【文档说明】2022年北京市高考数学试卷含答案解析（定稿）.doc，共(20)页，4.284 MB，由baby熊上传

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第1页（共20页）2022年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知全集{|33}Uxx=−，集合{|21}Axx=−„，则(UA=ð)A．(2−，1]B．(3,2)[1−

−，3)C．[2−，1)D．(3−，2](1,3)−2．若复数z满足34izi=−，则||(z=)A．1B．5C．7D．253．若直线210xy+−=是圆22()1xay−+=的一条对称轴，则(a=)A．12B．12−C．1D．1−4．已知函数1()12xfx=+，则对任意实数x，有()A

．()()0fxfx−+=B．()()0fxfx−−=C．()()1fxfx−+=D．1()()3fxfx−−=5．已知函数22()cossinfxxx=−，则()A．()fx在(2−，)6−上单调递减B．()fx在(

4−，)12上单调递增C．()fx在(0,)3上单调递减D．()fx在(4，7)12上单调递增6．设{}na是公差不为0的无穷等差数列，则“{}na为递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的()A．充分而

不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T

和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是()第2页（共20页）A．当220T=，1026P=时，二氧化碳处于液态B．当270T=，128P=时，二氧化碳处于气态C．当300T=，9987P=

时，二氧化碳处于超临界状态D．当360T=，729P=时，二氧化碳处于超临界状态8．若443243210(21)xaxaxaxaxa−=++++，则024(aaa++=)A．40B．41C．40−D．41−9．已知正三棱锥PABC−的六条棱长均为6，S是ABC及其内部的点构成的集合．

设集合{|5}TQSPQ=„，则T表示的区域的面积为()A．34B．C．2D．310．在ABC中，3AC=，4BC=，90C=．P为ABC所在平面内的动点，且1PC=，则PAPB的取值范围是()A．[5−，3]B．[3−，5]C．[6−，4]D．

[4−，6]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数1()1fxxx=+−的定义域是．12．（5分）已知双曲线221xym+=的渐近线方程为33yx=，则m=．13．（5分）若函数()sin3c

osfxAxx=−的一个零点为3，则A=；()12f=．14．（5分）设函数21,,()(2),axxafxxxa−+=−…若()fx存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．15．（5分）已知数列{}na的各项均为正数，其前n项和nS满足

9(1nnaSn==，2，)．给出下列四个结论：①{}na的第2项小于3；②{}na为等比数列；③{}na为递减数列；④{}na中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）在

ABC中，sin23sinCC=．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若6b=，且ABC的面积为63，求ABC的周长．17．（14分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧面11BCCB为正方形，平面11BCCB⊥平面11ABBA，2ABBC==，M，N分别为11AB，AC的中点．（Ⅰ）求证

：//MN平面11BCCB；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．第3页（共20页）条件①：ABMN⊥；条件②：BMMN=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（1

3分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50)m的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：):m甲：9.80，9.70，9.5

5，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19．（15分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+

=的一个顶点为(0,1)A，焦距为23．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点(2,1)P−作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N．当||2MN=时，求k的值．20．（15分）已知函数(

)(1)xfxelnx=+．（Ⅰ）求曲线()yfx=在点(0，(0))f处的切线方程；（Ⅱ）设()()gxfx=，讨论函数()gx在[0，)+上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的s，(0,)t+，有()(

)()fstfsft++．21．（15分）已知1:Qa，2a，，ka为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的{1n，2，，}m，在Q中存在ia，1ia+，2ia+，，(0)ijaj+…，使得12iiiijaaaan+++++++=，则称Q为m−连续可表数列．（Ⅰ）判断:2Q，

1，4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；（Ⅱ）若1:Qa，2a，，ka为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；（Ⅲ）若1:Qa，2a，，ka为20−连续可表数列，且1220kaaa+++，求证：7k…．第4页（共20页

）2022年北京市高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知全集{|33}Uxx=−，集合{|21}Axx=−„，则(UA=ð)A．(2−，1]B．(3,2)[1−−，3)C．[2−，1)D

．(3−，2](1,3)−【思路分析】由补集的定义直接求解即可．【解析】因为全集{|33}Uxx=−，集合{|21}Axx=−„，所以{|32UAxx=−−„ð或13}(3x=−，2](1,3)−．故选：D．【试题评价】本题主要考查补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题．

2．若复数z满足34izi=−，则||(z=)A．1B．5C．7D．25【思路分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．【解析】由34izi=−，得34izi−=，223(4)34|34|||||5||1iizii+−−−====．故选：B．【试题评价】本题考查复数模的求法，考查化归与

转化思想，是基础题．3．若直线210xy+−=是圆22()1xay−+=的一条对称轴，则(a=)A．12B．12−C．1D．1−【思路分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得a值．【解析】圆22()1x

ay−+=的圆心坐标为(,0)a，直线210xy+−=是圆22()1xay−+=的一条对称轴，圆心在直线210xy+−=上，可得2010a+−=，即12a=．故选：A．【试题评价】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，是基础题．4．已知函数1()12xfx=

+，则对任意实数x，有()A．()()0fxfx−+=B．()()0fxfx−−=C．()()1fxfx−+=D．1()()3fxfx−−=【思路分析】根据题意计算()()fxfx+−的值即可．【解析】因为函数1()12xfx=+，所以12()1221xxxfx−−==

++，所以12()()112xxfxfx+−+==+．第5页（共20页）故选：C．【试题评价】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题．5．已知函数22()cossinfxxx=−，则()A．()fx在(2−，)6−上单调递

减B．()fx在(4−，)12上单调递增C．()fx在(0,)3上单调递减D．()fx在(4，7)12上单调递增【思路分析】利用二倍角公式化简得()cos2fxx=，周期T=，根据余弦函数的单调性可得()fx的单调递减区间为[k，]()2kk

Z+，单调递增区间为[2k+，]()kkZ+，进而逐个判断各个选项的正误即可．【解析】22()cossincos2fxxxx=−=，周期T=，()fx的单调递减区间为[k，]()2kkZ+，单调递增区间为[

2k+，]()kkZ+，对于A，()fx在(2−，)6−上单调递增，故A错误，对于B，()fx在(4−，0)上单调递增，在(0,)12上单调递减，故B错误，对于C，()fx在(0,)3上单调递减，故C正确，对于D，()fx在(

4，)2上单调递减，在(2，7)12上单调递增，故D错误，故选：C．【试题评价】本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．6．设{}na是公差不为0的无穷等差数列，则“{}na为递增数列”是“

存在正整数0N，当0nN时，0na”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【思路分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可．【解析】【解法一】：因为数列{}na是公

差不为0的无穷等差数列，当{}na为递增数列时，公差0d，令1(1)0naand=+−，解得11and−，1[1]ad−表示取整函数，所以存在正整数101[1]aNd=+−，当0nN时，0na，充分性成立；当0nN时

，0na，10na−，则10nndaa−=−，必要性成立；是充分必要条件．故选：C．【解法二】：设等差数列na的公差为d，则0d，记x为不超过x的最大整数.若na为单调递增数列，则0

d，第6页（共20页）若10a，则当2n时，10naa；若10a，则()11naand+−=，由（令或若）()110naand=+−可得11and−，取1011aNd=−+，则当0nN时，0na，所以，“na是递增数列”“存在正整数0N，当0nN

时，0na”；若存在正整数0N，当0nN时，0na，取Nk且0kN，0ka，假设0d，令()0nkaankd=+−可得kankd−，且kakkd−，当1kankd−+

时，0na，与题设矛盾，假设不成立，则0d，即数列na是递增数列.所以，“na是递增数列”“存在正整数0N，当0nN时，0na”.所以，“na是递增数列”是“存在正整数0N，当0nN时，0na”的充分必要条件.故选

：C.【试题评价】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题．7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示

压强，单位是bar．下列结论中正确的是()A．当220T=，1026P=时，二氧化碳处于液态B．当270T=，128P=时，二氧化碳处于气态C．当300T=，9987P=时，二氧化碳处于超临界状态D．当360T=，729

P=时，二氧化碳处于超临界状态【思路分析】计算每个选项的lgP的值，结合T与图可判断结论．【解析】对于A，当220T=，1026P=时，3lgP，由图可知二氧化碳处于固态，故A错误；对于B：当270T=，128P=时，23lgP

，由图可知二氧化碳处于液态，故B错误；对于C：当300T=，9987P=时，4lgP，由图可知二氧化碳处于固态，故C错误；对于D：当360T=，729P=时，23lgP，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故D正第7页

（共20页）确；故选：D．【试题评价】本题考查对数的计算，考查看图的能力，数形结合思想，属基础题．8．若443243210(21)xaxaxaxaxa−=++++，则024(aaa++=)A．40B．41

C．40−D．41−【思路分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出0a和2a，以及4a的值，可得结论．【解析】【解法一】443243210(21)xaxaxaxaxa−=++++，422040244442212416

41aaaCCC++=++=++=，故选：B．【解法二】：(补解)赋值法：令x=1，原式为：432101aaaaa=++++---①，令x=-1，4321081aaaaa=++−−---②，①+②得：42041aa

a++=，故选：B．【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．9．已知正三棱锥PABC−的六条棱长均为6，S是ABC及其内部的点构成的集合．设集合{|5}TQSP

Q=„，则T表示的区域的面积为()A．34B．C．2D．3【思路分析】设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA，根据正三角形的性质求得OA的长，并由勾股定理求得OP的长，进而知T表示的区域是以O为圆心，1为半径

的圆．【解析】设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA，则233233OA==，所以22361226OPPAOA=−=−=，由2225241PQOP−=−=，知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆

，所以其面积S=．故选：B．【试题评价】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题．10．在ABC中，3AC=，4BC=，90C=．P为ABC所在平面内的动点，且1PC=，则PAPB的取值范围是()A．[5−，3]B．[3−，5]C

．[6−，4]D．[4−，6]【思路分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设(,)Pxy，计算可得341PAPBxy=−−+，进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解．【解析】【解法一】：在ABC中，3AC=，4BC=，90C=

，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：第8页（共20页）则(3,0)A，(0,4)B，(0,0)C，设(,)Pxy，因为1PC=，所以221xy+=，又(3,)PAxy=−−，(,4)P

Bxy=−−，所以22(3)(4)34341PAPBxxyyxyxyxy=−−−−=+−−=−−+，设cosx=，siny=，所以(3cos4sin)15sin()1PAPB=−++=−++，其中3tan4=，当sin()1+=−时，PAPB有最小值为4−，sin

()1+=（雷芳校对）当sin()1+=−时，PAPB有最大值为6，所以[4PAPB−，6]，故选：D．【解法二】：(补解)在ABC中，90C=，所以0,CACB=,,,2PCCBPCCA=−（校对）3,,,2PCCBPC

CA=−()()PAPBPCCAPCCB=++2PCPCCAPCCBCACB=+++13cos,4cos,0PCCAPCCB=+++13cos,4in,PCCAsPCCA=++15sin[,]PCCA=++其中，30tan24=

，，（校对）3tan4=其中，所以，46PAPB−故选：D【解法三】：(补解)在ABC中，90C=设M是AB的中点，因为3AC=，4BC=，所以5AB=,254MAMB=−,0MAMB+=,|CM|=52()()PAPBPMMAPMMB=++2PMPMMAPMM

BMAMB=+++第9页（共20页）（校对）2PMPMMAPMMBMAMB=+++2254PM=−因为min312PMCM=−=,max712PMCM=+=所以，46PAPB−故选：D【试题评价】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分

，共25分。11．（5分）函数1()1fxxx=+−的定义域是(−，0)(0，1]．【思路分析】由分母不为0，被开方数非负列不等式组，即可求解函数的定义域．【解析】要使函数1()1fxxx=+−有意义，则

010xx−…，解得1x„且0x，所以函数的定义域为(−，0)(0，1]．故答案为：(−，0)(0，1]．【试题评价】本题主要考查函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．12．（5分）已知双曲线221xym+=的渐近线方程

为33yx=，则m=3−．【思路分析】化双曲线方程为标准方程，从而可得0m，求出渐近线方程，结合已知即可求解m的值．【解析】双曲线221xym+=化为标准方程可得221xym−=−，所以0m，双曲线的渐近线方程1yxm=−，又双曲线221xym+=的渐

近线方程为33yx=，所以133m=−，解得3m=−．故答案为：3−．【试题评价】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题．13．（5分）若函数()sin3cosfxAxx=−的一个零点为3，则A=1；()12f=．【思路分析】

由题意，利用函数的零点，求得A的值，再利用两角差的正弦公式化简()fx，可得()12f的值．【解析】函数()sin3cosfxAxx=−的一个零点为3，313022A−=，1A=，函数()sin3cos2sin

()3fxxxx=−=−，()2sin()2sin()2sin21212344f=−=−=−=−，故答案为：1；2−．【试题评价】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题．第10页（共20页）14．（5分）设函数21,,()(2),axxaf

xxxa−+=−…若()fx存在最小值，则a的一个取值为0；a的最大值为．【思路分析】对函数()fx分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时a的范围即可．【解析】【解法一】：当0a时，函数()fx图像如图所示，不满足题意，当0a=时，函数()fx图像如图所示，

满足题意；当02a时，函数()fx图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足210a−+…，解得：01a„；当2a=时，函数()fx图像如图所示，不满足题意，当2a时，函数()fx图像如图所示，要使得函数()fx有最小值，需22(2)1aa−−+„，无解，故不满足题意；第11页（共20页）综

上所述：a的取值范围是[0，1]，故答案为：0，1．【解法二】：（补解）因为一次函数()()x1faxa=−+−的定义域为，，①若0a时，当xa时，()()x1faxa=−+−在区间，上单调递增，()()21fxa−−+的

值域为，，故()fx没有最小值，不符合题目要求，舍去；②若0a时，当xa时，()()x1faxa=−+−在区间，上单调递减，所以()()2x1ffaa=−+，当xa时，()2min002,()2,

2,afxaa=−，如果()xf存在最小值，有()2221012aaa−+−+−或解得01a，③若0a=时，()()21,0,2,0.xfxxx=−，∴())0fx+的值域为

，，()min0,fx=符合题意。综上可得:01a.故答案为：0，1．【试题评价】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目．15．（5分）已知数列{}na的各项均为正数，其前n项和nS满足9(1nnaSn==，2，)．给出下列四个结论：①{}na的第2项小于3

；②{}na为等比数列；③{}na为递减数列；④{}na中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是①③④．【思路分析】对于①，求出2a即可得出结论；对于②，假设{}na为等比数列，推出矛盾即可得出结论；对于③，容易推得1nnaa−；对于④，

假设所有项均大于等于1100，推出矛盾即可判断．【解析】对于①1n=时，可得13a=，当2n=时，由229aS=，可得212()9aaa+=，可得23(51)32a−=，故①正确；对于②，当2n…时，由9nnSa=得119nnSa−−=，于是可得

199nnnaaa−=−，即2199nnnaaa−−=，第12页（共20页）若{}na为等比数列，则2n…时，1nnaa+=，即从第二项起为常数，可检验3n=不成立，故②错误；对于③，因为9nnaS=，0na，13a=，当2n…时，9nnSa=，所以11990nnnnnaSSa

a−−=−=−，所以199nnaa−1111nnnnaaaa−−，所以{}na为递减数列，故③正确；对于④，假设所有项均大于等于1100，取90000n，则1,900100nnaS…，则9nnaS与已知矛盾，故④正确；故答案为：①③④．【试题评价】本题考查命题的真假判

断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）在ABC中，sin23sinCC=．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若6b=，且ABC的面积为6

3，求ABC的周长．【思路分析】（Ⅰ）根据二倍角公式化简可得cosC，进一步计算可得角C；（Ⅱ）根据三角形面积求得a，再根据余弦定理求得c，相加可得三角形的周长．【解析】（Ⅰ）sin23sinCC=，2sincos3sinCCC=，又sin0C，

2cos3C=，3cos2C=，0C，6C=；（Ⅱ）ABC的面积为63，1sin632abC=，又6b=，6C=，1166322a=，43a=，又222cos2abcCab+−=，2223(43)622436c+−

=，23c=，第13页（共20页）663abc++=+，ABC的周长为663+．【试题评价】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．17．（14分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧面11BCCB

为正方形，平面11BCCB⊥平面11ABBA，2ABBC==，M，N分别为11AB，AC的中点．（Ⅰ）求证：//MN平面11BCCB；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BM

N所成角的正弦值．条件①：ABMN⊥；条件②：BMMN=．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【思路分析】（1）通过证面面平证线面平行；（2）通过证明BC，BA，1BB两两垂直，从而建立以B为坐标原点，BC，BA，1BB为坐标轴建立如图所示的空间直角

坐标系，利用向量法求线面角的正弦值．【解析】()I证明一：取AB中点K，连接NK，MK，M为11AB的中点．1//BMBK，且1//BMBK，四边形1BKMB是平行四边形，故1//MKBB，MK平面11BCCB；1BB平面11BCC

B，//MK平面11BCCB，K是AB中点，N是AC的点，//NKBC，NK平面11BCCB；BC平面11BCCB，//NK平面11BCCB，又NKMKK=，平面//NMK平面11BCCB，又MN平面NMK，

//MN平面11BCCB；证明二：（补解）：取AB的中点为K，连接,MKNK，由三棱柱111ABCABC−可得四边形11ABBA为平行四边形，而11,BMMABKKA==，（校对）1111,//BMMABMMA=则1//MKBB，而MK平面11CBBC，1BB平面

11CBBC，故//MK平面第14页（共20页）11CBBC，而,CNNABKKA==，则//NKBC，同理可得//NK平面11CBBC，而,,NKMKKNKMK=平面MKN，故平面//MKN平面11CBBC，而MN平面MKN，故//MN平面11CBBC，（校对）取BC的中点为D，连

接B1D,ND,N为AC的中点．//DNAB，且12DNAB=，M为11AB的中点．1//BMAB,且11//2BMAB，1DNBM=,1//DNBM.四边形1BMND是平行四边形，故1//MNBD，MN平面11BCCB；1BD平面11BCCB，//MN平面11BCC

B，()II侧面11BCCB为正方形，平面11BCCB⊥平面11ABBA，平面11BCCB平面111ABBABB=，CB⊥平面11ABBA，CBAB⊥，又//NKBC，ABNK⊥，若选①：ABMN⊥；又MNNKN=，AB⊥平面MNK，又M

K平面MNK，ABMK⊥，又1//MKBB，1ABBB⊥，BC，BA，1BB两两垂直，若选②：CB⊥平面11ABBA，//NKBC，NK⊥平面11ABBA，KM平面11ABBA，MKNK⊥，又B

MMN=，12NKBC=，12BKAB=，BKMNKM，90BKMNKM==，ABMK⊥，又1//MKBB，1ABBB⊥，BC，BA，1BB两两垂直，以B为坐标原点，BC，BA，1BB为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0B，0，0)，(1N，1，0

)，(0M，1，2)，(0A，2，0)，(0BM=，1，2)，(1BN=，1，0)，设平面BMN的一个法向量为(nx=，y，)z，则200nBMyznBNxy=+==+=，令1z=，则2y=−，2x=，第15页（共20页）平面BMN的一个法向量为(2n=，2−，1

)，又(0BA=，2，0)，设直线AB与平面BMN所成角为，sin|cosn=，||42|3||||4412nBABAnBA===++．直线AB与平面BMN所成角的正弦值为23．【试题评价】本题考查线面平行的证

明，线面角的求法，属中档题．18．（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50)m的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛

成绩，并整理得到如下数据（单位：):m甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.

16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；（Ⅲ）在校运动会铅

球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【思路分析】（Ⅰ）用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．（Ⅱ）分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，X的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立事

件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出EX．（Ⅲ）根据三位同学以往成绩的平均值可知，甲获得冠军的概率估计值最大．【解析】（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率4

2105=．（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为3162=，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为2142=，X的所有可能取值为0，1，2，3，则3113(0)52220PX

===，21131131182(1)522522522205PX==++==，2112113117(2)52252252220PX==++=，21121(3)5222010PX==

==，387270123202020205EX=+++=．（Ⅲ）甲成绩的平均值为9.479，乙成绩的平均值为9.46，丙成绩的平均值为9.465，故甲获得冠军的概率估计值最大．第16页（共20页）【试题评价】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，

属于中档题．19．（15分）已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的一个顶点为(0,1)A，焦距为23．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点(2,1)P−作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N

．当||2MN=时，求k的值．【思路分析】（Ⅰ）利用已知和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程．（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出12xx+，12xx，再表示出||MN，化简即可．【解析】（Ⅰ）由题意得，1223bc==，

1b=，3c=，2a=，椭圆E的方程为2214xy+=．（Ⅱ）【解法一】：设过点(2,1)P−的直线为1(2)ykx−=+，1(Bx，1)y，2(Cx，2)y，联立得221(2)141ykxxy−=++=，即2222(14)(168)16160kxkkxk

k+++++=，直线与椭圆相交，△2222[(168)]4(14)(1616)0kkkkk=+−++，0k，由韦达定理得212216814kkxxk++=−+，2122161614kkxxk+=+，11

1ABykx−=，直线AB为1111yyxx−=+，令0y=，则111xxy=−，11(1xMy−，0)，同理22(1xNy−，0)，1212211212211|||||||()|11(2)(2)22xxxxxxMN

yykxkxkxx=−=−=−−−−+−+++21212212112122()42()11||||(2)(2)(2()4xxxxxxkxxkxxxx+−−==+++++2222222221684(1616)()21414

||216162(168)41414kkkkkkkkkkkkk++−−++==++−+++，264||24kk−=，1||2kk−=，4k=−．【解法二】：（补解）因为点M，N在x轴上，不妨设点M位于点N的左边，设()(),0,N2,0M

tt+则1ABAMkkt==−12ACANkkt==−+,所以112ABACkk−=设直线AB：1ykx=+,第17页（共20页）由22y114kxxy=++=得()221480kxkx++=，设()()1122,,C,Bxyxy,得12814kxk−=+代入直线AB：1ykx=+,得2

121414kyk−=+,2221481,144kkkBk−−++,12ACkkk=−，可得22216814,841841kkkCkkkk−−−+−+,因为()2,1,P−224441PBKkKK−=−+,2241681PCKk

KK−=−+，由PBPCkk=得10()3kk==舍去，把13k=代入PBk，得4PBk=−，即4k=−【试题评价】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题．20．（15分）已知函数()(1)xfxelnx=+．（Ⅰ）求曲线()yfx=在

点(0，(0))f处的切线方程；（Ⅱ）设()()gxfx=，讨论函数()gx在[0，)+上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意的s，(0,)t+，有()()()fstfsft++．【思路分析】（Ⅰ）对函数求导，将0x=代入原函数及导函数得到纵坐标和斜率即可；（Ⅱ）对()gx求导，并研究

()gx导函数的正负即可．（Ⅲ）构造函数()()()wxfxtfx=+−，利用()wx单调性判断()()fstfs+−与()(0)ftf−大小关系即可．【解析】（Ⅰ）对函数求导可得：1()[(1)]1xfxelnxx=+++，将0x=代入原

函数可得(0)0f=，将0x=代入导函数可得：(0)1f=，故在0x=处切线斜率为1，故01(0)yx−=−，化简得：yx=；（Ⅱ）【解法一】：由（Ⅰ）有：1()()[(1)]1xgxfxelnxx==+++，221()[(1)]1(1)

xgxelnxxx=++−++，令221()(1)1(1)hxlnxxx=++−++，令1(1)xkk+=…，设221()mklnkkk=+−，23(1)1()0kmkk−+=恒成立，故()hx在[0，)+单调

递增，又因为(0)1h=，故()0hx在[0，)+恒成立，故()0gx，故()gx在[0，)+单调递增；【解法二】：（补解）由（Ⅰ）有：1()()[(1)]1xgxfxelnxx==+++，第18页（共20页）21()[(1)][

]11()111xxgxelnxexxx=+++−+++=21[(1)]111)1(1xelnxxxx+++−+++=221[(1)](1)xxelnxx++++因为)[0,+x，所以221(1)00(1)xlnxx+++，.（校对）221(1)00(1)xlnxx++

+，0xe故()0gx在[0，)+恒成立，故()gx在[0，)+单调递增；（Ⅲ）证明一：由（Ⅱ）有()gx在[0，)+单调递增，又(0)1g=，故()0gx在[0，)+恒成立，故()fx在[0，)+单调递增，设()()()wxfxtfx=+−，()()()wxfxtfx=+

−，由（Ⅱ）有()gx在[0，)+单调递增，又因为xtx+，所以()()fxtfx+，故()wx单调递增，又因为0s，故()(0)wsw，即：()()()(0)fstfsftf+−−，又因为函数(0)0f=，故()()()fstfsft++，

得证．证明二：（补解）由（Ⅱ）有()()gxfx=在[0，)+单调递增，又因为t>0,所以在()()fxtfx+，即()()()()0fxtfxfxtfx+−=+−所以()()fxtfx+−在

[0，)+单调递增，因为0s，则()()()()00fstfsfsf+−+−，而，()00f=，故()()()fstfsft++，得证.证明三：（补解）设()()()()hsfstfsft=+−−,其中s>0,t>0.()()()hsfstfs=+−由（Ⅱ）有()

()gxfx=在[0,)+单调递增，又因为t>0,所以在()()fstfs+，即()()()0hsfstfs=+−所以()s()()()hfstfsft=+−−在[0，)+单调递增，因为0s，则()()0hs

h,而，()()000hf==，故()()()fstfsft++，得证.【试题评价】本题主要考查利用导函数研究函数切线，及证明函数不等式，属于较难题目．21．（15分）已知1:Qa，2a，，ka为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的{1n，2，，}m，在Q中存在ia，

1ia+，2ia+，，(0)ijaj+…，使得12iiiijaaaan+++++++=，则称Q为m−连续可表数列．（Ⅰ）判断:2Q，1，4是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；（Ⅱ）若1:Qa，2a，

，ka为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；第19页（共20页）（Ⅲ）若1:Qa，2a，，ka为20−连续可表数列，且1220kaaa+++，求证：7k…．【思路分析】（Ⅰ）直接根据m−连续可表数列的定义即可判断；（Ⅱ

）采用反证法证明，即假设k的值为3，结合Q是8−连续可表数列的定义推出矛盾，进而得出证明；（Ⅲ）首先m−连续可表数列的定义，证明得出6k…，然后验证6k=是否成立，进而得出所证的结论．【解析】（Ⅰ）若5m=，则对于任意的

{1n，2，3，4，5}，21a=，12a=，12213aa+=+=，34a=，23145aa+=+=，所以Q是5−连续可表数列；由于不存在任意连续若干项之和相加为6，所以Q不是6−连续可表数列；（Ⅱ）假设k的值为3，则1a，2a，3a最多能表示1a，2a，3

a，12aa+，23aa+，123aaa++，共6个数字，与Q是8−连续可表数列矛盾，故4k…；现构造:1Q，2，3，4可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在4k=满足题意．故k的最小值为4．（Ⅲ）【解法一】：先证明6k…．从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多

可表示5个数字，取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5432115++++=个正整数

，不能表示20个正整数，即6k…．若6k=，最多可以表示65432121+++++=个正整数，由于Q为20−连续可表数列，且1220kaaa+++，所以其中必有一项为负数．既然5个正整数都不能连续可表120−的正整

数，所以至少要有6个正整数连续可表120−的正整数，所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，故7k…．【解法二】：（补解）12:,,,kQaaa，若ij=最多有k种，若ij，最多有2Ck种，所以最多有()21C2kkkk++=种，若5k，则12,,,k

aaa…至多可表()551152+=个数，矛盾,从而若7k<,则6k=，,,,,,abcdef至多可表6(61)212+=个数，而20abcdef+++++，所以其中有负的，从而,,,,,abcdef可表1~20及那个负数（恰21个），这表明~af中仅一个负的，没有0，且这个

负的在~af中绝对值最小，同时~af第20页（共20页）中没有两数相同,设那个负数为(1)mm−，则所有数之和125415mmmmm++++++−=+，415191mm+=，{,,,,,}{1,2,3,4,5,6}abcdef=−，

再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=−+（仅一种方式），1−与2相邻，若1−不在两端,则",1,2,__,__,__"x−形式，若6x=，则56(1)=+−（有2种结果相同，方式矛盾），6x，同理5,4,3x，故1−在一端，不

妨为"1,2,,,,"ABCD−形式，若3A=,则523=+（有2种结果相同，矛盾），4A=同理不行，5A=，则6125=−++（有2种结果相同，矛盾），从而6A=，由于7126=−++,由表法唯一知

3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4−，①或1,2,6,4,5,3−，②这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k7k．【试题评价】本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题