【文档说明】北京市清华附中2021-2022学年高一上学期数学期末试卷及答案.docx，共(13)页，847.037 KB，由baby熊上传

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1/132022北京清华附中高一（上）期末数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{|20}Axx=−，{|1}xBx=e，则AB=A．RB．(,2)−C．(0,2)D

．(2,)+2．已知命题:(0,)pa+，12aa+则p是（）A．0,()a+，12aa+B．(0,)a+，12aa+C．0,()a+，12aa+D．(0,)a+，12aa+3．已知ln3a=，0.3log2b=，0.20.3c=，则,,a

bc的大小关系为（）A．acbB．abcC．bcaD．cab4．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间(,)2上为减函数的是A．2|sin|yx=B．cosyx=C．sin2yx=

D．|cos|yx=5．已知1()fx−是函数()10xfx=的反函数，则1(1)f−的值为（）A．0B．1C．10D．1006．在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点36(,)33−，则()cos+=（）A．33−B．33C．63−D．637．已

知,R．则“,kkZ=+”是“sin2sin2=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知指数函数()xfxa=，将函数()fx的图象上的每个点

的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数()gx的图象，再将()gx的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数()fx的图象重合，则a的值是（）A．32B．23C．33D．39．已知函数1()sin()fxx=+（0,2）的部分图象如图

所示，则,的值分别为2/13A．2,3B．2,3−C．1,6D．1,6−10．已知函数()12xfx=−，2()43gxxx=−+，若存在实数a，b使得()()fagb=，则b的取值范围是（）A．[22,22]−+B．(22

,22)−+C．[1,3]D．(1,3)二、填空题11．已知1tan2x=，则tan2x的值为___________.12．已知函数ln,0()e1,0xxxfxx=+，且函数()()gxfxm=−恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是___________.13．已知

12max,,,nxxx表示1x，2x，…，nx这n个数中最大的数.能够说明“a，b，c，dR，max,max,max,,,abcdabcd+”是假命题的一组整数a，b，c，d的值依次为___________.14．已知

函数()sin()cos22fxxx=+，给出下列四个命题：①函数()fx是周期函数；②函数()fx的图象关于点(,0)成中心对称；③函数()fx的图象关于直线2x=−成轴对称；④函数()fx在区间3(,)2上单调递增.其中，所有正确命题的序号是___________.三、双空题15．

已知[3,1]x−−，则函数42yxx=++的最大值为___________，最小值为___________.四、解答题16．求下列关于x的不等式的解集：(1)517x−−；(2)222320axax−−17．己知集合24xAx=，2Bxxa=−，其中0

a且1.a(1)当2a=时，求AB及AB；(2)若集合log0aCxx=且CB，求a的取值范围.3/1318．已知函数()23cossinsinfxxxx=+.(1)求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数()fx在区间在区间2,36−

上的最大值和最小值.19．已知函数2()21fxxaxa=++−.(1)若()fx的图象恒在直线1y=−上方，求实数a的取值范围；(2)若不等式()0fx在区间(0,)+上恒成立，求实数a的取值范围.20．已知02，02−，1cos43+=，cos4332

=−.(1)求cos2+的值；(2)求sin的值：(3)求−的值.21．己知函数()fx的定义域为D，若存在实数a，使得对于任意1xD都存在2xD满足()122xfxa+=，则称函数()fx为“

自均值函数”，其中a称为()fx的“自均值数”.(1)判断函数()2xfx=是否为“自均值函数”，并说明理由：(2)若函数()sin()(0)6gxx=+，[0,1]x为“自均值函数”，求的取值范围；(3)若函数2()23hxtxx=++，[0,2]x有且仅有1个“

自均值数”，求实数t的值.4/132022北京清华附中高一（上）期末数学参考答案1．C【解析】【详解】因为集合{|20}{|2}Axxxx=−=，1x0xBxex==,所以𝐴∩𝐵={𝑥|0<𝑥<2}=(0,2),故选C.2．C【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题

即可得结果.【详解】由全称命题的否定是特称命题知：:(0,)pa+，12aa+，p是0,()a+，12aa+，故选：C.3．C【解析】根据函数的性质，指对数,,abc先和0，1比较大小，再比较,,abc的大小.【详解】由函数单调性可知ln3ln1ae==，0.3log20b=

，0.200.30.31c==，01c，所以bca.故选：C4．A【解析】【详解】2sinyx=最小正周期，且在区间,2上为减函数，适合；cosyx=最小正周期为2，不适合；sin2yx=最小正周期为，在区间,2上不单调，不适合；cosyx=

最小正周期为，在区间,2上为增函数，不适合.故选A5．A【解析】5/13【分析】根据给定条件求出1()fx−的解析式，再代入求函数值作答.【详解】因1()fx−是函数()10xfx=的反函数，则1()lgfxx−=，1(1)lg10f

−==，所以1(1)f−的值为0.故选：A6．A【解析】根据任意角三角函数的概念可得出cos，然后利用诱导公式求解.【详解】因为角以Ox为始边，且终边与单位圆交于点36(,)33−，所以3cos3=，则()3coscos3

+=−=−.故选：A.【点睛】当以Ox为始边，已知角终边上一点的坐标为(),xy时，则22sinyxy=+，22cosxxy=+.7．A【解析】【分析】求解出sin2sin2=成立的充要条件，再与

,kkZ=+分析比对即可得解.【详解】,R，sin2sin2sin[()()]sin[()()]=++−=+−−2cos()sin()0+−=，则sin()0−=或cos()0+=，由sin()0−=得,

kkkZ−==+，由cos()0+=得,22kkkZ+=+=−+，显然s,in2sin2kkZ=+=，sin2s,in2kkZ=+=¿，所以“,kkZ=+”是“sin2sin2

=”的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.8．D【解析】【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数a的等式，进而可求得实数a的值.6/13【详解】由题意可得()3xgxa=，再将

()gx的图象向右平移2个单位长度，得到函数()23xfxa−=，又因为()xfxa=，所以，23xxaa−=，整理可得23a=，因为0a且1a，解得3a=.故选：D.9．B【解析】【详解】由条件知道：27,36xx==均

是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到27sin()0,sin()036ww+=+=，由图像知道周期是，故2w=，故47sin()0,sin()033+=+=，再根据三角函数的对称中心得到4+=k3，故.3=−如果7433k+=

=−，根据2，得到.3=−故答案为B．点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法．10．B【解析】【分析】根据给定条件求出函

数()fx的值域，由()gb在此值域内解不等式即可作答.【详解】因函数2xy=的值域是(0,)+，于是得函数()12xfx=−的值域是(,1)−，因存在实数a，b使得()()fagb=，则()()(,1)gbfa=−，因此，2431bb−+，解得2222b−+，所以

b的取值范围是(22,22)−+.故选：B11．43##113【解析】【分析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.【详解】因1tan2x=，则22122tan42tan2131tan1()2xxx===−−，7/13所以tan2x的值为43.故答

案为：4312．12m【解析】【分析】作出函数()yfx=的图象，把函数()gx的零点转化为直线ym=与函数()yfx=图象交点问题解决.【详解】由()0gx=得()fxm=，即函数()gx的零点是直线ym=与函数()yf

x=图象交点横坐标，当0x时，()e1xfx=+是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当0x时，()lnfxx=是增函数，函数值为一切实数，在坐标平面内作出函数()yfx=的图象，如图，观察图象知，当12

m时，直线ym=与函数()yfx=图象有2个交点，即函数()gx有2个零点，所以实数m的取值范围是：12m.故答案为：12m13．2，1，-1，-2【解析】【分析】根据给定条件不妨规定a，b，c，d的大小，确定命题为真的条件即可推理作答.【详解】依题意，不妨令abcd

，则有max,aba=，max,cdc=，max,,,abcda=，则原命题等价于aca+，因此当0c时，不等式aca+不成立，即满足条件的只需排序后的第三个数小于0即可，所以，所求的一组整数a，b，c，d的值依次为：2，1，-1，-2.故答案为：

2，1，-1，-214．①②③【解析】【分析】利用诱导公式化简函数()fx，借助周期函数的定义判断①；利用函数图象对称的意义判断②③；取特值判断④作答.8/13【详解】依题意，()coscos2fxxx=，因4(4)cos(4)coscoscos()22xxfxxxfx++=+==，()

fx是周期函数，4是它的一个周期，①正确；因()cos()coscossin22πxxfπxπxx+=+=+，()cos()cos2fπxπxπx=−−−cossin2xx=−，即()()fxfx+=−−，因此()fx的图象关于点(,0)成对称中心，②正确；因(

2)cos(2)coscoscos222πxfπxπxxx−+=−+=−−+，(2)cos(2)coscoscos222πxfπxπxxx−−=−−=−−−，即(2)(2)fπxfπx−+=−−，因此()f

x的图象关于直线2x=−成轴对称，③正确；因()coscos02f==，4421()coscos3334f==，333()coscos0224f==，显然有4332，而34()()()23fff=，因此函数()fx在区

间3(,)2上不单调递增，④不正确，所以，所有正确命题的序号是①②③.故答案为：①②③【点睛】结论点睛：函数()yfx=的定义域为D，xD，(1)存在常数a，b使得()(2)2()()2fxfa

xbfaxfaxb+−=++−=，则函数()yfx=图象关于点(,)ab对称.(2)存在常数a使得()(2)()()fxfaxfaxfax=−+=−，则函数()yfx=图象关于直线xa=对称.15．2−3−【解析】【分析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最

小值作答.【详解】因函数42yxx=++在(,2)−−上单调递增，在(2,0)−上单调递减，当[3,1]x−−时，函数42yxx=++在[3,2]−−上单调递增，在[2,1]−−上单调递减，即有当2x=−时，max2

y=−，而当3x=−时，73y=−，当1x=−时，3y=−，则min3y=−，所以函数42yxx=++的最大值为2−，最小值为3−.故答案为：2−；3−16．(1)2xx或7x；(2)答案见解析.【解析】【分析】（1）将原不等式变形为207xx−−，再利用分式不等式的解法可

得原不等式的解集；9/13（2）分0a=、0a、0a三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集.(1)解：由517x−−得521077xxx−+=−−，解得2x或7x，故不等式517x−−的解集为2xx或7

x.(2)解：当0a=时，原不等式即为20−，该不等式的解集为；当0a时，220a，原不等式即为()()2120axax+−.①若0a，则122aa−，原不等式的解集为2xxa或12xa−；②若0a，则122aa−，原不等式的解集为12xxa−

或2xa.综上所述，当0a=时，原不等式的解集为；当0a时，原不等式的解集为2xxa或12xa−；当0a时，原不等式的解集为12xxa−或2xa.17．(1)0ABxx=，24ABxx

=；(2)12a.【解析】【分析】（1）当2a=时，解出集合A、B，利用交集和并集的定义可求得集合AB及AB；（2）解出集合B，分01a、1a两种情况讨论，解出集合C，由CB可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围.(1)解：当2a=时，由22x−可得222x

−−，解得04x，即04Bxx=，因为242xAxxx==，故0ABxx=，24ABxx=.(2)解：由2xa−得22xa−−，即22axa−+，所以，22Bxaxa=−+.当01a时，log01aCx

xxx==，此时CB；当1a时，log001aCxxxx==，由CB可得20211aaa−+，解得12a.综上所述，实数a的取值范围是12a.10/1318．(1)函数()fx的最小正周期为，单调递增区间为(),63Zkk

k−+；(2)最大值为32，最小值为12−.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数解析式为()1sin262fxx=−+，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()fx的最小正周期，解不等式()222Z262kxkk−−

+可得出函数()fx的单调递增区间；（2）由236x−可求得26x−的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得函数()fx的最大值和最小值.(1)解：因为()231cos23cossinsinsin222xfxxxxx−=+=+3111s

in2cos2sin222262xxx=−+=−+.所以，函数()fx的最小正周期为22T==，由()222Z262kxkk−−+，解得()Z63kxkk−+，因此，函数()fx的单调递增区间为(),63Zkkk−+.(2

)解：因为236x−，所以，32266x−−，所以，当262x−=−时，函数()fx取最小值，即()min11122fx=−+=−，当3262x−=−时，函数()fx取最大值，即()max13122fx=+=.19．(1)08a；(2)1a.【解析】【分

析】(1)根据给定条件可得2211xaxa++−−恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.(1)因函数2()21f

xxaxa=++−的图象恒在直线1y=−上方，即Rx，2221120xaxaxaxa++−−++，于是得280aa=−，解得08a，所以实数a的取值范围是：08a.(2)11/13依题意，(0,)+

x，()222121010fxxaxaaxx−++−−+，令11xt+=，22212(1)11241xttxtt−−−==+−+，令函数1()24gttt=+−，(1,)t+，1212,(1

,),tttt+，1212121212111()()22()(2)gtgttttttttt−=+−−=−−，而121tt，即120tt−，12120tt−，则有12()()0gtgt−，即12()()gtgt，于是得()gt在(1,)t+上单调递增，因此，1t，()(

1)1gtg=−，即22111xx−−+，从而有22111xx−−+，则1a，所以实数a的取值范围是1a.20．(1)539；(2)13−；(3)4.【解析】【分析】（1）同角三角函数平方关系求得sin4223=

+，sin4632=−，再由[()()]2442−−+=+及差角余弦公式求值即可.（2）由诱导公式、二倍角余弦公式可得2sincos()2cos()1242=−=−−，即可求值.（3）由（1）及和角正余弦公式求cos、sin，

由（2）及平方关系求cos，最后应用差角余弦公式求cos()−，结合角的范围求−.(1)由题设，3444+，4422−，∴sin4223=+，sin4632

=−，又coscos[()()]cos()cos()sin()sin42424()24424+=+−=+−−−++=539.(2)21sincos()2cos()12423=−=−−=−.(3)由21cos(cossin)423

+=−=，则2cossin3−=，由222sin(cossin)423+=+=，则4cossin3+=，12/13∴42cos6+=，42sin6−=，又1sin

3=−，02−，则22cos3=，∴2cos()coscossinsin2−=+=，而0−，故4−=.21．(1)不是，理由见解析；(2)5[,)6+；(3)12−.【解析】

【分析】(1)假定函数()2xfx=是“自均值函数”，由函数2()fx的值域与函数12yax=−的值域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数2()gx在[0,1]上的值域包含函数12yax=−在[0,1]上的值

域，由此推理计算作答.(3)根据给定定义可得函数2()hx在[0,2]上的值域包含函数12yax=−在[0,2]上的值域，再借助a值的唯一性即可推理计算作答.(1)假定函数()2xfx=是“自均值函数”，显然()2xfx=定义域为R，则存在Ra，对

于1xR，存在2Rx，有2122xxa+=，即2122xax=−，依题意，函数22()2xfx=在R上的值域应包含函数12yax=−在R上的值域，而当2Rx时，2()fx值域是(0,)+，当1Rx时，12yax=−的值域是R，显然(0,)+不包含R，所以函数()2xfx

=不是“自均值函数”.(2)依题意，存在Ra，对于1[0,1]x，存在2[0,1]x，有12()2xgxa+=，即21sin()26xax+=−，当1[0,1]x时，12yax=−的值域是[21,2]aa−，因此22()sin()6gxx=

+在2[0,1]x的值域包含[21,2]aa−，当2[0,1]x时，而0，则2666x++，若62+，则2min1()2gx=，2()1gx，此时2()gx值域的区间长度不超过12，而区间[21,2]aa−长度为1，不符合题意，

于是得62+，2max()1gx=，要22()sin()6gxx=+在2[0,1]x的值域包含[21,2]aa−，则22()sin()6gxx=+在2[0,1]x的最小值小于等于0，又23[,]622x+时，2()gx递减，且()0=g，从而有6

+，解得56，此时，取12a=，12yax=−的值域是[0,1]包含于2()gx在2[0,1]x的值域，所以的取值范围是5[,)6+.13/13(3)依题意，存在Ra，对于1[0,2]x，存在2[0,2]x，

有12()2xhxa+=，即2221232txxax++=−，当1[0,2]x时，12yax=−的值域是[22,2]aa−，因此2222()23hxtxx=++在2[0,2]x的值域包含[22,2]aa−，并且有唯一的a值，当0t时，2()hx在[0,2]单调递

增，2()hx在2[0,2]x的值域是[3,47]t+，由[22,2][3,47]aat−+得223247aat−+，解得57222at+，此时a的值不唯一，不符合要求，当0t时，函数2222()23hxtxx=++的对称轴为21xt=−，当12t−，

即102t−时，2()hx在[0,2]单调递增，2()hx在2[0,2]x的值域是[3,47]t+，由[22,2][3,47]aat−+得223247aat−+，解得57222at+，要a的值唯一，当且仅当57222t=

+，即15,22ta=−=，则12t=−，当102t−，即12t−时，2max11()()3hxhtt=−=−，2min()min{(0),(2)}hxhh=，(0)3h=，(2)47ht=+，由1[22,2][

3,3]aat−−且112t−−得：531222at−，此时a的值不唯一，不符合要求，由1[22,2][47,3]aatt−+−且1t−得，9312222tat+−，此时a的值不唯一，不符合要求，综上得：12t=−，所以函数2()23hxtxx=++，[0,2]

x有且仅有1个“自均值数”，实数t的值是12−.【点睛】结论点睛：若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx=，则()fx的值域是()gx值域的子集.