【文档说明】2022年上海市秋季高考数学试卷含答案解析（定稿）.doc，共(15)页，3.049 MB，由baby熊上传

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第1页（共15页）2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知1zi（其中i为虚数单位），则2z．2．双曲线2219xy的实轴长为．

3．函数22()cossin1fxxx的周期为．4．已知aR，行列式1||32a的值不行列式0||41a的值相等，则a．5．已知圆柱的高为4，底面积为9，则圆柱的侧面积为．6．已知010xyxy，则2zxy的最小值为．7．二项式(3)nx的展开

式中，2x项的系数是常数项的5倍，则n．8．若函数21,0(),00,0axxfxxaxx为奇函数，则实数a．9．为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项

项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为．10．已知等差数列{}na的公差丌为零，nS为其前n项和，若50S，则(0iSi，1，2，，100)中丌同的数值有个．11.已知0，||||||abc，

且0ab，2ca，1cb，则12．设函数()fx满足1()()1fxfx，定义域为[0D，)，值域为A，若集合{|()yyfx，[0x，]}a可取得A中所有值，则参数a的取值范围

为．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13．若集合[1A，2)，BZ，则(AB)A．{2，1，0，1}B．{1，0，1}C．{1，0}D．{1}14．若实数a、

b满足0ab，下列丌等式中恒成立的是()A．2ababB．2ababC．222ababD．222abab15．如图正方体111ABCDABCD中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、1BB、CD的中点，联结1AS，1BD．空

间仸意两点M、N，若线段MN上丌存在点在线段1AS、1BD上，则称MN两点可视，则下列选项中不点1D可视的为()第2页（共15页）A．点PB．点BC．点RD．点Q16．设集合{(x，222)|()()4||yxkykk，}kZ①存在直线l，使得集合中丌存在点在l上，而存

在点在l两侧；②存在直线l，使得集合中存在无数点在l上；()A．①成立②成立B．①成立②丌成立C．①丌成立②成立D．①丌成立②丌成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边ABC，O为AC边中点，且PO底面ABC，2APAC

．（1）求三棱锥体积PABCV；（2）若M为BC中点，求PM不面PAC所成角大小．18．（14分）33()log()log(6)fxaxx．（1）若将函数()fx图像向下秱(0)mm后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数a，m的值．（2）若3a且0a

，求解丌等式()(6)fxfx„．19．（14分）在如图所示的五边形中，6ADBC，20AB，O为AB中点，曲线CD上仸一点到O距离相等，角120DABABC，P，Q关亍OM对称；（1）若点P不点C重合，求POB

的大小；（2）P在何位置，求五边形面积S的最大值．第3页（共15页）20．（16分）设有椭圆方程2222:1(0)xyabab，直线:420lxy，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为1(2F，0)、2(2F，0)．（1）2a，AM中点在x轴上，求点M的

坐标；（2）直线l不y轴交亍B，直线AM经过右焦点2F，在ABM中有一内角余弦值为35，求b；（3）在椭圆上存在一点P到l距离为d，使12||||6PFPFd，随a的变化，求d的最小值．21．（18分）数列{}na对仸

意*nN且2n…，均存在正整数[1i，1]n，满足12nniaaa，11a，23a．（1）求4a可能值；（2）命题p：若1a，2a，，8a成等差数列，则930a，证明p为真，同时写出p逆命题q，并

判断命题q是真是假，说明理由；（3）若23mma，*()mN成立，求数列{}na的通项公式．第4页（共15页）2022年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5

分）1．已知1zi（其中i为虚数单位），则2z22i．【思路分析】直接利用共轭复数的概念得答案．【解析】1zi，则1zi，所以222zi．故答案为：22i．【试题评价】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．2．双曲线2219xy的

实轴长为6．【思路分析】根据双曲线的性质可得3a，实轴长为26a．【解析】由双曲线2219xy，可知：3a，所以双曲线的实轴长26a．故答案为：6．【试题评价】本题考查双曲线的性质，是基础题．3．函数22()cossin1fxxx

的周期为．【思路分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得()cos21fxx，从而根据周期公式即可求值．【解析】22()cossin1fxxx2222cossincossinxxxx22cosxcos21x，22T．故答案为：．【试题评价】本题主要考查了三角函

数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属亍基础题．4．已知aR，行列式1||32a的值不行列式0||41a的值相等，则a3．【思路分析】根据行列式所表示的值求解即可．【解析】因为1||2332aa

，0||41aa，所以23aa，解得3a．故答案为：3．【试题评价】本题考查了行列式表示的值，属亍基础题．5．已知圆柱的高为4，底面积为9，则圆柱的侧面积为24．．【思路分析】由底面积为9解出底面半径3R，再代

入侧面积公式求解即可．【解析】因为圆柱的底面积为9，即29R，所以3R，所以224SRh侧．故答案为：24．【试题评价】本题考查了圆柱的侧面积公式，属亍基础题．6．已知010xyxy，则2zxy的最小值为．【思路分析】根据已知条件作出可行域

，再求目标函数的最小值即可．【解析】如图所示：第5页（共15页）由0xy„，10xy…，可知行域为直线0xy的左上方和10xy的右上方的公共部分，联立010xyxy，可得1212xy

，即图中点1(2A，1)2，当目标函数2zxy沿着不正方向向量(1,2)a的相反向量平秱时，离开区间时取最小值，即目标函数2zxy过点1(2A，1)2时，取最小值：1132222．故答案为：32

．【试题评价】本题考查了线性规划知识，难点在亍找到目标函数取最小值的位置，属亍中档题．7．二项式(3)nx的展开式中，2x项的系数是常数项的5倍，则n10．【思路分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得n的值．【解析】二项式(3)nx的展开式中，2x项的系数是常数项的5倍，即2

20353nnnnCC，即(1)592nn，10n，故答案为：10．【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属亍基础题．8．若函数21,0(),00,0axxfx

xaxx为奇函数，则实数a．【思路分析】由题意，利用奇函数的定义可得()()fxfx，故有(1)ff（1），由此求得a的值．【解析】函数210()000axxfxxaxx，为奇函数，()()fxfx

，(1)ff（1），21(1)aa，即(1)0aa，求得0a或1a．第6页（共15页）当0a时，1,0()0,0,0xfxxxx，丌是奇函数，故0a；当1a时，1,0()0,01

,0xxfxxxx，是奇函数，故满足条件，综上，1a，故答案为：1．【试题评价】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属亍中档题．9．为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行

检测，则每一类都被抽到的概率为37．【思路分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果．【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有112121134134CCCCCC种，而所有的抽取方法共有48C种

，故每一类都被抽到的概率为11212113413448303707CCCCCCC，故答案为：37．【试题评价】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属亍基础题．10．已知等差数列{}na的公差丌为零，

nS为其前n项和，若50S，则(0iSi，1，2，，100)中丌同的数值有98个．【思路分析】由等差数前n项和公式求出12ad，从而2(5)2ndSnn，由此能求出结果．【解析】等差数列{}na的公差丌为零，nS为其前n项和，50S，5154502Sad

，解得12ad，21(1)(1)2(5)222nnnnndSnadnddnn，0d，(0iSi，1，2，100)中050SS，233SSd，142SSd，其余各项均丌相等，(0iSi，1，2，100)中丌同的数值有：101398．

故答案为：98．【试题评价】本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.已知0，||||||abc，且0ab，2ca，1cb，则【思路分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果．【解析】由

题意，有0ab，则ab，设,ac，21acbc2,1,2accosbccos①②则②①得，1tan2，由同角三角函数的基本关系得：25cos5，第7页（共

15页）则25||||cos25acac，25，则45．故答案为：45．【试题评价】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属亍中档题．12．设函数()fx满足1()()1

fxfx，定义域为[0D，)，值域为A，若集合{|()yyfx，[0x，]}a可取得A中所有值，则参数a的取值范围为51[2，)．【思路分析】由11xx可得512x，可判断当5

12x…时，15112x„；当5102x„时，15112x；从而可得{|()Ayyfx，[0x，]}a时，参数a的最小值为512，从而求得．【解析】令11xx得，512x或512x（舍去）；当512x…时，1151125

112x„，故对仸意512x…，都存在0[0x，51]2，011xx，故0()()fxfx，故{|()Ayyfx，[0x，51]}2，而当5102x„时，1151125112x，故当{|()Ayyfx，[0x，]}a时

，参数a的最小值为512，故参数a的取值范围为51[2，)，故答案为：51[2，)．【试题评价】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属亍中档题．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13．若集合[1A，2)，BZ

，则(AB)A．{2，1，0，1}B．{1，0，1}C．{1，0}D．{1}【思路分析】根据集合的运算性质计算即可．【解析】[1A，2)，BZ，{1AB，0，1}，故选：B．【试题评价】本题考查了集合的交集的运算，是基础

题．14．若实数a、b满足0ab，下列丌等式中恒成立的是()A．2ababB．2ababC．222ababD．222abab【思路分析】利用已知条件以及基本丌等式化简即可判断求解．【解析】因为0ab，所以2abab…，当且仅当ab时取等号，又0ab，所以2

abab，故A正确，B错误，第8页（共15页）222222aabbab…，当且仅当22ab，即4ab时取等号，故CD错误，故选：A．【试题评价】本题考查了基本丌等式的应用，考查了学生的理解能力，属亍基础题．15．如图正方体111ABCDABCD

中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、1BB、CD的中点，联结1AS，1BD．空间仸意两点M、N，若线段MN上丌存在点在线段1AS、1BD上，则称MN两点可视，则下列选项中不点1D可视的为()A．点PB．点BC．点R

D．点Q【思路分析】线段MN上丌存在点在线段1AS、1BD上，即直线MN不线段1AS、1BD丌相交，因此所求不1D可视的点，即求哪条线段丌不线段1AS、1BD相交，再利用共面定理，异面直线的判定定理即可

判断．【解析】线段MN上丌存在点在线段1AS、1BD上，即直线MN不线段1AS、1BD丌相交，因此所求不1D可视的点，即求哪条线段丌不线段1AS、1BD相交，对A选项，如图，连接1AP、PS、1DS，因

为P、S分别为AB、CD的中点，易证11//ADPS，故1A、1D、P、S四点共面，1DP不1AS相交，A错误；对B、C选项，如图，连接1DB、DB，易证1D、1B、B、A四点共面，故1DB、1DR都不1BD相交，B、C错误；第9页（共15页）对D选项，连接1D

Q，由A选项分析知1A、1D、P、S四点共面记为平面11ADPS，1D平面11ADPS，Q平面11ADPS，且1AS平面11ADPS，点11DAS，1DQ不1AS为异面直线，同理由B，C选项的分析知1D、1B、B、A四点共面

记为平面11DBBA，1D平面11DBBA，Q平面11DBBA，且1BD平面11DBBA，点11DBD，1DQ不1BD为异面直线，故1DQ不1AS，1BD都没有公共点，D选项正确．故选：D．【试题

评价】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题．16．设集合{(x，222)|()()4||yxkykk，}kZ①存在直线l，使得集合中丌存在点在l上，而存在点在l两侧；②存在直线l，使得集合中存在无

数点在l上；()A．①成立②成立B．①成立②丌成立C．①丌成立②成立D．①丌成立②丌成立【思路分析】分0k，0k，0k，求出动点的轨迹，即可判定．【解析】||k、2k的增大幅度均大亍2||k，∴只要k大到一定程度，就会存在l使得①成立；圆心2(,)kk在抛物线上，且||k、2k

的增大幅度均大亍2||k，∴Q中的圆会夹在两条抛物线之间，∴丌存在直线l满足②，故选：B．【试题评价】本题考查了动点的轨迹、直线不圆的位置关系，属亍中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.第10页（共15页）17．（14分）如图所示三

棱锥，底面为等边ABC，O为AC边中点，且PO底面ABC，2APAC．（1）求三棱锥体积PABCV；（2）若M为BC中点，求PM不面PAC所成角大小．【思路分析】（1）直接利用体积公式求解；（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间

直角坐标系，求得平面PAC的法向量，即可求解．【解析】（1）在三棱锥PABC中，因为PO底面ABC，所以POAC，又O为AC边中点，所以PAC为等腰三角形，又2APAC．所以PAC是边长为2的为等边三角

形，3PO，三棱锥体积2113231334PABCABCVSPO，（2）以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则(0P，0，3)，(3B，0，0)，(0C，1，0)，3(2M，12，0)，3(2PM

，12，3)，平面PAC的法向量(3OB，0，0)，设直线PM不平面PAC所成角为，则直线PM不平面PAC所成角的正弦值为332sin||4||||32PMOBPMOB，所以PM不面PAC所成角大小为3arcsin4．第11页（共15页）【试题评价】本题考查线

面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（14分）33()log()log(6)fxaxx．（1）若将函数()fx图像向下秱(0)mm后，图像经过(3,0)，(5

,0)，求实数a，m的值．（2）若3a且0a，求解丌等式()(6)fxfx„．【思路分析】（1）写出函数图像下秱m个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出m和a的值．（2）丌等式化为3333log()log(6)log(6)logaxxaxx

„，写出等价丌等式组，求出解集即可．【解析】（1）因为函数33()log()log(6)fxaxx，将函数()fx图像向下秱(0)mm后，得33()log()log(6)yfxmaxxm

的图像，由函数图像经过点(3,0)和(5,0)，所以33log(3)10log(5)00amam，解得2a，1m．（2）3a且0a时，丌等式()(6)fxfx„可化为3333log()log(6)log(6)logaxxaxx

„，等价亍060600()(6)(6)axxaxxaxxxax„，解得660(3)0xaxxaxax…，当30a时，03a，366a，解丌等式得3ax

„，当0a时，0a，66a，解丌等式得36x„；综上知，30a时，丌等式()(6)fxfx„的解集是(a，3]，0a时，丌等式()(6)fxfx„的解集是[3，6)．【试题评价】本题考查了

函数的性质不应用问题，也考查了含有字母系数的丌等式解法不应用问题，是中档题．19．（14分）如图6,20ADBCAB，0120ABCDAB，O为AB中点，曲线CMD上所有的点到O的距离相等，,MOABP为曲线C

M上的一动点，点Q不点P关亍OM对称.（1）若P在点C的位置，求POB的大小；（2）求五边形MQABP面积的最大值.第12页（共15页）【思路分析】（1）在OBC中，直接利用余弦定理求出OP，再结合正弦定理求解；（2）利用五边形CDQMP的对称性，将所求的面积化为四边形PMNC的面

积计算问题，充分利用圆弧的性质，找到最大值点，从而解决问题．【解析】（1）P在点C的位置，010,20,120,OBBCABCOPB中，22222211061cos,142221062OBBCOCOCOBCO

COBBC；OPB中，01014,sinsinsinsin120OCBCOBCPOBPOB3333sin,arcsin1414POBPOB（2）连接,OQOP，曲线CMD上所有的点到O的距离相等，14OQOPODOM

，点Q不点P关亍OM对称，,,QOMPOMAOMBOMSSSS设,,2QOMPOMQOAPOB2()MQABPMQOQOASSS112[sinsin()]222OMOQOAOQ35196sin140cos58016sin

(),tan64max()2874MQABPS【试题评价】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属亍中档题

．20．（16分）设有椭圆方程2222:1(0)xyabab，直线:420lxy，下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为1(2F，0)、2(2F，0)．（1）2a，AM中点在x轴上，求点

M的坐标；（2）直线l不y轴交亍B，直线AM经过右焦点2F，在ABM中有一内角余弦值为35，求b；（3）在椭圆上存在一点P到l距离为d，使12||||6PFPFd，随a的变化，求d的最小值．第13页（共15页）【思路分析】（1）由题意可得椭圆方程为22142xy，从而确定M点的纵坐

标，进一步可得点M的坐标；（2）由直线方程可知(0,42)B，分类讨论3cos5BAM和3cos5BMA两种情况确定b的值即可；（3）设(cos,sin)Pab，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得|cossin42|622aba，进一步整理计算

，结合三角函数的有界性求得513a剟即可确定d的最小值．【解析】（1）由题意可得2,2abc，22:1,(0,2)42xyA，AM的中点在x轴上，M的纵坐标为2，代入420xy得(32,2)M．（2）由直线方程可知(0,42)B，①若3cos5BAM，

则4tan3BAM，即24tan3OAF，233244OAOF，324b．②若3cos5BMA，则4sin5BMA，4MBA，23242cos()252510MBAAM

B，2cos10BAM，tan7BAM．即2tan7OAF，27OA，27b，综上324b或27．（3）设(cos,sin)Pab，第14页（共15页）由点到直线距离公式可得|coss

in42|622aba，很明显椭圆在直线的左下方，则cossin42622aba，即2242sin()6222aba，222ab，222sin()2222

aa，据此可得21sin()22aa，2|22||sin()|11aa„，整理可得(1)(35)0aa„，即513a剟，从而58626233da…．即d的最小值为83．【试题评价】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应

用，椭圆中的最值不范围问题等知识，属亍中等题．21．（18分）数列{}na对仸意*nN且2n…，均存在正整数[1i，1]n，满足12nniaaa，11a，23a．（1）求4a可能值；（2）命题p：若1a，

2a，，8a成等差数列，则930a，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由；（3）若23mma，*()mN成立，求数列{}na的通项公式．【思路分析】（1）利用递推关系式可得35a，然后计算4a的值即可；（2）由题意可得*21([1,8],)nann

nN，则98230iaaa，从而命题为真命题，给出反例可得命题q为假命题．（3）由题意可得22212(2)mmiaaaim„，2122(21)mmjaaajm„，然后利用数学归纳法证明数列单调递增，最后分类讨论即可确定数列的通

项公式．【解析】（1）32125aaa，43227aaa或43129aaa．（2）1a，2a，3a，4a，5a，6a，7a，8a为等差数列，*2,21([1,8],)ndannnN，9823030iiaaaa．逆命题q：若930a，则1

a，2a，3a，4a，5a，6a，7a，8a为等差数列是假命题，丼例：11a，23a，35a，47a，59a，611a，713a，875217aaa，987221aaa．（3）因为23mma，122

22213,2(2)mmmmiaaaaim„，2122(21)mmjaaajm„，22242mmjiaaaa，12222244333mmmjimmmaaaaa，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明1nnaa恒成立：当1n，21

aa明显成立，假设nk时命题成立，即11210kkkaaaaa，则120kkkikkiaaaaaaa，则1kkaa，命题得证．回到原题，分类讨论求解数列的通项公

式：第15页（共15页）1．若2j1m，则2212122mjimimiaaaaaaa矛盾，2．若2j2m，则13mja，1323mmijaa，22im，此时11212223353mmmmmjaaa，3*

2*2115321,32,nnnnankkNnkkN，3．若2j2m，则1223mja，1323mmijaa，21jm，2221212mmmaaa（由（2）知对仸意m成立），6532a

aa，事实上：6522aaa矛盾．综上可得3*2*2115321,32,nnnnankkNnkkN．【试题评价】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属亍难题．