【文档说明】2021年高中数学人教版必修第一册：2.1《等式与不等式的性质》精品讲义(含解析).doc，共(10)页，560.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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2.1等式与不等式的性质思维导图常见考法考点一等式性质【例1】（2019·全国高一课时练习）下列变形中错误的是（）A．若xy，则55xyB．若xyaa，则xyC．若33xy，则xyD．若xy，则xymm【答案】D【解析】根据等式的性质易知A

，B，C正确；对于D，当0m时，xy两边都除以m无意义，故本选项错误.故选:D.【一隅三反】1．（2019·全国高一课时练习）根据等式的性质判断下列变形正确的是（）A．如果23x，那么23xaaB．如果xy，那么55xyC．如果162

x，那么3xD．如果xy，那么22xy【答案】D【解析】对于A，没有0a的条件，等式的两边不能都除以a，故选项A不正确；对于B，等式的左边减去5，等式的右边乘以1后加上5，等式不成立，故选项

B不正确；对于C，等式的左边乘以2，等式的右边除以2，等式不成立，故选项C不正确；对于D，等式的两边都乘以2，等式成立，故选项D正确.故选:D.2．（2019·全国高一课时练习）若ab，则下列变形正确的是（）A．33abB．22abC．55

abD．0ab【答案】B【解析】对于A，根据等式的性质，得33ab，故该选项错误；对于B，根据等式的性质，得-22ab，故该选项正确；对于C，根据等式的性质，得55ab或55ab，故该选项错误；对于D，根据等式的性质，得0a

b，故该选项错误.故选:B.考点二不等式性质【例2】（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）对于任意实数a，b，c，则下列四个命题：①若ab，0c，则acbc；②若ab，则22acbc；③若22acbc，则ab；④若ab

，则11ab.其中正确命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0【答案】C【解析】ab时，若0c，则acbc，①错误；若0c=，则22acbc，②错误；若22acbc，则20c，∴ab，③正确；ab，若0ab，仍然

有11ab，④错误．正确的只有1个．故选：C．【一隅三反】1．（2020·上海高一开学考试）下列命题正确的是（）本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法A．若>ab，则11abB．若>ab，则2

2abC．若>ab，cd，则>acbdD．若>ab，>cd，则>acbd【答案】C【解析】A.若>ab，则11ab，取1,1ab不成立B.若>ab，则22ab，取0,1ab不成立C.

若>ab，cd，则>acbd，正确D.若>ab，>cd，则>acbd，取1,1,1,2abcd不成立故答案选C2．（2020·全国高一开学考试）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）A．若ab，则22acbcB．

若0ab，则22aabbC．若0ab，则11abD．若0ab，则baab【答案】B【解析】对于A选项，若0c=，则22acbc，故A不成立；对于B选项，0abQ，在不等式ab同时乘以0aa，得2aab，另一方面在不

等式ab两边同时乘以b，得2abb，22aabb，故B成立；对于选项C，在ab两边同时除以0abab，可得11ba，所以C不成立；对于选项D，令2a，1b，则有221ab，12ba，baab，所以D不成立.故选B.3．（

2020·武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（）A．若ab，则11baB．若22ab，则abC．若ab，cd则adbcD．若ab，则22acbc【答案】C【解析】对于A，取1,1ab

时，11ba，则A错误；对于B，取0,1ab时，ab，则B错误；对于C，因为,abdc，所以由不等式的性质可知adbc，则C正确；对于D，取0c=时，22acbc，则D错误；故选：C考点三比较大小【例3】（2020·全国高一课时练习）已知

a，b均为正实数，试利用作差法比较33ab与22abab的大小.【答案】3322ababab【解析】∵33223232abababaabbab22222()()

()()()aabbbaabababab.又a，b均为正实数，当ab时，33220,abababab；当ab¹时，2()0,0abab，则3322ababab.综上所述，3322ababab.【一隅三反】1．（202

0·全国高一课时练习）已知，那么,,,abab的大小关系是（）A．abbaB．ababC．abbaD．abab【答案】C【解析】由，则0ab，所以ab，

所以abba，故选C.一．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．二．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，

则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．三．比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代

数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；2．（2020·浙江高一课时练习）设2,73,62abc，则,,abc的大小关系为（）．A．abc

B．acbC．bacD．bca【答案】B【解析】47373b，46262c，7362，447362，bc.又226860ac，故ac．综上可得：acb．故

选：B.考点四代数式的取值范围【例4】(1)（2019·广东高考模拟（理））已知11xy，13xy，则182yx的取值范围是（）A．82,2B．81,22C．72,2D．71,22(2)（2019·浙江绍兴一中高一月考

）已知实数x，y满足41xy，145xy，则9xy的取值范围是（）A．[7,26]B．[1,20]C．[4,15]D．[1,15]【答案】(1)C(2)B【解析】(1)令

3xysxytxystxsty则31stst，∴12st，又11xy，…∴①13xy，∴226xy…②∴①②得137xy．则

371822,22yxxy．故选C．(2)令mxy，4nxy，,343nmxnmy,则855520941,33333zxynmmm又884015333nn，因此80315923z

xynm，故本题选B.【一隅三反】1．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））已知二次函数()yfx的图象过原点，且1(1)2,3(1)4ff，则(3)f的取值范围为（）A．[6,10]B．[21,30]C．3963,22

D．[4,12]【答案】B【解析】二次函数()yfx的图像过原点，设二次函数为：2()fxaxbx，1(1)2f，3(1)4f，12ab……①，34ab……②，则3①+6②得：219330ab即21(3)30f，

故选：B.2．（2020·山东济宁.高一月考）若25,310ab，则2ab的范围为_______________【答案】18,1【解析】依题意可知2026b，由于25a，由不等式的性质可知1821ab.故填：18,1.3．（20

19·全国高一课时练习）已知26xy，34xy，则2256xxyy的值为____________.代数式的取值范围的一般思路：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行

求解【答案】24【解析】由题得2256(2)(3)=6424xxyyxyxy.故答案为：2考点五不等式证明【例5】（2020·全国高一课时练习）已知0ab，0c，求证：ccab.【答案】证

明见解析.【解析】cbaccbcacababab，因为0ab，0c，所以0ba，0cba，0ab故0cbaab，即证：ccab.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）证明不等式22222abab

(,abR).【答案】证明见解析.【解析】证明：因为222abab，所以22222()2ababab，所以2222abab两边同除以4，即得22222abab，当且仅当ab时，取等号.2．（2020·全国高一

课时练习）如果0ab，0cd，证明：acbd.【答案】证明见解析.【解析】证明：由0ab，0c，则0acbc，又0cd,0b，则bcbd，又acbc，故acbd.3．（2020·全国高一）已知0abcd，adbc．（Ⅰ）证明：adbc

；（Ⅱ）证明：abcbcaabcabc．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由a＞b＞c＞d＞0得a－d＞b－c＞0，即(a－d)2＞(b－c)2，由ad＝bc得(a－d)2＋4ad＞(b－c)2＋4bc，即(a＋d)2＞(b＋c)2，故a＋d＞b＋c．（Ⅱ）abcab

bccabcaabcabcabc()()abbcabbc.因为0ab，所以1,0aabb，故()1abab.同理，()1bcbc.从而()()1abbcabbc.即abcbcaabcabc