【文档说明】河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试理数试卷答案.pdf，共(7)页，684.970 KB，由小喜鸽上传

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32023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。考试结束后，只收

答题卷.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A∣x2x2x150，B3,1,1,3,5，则AB（）A．1,3B．3,1

,1C．1,1D．1,1,32．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，

4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A．172B．183C．191D．2113．已知sinπ2123，则5πcos26（）A．79B．59C．59D．794．已知平面向量a，b满足3a

，13b，，211ab，则a在b上的投影为（）A．3B．1C．2D．65．若函数log20,1afxaxaa在区间1,3内单调递增，则a的取值范围是（）A．2,13

B．20,3C．21,3D．2,36．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，122AAABAC，且,,ABACDE分别是棱1,BCBB的中点，则异面直线1AD与1CE所成角的余弦值是（）A．269B

．66C．579D．3067．已知函数e2elnexfxxx，若e2e2021e2022e2023202320232023ffff1011()ab，其中0b，则1||2||aab的最小值为（）A．34B

．32C．54D．228．在平面直角坐标系中，已知点20M，，10N，，动点Qxy，满足2QMQN，过点31，的直线与动点Q的轨迹交于A，B两点，记点Q的轨迹的对称中心为C，则当ABC面积取最大值时，直线AB的方程是（）A．4yx

B．4yxC．24yxD．24yx9．已知抛物线22xpy0p的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且AF的最小值为1，M是线段AB的中点，2,3P是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A

．2pB．若8AFBF，则M到x轴的距离为3C．若2AFFB，则3ABD．APAF的最小值为410．已知双曲线2222:10,0xyCabab的左，右顶点分别是1A，2A，圆222xya

与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线1AM交C的右支于点P，若△2MPA是等腰三角形，且2PAM的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为（）A．2B．2C．3D．511．已知0x是函数22eexxfx的图象与函数1lngxxxx的图象交点的横坐标，则020elnxx（）

A．2B．ln2C．ln2D．212．已知函数2221,0log,0xxfxxx，若关于x的方程2[()]()40fxmfx有6个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．13(,5),43

B．13,43C．134,(5,)3D．134,32第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．22204xxdx______________．14．在三棱锥P－ABC

中，23PAABPBAC，AC⊥平面PAB，则三棱锥P－ABC的外接球O的体积为______．15．已知函数cos0,2fxx，当4x时函数fx能取得最小值，当4x时函数yfx能取得

最大值，且fx在区间5,1826上单调，则当取最大值时的值为__________.16．已知函数ln(),()exxfxgxxx，若存在12(0,),Rxx，使得12fxgxk成立，则下列

命题正确的有___________．①当0k时，121xx②当0k时，212e2exx③当0k时，121xx④当0k时，21ekxx的最小值为1e三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明

过程或演算步骤.17．已知数列na的前n项和为nS，且23122nSnn，递增的等比数列nb满足：1418bb，2332bb．(1)求数列na、nb的通项公式；(2)设na、

nb的前n项和分别为nS，nT，求nS，nT．18．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2coscoscosaAbCcB．(1)求A；(2)若ABC的面积为63，27a，求ABC的周长．

19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足024t，tN.经测算，当1624t时，候车人

数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t时，候车人数会减少，减少人数与(16)tt成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为()ft.(1)求()ft的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)

若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320ftPt，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20．如图，已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，二面角S-AB-D为直二面角，∠SAB=∠SBA，点M为线

段AD的中点.(1)证明：SD⊥MC；(2)若SA=AB，点N是线段BD上靠近点B的三等分点，求直线SA与平面SMN所成角的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，点0,2G与椭圆的左､右顶

点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于34，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由.22．已知函数lnlnfx

xax，其中0a且1a．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若1elnfxaa在0,上恒成立，求实数a的取值范围．全科免费下载公众号《高中僧课堂》2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I卷（选择题）和第II

卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。考试结束后，只收答题卷.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合

A∣x2x2x150，B3,1,1,3,5，则AB（）A．1,3B．3,1,1C．1,1D．1,1,32．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列

不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A．172B．183C．191D．2113．已知

sinπ2123，则5πcos26（）A．79B．59C．59D．794．已知平面向量a，b满足3a，13b，，211ab，则a在b上的投影为

（）A．3B．1C．2D．65．若函数log20,1afxaxaa在区间1,3内单调递增，则a的取值范围是（）A．2,13B．20,3C．21,3D．2,36．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，122AAABAC

，且,,ABACDE分别是棱1,BCBB的中点，则异面直线1AD与1CE所成角的余弦值是（）A．269B．66C．579D．3067．已知函数e2elnexfxxx，若e2e2021e2022e2023202320232023ffff

1011()ab，其中0b，则1||2||aab的最小值为（）A．34B．32C．54D．228．在平面直角坐标系中，已知点20M，，10N，，动点Qxy，满足2QM

QN，过点31，的直线与动点Q的轨迹交于A，B两点，记点Q的轨迹的对称中心为C，则当ABC面积取最大值时，直线AB的方程是（）A．4yxB．4yxC．24yxD．24yx9．已知抛物线22xpy0p的焦点为F，A，B是抛物

线上两动点，且AF的最小值为1，M是线段AB的中点，2,3P是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A．2pB．若8AFBF，则M到x轴的距离为3C．若2AFFB，则3ABD．APAF的最小值为410．已知双曲线2222:

10,0xyCabab的左，右顶点分别是1A，2A，圆222xya与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线1AM交C的右支于点P，若△2MPA是等腰三角形，且2PAM的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为（）A．2B．2C．3D．511．

已知0x是函数22eexxfx的图象与函数1lngxxxx的图象交点的横坐标，则020elnxx（）A．2B．ln2C．ln2D．212．已知函数2221,0log,0xxfxxx，若关于x的方

程2[()]()40fxmfx有6个不同的实数根，则m的取值范围是（）A．13(,5),43B．13,43C．134,(5,)3D．134,3第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．22204xxdx______________．14．在三棱锥P－ABC中，23PAABPBAC，A

C⊥平面PAB，则三棱锥P－ABC的外接球O的体积为______．15．已知函数cos0,2fxx，当4x时函数fx能取得最小值，当4x时函数yfx能取得最大值，且fx在区间5,1

826上单调，则当取最大值时的值为__________.16．已知函数ln(),()exxfxgxxx，若存在12(0,),Rxx，使得12fxgxk成立，则下列命题正确

的有___________．①当0k时，121xx②当0k时，212e2exx③当0k时，121xx④当0k时，21ekxx的最小值为1e三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列na的前

n项和为nS，且23122nSnn，递增的等比数列nb满足：1418bb，2332bb．(1)求数列na、nb的通项公式；(2)设na、nb的前n项和分别为nS，nT，

求nS，nT．18．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2coscoscosaAbCcB．(1)求A；(2)若ABC的面积为63，27a，求ABC的周长．19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、

高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足024t，tN.经测算，当1624t时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t时，候车人数会减少，减少人数与(16)tt成正比，且时间为6点时，候车人数为3960

人，记候车厅候车人数为()ft.(1)求()ft的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320ftPt，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20．如图，

已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，二面角S-AB-D为直二面角，∠SAB=∠SBA，点M为线段AD的中点.(1)证明：SD⊥MC；(2)若SA=AB，点N是线段BD上靠近点B的三等分点，求直线SA与平面SMN所成角的正弦值.21．已知椭圆222

2:1(0)xyCabab的离心率为12，点0,2G与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜

率之积等于34，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由.22．已知函数lnlnfxxax，其中0a且1a．(1)讨论函数fx的单调性；(2)若1elnfxaa在0,上恒成立，求实数a的取值范围．全科免

费下载公众号《高中僧课堂》32023届高三第一学期12月月考理科数学答案1．D2．C3．C4．B5．B6．A7．A8．A9．C10．B11．A12．A13．8314．287315．216．①③④17．【详解】（1）当

1n时，1131222aS，当2n时，221313111312222nnnaSSnnnnn，又3112，满足上式故na的通项公式为31nan，设等比数列nb的公比为q，因为1418bb，231432bbbb，所以41,bb可看

作方程218320xx的两根，解得：14216bb或14162bb，因为等比数列单调递增，所以14162bb舍去，故31682q，解得：2q=，故nb的通项公式为1222nnnb；（2）因为31nan，所以1

3nnaa，故na为等差数列，由等差数列求和公式得：212313222nnSnaannnn，由等比数列求和公式得：12122212nnnT.18．(1)3A(2)1027【详解】（1）因为2coscoscosa

AbCcB，由正弦定理可得：2sincossincossincosAABCCB，所以2sincossinAAA，因为sin0A，所以1cos2A，由于0πA，所以π3A．（2）由于63ABCS，所以1sin632bcA，解得24bc

．在ABC中，由余弦定理可得：2222cosabcbcA，整理得2252bc，所以2()252bcbc，所以10bc．故三角形的周长为1027labc．19．【详解】（1）当016t时，设()5160(16)ftktt，(6)39

60f，则20k，51602016,(01)5160,1624tttfttNt.(12)5160201244200f，故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.（2）10020,(016)2000320,1624tttPtNt

t，①当016t时，10010020202400Ptttt，当且仅当10t时等号成立；②当1624t时，200032040324P；又403400，所以10t时，需要提供的矿泉水瓶数最少.

20．【详解】（1）取AB的中点O，连接SO，DO，因为SABSBA，所以SASB，所以SOAB.2又二面角SABD为直二面角，所以SO平面ABCD，且MC平面ABCD,所以SOMC.在正方形ABCD中，O，M分别为AB，AD的中点

，所以DAOCDM≌，所以ODMMCD，又90MCDDMC，所以ODMDMC90，所以MCDO.因为ODOSO，OD平面SOD，OS平面SOD，所以MC平面SOD，又SD平面SOD，所以MCSD.（2）取CD的中点

G，连接OG，由（1）可知OB，OS，OG两两垂直.以O为坐标原点，OB，OS，OG所在直线分别为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=2，则(1,0,0)A，(1,0,0)B，(0,0,3)S，1,1,0M

，(1,2,0)D1,1,3SM，1,0,3,AS，(2,2,0)BD，2,1,0BM，则122,,0333BNBD，41,,033MNBNBM

.设平面SMN的法向量为(,,)nxyz，由题意得3041033nSMxyznMNxy，令1y，得13,1,44n.设直线SA与平面SMN所成的角为，则222222131013

445sin513103144ASnnAS，故直线SA与平面SMN所成角的正弦值为55.21．【详解】（1）解：椭圆2222:1(0)xyCabab离心率为12，即12c

ea，点0,2G与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形，2a，1c，3b，故椭圆C的方程为22143xy.（2）解：由直线与椭圆交于M，N两点，设11,Mxy，22,Nxy，则联立22,1,43ykxmxy

得222348430kxkmxm，22222Δ(8)1634348430kmkmkm，则2243km122834kmxxk，21224334

mxxk22121212121212121212OMONkxmkxmkxxmkxxmyyyykkxxxxxxxx222222222243834343443

43kmkmmkmkmm.22243mk，222221222434343111342mkmMNkxxkkkm.原点O到l的距离21mdk，22243113

2221OMNMNmmSdkmk为定值.22．(1)答案见解析(2)e,3【详解】（1）lnlnfxxax定义域为0,，1lnfxax，当01a时，ln0a，故1ln0fxax恒成立，此时

lnlnfxxax在0,上单调递减，当1a时，令1ln0fxax，解得：1lnxa，令1ln0fxax，解得：10lnxa，故fx在10,lna上单调递减，在1,lna上单调递增，综上：当01a时，fx在0,

上单调递减；当1a时，fx在10,lna上单调递减，在1,lna上单调递增.（2）解：由题意得lnln1elnxaxaa在0,上恒成立，即ln1eelnxxaa，令1x，故ea，

接下来进行充分性证明：令leelnnaxxgx，则eeln11xagx，令0gx，解得：1lnxa，故当10,lnxa时，0gx，当1,lnxa时，0gx，故函数leelnnaxxgx在10,lnxa

上单调递减，在1,lnxa上单调递增，故leelnnaxxgx在1lnxa处取得极小值，也是最小值，minlnln11lnlagaxgaa，故只需证明

lnln1elnlnaaaa恒成立，当ea时，令lnexmxxx，故21ln0xmxx，即函数mx在e,上单调递减，故1eemam，即ln1eaa，故1elnaa，而由ea可知0llnln

naa，故lnln1elnlnaaaa恒成立，所以，实数a的取值范围是e,