【文档说明】北京市通州区2021-2022学年高一上学期数学期末试卷及答案.docx，共(9)页，544.640 KB，由baby熊上传

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1/92022北京通州高一（上）期末数学2022年1月第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{1,0,1}A=−，{|0}Bxx=≥，则AB=（A）{1}−（B）{1}（C）{1,0}−（D）{0,1

}（2）已知0m，则“ab”是“ambm”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（3）已知函数1()1(0)fxxxx=+−，则（A）当且仅当1x=时，()f

x有最小值为1（B）当且仅当1x=时，()fx有最小值为2（C）当且仅当2x=时，()fx有最大值为1（D）当且仅当2x=时，()fx有最大值为2（4）下列各式中，正确的是（A）2.531.71.7（B）230.80.8−−（C）22log3.4log8.5（D）0.30.3log1.8lo

g2.7（5）计算cos330=（A）32−（B）12−（C）12（D）32（6）已知函数()3sin2cos2fxxx=−，则()fx的（A）最小正周期为π，最大值为31−（B）最小正周期为π，最大值为2（C）最小正周期为2π，最大值为31−（D）最小正周期为2π，最大值为2（7）

已知函数()yfx=表示为x[2,0)−0(0,2]y102−设(1)fm=，()fx的值域为M，则（A）2m=−，{2,0,1}M=−（B）2m=−，{|21}Myy=−≤≤（C）1m=，{2,0,1}M=−（D）1m=，{|21}Myy=−≤≤2/9（8）甲、乙两位同学解答一道题：“已知5

sin213=，ππ42，求cos4的值.”甲同学解答过程如下：解：由ππ42，得π2π2.因为5sin213=，所以2512cos21()1313=−=.所以22cos4cos2sin2=−22125()()1313=−119169=.乙同学解答过程如下：解

：因为5sin213=，所以2cos4cos[2(2)]1sin2==−251()13=−144169=.则在上述两种解答过程中（A）甲同学解答正确，乙同学解答不正确（B）乙同学解答正确，甲同学解答不正确（C）甲、乙两同学解答都正确（D）甲、乙两同学解答都不正确（9）已知函数

()sin()fxAx=+（0A，0，π2）的图象如图所示，则（A）(π)()fxfx+=（B）对于任意1x，2π5π(,)66x−，且12xx，都有12()()fxfx（C）xR，都有5π5π()()33fxfx+=−（D）17π5π[,]1212x−−，使得(

)2fx=−（10）已知关于x的方程123220()xxxaa++−=R的根为负数，则a的取值范围是（A）1(0,)2（B）(0,1)（C）3(0,)2（D）(0,2)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）不等式220xx−的

解集是．（12）已知32x=，3log18y=，则x=；yx−=．（13）已知3cos5=−，且是第三象限角，则tan=；sin2=．（14）化简22cos(2)2tan(cos21)−−=+．（15）

某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S（单位：平方米）与时间t（单位：月）的关系式为1(0,1)tSaaa+=且，图象如图所示.则下列结论：2xyO2π3π63/9①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；②浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延

5个月后的面积的14；③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是50％；④浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到12平方米所经过的时间少.其中正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演

算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知二次函数2()21fxaxax=−+.（Ⅰ）求()fx的对称轴；（Ⅱ）若(1)7f−=，求a的值及()fx的最值.（17）（本小题14分）已知函数()(0xfxaa=，且1)a的

图象经过点1(2,)4．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求()fx在区间1[,1]2−上的最大值；（Ⅲ）若()()gxfxx=−，求证：()gx在区间(0,1)内存在零点．（18）（本小题15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11

(,)Pxy，25cos5=．（Ⅰ）求1y的值；（Ⅱ）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点22(,)Mxy，求2x的值；（Ⅲ）若点N与M关于x轴对称，求tanMON的值.（19）（本小题13分）已知函数()2sinfxx=．（Ⅰ）求()fx的最大值

，并写出()fx取得最大值时自变量x的集合；（Ⅱ）把曲线()yfx=向左平移π3个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()gx的图象，求()gx在[2π,2π]x−上的单调递增区间.tS1

08642321ON-1-111yxMPO4/9（20）（本小题14分）某地区每年各个月份的月平均最高气温近似地满足周期性规律，因此第个月的月平均最高气温()Gn可近似地用函数()cos()GnAnk=++来刻画，其中正

整数n表示月份且[1,12]n，例如1n=表示1月份，A和k是正整数，0，(0,π)．统计发现，该地区每年各个月份的月平均最高气温基本相同，1月份的月平均最高气温为3摄氏度，是一年中月平均最高气温最

低的月份，随后逐月递增直到7月份达到最高为33摄氏度.（Ⅰ）求()Gn的解析式；（Ⅱ）某植物在月平均最高气温低于13摄氏度的环境中才可生存，求一年中该植物在该地区可生存的月份数.（21）（本小题16分）若函数()fx的自变量的取值范围为[,]ab时，函数值的取值范围恰为22[,]

ba，就称区间[,]ab为()fx的一个“和谐区间”.（Ⅰ）先判断“函数1()fxx=没有“和谐区间””是否正确，再写出函数()3(0)gxxx=−+的“和谐区间”；（直接写出结论即可）（Ⅱ）若()fx是定义在(,1)(1,)−−+上的奇函数，当(1,)x+时，

21()logfxx=.（i）求()fx的“和谐区间”；（ii）若函数()gx的图象是以()fx在定义域内所有“和谐区间”上的图象，是否存在实数m，使集合3{(,)|()}{(,)|,0}xyygxxyyxmxm

==−恰含有2个元素，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.n5/92022北京通州高一（上）期末数学参考答案2022年1月一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）D（2）C（3）A（4）C（5）B（6）B（7）A（8）D（9）C

（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）{0xx，或2}x（12）3log2；2（13）43；2425（14）2−（15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（本题13分）解：（Ⅰ）因为二次函数2()21fxaxax=−+，所以对称轴212axa−=−=．……

…………4分（Ⅱ）因为(1)7f−=，所以217aa++=.所以2a=.………………8分所以2()241fxxx=−+．因为20a=，所以()fx开口向上，有最小值为(1)1f=−.所以a的值是2，()fx的最小值是1−，无最大

值.………………13分（17）（本题14分）解：（Ⅰ）因为函数()(0xfxaa=，且1)a的图象经过点1(2,)4，所以214a=.所以12a=.………………4分（Ⅱ）因为12a=，所以1()()2xfx=

.所以()fx在区间1[,1]2−上单调递减.………………6分所以()fx在区间1[,1]2−上的最大值是1()2f−.所以1211()()222f−−==.6/9所以()fx在区间1[,1]2−上的最大值是2.………

………9分（Ⅲ）因为()()gxfxx=−，所以1()()2xgxx=−.因为(0)10g=，1(1)02g=−，所以(0)(1)0gg，又()ygx=在区间[0,1]上的图象是一条连续不断的曲线，所以()gx在区间(0,1)内存在零点．……

…………14分（18）（本题15分）解：（Ⅰ）因为角的终边与单位圆交于点11(,)Pxy，且25cos5=，由三角函数定义，得1255x=.因为22111xy+=，所以2212511()55y=−=.因为点11(,)Pxy在第一

象限，所以155y=.………………5分（Ⅱ）因为射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点22(,)Mxy，所以2πcos()sin2x=+=−.因为1siny=，所以255x=−.

………………9分（Ⅲ）因为点N与M关于x轴对称，所以点N的坐标是525(,)55−−.连接MN交x轴于点Q，所以tan2MOQ=．所以tantan2MONMOQ=222tan221tan12MOQMOQ==−−43=−.所以tanMON的值是4

3−.………………15分（19）（本题13分）7/9解：（Ⅰ）因为1sinx−≤≤1，所以22sin2x−≤≤.所以()fx的最大值2，()fx取得最大值时自变量x的集合是π{|2π,}2xxkk=+Z.………………5分（Ⅱ）因为把曲线()yfx=向左平移π3个单位长度，然后

使曲线上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()gx的图象，所以1π()2sin()23gxx=+.因为2π2πx−≤≤，所以2π1π4π3233x−+≤≤.因为正弦曲线在2π4π[,]33−上的单调递增区间是ππ[,]22−，所以π1ππ2232x−+≤≤.所以5

ππ33x−≤≤.所以()gx在[2π,2π]x−上的单调递增区间是5ππ[,]33−.………………13分（20）（本题14分）解：（Ⅰ）因为1月份的月平均最高气温最低，7月份的月平均最高气温最高，所以最小正周期2(71)12T=−=.所以2ππ6T==.所以πcos()16

+=−，7πcos()16+=.因为(0,π)，所以5π6=.因为1月份的月平均最高气温为3摄氏度，7月份的月平均最高气温为33摄氏度，所以3Ak−+=，33Ak+=.所以15A=，18k=.所以()Gn的解析式是π5π()15cos()1866Gnn=++，[1,

12]n，n为正整数.………………8分（Ⅱ）因为π5π()15cos()1866Gnn=++，[1,12]n，n为正整数.所以()Gn在区间上[1,7]单调递增，在区间[7,12]上单调递减.因为某植物在月平均最高气温低于

13摄氏度的环境中才可生存，8/9且3π5π(3)15cos()1810.566G=++=，4π5π(4)15cos()181866G=++=，所以该植物在1月份，2月份，3月份可生存.又(11)(3)10.5GG==，所以该植物在11月份，12月份也可生存.

所以一年中该植物在该地区可生存的月份数是5.………………14分（21）（本题16分）解：（Ⅰ）正确；[1,2].………………4分（Ⅱ）（i）因为当(1,)x+时，21()logfxx=，所以当(,1)x−−时，(1,)x−+，所以21()

log()fxx−=−.因为()fx是定义在(,1)(1,)−−+上的奇函数，所以()()fxfx−=−.所以当(,1)x−−时，21()log()fxx−=−.设1ab，因为()fx在(1,)+上单调递

减，所以212()logfaaa==，212()logfbbb==.所以22logaa=，22logbb=.所以a，b是方程22logxx=的两个不相等的正数根，即a，b是方程22xx=的两个不相等的正数根.所以2a=，4b=.所

以()fx在区间(1,)+上的“和谐区间”是[2,4].同理可得，()fx在区间(,1)−−上的“和谐区间”是[4,2]−−.所以()fx的“和谐区间”是[4,2]−−和[2,4].………………9分（ii）存在，理由如下：因为函数()gx的图

象是以()fx在定义域内所有“和谐区间”上的图象，所以221,[2,4],log()1,[4,2].log()xxgxxx=−−−−若集合3{(,)|()}{(,)|,0}xyygxxyyxmxm==−恰含有2个元素，等

价于函数()gx与函数3,0yxmxm=−的图象有两个交点，且一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.因为()gx与3,0yxmxm=−都是奇函数，所以只需考虑()gx与3,0yxmxm=−的图象在第一象限内有一个交点.9/9因为21

()loggxx=在区间[2,4]上单调递减，所以曲线()ygx=的两个端点为(2,1)A，1(4,)2B.因为0m，所以3yxmx=−的零点是xm=−，0x=，或xm=.所以当3yxmx=−的图象过点(2,1)A时，72m=；当3yxmx=−的图象过点1(4,)2B

时，1278m=.所以当7127[,]28m时，()gx与3,0yxmxm=−的图象在第一象限内有一个交点.所以()gx与3,0yxmxm=−的图象有两个交点.所以m的取值范围是7127[,]28.………………16分