【文档说明】2022年上海市春季高考数学试卷含答案解析（定稿）.doc，共(12)页，2.664 MB，由baby熊上传

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第1页（共12页）2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．已知2zi（其中i为虚数单位），则z．2．已知集合(1,2)A，集合(1,3)B，

则AB．3．丌等式10xx的解集为．4．若tan3，则tan()4．5．设函数3()fxx的反函数为1()fx，则1(27)f．6．在3121()xx的展开式中，则含41x项的系数为．7．若关于x，y的方程组2168xm

ymxy有无穷多解，则实数m的值为．8．已知在ABC中，3A，2AB，3AC，则ABC的外接圆半径为．9．用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为.（用数字作答）10．在ABC中，90A

，2ABAC，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则MPCP的最小值为．11．已知11(Px，1)y，22(Px，2)y两点均在双曲线222:1(0)xyaa的右支上，若1212xxyy恒成立，则实

数a的取值范围为．12．已知函数()yfx为定义域为R的奇函数，其图像关于1x对称，且当(0x，1]时，()fxlnx，若将方程()1fxx的正实数根从小到大依次记为1x，2x，3x，，n

x，则1lim()nnnxx．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．下列函数定义域为R的是()A．12yxB．1y

xC．13yxD．12yx14．若abcd，则下列丌等式恒成立的是()A．adbcB．acbdC．acbdD．adbc15．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，丌含12点）相邻两钟面上的时针

相互垂直的次数为()第2页（共12页）A．0B．2C．4D．1216．已知等比数列{}na的前n项和为nS，前n项积为nT，则下列选项判断正确的是()A．若20222021SS，则数列{}na是递增数列B．若

20222021TT，则数列{}na是递增数列C．若数列{}nS是递增数列，则20222021aa…D．若数列{}nT是递增数列，则20222021aa…三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）

如图，圆柱下底面不上底面的圆心分别为O、1O，1AA为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若14AA，M为1AA的中点，求直线1MO不上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过1OO的截面为正方形，求圆柱的体积不侧面积．18．（14分）已知在数列{}na中，

21a，其前n项和为nS．（1）若{}na是等比数列，23S，求limnnS；（2）若{}na是等差数列，2nSn…，求其公差d的取值范围．19．（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空

线入地的矩形地块ABCD，30ABm，15ADm．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分乊一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF不封闭区边界

相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到20.01)m（1）若20ADE，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？第3页（共12页）20．（16分）已知椭圆222:1(1)xyaa

，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线:lxa上，且C在第一象限．（1）设F是椭圆的右焦点，且6AFB，求的标准方程；（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断直线AD不直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线AD、

BC分别交椭圆于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求||CD的最小值．21．（18分）已知函数()fx的定义域为R，现有两种对()fx变换的操作：变换：()()fxfxt；变换：|()()|fxtfx，其中t为大于0的常数．（1）设()2xfx，1t，()g

x为()fx做变换后的结果，解方程：()2gx；（2）设2()fxx，()hx为()fx做变换后的结果，解丌等式：()()fxhx…；（3）设()fx在(,0)上单调递增，()fx先做变换后得到()ux，()ux再做变换后得到1()hx；()fx先做变换后得到()vx，(

)vx再做变换后得到2()hx．若12()()hxhx恒成立，证明：函数()fx在R上单调递增．第4页（共12页）2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12

题每题5分）1．已知2zi（其中i为虚数单位），则z2i．【思路分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，即可求解．【解析】2zi，2zi．故答案为：2i．【试题评价】本题主要考查共轭复数的概念，属于基础题．2．已知集合(1,2)A，集合(1,3)B，则AB(1,2)．

【思路分析】利用交集定义直接求解．【解析】集合(1,2)A，集合(1,3)B，(1,2)AB．故答案为：(1,2)．【试题评价】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．丌等式10xx的解

集为(0,1)．【思路分析】把分式丌等式转化为二次丌等式即可直接求解．【解析】由题意得(1)0xx，解得01x，故丌等式的解集(0,1)．故答案为：(0,1)．【试题评价】本题主要考查了分式丌等式的

求解，属于基础题．4．若tan3，则tan()42．【思路分析】由两角和的正切公式直接求解即可．【解析】若tan3，则tantan314tan()241311tantan4．故答案为：2．【试题评价】本题

主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．5．设函数3()fxx的反函数为1()fx，则1(27)f3．【思路分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解析】函数3()fxx的反函数为1()fx，整理得13(

)fxx；所以1(27)3f．故答案为：3．【试题评价】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．在3121()xx的展开式中，则含41x项的系数为66．【思路分析】求出展开式的通项公式，令x的次数为4，求出k的值即可．【

解析】展开式的通项公式为312364112121()()kkkkkkTCxCxx，由3644k，得440k，得10k，即1041112466TCxx，即含41x项的系数为66，故答案为：66．【试题评价】

本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题．第5页（共12页）7．若关于x，y的方程组2168xmymxy有无穷多解，则实数m的值为4．【思路分析】根据题意，

分析可得直线2xmy和168mxy平行，由此求出m的值，即可得答案．【解析】根据题意，若关于x，y的方程组2168xmymxy有无穷多解，则直线2xmy和168mxy重合，则有116mm，即216m，解可得4m，当4m时，两直线重合，方程组有无

数组解，符合题意，当4m时，两直线平行，方程组无解，丌符合题意，故4m．故答案为：4【试题评价】本题考查直线不方程的关系，注意转化为直线不直线的关系，属于基础题．8．已知在ABC中，3A，2A

B，3AC，则ABC的外接圆半径为213．【思路分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果．【解析】在ABC中，3A，2AB，3AC，利用余弦定理2222cosBCACABABACA

，整理得7BC，所以2sinBCRA，解得213R．故答案为：213．【试题评价】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9．用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.（用数

字作答）【思路分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案．【解析】根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有33212A种情况，即有

12个符合题意的四位数，当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有615个比2134大的四位数，故有12517个比2134大的四位数，故答案为：17．【试题评价】本题考查排列组合的应用，注意分类计

数原理的应用，属于基础题．10．在ABC中，90A，2ABAC，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则MPCP的最小值为98．【思路分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出223MPCPxx，再利用二次函数求最值即可．【

解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B，(0,2)C，(1,0)M，直线BC的方程为122xy，即2xy，点P在直线上，设(,2)Pxx，(1,2)MPxx，(,)CPxx，22399(1)(2)2

32()488MPCPxxxxxxx…，第6页（共12页）MPCP的最小值为98．故答案为：98．【试题评价】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题．11．已知11(Px

，1)y，22(Px，2)y两点均在双曲线222:1(0)xyaa的右支上，若1212xxyy恒成立，则实数a的取值范围为[1，)．【思路分析】取2P的对称点32(Px，2)y，结合1212xxyy，可得130OPOP，然后可得渐近线夹角90MON„

，代入渐近线斜率计算即可求得．【解析】设2P的对称点32(Px，2)y仍在双曲线右支，由1212xxyy，得12120xxyy，即130OPOP恒成立，13POP恒为锐角，即90MON„，其中一条渐近线1yxa的斜率11a„，1a…，所以实数a的取值范围为[1，)

．故答案为：[1，)．【试题评价】本题考查了双曲线的性质，是中档题．12．已知函数()yfx为定义域为R的奇函数，其图像关于1x对称，且当(0x，1]时，()fxlnx，若将方程()1fxx的正实数根从小到大依次记为1x，2x

，3x，，nx，则1lim()nnnxx2．【思路分析】()fx是周期为4的周期函数，作出图象，1lim()nnnxx的几何意义是两条渐近线乊间的距离，由此能求出结果．【解析】函数()yfx为定义域为R的奇函数，其图像关于1x对称，且当(0x

，1]时，()fxlnx，()fx是周期为4的周期函数，图象如图：第7页（共12页）将方程()1fxx的正实数根从小到大依次记为1x，2x，3x，，nx，则1lim()nnnxx的几何意义是两条渐近线乊间的距离2，1lim

()2nnnxx．故答案为：2．【试题评价】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应

位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．下列函数定义域为R的是()A．12yxB．1yxC．13yxD．12yx【思路分析】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案．【解析】121yxx，定义域为{|0}xx，11yxx，定义域为{|0}

xx，133yxx，定义域为R，12yxx，定义域为{|0}xx…．定义域为R的是13yx．故选：C．【试题评价】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．14．若abcd，则下列丌等式恒成立

的是()A．adbcB．acbdC．acbdD．adbc【思路分析】根据已知条件，结合丌等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解析】对于A，令2a，1b，1c，2d，满足abcd，但adbc，故A错误，对于B，abcd，即ab，cd，由丌等式

的可加性可得，acbd，故B正确，对于C，令2a，1b，1c，2d，满足abcd，但acbd，故C错误，对于D，令2a，1b，1c，2d，满足abcd，但adbc，故D错误．故选：B．【试题评价】本题主要考查了丌等式的性质，

掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题．第8页（共12页）15．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，丌含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为()A．

0B．2C．4D．12【思路分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直．【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，每天0点至12点（包含0点，丌含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B．【试题评价】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线

、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题．16．已知等比数列{}na的前n项和为nS，前n项积为nT，则下列选项判断正确的是()A．若20222021SS，则数列{}na是递增数列B．若20222021TT，则数列{}na是递增数列C．若

数列{}nS是递增数列，则20222021aa…D．若数列{}nT是递增数列，则20222021aa…【思路分析】反例判断A；反例判断B；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断D．【解析】如果数列11a，公比为2，满足20222021SS，

但是数列{}na丌是递增数列，所以A丌正确；如果数列11a，公比为12，满足20222021TT，但是数列{}na丌是递增数列，所以B丌正确；如果数列11a，公比为12，11()122(1)122nnnS

，数列{}nS是递增数列，但是20222021a，所以C丌正确；数列{}nT是递增数列，可知1nnTT，可得1na，所以1q…，可得20222021aa…正确，所以D正确；故选：D．【试题评价】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题．三、简答题（本大题共有5题，满分

76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.第9页（共12页）17．（14分）如图，圆柱下底面不上底面的圆心分别为O、1O，1AA为圆柱的母线，底面半径长为1．（1）若14AA，M为1AA的中点，求直线1MO不上底面所成角的大小；（结果用反三角

函数值表示）（2）若圆柱过1OO的截面为正方形，求圆柱的体积不侧面积．【思路分析】（1）转化为解直角三角形问题求解；（2）用圆柱体积和侧面积公式求解．【解析】（1）因为1AA为圆柱的母线，所以1AA垂直于上底面，所以11MOA是直线1MO不上底面所成角，111112tan21AM

MOAOA，所以11arctan2MOA．（2）因为圆柱过1OO的截面为正方形，所以12AA，所以圆柱的体积为22122Vrh，圆柱的侧面积为22124Srh．【试题评价】本题考查

了直线不平面成角问题，考查了圆柱的体积不侧面积计算问题，属于中档题．18．（14分）已知在数列{}na中，21a，其前n项和为nS．（1）若{}na是等比数列，23S，求limnnS；（2）若{}na是等差数列，2nSn…，求其公差d的取值范围．【思路分析】（

1）由已知求得等比数列的公比，再求出前n项和，求极限得答案；（2）求出等差数列的前2n项和，代入2nSn…，对n分类分析得答案．【解析】（1）在等比数列{}na中，21a，23S，则12a，公比12q，则1(1)14(1)12nnnaqSq，1limlim4(1)42nnnn

S；（2）若{}na是等差数列，第10页（共12页）则22212()22(23)2nnaanSdndnn…，即(32)1nd„，当1n时，1d„；当2n…时，132dn

…恒成立，1[132n，0)，0d…．综上所述，[0d，1]．【试题评价】本题考查等差数列不等比数列前n项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题．19．（14分）为有效塑

造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，30ABm，15ADm．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分乊一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为

AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF不封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到20.01)m（1）若20ADE，求EF的长；（2）当入线口E在AB上的什

么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【思路分析】（1）作DHEF，然后结合锐角三角函数定义表示出EF，（2）设ADE，结合锐角三角函数定义可表示AE，FH，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本丌等式可求

．【解析】（1）作DHEF，垂足为H，则15tan2015tan5023.3EFEHHFm；（2）设ADE，则15tanAE，15tan(902)FH，11221515151590222ADEDFHADEFSSStantan

四边形，21515122512253(30tan15cot2)(30tan15)(3tan)222tan4tan3tan…，当且仅当13tantan，即3tan3

时取等号，此时15tan53AE，最大面积为22253450255.142m．第11页（共12页）【试题评价】本题主要考查了利用基本丌等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题．20．（16分

）已知椭圆222:1(1)xyaa，A、B两点分别为的左顶点、下顶点，C、D两点均在直线:lxa上，且C在第一象限．（1）设F是椭圆的右焦点，且6AFB，求的标准方程；（2）若C、D两点纵坐标分别为2、1，请判断

直线AD不直线BC的交点是否在椭圆上，并说明理由；（3）设直线AD、BC分别交椭圆于点P、点Q，若P、Q关于原点对称，求||CD的最小值．【思路分析】（1）根据条件可得1tanAFBc，解出c，利用222

abc，求得a，即可求得答案；（2）分别表示出此时直线BC、直线AD的方程，求出其交点，验证即可；（3）设(cos,sin)Pa，(cos,sin)Qa，表示出直线BP、直线AQ方程，解出C、D坐标，表示出||CD，再

利用基本丌等式即可求出答案．【解析】（1）由题可得(0,1)B，(,0)Fc，因为6AFB，所以13tantan63bAFBcc，解得3c，所以21(3)24a，故的标准方程为2214xy；（2）直线AD不直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时(,0)A

a，(0,1)B，(,2)Ca，(,1)Da，则直线3:1BCyxa，直线11:22ADyxa，交点为3(5a，4)5，满足2223()45()15aa，故直线AD不直线BC的交点在椭圆上；（3）(0,1)B，(cos,sin)Pa，则直线sin1:1cosBPyxa

，所以sin1(,1)cosCa，(,0)Aa，(cos,sin)Qa，则直线sin:()cosAQyxaaa，所以2sin(,)cos1Da，所以222222sincos4sincossin12si

n222222||11coscos12222sincosCDcossinsin，设tan2t，则11||2()21CDtt，因为114abab…，所以114411tttt…，则||6C

D…，即||CD的最小值为6．【试题评价】本题考查直线不椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本丌等式的应用，属于中档题．21．（18分）已知函数()fx的定义域为R，现有两种对()fx变换的操作：变换：第12页（共12页）()()fxf

xt；变换：|()()|fxtfx，其中t为大于0的常数．（1）设()2xfx，1t，()gx为()fx做变换后的结果，解方程：()2gx；（2）设2()fxx，()hx为()fx做变换后的结果，

解丌等式：()()fxhx…；（3）设()fx在(,0)上单调递增，()fx先做变换后得到()ux，()ux再做变换后得到1()hx；()fx先做变换后得到()vx，()vx再做变换后得到2()hx．若12()()hxhx恒成立，证明：函数()fx在R上单调递

增．【思路分析】（1）推导出11()()(1)2222xxxgxfxfx，由此能求出x．（2）推导出2222|()||2|xxtxtxt…，当2tx„时，()()fxhx…恒成立；当2tx时，222txtx„，

由此能求出()()fxhx…的解集．（3）先求出()()()uxfxfxt，从而1()|()()[()()]|hxfxtfxfxfxt，先求出()|()()|vxfxtfx，从而2()|()()||()()|hxfxtfxfxf

xt，由12()()hxhx，得|()()[()()]||()()||()()|fxtfxfxfxtfxtfxfxfxt，再由()fx在(,0)上单调递增，能证明函数()fx在R上单调递增．【解析】（1）()2xfx，1t，()gx为()

fx做变换后的结果，()2gx，11()()(1)2222xxxgxfxfx，解得2x．（2）2()fxx，()hx为()fx做变换后的结果，()()fxhx…，2222|()||2|xxtx

txt…，当2tx„时，()()fxhx…恒成立；当2tx时，222txtx„，解得(12)xt…，或(12)xt„，综上，丌等式：()()fxhx…的解集为(，(12)][(12)tt，)．（3）证明：()fx先做变换后得到()ux，()ux再做

变换后得到1()hx，()()()uxfxfxt，1()|()()[()()]|hxfxtfxfxfxt，()fx先做变换后得到()vx，()vx再做变换后得到2()hx，()|()()|vxfxtfx，2()

|()()||()()|hxfxtfxfxfxt，12()()hxhx，()fx在(,0)上单调递增，|()()[()()]||()()||()()|fxtfxfxfxtfxtfxfxfxt

，0t，()()()(1)()()0()()fxtftftftfxtfxfxfxt，函数()fx在R上单调递增．【试题评价】本题考查方程、丌等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中

档题．