【文档说明】河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试文科数学试卷答案.docx，共(18)页，1.397 MB，由小喜鸽上传

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2022-2023学年度高三文科数学12月月考试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（每小题5分，共60分）1．设集合()22N8120log12AxxxBxx=−+=−∣，∣，则AB=I

（）A．{35}xx∣B．{25}xx∣C．3,4D．3,4,52．已知0a，0b，则“1ab+”是“2ab+”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充

分也不必要条件3．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪

念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（）A．60米B．61米C．62米

D．63米4．已知()fx是定义在R上的函数，且满足()32−fx为偶函数，()21fx−为奇函数，则下列说法正确的是（）A．函数()fx的周期为2B．函数()fx关于直线=1x−对称C．函数()fx关于点()1,0−中心对称D．()20231f=5．如图，在直三棱柱111ABC

ABC-中，122AAABAC==，且,,ABACDE⊥分别是棱1,BCBB的中点，则异面直线1AD与1CE所成角的余弦值是（）A．269B．66C．579D．3066．在平行四边形ABCD中，E､F分别在边AD､CD上，3AEED=，,

DFFCAF=与BE相交于点G，记,ABaADb==uuuruuurrr，则=uuurAG（）A．341111ab+rrB．631111ab+rrC．451111ab+rrD．361111ab+rr7．一个几何体的三视图如图，

它们为一个等腰三角形，两个直角三角形，则这个几何体的外接球表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π8．()()22sincos22sin218fxxxxm=+−−+−−在[0,]2上有两个零点1x，2x，则12si

n()xx+=（）A．55−B．255−C．55D．2559．已知正四棱锥PABCD−的侧棱长为(0)aa，则该正四棱锥体积的最大值为（）A．3239aB．3439aC．32327aD．34327a10．已知ABCV中，设角A、B、C

所对的边分别为a、b、c，ABCV的面积为S，若()223sin2sinsinsin2sinsinBCAABC+=+，则2Sb的值为（）A．14B．12C．1D．211．已知函数()ln1eaxxfxxax=+−−有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．10,e

B．()0,1C．0,1D．1,e−12．已知sin12cos1a=+，13b=，1tan3c=，则（）A．cbaB．acbC．abcD．cab二、填空题（每小题5分，全科免费下载公众号《高中僧课堂》共20分）13

．若,xy满足约束条件0201xyxyx+−，则23zxy=+的最大值为__________.14．已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________.15．已知ABCV的所有顶点都在球O的表面上，1

,120ABACBAC===o，球O的体积为32π3，若动点P在球O的表面上，则点P到平面ABC的距离的最大值为__________.16．如图所示，在长方体1111ABCDABCD−中，111BBBD=，点E是棱1CC上的一个动点，若平面1BED交棱1AA于点F，给出

下列命题:①四棱锥11BBEDF−的体积恒为定值;②存在点E，使得1BD⊥平面1BDE;③对于棱1CC上任意一点E，在棱AD上均有相应的点G，使得CG∥平面1EBD;④存在唯一的点E，使得截面四边形1BEDF的周长取得最小值.其中真命题的是____________

_.（填写所有正确答案的序号）三、解答题（17题10分，其余每小题12分，共70分）17．已知数列na的前n项和为nS，满足433nnSa+=.(1)求数列na的通项公式；(2)记nnbna=，求数列nb的

前n项和nT.18．已知在ABCV中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且2cos3sinsin22bAaBaB−−+=.(1)求B；(2)设点D是边AC的中点，若6ac+=，求BD的取值范围.19．如图，在几何体ABCD

E中，AD⊥平面ABE，//ADBC，2ADBC=，ABBE=.(1)证明：平面DCE⊥平面DAE；(2)若1AB=，2AE=，三棱锥ABCE的体积为13，求直线CE与平面DAE所成角的正弦值.20．已知函数()sinfxxax=−，Ra

．(1)若2a=，求曲线()yfx=在点,66f处的切线方程；(2)若()fxa在5,66x上恒成立，求实数a的取值范围．21．如图，△ABC是正三角形，在等腰梯形ABEF中，AB

EF∥，12AFEFBEAB===.平面ABC⊥平面ABEF，M，N分别是AF，CE的中点，4CE=.(1)证明：//MN平面ABC；(2)求三棱锥N－ABC的体积.22．已知0a，函数()()1elnxfxaax

−=−．(1)当12ea=时，讨论()fx的单调性；(2)若曲线()yfx=与直线1y=有且只有一个公共点，求a.12月月考试卷参考答案1．C【详解】由28120xx−+，得()()260xx−−，解得26

x，所以N263,4,5Axx==∣，由()2log12x−，得()22log1log4x−，解得15x，所以15Bxx=∣，所以3,4,5153,4ABxx==∣，2．A【详解】充分性：∵0a，0b，1ab+，∴

212abab+，当且仅当12ab==时，等号成立，∴21()21222ababab+=+++=，当且仅当12ab==时，等号成立，∴2ab+.必要性：当1a=，116b=时，2ab+成立，但1ab+不成立，即必要性不成立，所以“1ab+”是“2ab+”的充分

不必要条件．3．D【详解】解：根据题意，CDGABG∽△△，EFHABHVV∽，所以22,1643ABABBDBD==++，解得63AB=．4．C【详解】∵()32−fx为偶函数，∴()()3232fxfx−−=−，∴()()22fxfx−−=−，故()()2222fxfx−−−−=

−−−即()()4fxfx=−−，∴函数()fx的图象关于直线2x=−对称.∵()21fx−为奇函数，∴()()2121fxfx−−=−−，∴()()11fxfx−=−−−，所以函数的图象关于点()1,0−对称，故B错误，C正确；由(

)()4fxfx=−−及()()11fxfx−=−−−知，()()()42fxfxfx=−−=−−−，∴()()24ffxx−=−−，∴()()4244ffxx=−++−−，即()()2=−+fxfx

，∴()()24fxfx+=−+，故()()4fxfx=+∴函数()fx的周期为4，A错误，()()()20235064110fff=−=−=，故D错误.5．A【详解】如图，在棱1CC上取一点F，使得14CCCF=，取1CC的中点

M，连接BM,1,DFAF，由于,ME分别是棱11,CCBB的中点，所以11,//BECMBECM=，故四边形1BMCE为平行四边形，进而1//CEBM,又因为,DF是,BCCM的中点，所以//DFBM,所以1//DFCE，则1ADF

或其补角是异面直线1AD与1CE所成的角.设2AB=，则11,3,2CFCFADCD====，从而2222221111113,32,13DFCFCDADAAADAFACCF=+==+==+=，故13181326cos92332ADF+−==,故异面直线1AD与1CE所成角

的余弦值是269.6．D【详解】过点F作FN平行于BC，交BE于点M，因为DFFC=，则F为DC的中点，所以MNPAE且11332248MNAEADAD===，因为NFAD=，所以3588MFNFMNADADAD=−=−=，由AEGFMGV:V可得：AEAGFMFG=，所以364558ADAG

AEFGFMAD===，因为666136()()11111121111AGAFADDFADABABAD==+=+=+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，所以361111AGab=+uuurrr，7

．C【详解】由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：可以该几何体为三棱锥ABCD−，其中AB⊥平面BCD，2AB=，23323BDCDBC==+==，所以，BCD△为等边三角形，如下图所示：圆柱12OO的底面圆直径为2r，母线长为h，则12

OO的中点O到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O为圆柱12OO的外接球球心，且()2222Rrh=+，可将三棱锥ABCD−置于12OO内，使得BCD△的外接圆为圆2O，其中圆2O的直径为2324sin60r==o，故三棱锥ABCD−的外接球直径为()222

225RrAB=+=，所以，该几何体的外接球的表面积为24π20πSR==.8．D【详解】1cos24()1sin222212xfxxm−−=+−+−−1sin222cos2214xxm=+−+−+−−sin22cos24xxm=+−−22sin22co

s2sin222xxxm=++−2sin2cos2xxm=+−215sin2cos255xxm=+−5sin(2)xm=+−其中21cos,sin55==,不妨设0,2

因为12,xx是()fx的两个零点,所以()()125sin25sin2xmxm+−=+−即()()12sin2sin2xx+=+结合12,,xx的范围知1222xx+++=所以()1222xx++=,即122xx+=−所以()122

5sinsincos25xx+=−==9．D【详解】如图，连结,ACBD交于O点，连结PO.根据正四棱锥的性质，可知PO⊥平面ABCD.设底面正方形边长为m，高为POh=，则2ACm=，22OCm

=.在RtPOC△中，有222OPOCPC+=，即22212hma+=，则22222mah=−.则21133PABCDABCDVShmh−==()221223ahh=−322233hah=−+()0ha.设()322233V

hhah=−+，则()22223Vhha=−+，令()0Vh=，解得33ha=（舍去负值）.又当303ha时，()0Vh；当33ha时，()0Vh.所以，当33ha=时，()322233Vhhah=−+有唯一极大值，也是最大

值34327a.10．B【详解】已知()2223sin2sinsinsin2sinsinBCAABC+=+由正弦定理可知：222322sinbcabcA+=+，222322sinbcabcA+−=，整理得：()2222222si

nbcabcbcA+−++=，两边同除2bc得：222222sin22bcabcAbcbc+−++=，根据余弦定理得：cossin2bcAAcb++=，即sincos2sin24bcAAAcb+=−=−，0bQ，0c，2222bcbccbcb+=，当且仅当2bccb=，

即2cb=时等号成立.又Qsincos2sin224bcAAAcb+=−=−，当且仅当34A=时，等号成立.综上所述：22bccb+且22bccb+，故得：22bccb+=，此时2cb=且34A=，132sin244Sbcbc==，2222212444

2Sbccbbb====.11．A【详解】由题意得()lnln1eln1,0exaxaxxfxxaxxaxx−=+−−=+−−,令()e1tgtt=+−，()e10tgt=+，该函数在R上为单调增函数，且(0)0g=，故函数()ln1eax

xfxxax=+−−有两个不同的零点，即lntxax=−有两个不同的零点，令ln0,(0)txaxx=−=即直线ya=与ln(),(0)xhxxx=的图象有两个不同交点，又21ln()xhxx−=，当0ex时，()0,()hxhx递增，当ex时，

()0,()hxhx递减，则max1()ehx=，当0,0xx→时，ln()xhxx=→−，作出其图象如图：由图象可知直线ya=与ln(),(0)xhxxx=的图象有两个不同交点，需有10,ea，

12．A【详解】设()sin2cos3xxgxx=−+，当0,2x时，有()()()()2'22cos12cos11032cos32cosxxgxxx−+=−=−++，当且仅当0x=时，等号成立，所以()gx是减函数，

()()100gg=＜，即sin11sin110,2cos132cos13−++＜＜；当0,2x时，设()()'2sin1tan,10coscosxfxxxxfxxx=−=−=−＞，()fx单调递增，()103ff＞，即1111tan0,tan3333−＞＞，即cba

＞＞；13．8【详解】作出可行域，如图OABV内部（含边界），作直线:230lxy+=，在23zxy=+中，3z是直线的纵截距，向上平移该直线，z增大，平移直线l，当它过点(1,2)A时，238zxy=+=为最大值．14．x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【详解】方法一：设所求圆的标准方

程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得:()()()()2222222325230abrabrab−+−−=−−+−−=−−=,解得：21,2,10,abr=−=−=故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法

二：线段AB的中点坐标为2235,22−−−，即()0,4−，直线AB的斜率为531222−+=−−，所以线段AB的垂直平分线的斜率为-2，所以线段AB的垂直平分线方程为42yx+=−，即2x＋y＋4＝0，由几何性质可知：线段

AB的垂直平分线与230xy−−=的交点为圆心，联立240,230,xyxy++=−−=，得交点坐标()1,2O−−，又点O到点A的距离()()22122310d=−−+−+=，即半径为10，所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y

2＋2x＋4y－5＝0.故答案为：x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.15．23+【详解】解：因为1,120ABACBAC===o，所以22211211cos1203BC=+−=o，即3BC=.设ABCV的外接圆的圆心为1,OABCV的外接圆的半径

为r，球O的半径为R，则3221,sinsin120BCrrrBACo===332π4π233RR==，因为1OO⊥平面ABC，所以11OOOA⊥，则2213OORr=−=.延长1OO与球O交于点1P，当点P与点1P重合时，点P到平面ABC的距离取得最大值23+.16．①②④【详解】对

于①，由111111BBEDEBBFBDFBDVVV−−−=+，11CCAA∥∥平面11BBD，可得EF,到平面11BBD的距离为定值，所以四棱锥11BBEDF−的体积为定值，故①正确;对于②，111BBBD=，得对角面11BBDD为正方形，所以11BDBD⊥，易知DC⊥平面11B

CCB，而BE平面11BCCB，所以BEDC⊥，若1BEBC⊥，1BCDCC=I，1,BCDC平面1BCD，所以BE⊥平面1BCD，1BD面1BCD，所以1BDBE⊥，1BDBEB=I，1,BDBE平面1BDE，所以有

1BD⊥平面1BDE，故②正确;对于③，可作出过CG的平面与1EBD平行，如图所示：当点E与棱1CC的中点O重合时，作1DD的中点H，连接,,AHACCH，易知1CHOD∥，1OD平面1OBD，CH平面1OBD，所以CH∥平面1OBD，同理AH∥平面1OBD，AHCHH=I，,AHCH平面A

CH，所以平面ACH∥平面1OBD，易知：当点E在线段1OC内时，对应的点G在棱AD上，而当点E在线段OC内时，对应的点G在棱1AA上，故③错误.对于④，由面面平行的性质定理可得四边形1BEDF为平行四边形，所以四边形1BEDF的周长12()LBEDE=+，

将矩形11BCCB绕棱1CC向内旋转90度，使矩形11BCCB和矩形11DCCD共面，连接1BD交1CC于点E，如下图所示：此时11BEDEBD+=，四边形1BEDF的周长取得最小值，故存在唯一的点E，使得截面四边形1BEDF的周长取得

最小值，故④正确.综上：①②④正确.故答案为：①②④.17．【详解】（1）433nnSa+=①，当1n时，11433nnSa−−+=②，①−②得1433nnnaaa−=−，即13nnaa−=−，又1n=时，13a=−，∴na为

首项3−，公比3−的等比数列，故()133nna−=−−，∴()3nna=−（2）()3nnbn=−，()()()23323333nnTn=−+−+−++−LL③()()()()23413323333nnTn+−=−+−+−++−LL④③−④得()()()()()231

433333nnnTn+=−+−+−++−−−LL()()11334313nnnTn++−−−=−−+∴()()141331616nnnT++=−−−18．【详解】（1）在ABCV中，依题意有2sin3cossinbAaBaB−=，由正弦定理得：2sinsin3sincos

sinsinBAABAB−=，而0A，即sin0A，则有sin3cosBB=，即tan3B=，而0B，所以3B=.（2）在ABCV中，由（1）知，3B=，又6ac+=，点D是边AC的中点，则1()2BDBABC=+uuuruuuruuur,于是得2222211

1||()22cos2223BDBABCBABCBABCacac=+=++=++uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur211()3622acacac=+−=−，显然20()92acac+=，当且仅当3ac==时取等号，因此273636ac

−，33136322ac−，即33||32BDuuur，所以BD的取值范围是33[,3)2.19．【详解】（1）若,,FGH分别为,,DEAEAD的中点，连接,,,,BGCFFGCHFH，所以//FGAD且12FGAD=，又//ADBC，2ADBC=，故//FGBC、F

GBC=，所以BCFG为平行四边形，故//CFBG，且//BCAH、BCAH=，所以ABCH为平行四边形，故CHABBE==且//CHAB，而DHAHBC==，因为AD⊥平面ABE，则BC⊥平面ABE，,

ABBE平面ABE，所以ADAB⊥，即ADCH⊥，BCBE⊥，在Rt,RtDHCCBEVV中，2222CDDHCHBCBECE=+=+=，故△DCE为等腰三角形，则CFDE⊥，FG⊥平面ABE，BG平面ABE，故FGBG⊥，所以FGCF⊥，FGD

EF=I，,FGDE面DAE，故CF⊥面DAE，而CF面DCE，所以面DAE⊥面DCE.（2）由（1）知：CF⊥面DAE，故直线CE与平面DAE所成角的平面角为CEF，所以sinCFCEFCE=，因为1ABBE==，2AE=，故222ABBEAE+=，即

ABBE⊥，所以12ABES=△，且1222CFBGAE===，又BC⊥平面ABE，故111323CABEVBC−==，则2BC=，而225CEBCBE=+=，所以10sin10CEF=，即直线CE与平面DAE所成角的正弦值1010.20．【详解】（1）解：当2a

=时，()sin2fxxx=−，所以1sin266623f=−=−，()cos2fxx=−，所以3cos22662f=−=−，故所求切线方程为34312122yx−=−+．（2）

解：因为()fxa()sinsin11xxaxax++在5,66x上恒成立，令()sin1xgxx=+，5,66x，则()()2coscossin1xxxxgxx+−=+，令()

coscossinhxxxxx=+−，则()sinsin0hxxxx=−−，所以()hx在5,66x上单调递减，因为331066222h=+−，55331066222h=−−−，由零点存在定理

知，存在唯一05,66x，使()00hx=，所以()gx在0,6x上单调递增，在05,6x上单调递减，所以()min5333min,min,6666565gxgg

===+++，从而365a+．21．【详解】（1）取CF的中点D，连接DM，DN，∵M，N分别是AF，CE的中点，∴DMAC∥，DNEF∥，又∵DM平面ABC，AC平面ABC，∴DM∥平面ABC.又EFAB∥，∴DNAB∥

，同理可得，DN∥平面ABC.∵DM平面MND，DN平面MND，DMDND=I，∴平面MND∥平面ABC.∵MN平面MND，∴//MN平面ABC.（2）取AB的中点O，连接OC，OE.由已知得OA∥EF且OA=EF

，∴OAFE是平行四边形，∴OE∥AF且OE=AF∵△ABC是正三角形，∴OC⊥AB，∵平面ABC⊥平面ABEF，平面ABC平面ABEF＝AB，∴OC⊥平面ABEF，又OE平面ABEF，∴OC⊥OE

.设12AFEFEBABa====，3OCa=，在Rt△COE中，由222OCOECE+=，解得2a=，即122AFEFEBAB====.由题意∠FAB＝60°，M到AB的距离3sin602hAM==即为M到

平面ABC的距离又//MN平面ABC，∴111342323322NABCMABCABCVVSh−−====△.22．【详解】（1）解：当12ea=时，()1eln2e2exxfx−=−，函数()fx的定义域为()0,+，()12e1

e12e2xxfxxx−−=−=−，令()2e12xhxx−=−，其中0x，则()22e102xhxx−=+，所以，函数()fx在()0,+上单调递增，且()20f=．所以当()0,2x时，()0fx，()fx单调递减，当()2,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增

．因此，当12ea=时，函数()fx的减区间为()0,2，增区间为()2,+.（2）解：依题意，0a，()fx的定义域为()0,+，()111e1exxaxfxaxx−−−=−=.令()()1e10xgxaxa−=−，()(

)111ee1e0xxxgxaaxax−−−=+=+，所以，()gx在()0,+上单调递增，()010g=−，()111111e11e1110aagaaaaaa+=+−=+−+−=，故存在010,1xa+，使得()00gx=.当()00,x

x时，()0gx，则()0fx，此时()fx单调递减，当()0,xx+时，()0gx，则()0fx¢>，此时()fx单调递增，当0xx=时，()fx取极小值，则0xx=也是函数()fx唯一的极值点，由()00gx=得010

e1xax−=，即0101exax−=，①等式①的两边同时取自然对数，则有00ln1lnaxx+−=−，则()00ln1axx=−+．②由①②得()()0100000011eln1211xfxaaxxxxx−=−=+−−=，当且仅当01x=时，等号成立

．当01x=时函数()fx取最小值1，函数()fx的图象过点()1,1，函数与1y=有且只有一个交点．由()11f=，可得ln1aa−=，即ln10aa−−=，令()ln1paaa=−−，其中0a，则()111apaaa−=

−=.当01a时，()0pa，此时函数()pa单调递减，当1a时，()0pa，此时函数()pa单调递增，所以，()()min10pap==，因此，1a=.所以曲线()yfx=与直线1y=有且只有一个交点时，1a=．