【文档说明】北京市平谷区2021-2022学年高一上学期数学期末试卷及答案.docx，共(16)页，655.750 KB，由baby熊上传

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1/162022北京平谷高一（上）期末数学一､选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.设全集𝑈={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合𝐴={2,4,6,8}，那么∁𝑈𝐴=（）A.{9}B.{1,3,5

,7,9}C.{1,3,5}D.{2,4,6}2.函数𝑓(𝑥)=cos(−2𝑥−𝜋6)的最小正周期是（）A.2𝜋B.−𝜋C.𝜋D.𝜋43.下列各式化简后的结果为cos𝑥的是（）A.sin(𝑥+𝜋2

)B.sin(2𝜋+𝑥)C.sin(𝑥−𝜋2)D.sin(2𝜋−𝑥)4.下列不等式成立的是（）A.log312<log23<log25B.log312<log25<log23C.log23<log312<log2

5D.log23<log25<log3125.函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥+1)的图象与函数𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥+1的图象的交点个数为（）A.0B.1C.2D.36.已知a，b，𝑐∈𝑅，那么下

列命题中正确是（）A.若𝑎>𝑏，则𝑎𝑐2>𝑏𝑐2B.若𝑎𝑐>𝑏𝑐，则𝑎>𝑏C.若𝑎>𝑏，𝑎𝑏<0，则1𝑎>1𝑏D.若𝑎2>𝑏2，𝑎𝑏>0，则1𝑎<1𝑏7.已知函数𝑓(𝑥)

=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,𝜑∈𝑅)．则“𝑓(𝑥)是偶函数“是“𝜑=𝜋2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.某人围一个面积

为32m2矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高3m，新墙的造价为1000元/m2，则当x取（）时，总造价最低？（假设旧墙足够长）的的2/16A.9B.8C.16D.649.已知定义在𝑅上的偶函

数𝑓(𝑥)满足下列条件：①𝑓(𝑥)是周期为2的周期函数；②当𝑥∈(0,1)时，𝑓(𝑥)=2𝑥−1.那么𝑓(log23)值为（）A.12B.13C.−14D.210.某时钟的秒针端点𝐴到中心点𝑂的距离为5c

m，秒针绕点𝑂匀速旋转，当时间：𝑡=0时，点𝐴与钟面上标12的点𝐵重合，当𝑡∈[0,60]，𝐴，𝐵两点间的距离为𝑑（单位：cm），则𝑑等于（）A.5sin𝑡2B.10sin𝑡2C.5sin𝜋𝑡30D.10sin

𝜋𝑡60二､填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11.函数𝑓(𝑥)=1𝑥+lg(𝑥+1)定义域是___________.12.已知奇函数f（x），当𝑥>0，𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥，那么𝑓(−2)=___________.13.已知ta

n𝛼=3，则sin𝛼cos𝛼=__________．14.在平面直角坐标系xOy中，设角α始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点𝑃(45,35)，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转𝜋2后与单位圆交于点𝑄(𝑥2,𝑦2).那么tan𝛼=___________，�

�2=___________.15.从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中

的数据均是每年12月31日的统计结果).根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是____①2015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013

高铁运营里程平均增长率;③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;④从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;的的3/16三､解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.已知集合𝐴={

𝑥|13≤log8𝑥≤1}，𝐵={𝑥|2<2𝑥<128}，全集𝑈=𝑅.（1）求𝐴，𝐵；（2）求∁𝑈(𝐴∩𝐵)；（3）如果𝐶={𝑥|𝑥<𝑎}，且𝐴∩𝐶≠∅，求𝑎的取值范围.17.已知α是第二象限角，且tan𝛼=−512.

（1）求sin𝛼，cos𝛼的值；（2）求sin(𝛼−5𝜋)+cos(3𝜋−𝛼)的值.18.已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1.（1）当对称轴为𝑥=−1时，（i）求实数a的值；（ii）求f（x）在区间[−2,2]上的值域.（2）解不等式𝑓(𝑥)≥0.

19.已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥−𝜋3)(𝜔>0)最小正周期是π.（1）求𝜔的值；（2）求证：当𝑥∈[0,7𝜋12]时𝑓(𝑥)≥−√32.4/1620.已知函数𝑓(𝑥)={−𝑥2+2𝑥(0≤𝑥≤2)𝑥2+2�

�(−2≤𝑥<0).（1）求𝑓(−23)，𝑓(12)的值；（2）作出函数的简图；（3）由简图指出函数的值域；（4）由简图得出函数的奇偶性，并证明.21.已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋4)，−𝜋4≤𝑥≤3�

�4.（1）列表，描点，画函数𝑓(𝑥)的简图，并由图象写出函数𝑓(𝑥)的单调区间及最值；（2）若𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)，(𝑥1≠𝑥2)，求𝑓(𝑥1+𝑥2)值.的5/162022北京平谷高一（上）期末数学参考答案一

､选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.设全集𝑈={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合𝐴={2,4,6,8}，那么∁𝑈𝐴=（）A.{9}B.{1,3,

5,7,9}C.{1,3,5}D.{2,4,6}【答案】B【详解】根据题意，全集𝑈={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，而𝐴={2,4,6,8}，则∁𝑈𝐴={1,3,5,7,9}，故选：B．2.函数𝑓(𝑥)=cos(−2𝑥−𝜋6)的最小正周期是（）A.2𝜋B.

−𝜋C.𝜋D.𝜋4【答案】C【详解】根据三角函数的周期公式𝑇=2𝜋|𝜔|得，函数𝑓(𝑥)=cos(−2𝑥−𝜋6)的最小正周期是𝑇=2𝜋|𝜔|=2𝜋2=𝜋，故选：C．3.下列各式化简后的结果为c

os𝑥的是（）A.sin(𝑥+𝜋2)B.sin(2𝜋+𝑥)C.sin(𝑥−𝜋2)D.sin(2𝜋−𝑥)【答案】A【详解】解：A.sin(𝑥+𝜋2)=cos𝑥；B.sin(2𝜋+𝑥)=sin𝑥；C.sin(𝑥

−𝜋2)=−cos𝑥；D.sin(2𝜋−𝑥)=−sin𝑥.故选：A6/164.下列不等式成立的是（）A.log312<log23<log25B.log312<log25<log23C.log23<l

og312<log25D.log23<log25<log312【答案】A【详解】因为log312<log31=0，1=log22<log23<log24=2，2=log24<log25<log28=3，所以log312<log23<log25，故选：A.5.函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥

+1)的图象与函数𝑔(𝑥)=𝑥2−2𝑥+1的图象的交点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【详解】解：在同一个坐标系下作出两个函数的图象如图所示，则交点个数为为2.故选：C6.已知a，b，𝑐∈𝑅，那么下列命题中正确的是（）A.若𝑎>𝑏，则𝑎𝑐2>𝑏

𝑐2B.若𝑎𝑐>𝑏𝑐，则𝑎>𝑏C.若𝑎>𝑏，𝑎𝑏<0，则1𝑎>1𝑏D.若𝑎2>𝑏2，𝑎𝑏>0，则1𝑎<1𝑏【答案】C【详解】A．若𝑎>𝑏，当𝑐=0时，𝑎𝑐2=𝑏𝑐2，所以A不成立；B．若𝑎𝑐>𝑏𝑐，当𝑐<0时，则𝑎<𝑏，所以B不成立

；7/16C．因为𝑎𝑏<0，将𝑎>𝑏两边同除以𝑎𝑏，则1𝑎>1𝑏，所以C成立D．若𝑎2>𝑏2且𝑎𝑏>0，当{𝑎<0𝑏<0时，则𝑎<𝑏，所以1𝑎>1𝑏，则D不成立．故选：C．7.已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔

𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,𝜑∈𝑅)．则“𝑓(𝑥)是偶函数“是“𝜑=𝜋2”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若𝜑=𝜋2，则𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜋2)=𝐴cos𝜔𝑥，𝑓(−�

�)=𝐴cos(−𝜔𝑥)=𝐴cos𝜔𝑥=𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)为偶函数；若𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)为偶函数，则𝜑=𝑘𝜋+𝜋2，𝑘∈𝑍，𝜑不一定等于𝜋2.所以“𝑓(𝑥

)是偶函数“是“𝜑=𝜋2”的必要不充分条件.故选：B8.某人围一个面积为32m2的矩形院子，一面靠旧墙，其它三面墙要新建（其平面示意图如下），墙高3m，新墙的造价为1000元/m2，则当x取（）时，总造价最低？（假设旧墙足够长）A.9B.8C.16D.64【答

案】B【详解】由题设，总造价𝑦=1000×3×(𝑥+2×32𝑥)=3000(𝑥+64𝑥)≥6000√𝑥⋅64𝑥=48000，当且仅当𝑥=8时等号成立，即𝑥=8时总造价最低.故选：B.9.已知定义在𝑅上偶函

数𝑓(𝑥)满足下列条件：①𝑓(𝑥)是周期为2的周期函数；②当𝑥∈(0,1)时，𝑓(𝑥)=2𝑥−1.那么𝑓(log23)值为（）的8/16A12B.13C.−14D.2【答案】B【详解】因为𝑓(𝑥)是周期为

2的周期函数，所以𝑓(log23)=𝑓(log23−2)=𝑓(log234)=𝑓(−log243)，又函数𝑓(𝑥)定义在𝑅上的偶函数，所以𝑓(log23)=𝑓(−log243)=𝑓(log243)又当𝑥∈(0,1)时，𝑓(𝑥)

=2𝑥−1，所以𝑓(log243)=2log243−1=43−1=13.所以𝑓(log23)值为13.故选：B.10.某时钟的秒针端点𝐴到中心点𝑂的距离为5cm，秒针绕点𝑂匀速旋转，当时间：𝑡=0时，点𝐴与钟面上标12的点𝐵重合，当𝑡∈[0,60]，𝐴，𝐵两点间

的距离为𝑑（单位：cm），则𝑑等于（）A.5sin𝑡2B.10sin𝑡2C.5sin𝜋𝑡30D.10sin𝜋𝑡60【答案】D【详解】由题知，圆心角为𝑡𝜋30，过O作AB的垂线，则𝐴𝐵=2×5×sin𝑡𝜋302=10sin𝜋

𝑡60．故选：D二､填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11.函数𝑓(𝑥)=1𝑥+lg(𝑥+1)的定义域是___________.【答案】{𝑥|𝑥>−1且𝑥≠0

}【详解】根据题意可得如下不等式组，{𝑥≠0𝑥+1>0解得𝑥>−1且𝑥≠0.答案：{𝑥|𝑥>−1且𝑥≠0}.12.已知奇函数f（x），当𝑥>0，𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥，那么𝑓(−2)=___________.【答案】−10.为9/1

6【详解】由f（x）为奇函数，可知𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，则𝑓(−2)=−𝑓(2)又当𝑥>0，𝑓(𝑥)=𝑥2+3𝑥，则𝑓(2)=22+3×2=10故𝑓(−2)=−𝑓(2)=−10故答案为：−1013.已知tan�

�=3，则sin𝛼cos𝛼=__________．【答案】310【详解】∵tanα=3，∴sinα•cosα=sin𝛼·cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=tan𝛼tan2𝛼+1=310.故答案为310.14.

在平面直角坐标系xOy中，设角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点𝑃(45,35)，将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转𝜋2后与单位圆交于点𝑄(𝑥2,𝑦2).那么tan𝛼=___________，𝑥2=___________.【答案】

①.34##0.75②.−35##-0.6【详解】由三角函数的定义及已知可得：sin𝛼=35，cos𝛼=45．所以tan𝛼=𝑦𝑃𝑥𝑃=3545=34．又𝑥2=cos(𝜋2+𝛼)=−sin𝛼=−35．故答案为：34，−3515.从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去

几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色.下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果).根据上述信息下列结论中，所有正确结论的序号是____①2

015年这一年,高铁运营里程数超过0.5万公里;②2013年到2016年高铁运营里程平均增长率大于2010到2013高铁运营里程平均增长率;③从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年;④从2

010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增;10/16【答案】②③【详解】①看2014，2015年对应的纵坐标之差小于2−1.5=0.5，故①错误；②连线观察2013年到2016年两点连线斜率更大，故②正确；③2013年到201

4年两点纵坐标之差最大，故③正确；④看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，故④错误；故答案为：②③.三､解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16.已知集合𝐴={𝑥|13≤log8𝑥≤1}，𝐵={𝑥|2<2𝑥<

128}，全集𝑈=𝑅.（1）求𝐴，𝐵；（2）求∁𝑈(𝐴∩𝐵)；（3）如果𝐶={𝑥|𝑥<𝑎}，且𝐴∩𝐶≠∅，求𝑎的取值范围.【答案】（1）𝐴=[2,8]，𝐵=(1,7)（2）∁𝑈(𝐴∩𝐵)=(−∞,2)∪[7,+∞)（3）(2,+

∞)【小问1详解】根据题意，可得：log8813≤log8𝑥≤1=log88，函数𝑦=log8𝑥在区间(0,+∞)上单调递增，则有：2≤𝑥≤8故有：𝐴={𝑥|2≤𝑥≤8}11/16函数𝑦=2𝑥在区间(−∞,

+∞)上单调递增，则有：𝐵={𝑥|1<𝑥<7}综上，答案为：𝐴=[2,8]，𝐵=(1,7)【小问2详解】由（1）可知：𝐴=[2,8]，𝐵=(1,7)则有：𝐴∩𝐵={𝑥|2≤𝑥<7}故有：∁�

�(𝐴∩𝐵)=(−∞,2)∪[7,+∞)故答案为：(−∞,2)∪[7,+∞)【小问3详解】由于𝐴={𝑥|2≤𝑥≤8}，且𝐴∩𝐶≠∅，𝐶={𝑥|𝑥<𝑎}则有：𝑎>2，故𝑎的取值范围为：(2,+∞)故答案为：(2,+∞)17.已知α是第二象限角

，且tan𝛼=−512.（1）求sin𝛼，cos𝛼的值；（2）求sin(𝛼−5𝜋)+cos(3𝜋−𝛼)的值.【答案】（1）sin𝛼=513,cos𝛼=−1213；（2）713.【小问1详解】解：因为tan𝛼=−512，所以sin𝛼cos𝛼=−512

，∴sin𝛼=−512cos𝛼又sin2𝛼+cos2𝛼=1，α是第二象限角，所以sin𝛼=513,cos𝛼=−1213.【小问2详解】解：sin(𝛼−5𝜋)+cos(3𝜋−𝛼)=sin

(𝛼−𝜋)+cos(𝜋−𝛼)=−sin𝛼−cos𝛼12/16=−513+1213=713.18.已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1.（1）当对称轴为𝑥=−1时，（i）求实数a的值；（ii）求f（x）在区

间[−2,2]上的值域.（2）解不等式𝑓(𝑥)≥0.【答案】（1）（i）−13；（ii）[−53,43].（2）答案见解析.【小问1详解】解：（i）由题得−−(𝑎+1)2𝑎=(𝑎+1)2𝑎

=−1,∴𝑎+1=−2𝑎,∴𝑎=−13；（ii）𝑓(𝑥)=−13𝑥2−23𝑥+1，对称轴为𝑥=−1，所以当𝑥∈[−2,2]时，𝑓(𝑥)max=𝑓(−1)=−13+23+1=43.𝑓(𝑥)min=𝑓(2

)=−43−43+1=−53.所以f（x）在区间[−2,2]上的值域为[−53,43].【小问2详解】解：𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1≥0，当𝑎=0时，−𝑥+1≥0,∴𝑥≤1；当𝑎>0时，(𝑎�

�−1)(𝑥−1)≥0,∴𝑥1=1𝑎>0,𝑥2=1，当0<𝑎<1时，不等式解集为{𝑥|𝑥≥1𝑎或𝑥≤1}；当𝑎=1时，不等式的解集为R；当𝑎>1时，不等式的解集为{𝑥|𝑥≥1或𝑥≤1𝑎}；当

𝑎<0时，(𝑎𝑥−1)(−𝑥+1)≤0,∴𝑥1=1𝑎<0,𝑥2=1，所以不等式的解集为{𝑥|1𝑎≤𝑥≤1}.的13/16综上，当𝑎=0时，不等式的解集为{𝑥|𝑥≤1}；当0<𝑎<1时，不等式的

解集为{𝑥|𝑥≥1𝑎或𝑥≤1}；当𝑎=1时，不等式的解集为R；当𝑎>1时，不等式的解集为{𝑥|𝑥≥1或𝑥≤1𝑎}；当𝑎<0时，不等式的解集为{𝑥|1𝑎≤𝑥≤1}.19.已知函数𝑓(𝑥

)=sin(𝜔𝑥−𝜋3)(𝜔>0)最小正周期是π.（1）求𝜔的值；（2）求证：当𝑥∈[0,7𝜋12]时𝑓(𝑥)≥−√32.【答案】（1）2；（2）证明见解析（2）利用三角函数的图象和性质，结合不等式

逐步求出函数的最值即得证.【小问1详解】解：由题得𝑇=𝜋=2𝜋|𝜔|,∴𝜔=±2,∵𝜔>0,∴𝜔=2.【小问2详解】证明：𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−𝜋3)，因为0≤𝑥≤712𝜋,∴0≤2𝑥≤76𝜋,∴−𝜋3≤

2𝑥−𝜋3≤76𝜋−𝜋3，∴−𝜋3≤2𝑥−𝜋3≤56𝜋，∴−√32≤sin(2𝑥−𝜋3)≤1，所以当𝑥∈[0,7𝜋12]时𝑓(𝑥)≥−√32.即得证.20.已知函数𝑓(𝑥

)={−𝑥2+2𝑥(0≤𝑥≤2)𝑥2+2𝑥(−2≤𝑥<0)..14/16（1）求𝑓(−23)，𝑓(12)的值；（2）作出函数的简图；（3）由简图指出函数的值域；（4）由简图得出函数的奇偶性，并证明.【

答案】（1）𝑓(−23)=−89，𝑓(12)=34；（2）作图见解析；（3）[−1,1]；（4）𝑓(𝑥)为奇函数，证明见解析.【小问1详解】由解析式知：𝑓(−23)=(−23)2+2×(−2

3)=−89，𝑓(12)=−(12)2+2×12=34.【小问2详解】由解析式可得：𝑥−2−1012𝑓(𝑥)0−1010∴𝑓(𝑥)的图象如下：15/16【小问3详解】由（2）知：𝑓(𝑥)的值域为[−1,1].【小问4详解】由图知：𝑓(𝑥)为奇函数

，证明如下：当0<𝑥<2，−2<−𝑥<0时，𝑓(−𝑥)=(−𝑥)2+2⋅(−𝑥)=𝑥2−2𝑥=−𝑓(𝑥)；当−2<𝑥<0，0<−𝑥<2时，𝑓(−𝑥)=−(−𝑥)2+2⋅(−𝑥)=−

𝑥2−2𝑥=−𝑓(𝑥)；又𝑓(𝑥)的定义域为[−2,2]，则𝑓(𝑥)为奇函数，得证.21.已知函数𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜋4)，−𝜋4≤𝑥≤3𝜋4.（1）列表，描点，画函数𝑓(𝑥)的简图，

并由图象写出函数𝑓(𝑥)的单调区间及最值；（2）若𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)，(𝑥1≠𝑥2)，求𝑓(𝑥1+𝑥2)的值.【答案】（1）图象见解析，在[−𝜋4,𝜋8]、[5𝜋8,3𝜋4]上递增，在(𝜋8,5𝜋8)上递减，且最大

值为1，最小值为-1；（2）答案见解析.【解析】【小问1详解】16/16由解析式可得：𝑥−𝜋4−𝜋8𝜋83𝜋85𝜋83𝜋4𝑓(𝑥)−√22010-1−√22∴𝑓(𝑥)的图象如下图示：∴𝑓(𝑥)在[−𝜋4,𝜋

8]、[5𝜋8,3𝜋4]上递增，在(𝜋8,5𝜋8)上递减，且最大值为1，最小值为-1.【小问2详解】1、若𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)∈(−√22,1)，(𝑥1≠𝑥2)，则𝑥1+𝑥2=𝜋4，故𝑓(𝑥1+𝑥2)=𝑓(𝜋4)=√22；2、若𝑓(𝑥1)

=𝑓(𝑥2)=−√22，(𝑥1≠𝑥2)，当𝑥1+𝑥2=𝜋4，则𝑓(𝑥1+𝑥2)=𝑓(𝜋4)=√22；当𝑥1+𝑥2=5𝜋4∉[−𝜋4,3𝜋4]，此时𝑓(𝑥1+𝑥2)无解；当𝑥1+𝑥

2=𝜋2，则𝑓(𝑥1+𝑥2)=𝑓(𝜋2)=−√22；3、若𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)∈(−1,√22)，(𝑥1≠𝑥2)，则𝑥1+𝑥2=5𝜋4∉[−𝜋4,3𝜋4]，故𝑓(𝑥1+𝑥2)无解；