数列na不等比数列，②错；当2n时，1119990nnnnnnnaaaaaaa，可得1nnaa，所以，数列na为递减数列，③对；假设对任意Nn，1100na，则100000110000010001

00S，所以，1000001000009911000100aS，与假设矛盾，假设不成立，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题1.（2022·全国甲（文T18）(理T17）记nS为数列n

a的前n项和．已知221nnSnan．（1）证明：na是等差数列；（2）若479,,aaa成等比数列，求nS的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）78．【解析】是的【分析】（1）依题意可得222nnSnnan，根据11,1,2nnnSnaSSn，作差即可

得到11nnaa，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出1a，即可得到na的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】解：因为221nnSnan，即222nnSnnan①，当2n时，211212

11nnSnnan②，①②得，22112212211nnnnSnSnnannan，即12212211nnnannana，即1212121nnnanan，所

以11nnaa，2n且N*n，所以na是以1为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）可得413aa，716aa，918aa，又4a，7a，9a成等比数列，所以2749aaa，即2111638aaa，解得112a，所以13nan

，所以22112512562512222228nnnSnnnn，所以，当12n或13n时min78nS．2.（2022·新高考Ⅰ卷T17）记nS为数列na的前n项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列．（1）求na的通项

公式；（2）证明：121112naaa．【答案】（1）12nnna（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得121133nnSnna，得到23nnnaS，利用和与项

的关系得到当2n时，112133nnnnnnanaaSS,进而得：111nnanan，利用累乘法求得12nnna，检验对于1n也成立，得到na的通项公式12nnna；（2）由（1）的结论，

利用裂项求和法得到121111211naaan，进而证得.【小问1详解】∵11a，∴111Sa,∴111Sa,又∵nnSa是公差为13的等差数列，∴1211

33nnSnna,∴23nnnaS,∴当2n时，1113nnnaS，∴112133nnnnnnanaaSS,整理得：111nnnana,即111nnanan,∴31211221nn

nnnaaaaaaaaaa1341123212nnnnnn，显然对于1n也成立，∴na的通项公式12nnna；【小问2详解】12112,11nannnn

∴12111naaa1111112121222311nnn3.（2022·新高考Ⅱ卷T17）已知na为等差数列，nb是公比为2的等比数列，且22334

4ababba．（1）证明：11ab；（2）求集合1,1500kmkbaam中元素个数．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】【分析】（1）设数列na的公差为d，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22km

，即可解出．【小问1详解】设数列na的公差为d，所以，11111111224283adbadbadbbad，即可解得，112dba，所以原命题得证．【小问2详解】由（1）知，

112dba，所以1111121kkmbaabamda，即122km，亦即221,500km，解得210k，所以满足等式的解2,3,4,,10k，故集合1|,1500kmkbaam中的元素个数为10219．4.（2022·北京卷T

21）已知12:,,,kQaaa为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的{1,2,,}nm，在Q中存在12,,,,(0)iiiijaaaaj，使得12iiiijaaaan，则称Q为m连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q是否为5连续可表数列？是否为6连续可表数列？说

明理由；（2）若12:,,,kQaaa为8连续可表数列，求证：k的最小值为4；（3）若12:,,,kQaaa为20连续可表数列，且1220kaaa，求证：7k．【答案】（1）是5连续可表数列；不是6连续可表数列．（2）证明见解析．

（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k不符合，再列举一个4k合题即可；（3）5k时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k时，由12620aaa可知里面必然有负数，再确定负数只能是1，然后分类讨论验证不行即可．【小问1详解】2

1a，12a，123aa，34a，235aa，所以Q是5连续可表数列；易知，不存在,ij使得16iiijaaa，所以Q不是6连续可表数列．【小问2详解】若3k,设为:Q,,abc,则至多,,,,,abbcabcabc，

6个数字，没有8个，矛盾；当4k时,数列:1,4,1,2Q，满足11a，42a，343aa，24a，125aa，1236aaa，2347aaa，12348aaaa，min4k．【小问3详解】12:

,,,kQaaa，若ij最多有k种，若ij，最多有2Ck种，所以最多有21C2kkkk种，若5k，则12,,,kaaa…至多可表551152个数，矛盾,从而若7k<,则6k，,,,,,abcdef至多可表6(61)212个数，而20abcdef，

所以其中有负的，从而,,,,,abcdef可表1~20及那个负数（恰21个），这表明~af中仅一个负的，没有0，且这个负的在~af中绝对值最小，同时~af中没有两数相同,设那个负数为(1)mm，则所有数之和125415mmmmm，415191mm

，{,,,,,}{1,2,3,4,5,6}abcdef，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112（仅一种方式），1与2相邻，若1不在两端,则",1,2,__,__,__"x形式，若6x，

则56(1)（有2种结果相同，方式矛盾），6x，同理5,4,3x，故1在一端，不妨为"1,2,,,,"ABCD形式，若3A,则523（有2种结果相同，矛盾），4A同理不行，5A，则6125（有2种结果相同，矛盾），从而6A，由

于7126,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4，①或1,2,6,4,5,3，②这2种情形，对①：96354，矛盾，对②：82653，也矛盾，综上6k7k．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m可表数列核心就是是否存在连续的几

项（可以是一项）之和能表示从1到m中间的任意一个值．本题第二问3k时，通过和值可能个数否定3k；第三问先通过和值的可能个数否定5k，再验证6k时，数列中的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}的一个

排序，可验证这组数不合题．5.（2022·浙江卷T20）已知等差数列na的首项11a，公差1d．记na的前n项和为nSnN．（1）若423260Saa，求nS；（2）若对于每个nN，存在实数nc，使1

2,4,15nnnnnnacacac成等比数列，求d的取值范围．【答案】（1）235(N)2nnnSn（2）12d【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式化简条件，求出d，再求nS；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d的范围.【小问1详解

】因为42312601Saaa，，所以46211260ddd，所以230dd，又1d，所以3d，所以34nan，所以213522nnaannnS，【小问2详解】因为nnac，14nnac，215nnac成等比数列

，所以212415nnnnnnacacac，2141115nnnndcnddcnddc，22(1488)0nncdndcd，由已知方程22(1488)0nncdndcd

的判别式大于等于0，所以22148840dndd，所以168812880dnddnd对于任意的nN恒成立，所以212320ndnd对于任意的nN恒成立，当1n时，21232120nd

nddd，当2n时，由2214320dddd，可得2d当3n时，21232(3)(25)0ndndnn，又1d所以12d