【文档说明】(新教材)高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第5单元《三角函数》(巩固篇）（解析版）.doc，共(25)页，759.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第5单元三角函数（巩固篇）基础知识讲解一．运用诱导公式化简求值【基础知识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于3

60°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得

．二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（

k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，yma

x＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ三．同角三角函数间的基本关

系【基础知识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，c

os（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+

α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）

sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin2α＝2sin_αcos_α；（2）cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）tan2α＝．【技巧方法】诱导公式

记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加

上当α为锐角时，原函数值的符号”．四．两角和与差的三角函数【基础知识】（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）si

n（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．五．二倍角的三角函数【基础知识】二倍角的正弦其实属

于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin

2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．六．半角的三角函数【基础知

识】半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．七．三角函数的积化和差公式【基础知识】三角函数的积化和差公式：（1）sinαsinβ＝[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]cosαcosβ＝[cos（

α﹣β）+cos（α+β）]（2）sinαcosβ＝[sin（α+β）+sin（α﹣β）]cosαsinβ＝[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]（3）tanαtanβ＝tanαcotβ＝．八．三角函数的和差化积公式【基础知识】

三角函数的和差化积公式：（1）sinα+sinβ＝2sincossinα﹣sinβ＝2cossin（2）cosα+cosβ＝2coscoscosα﹣cosβ＝﹣2sinsin（3）cosα+sinα＝sin（+α）＝cos（）cosα﹣sinα＝cos（+α）＝sin（﹣α）习题演练

一．选择题（共12小题）1．sin600°＋tan240°的值等于（）A．－32B．32C．－12＋3D．12＋3【答案】B【解析】sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin6

0°＝－32，tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝3，则sin600°＋tan240°＝32.故选：B.2．函数y=2xsin2x的图象可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】令||()2sin2xfxx，因为,()2sin2

()2sin2()xxxRfxxxfx，所以||()2sin2xfxx为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x时，()0fx，所以排除选项C，选D.3．定义运算abadbccd，若sinsin

133cos,,0coscos7142，则等于（）A．12B．6C．4D．3【答案】D【解析】由定义运算知，即，又02，又1cos,072，，．4．下列函数中

，既是奇函数又在区间1,1上是增函数的是（）A．1yxB．tanyxC．sinyxD．cosyx【答案】B【解析】A选项，1yx的定义域为,00,，故A不满足题意；D选项，余弦函数cosyx是偶函数，故D不

满足题意；B选项，正切函数tanyx是奇函数，且在,22上单调递增，故在区间1,1是增函数，即B正确；C选项，正弦函数sinyx是奇函数，且在,22上单调递增，所以在区间1,1是增函数；因此sinyx是奇函数，且在

1,1上单调递减，故C不满足题意.故选：B.5．函数ƒ(x)＝sinxcosx＋32cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2【答案】A【解析】ƒ(x)＝12sin2x＋32cos2x＝sin23x

，所以振幅为1，最小正周期为T＝2＝22＝π，故选：A．6．设sin1,cos1,tan1abc，则,,abc的大小关系为（）A．abcB．acbC．cabD．cba【答案】C【解析】以O为圆心作单位圆，与x轴正半轴交于点A，作1PO

A交单位圆第一象限于点P，做PBx轴，作ATx轴交OP的延长线于点T，如下图所示：由三角函数线的定义知，cos1OB，sin1BP，tan1AT，因为ππ124，ATBPOB∴tan1sin1cos1∴cab故选：C7．若02＜＜，02-＜

＜，1cos()43，3cos()423，则cos()2（）A．33B．33C．539D．69【答案】C【解析】cos()cos[()()]2442cos()co

s()442sin()sin()442，因为02＜＜，02-＜＜，所以3(,)444，(,)4242，因为1cos()43，3cos()423，所以22sin()43，6sin()423，则

1322653cos()233339．故选：C8．已知函数sin2fxx，要得到函数sin24gxx的图象，只需将yfx的图象（）A．向左平移8个单位长度B．向右平移8个单位长

度8C．向左平移4个单位长度D．向右平移4个单位长度【答案】B【解析】因为sin2=sin248gxxx要得到函数sin24gxxx的图象，只需将f（

x）＝sin2x图象向右平移8个单位即可，故选：B．9．函数3tan24xfx，xR的最小正周期为（）A．2B．C．2D．4【答案】C【解析】解：()3tan()24xfx，12，212T

，则函数的最小正周期为2．故选：C．10．关于函数2sin0,0fxx，28f，02f，且fx在0,上单调，有下列命题：（1）

yfx的图象向右平移个单位后关于y轴对称（2）03f=（3）yfx的图象关于点3,04对称（4）yfx在,2pp轾--犏犏臌上单调递增其中正确的命题有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】28f，02f

22sin,2sin08822ff1(),2284kkZk或1132()4kkZ1(8)33kk

或11(8),(,)3kkkkZ03或232,2(),3kkZ或42(),3kkZ因为fx在0,上单调，所以20022T因此43或2

3，42sin33fxx（验证舍去）或222sin33fxxyfx的图象向右平移个单位得2222sin()2sin333fxxx，不关于y轴对称，（1）错；202sin33f

，（2）对；32322sin14343f，（3）错；当,2x时，22[0,]333x，所以yfx在,2pp轾--犏犏臌上单调递增，（4）对；故选：B11．函数2cos1xyx，,3

3x的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：函数()()fxfx，则函数()fx是奇函数，排除D，当03x时，2cos10x，则()0fx，排除B，C，故选：A．12．已知

函数()sin()(0,0,0π)fxAxA的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为π12和7π12，图象在y轴上的截距为3，给出下列四个结论：①()fx的最小正周期为π；②()fx的最大值为2；③π()14f；④π()3fx为奇函数

．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由图象，得函数()fx的最小正周期7ππ2()π1212T，①正确．2π2T，即()sin(2)fxAx，又πππ()sin(2)sin()12126fA

AA，所以πsin()16，结合0π，得π3，即π()sin(2)3fxAx，又π(0)sin33fA，所以2A，即π()2sin(2)3fxx，所以函数()fx的最大值为2，②正确．又ππππ()2sin(2)

2cos14433f，所以③正确．π()2sin(2)3fxx,πππ()2sin[2()]2sin(2)2sin2333fxxxx为奇函数，所以④正确．故选D．二．填空题（共6小题）

13．4255sincostan364________.【答案】34【解析】∵43sinsin332，253coscos662，5tantan144∴4255333sincostan1364224

故答案为3414．将函数y=πsin(2)43x﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x【解析】3sin[2()]3sin(2)6412yxx

72()()122242kxkkZxkZ当1k时524x故答案为：524x15．已知1sin34，则cos6______．【答案】14【解析】因为1

sin()34，则1cos()sin(())sin()62634．16．已知22sin3，1cos()3，且,(0,)2，则sin()的值等于__________.【答案】10227【解

析】由于22sin3，所以1cos3，427sin2,cos299，由于1cos()3，22sin3，102sin()sin2sin2coscos2sin27

.17．函数sin23yx的图象向右平移3个单位后与函数fx的图象重合，则下列结论正确的是______.①fx的一个周期为2；②fx的图象关于712x对称；③76x是fx的一个

零点；④fx在5,1212单调递减；【答案】①②③【解析】解：函数sin23yx的图象向右平移π3个单位后与函数fx的图象重合，sin2sin2333fxxx

，fx的一个周期为2π，故①正确；yfx的对称轴满足：232xk，kZ，当2k时，yfx的图象关于7πx12对称，故②正确；由sin203fxx，23xk得26kx，7

6x是fx的一个零点，故③正确；当5,1212x时，2,322x，fx在5,1212上单调递增，故④错误．故答案为：①②③．18．已知函数

()2sin()(0)fxx，点,,ABC是直线(0)ymm与函数()fx的图象自左至右的某三个相邻交点，若22||||3ABBC，则m_____【答案】3【解析】作出示意图如图所示：由22||||3ABBC，则||3AB，则||AC，故()fx的周期2

T，得2，即()2sin(2)fxx，且122sin(2)2sin(2)xx，可得12(2)(2)xx，且213xx，得126x,则2sin6m，得1m

，则3m.故答案为：3三．解析题（共6小题）19．若函数πcos0,2fxx的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为π4，且当2π3x时，fx取得最小值.（1）求fx的解析式；（2）若π5π,46x

，求fx的值域.【答案】（1）πcos23fxx；（2）31,2.【解析】（1）由题意，函数fx的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为π4，可得fx的周期πT，

即2ππ，解得2，又因为当2π3x时，fx取得最小值，所以2π4πcos133f，所以4π2ππ3kkZ，解得π2π3kkZ，因为π2，所以π3，所以πcos23fxx

.（2）因为π5π,46x，可得ππ4π2633x，所以当π2π3x时，fx取得最小值1，当ππ236x时，fx取得最大值32，所以函数fx的值域是31

,2.20．设πcos213fxmxm0m.（1）若2m，求函数fx的零点；（2）当π0,2x时，34fx恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）fx的零点是ππ2xk或5ππ6xk

kZ；（2）51,00,2．【解析】（1）由2mπ2cos213fxx，令0fx，则π1cos232x，即π2π22π33xk或

π4π22π33xk，kZ，解得ππ2xk或5ππ6xkkZ，∴fx的零点是ππ2xk或5ππ6xkkZ.（2）由π02x可得ππ2π2333x，所以1πcos2123x，（1）当0m时，易得1212mf

xm，由34fx恒成立可得，minmax34fxfx，即1322140mmm，解得502m，（2）当0m时，可得2112mmfx，由34fx恒成立可得minmax34fxfx

，即2131420mmm，解得10m，综上可得，m的取值范围是51,00,2．21．已知函数2sin3sincosfxxxx.（Ⅰ）求fx的最小正周期；（Ⅱ）若fx在区间,3m

上的最大值为32，求m的最小值.【答案】（Ⅰ）π；（Ⅱ）π3.【解析】（Ⅰ）1cos23311π1sin2sin2cos2sin22222262xfxxxxx，所以fx的最小正周期为2ππ2T

.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π1sin262fxx.因为π,3xm，所以π5ππ2,2666xm.要使得fx在π,3m上的最大值为32，即πsin26x在π,3m上

的最大值为1.所以ππ262m，即π3m.所以m的最小值为π3.22．已知函数32coscossinsin222cos2cosxxxxfxxx.（Ⅰ）化简fx；（Ⅱ）若3f

，求tan4的值.【答案】（1）3()tan2fxx；（2）3【解析】（1）cos()cos()cossin2xxxx，3sin()sin()sincos2xxxx∴32cos()cos()sin()sin()3s

incos22xxxxxx2cos(2)cos()cosxxx∴23sincos3()tan2cos2xxfxxx（2）由3f，知：3tan32，即t

an2又1tantan()41tan，所以tan()3423．已知函数sin0,0,22fxAxA的部分图象如图所示．（1）求fx的解析式．（2）

写出fx的递增区间．【答案】（1）2sin84fxx；（2）166,162kk，kZ．【解析】解：（1）易知2A，42216T，∴28T，∴2sin8fxx，将点2

,0代入得sin04，4k，kZ，∴4k，kZ，∵22，∴4，∴2sin84fxx；（2）由222842kxk

，kZ，解得166162kxk，kZ，∴fx的递增区间为166,162kk，kZ．24．已知函数2cos24fxx，xR.（1）求函数fx的

最小正周期和单调递增区间；（2）求函数fx在区间,82上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值.【答案】（1）；单调递增区间为3,88kkkZ；（2）最大值为2，8x

；最小值为1，2x.【解析】（1）2cos24fxx，所以，该函数的最小正周期为22T.解不等式2224kxkkZ，得388kxkkZ.因此

，函数yfx最小正周期为，单调递增区间为3,88kkkZ；（2）,82x，32244x.当204x时，即当8x时，函数yfx取得最大值，即max2fx；当3244x

时，即当2x时，函数yfx取得最小值，即min32cos14fx.