【文档说明】(新教材)高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第5单元《三角函数》(强化篇）（解析版）.doc，共(27)页，764.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第5单元三角函数（强化篇）基础知识讲解一．运用诱导公式化简求值【基础知识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三

角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是

特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2k

π+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ

+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2

ππ三．同角三角函数间的基本关系【基础知识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）

＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式

六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ

+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin2α＝2sin_αcos_α；（2）cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α

；（3）tan2α＝．【技巧方法】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．四．两角

和与差的三角函数【基础知识】（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+

β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．五．二倍角的三角函数【基础知识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．

二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β

的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．六．半角的三角函数【基础知识】半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①ta

n＝＝＝；②tan＝＝＝．七．三角函数的积化和差公式【基础知识】三角函数的积化和差公式：（1）sinαsinβ＝[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]cosαcosβ＝[cos（α﹣β）+cos（α+β）]（2）sinαcosβ＝[sin（α+β）+sin（α﹣

β）]cosαsinβ＝[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]（3）tanαtanβ＝tanαcotβ＝．八．三角函数的和差化积公式【基础知识】三角函数的和差化积公式：（1）sinα+sinβ＝2sincossinα﹣sinβ＝2cossin（2）cosα+cosβ＝2coscosco

sα﹣cosβ＝﹣2sinsin（3）cosα+sinα＝sin（+α）＝cos（）cosα﹣sinα＝cos（+α）＝sin（﹣α）习题演练一．选择题（共12小题）1．已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=（）A．–2B．–1C．1D．2【答案】D【解析】2tanta

n74，tan12tan71tan，令tan,1tt，则1271ttt，整理得2440tt，解得2t，即tan2.故选：D.2．已知点(tan,cos)P在第

三象限，则角在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】因为点(tan,cos)P在第三象限，所以tan0,cos0所以角在第二象限故选：B3．设0.52a，4log3b，3cos4c，则（）A．cabB．bacC．abcD．

acb【答案】C【解析】0.50221a，由4440log1log3log41，即01b，32cos42c，所以abc.故选：C4．已知25cos5，10sin10，、0,2

，则cos的值为（）A．22B．624C．32D．12【答案】A【解析】解：、0,2，,02，2255sin155，,2210sin010，,02

.210310cos11010.coscoscoscossinsin2531051025105102.故选：A.5．关于函数()sin|||sin|fxxx有

下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2,）单调递增③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④B．②④C．①④D．①③【答案】C【解析】sinsinsinsin,fxxxxxfxfx为偶函数，故①正

确．当2x时，2sinfxx，它在区间,2单调递减，故②错误．当0x时，2sinfxx，它有两个零点：0；当0x时，sinsin2sinfxxxx，它有一个零点：

，故fx在,有3个零点：0，故③错误．当2,2xkkkN时，2sinfxx；当2,22xkkkN时，sinsin0fxxx，又fx为偶函数，fx的

最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．画出函数sinsinfxxx的图象，6．若4sincos3，且3π,π4，则sin(π)cos(π)（）A．23B．23C．43D．43【答案】A【解

析】由题意，416sincos12sincos39，则72sincos09，由于3π,π4，则22sin(π)cos(π)sincos(sincos)12sincos3

.故选A.7．已知π()0,，且3cos28cos5，则sin（）A．53B．23C．13D．59【答案】A【解析】3cos28cos5，得26cos8cos80，即23cos4cos40，解得2cos3或cos2（舍去）

，又25(0,),sin1cos3.故选：A.8．已知函数sinfxAx0,0A的图象与直线0yaaA的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则

fx的单调递减区间是（）A．6,63kk，kZB．63,6kk，kZC．6,63kk，kZD．63,6kk，kZ【答案】D【解析】由题设可知该函数的最小正周期826T，结合函数的图象

可知单调递减区间是2448[6,6]()22kkkZ，即[36,66]()kkkZ，等价于63,6kk，应选答案D．9．设函数fx的定义域为R，,2fxfxfxfx,当0,1x时,3fxx,则函数cosgxxfx

在区间15,22上的所有零点的和为（）A．7B．6C．3D．2【答案】A【解析】∵f（x）=f（2﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵f（﹣x）=f（x），∴f（x）根与x=0对称，∵f（x）=f（2﹣x）=f（

x﹣2），∴f（x）=f（x+2），∴f（x）是以2为周期的函数，∴f（x）在[﹣12，52]上共有3条对称轴，分别为x=0，x=1，x=2，又y=|cos（πx）关于x=0，x=1，x=2对称，∴x=0，x=1，x=2为g（x）的对称轴

．作出y=|cos（πx）|和y=x3在[0，1]上的函数图象如图所示：由图象可知g（x）在（0，12）和（12，1）上各有1个零点．又g（1）=0，∴g（x）在[﹣12，52]上共有7个零点，设这7个零点从小到大依次为x1，x2，x3，…x6，x7．则x1，x2关于x=0对称，x3，x5关

于x=1对称，x4=1，x6，x7关于x=2对称．∴x1+x2=0，x3+x5=2，x6+x7=4，∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=7．故选A．10．将函数22coscos22fxxx的图象向右平移4个单位，得

到函数ygx的图象，则函数ygx的一个极大值点为（）A．8B．38C．58D．78【答案】B【解析】cos21sin22sin214fxxxx，故2sin214gxx.

令22,42xkkZ，得3,8xkkZ，取0k，可得38x为极大值点.故选：B.11．函数sin()fxAx(0,0,2A＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63xx，且12f

xfx，则12()fxx（）A．1B．12C．22D．32【答案】D【解析】由图象可知，1,()2362TA，即T，所以2，即sin(2)fxx，又因为()03f

，则sin(2)03，解得2,3kkZ，又由2＜，所以3，所以sin(2)3fxx，又因为()36212，所以图中的最高点坐标为,112.

结合图象和已知条件可知122126xx，所以1223()()sin(2)sin66332fxxf，故选D.12．已知tan，tan是方程23340xx的两根，若,,22

，则（）A．3B．3或23C．3或23D．23【答案】D【解析】由题意得tan＋tan＝33，tantan＝4，所以tan＜0，tan＜0，又,

,22，故,,02，所以0.又tantan33tan()31tantan14.所以23.故选：D二．填空题（共

6小题）13．已知函数sin(2)()22yx的图象关于直线3x对称，则的值是________．【答案】6.【解析】由题意可得2sinπ13，所以2πππππ()326kkkZ

，，因为ππ22，所以π0,.6k14．已知tan2π3tan4，则πsin24的值是_____.【答案】210.【解析】由tan1tanta

ntan2tan1tan13tan1tan4，得23tan5tan20，解得tan2，或1tan3.sin2sin2coscos2sin4442222222sincoscossinsin

2cos2=22sincos2222tan1tan=2tan1，当tan2时，上式22222122==22110；当1tan3时，上式=2211212233=210113

.综上，2sin2.41015．若223cossin3，则cos23__________.【答案】59【解析】由223cossin3

可以得到31222cossin223，所以2sin33，设3，则3则222333，所以245cos2cos2cos22si

n11399.故答案为59.16．已知πtan34，则22sin2cos_______.【答案】75【解析】tantan1tan4tan341tan1tantan

4，解得：1tan2，22222222sin2costan2ssinincostan2co1s2212725112故答案为：75.17．

1tan191tan26______.【答案】2【解析】由于tan19tan26tan45tan192611tan19tan26，所以tan19tan261tan19tan26，即tan19tan26tan19tan2

61，所以1tan191tan261tan19tan26tan19tan262故答案为：218．已知函数sin23fxx（0x），且13ff（

），则______.【答案】76【解析】解法一：∵函数sin23fxx（0x），72,333x.11sin2sin20,3332ff，

（），不妨假设，则52,36a，1322,36，5,6122，13,612,43，511,612

，135,124.再根据sin2sin2332222232cossin222cossin03cos03，3

2，或332，则6（舍去）或76，故答案为：76.解法二：∵函数sin23fxx（0x），72,333x.13ff（），则由正弦函数的图

象的对称性可得：3222332，即76，故答案为：76.三．解析题（共6小题）19．设函数23()cossin3cos34fxxxx，xR.（1）求fx的最小正周期

和对称中心；（2）若函数fx的图像向左平移4个单位得到函数gx的图像，求函数gx在区间,64上的值域.【答案】（1）fx的最小正周期为22T，对称中心为,062kkZ；

（2）11[,]42.【解析】（1）2133cos(sincos)3cos224fxxxxx2133sincoscos224xxx()133sin21cos2444xx=-++131si

n2cos2sin22423xxx令2,3xkkZ，解得,62kxkZ，所以fx的最小正周期为22T，对称中心为,062kkZ；（2）函数fx

的图像向左平移4个单位得到函数11sin[2()]sin224326xxgx，令222,262kxkkZ，解得,36kxkkZ，所以函数gx在[,

)66上单调递增，在,64上单调递减，因为113,,646244ggg，所以函数gx在区间,64上的值域为11[,]42.20．已知2sincos23coscos44fxxxxx

（1）求函数fx的单调递减区间；（2）若关于x的函数22sin2gxfxkx在区间,122上有唯一零点，求实数k的取值范围．【答案】（1）7,1212kkkZ；（2）3144kk

或12k．【解析】解：（1）2sincos23coscos44fxxxxxsin23cos22sin23xxx令3222232kxk

剟，kZ，解得71212kxk剟，kZ，∴fx的单调递减区间7,1212kkkZ（2）由（1）知，函数2sin23fxxgx在,122有零点等价于2sin2fxkx在

,122有唯一根，∴可得2sin2sin23kxx13sin2cos2cos2226xxx设cos26hxx，,122x

则72,636x根据函数hx在,122x上的图象，∵2yk与yhx有唯一交点，∴实数k应满足31222k或21k∴3144k或12k．故实数k的取值范围31

{|44kk„或1}2k．21．已知函数sinfxxπ02,，它的一个对称中心到最近的对称轴之间的距离为π4，且函数fx图象的一个对称中心为π,06.

（1）求fx的解析式；（2）确定fx在π0,2上的单调递增区间.【答案】（1）πsin23fxx；（2）π0,12.【解析】（1）设函数fx的周期为T，由题设得ππ244TT，又∵π,06

为fx图像的一个对称中心，∴ππ0sin063f，又∵π2，∴π3，故πsin23fxx；（2）由πππ2π22π232kxk5ππππ1212kxk，kZ，∴fx在5πππ,π1212kk

kZ上递增，当0k时，fx在5ππ,1212递增，由5ππππ,0,0,1212212，∴fx在π0,2上的单调递增区间为π0,

12．22．已知：sinα+cosα＝12，α∈（π，2π）．（1）求sinα﹣cosα的值；（2）求tanα，tan2的值．【答案】（1）72（2）473，273【解析】（1）将12sincos两边平方得：32sincos4，2（，），sin0

，cos0，712sincos4，即27(sincos)4，sincos0，7sincos2AA，（2）联立1sincos27sincos2，解得17s

in4，17cos4217(71)47tan6317，371cos274tan2sin317423．已知1tan42．（Ⅰ）求tan的值；（Ⅱ）求22sin22sin21cos2sin

的值．【答案】（Ⅰ）1tan=-3；（Ⅱ）15-19.【解析】解：（Ⅰ）tantan1tan14tan()41tan21tantan4，解得；（Ⅱ）22sin(22)sin()21cos(2)sin

=22sin2cos1cos2sin2222sincoscos2cossin22tan1152tan19．24．已知函数2sin24sin206xxxf，其图象与x轴相邻的两个

交点的距离为2.（1）求函数fx的解析式；（2）若将fx的图象向左平移0mm个长度单位得到函数gx的图象恰好经过点,03，求当m取得最小值时，gx在7,612

上的单调区间.【答案】（1）3sin23fxx（2）单调增区间为,612，57,1212；单调减区间为5,1212.【解析】解：（1）2sin24sin26xxxf

311cos2sin2cos242222xxx33sin2cos222xx3sin23x由已知函数fx的周期T，22，1∴3sin23fxx.（2）将fx的图象向左平移0mm个长

度单位得到gx的图象∴3sin223mxxg，∵函数gx的图象经过点,03∴3sin22033m，即sin203m∴23mk，kZ∴26km

，kZ∵0m，∴当0k，m取最小值，此时最小值为6此时，23sin23gxx.令7612x，则2112336x当22332x或32112236x，即当612x或571212x时

，函数gx单调递增当232232x，即51212x时，函数gx单调递减.∴gx在7,612上的单调增区间为,612，57,1212；单调减区间为5,1212.