【文档说明】北京市东城区2021-2022学年高一上学期数学期末试卷及答案.docx，共(10)页，522.669 KB，由baby熊上传

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高一数学卷第1页（共10页）东城区2021-2022学年度第一学期期末教学统一检测高一数学本试卷共4页，满分100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡，在试卷上作答无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。2022.1第一部分(选择题共30分)一、选择题共10小题，每小题3分，共3

0分。在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。1．已知全集{1,2,3,4}U=，{1,3}A=，那么UA=ðA．{1,2}B．{2,3}C．{2,4}D．{3,4}2．在直角坐标系xOy中，已知43sin,cos5

5=−=，那么角的终边与单位圆Oe的交点坐标为A．34(,)55−B．43(,)55−C．34(,)55−D．43(,)55−3．已知实数,xy满足222xy+=，那么xy的最大值为A．14B．12C．1D．24．函数12()1,0,

(),0xxfxxx−=的图象大致为ABCD5．设cos28a=，则cos62=A．a−B．aC．21a−D．21a−−6．函数1()lnfxxx=−的零点所在区间是A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,

4)7．设3log4a=，133b−=，-13log3c=，则A．abcB．bcaC．cabD．cbaOxyOxyOxyOxy高一数学卷第2页（共10页）8．“0xy=”是“220xy+=”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．某同

学用“五点法”画函数()sin()(0,0)fxAxA=+在一个周期内的简图时，列表如下：x+0π2π3π22πxπ12π45π127π123π4y0202−0则()fx的解析式为A．π()2sin()12fxx=−B．π()2sin(3)12fxx=+C．π()sin(2)1

2fxx=−D．π()2sin(3)4fxx=−10．已知函数()ln()fxaxb=−的定义域是(1,)+，那么函数()()(1)gxaxbx=+−在区间(1,1)−上A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．既有最小值也有最大值D．没有最小值也没有最大

值第二部分(非选择题共70分)二、填空题共5小题，每小题3分，共15分。11．函数sin2yx=的最小值为．12．已知幂函数()fxx=（是常数）的图象经过点(2,4)，那么(2)f−=＿＿．13．已知函数

()yfx=是定义在R上的增函数，且(32)(2)faf+，那么实数a的取值范围为＿．14．已知函数21,02,()log,2,xxfxxxx+=且关于x的方程()fxt=有且仅有一个实数根，那么实数t的取值范

围为．15．设函数()log(1)(1)afxxa=+，则()fx是__（填“奇函数”或“偶函数”）；对于给定的正数T，定义(),(),()(),(),TfxfxTfxfxfxT=−则当1Ta=时，函数()Tfx的值域为.高一数学卷第3页（共10页）三、解答题共6小题，共5

5分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题8分）已知集合4Axx=，集合11，Bxmxmm=−+R．（Ⅰ）当4m=时，求AB；（Ⅱ）当AB=时，求m的取值范围．17．（本小题10分）已知函数2()4fx

xax=++．（Ⅰ）若(1)0f=，解不等式()0fx；（Ⅱ）若(1)2f=，求()fx在区间[2,2]−上的最大值与最小值，[微信公众号:京师云课堂]并分别写出取得最大值与最小值时的x值.（Ⅲ）若对任意(0,)x

+，不等式()0fx恒成立，求实数a的取值范围．18．（本小题10分）已知函数()2sin()fxx=+ππ(0,)22−的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：条件①：()fx的图象关于点π(,0)3对称；条件②：()fx的图象关

于直线π12x=对称．（Ⅰ）请写出你选择的条件，并求()fx的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()fx的单调递增区间．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．19.（本小题10分）已知函

数22()1fxx=+．（Ⅰ）判断()fx在区间)0,+上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；（Ⅱ）设()()gxfxk=−（k为常数）有两个零点12,xx，且12xx.当13x−时，求高一数学卷第4页（共10页）

k的取值范围.20．（本小题8分）人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系，指数模型0bxxdde−=是经典的城市人口密度空间分布的模型之一．[微信公众号:京师云课堂]该模型的计算是基于圈层距离法获取

距城市中心距离和人口密度数据的。具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况.其中x是圈层序号，将圈层序号是x的区域称为“x环”（1x=时，1环表示距离城

市中心0～3公里的圈层；2x=时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）；0d是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里）；xd是x环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b是常数;2.71828

e=．下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：（Ⅰ）求该市2006年2环的人口密度（参考数据0.260.77e−，结果保留一位小数）；（Ⅱ）2016年该市某环的人口密度为市中心人口密度的23，求该环是这个城市的多少环．（参考数据：ln20

.7、ln31.1）21．（本小题9分）已知定义在R上的函数()fx满足：①对任意实数,xy，有()()2()()fxyfxyfxfy++−=；②对任意[0,1)x，有()0fx．（Ⅰ）求(0)f；（Ⅱ）判断并证明函数()fx的奇偶性；

（Ⅲ）若(1)0f=，直接写出()fx的所有零点（不需要证明）．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）年份0db20062.20.1320162.30.10高一数学卷第5页（共10页）东城区2021-2022学年度第一学期期末教学统一检测高一数学参考答案及评分标准2022.1第一

部分（选择题共30分）一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。1．C2.A3.C4.B5.C6.B7.D8.B9.D10.A第二部分(非选择题共70分)二、填空题本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．1−12．413

．1(,)2−−14．[12)，15．偶函数；11(,][0,)aa−−三、解答题本大题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16．（本小题8分）已知集合4Axx=，集合11RBxmxmm=−+，．（Ⅰ）当4m=时，求AB;（Ⅱ）当AB

=时，求m的取值范围．解：（Ⅰ）当4m=时，35Bxx=，34ABxx=;------------------------------------------4分（Ⅱ）当AB=时，14m−，解得5m，即5mm．--------

-------------------------------------8分17．（本小题10分）已知函数2()4(R)fxxaxa=++．（Ⅰ）若(1)0f=，求不等式()0fx的解集；（Ⅱ）若(1)2f=，求()fx在区间[2,2]−上的最大值与最小值，并分别写出取得最大值与最小值

时的x值；（Ⅲ）若对任意(0,)x+，不等式()0fx恒成立，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）若(1)50fa=+=，则5a=−.不等式()0fx，即2540xx−+，即(1)(4)0xx−−，所以，不等式()0fx解集为14xx

.------------------4分高一数学卷第6页（共10页）（Ⅱ）若(1)52fa=+=，则3a=−.()fx图象的对称轴为直线32x=，()fx在3[2,]2−上单调递减，在3[,2]2上单调递增，当32x=时，()fx取到最小值，最小值为

37()24f=，当2x=−时，()fx取到最大值，最大值为(2)14f−=．-----------------------------------8分（Ⅲ）当(0,)x+时，240xax++，可化为24xax+−，即4axx−+，依

题意，4axx−+在(0,)+内恒成立，当(0,)x+时，4424xxxx+=，当且仅当4xx=，即2x=时取等号，则当(0,)x+时，4xx+的最小值为4，则4a−，则4a−，所以实数a的取值范围是(4,)−+．---------------------

-------------------10分18．（本小题10分）已知函数()2sin()fxx=+ππ(0,)22−的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：条件①：()fx的图象关于点π(,0)3对称；条件②：()fx的图象关于直线π12x=对称．（Ⅰ）请写出

你选择的条件，并求()fx的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求()fx的单调递增区间．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．解：（Ⅰ）选条件①：由已知，2ππT==(0)，则2=，则()2sin(2)fxx=+的图象关于点π(,0)3对称.则2ππ3k+=，即2ππ3

k=−(Z)k.由ππ22−，知π3=，所以π()2sin(2)3fxx=+．-----------------------5分选条件②：由已知，2ππT==(0)，则2=.高一数学卷第7页（

共10页）则()2sin(2)fxx=+的图象关于直线π12x=对称.则ππ2π122k+=+，即ππ3k=+(Z)k.由ππ22−，知π3=，所以π()2sin(2)3fxx=+．-------------------

--------------------------5分（Ⅱ）令πππ2π22π232kxk−++，即5ππ2π22π66kxk−+，即5ππππ1212kxk−+，所以()fx的单调递增区间为5ππ[π,π]1212

kk−+(Z)k．------------------------------10分19.（本小题10分）已知函数22()1fxx=+．（Ⅰ）判断()fx在区间)0,+上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；（Ⅱ）设()()gxfxk=

−（k为常数）有两个零点12,xx，且12xx.当13x−时，求k的取值范围.（Ⅰ）判断结果：单调递减；---------------------------------------2分证明：任取)12,0,xx+，且12xx，有()

()1222122211fxfxxx−=−++()()()22212212211xxxx−=++()()()()21212212211xxxxxx−+=++.1222212112,00,10,10.xxxxxxxx−+++，于是，()

()120,fxfx−即()()12fxfx，高一数学卷第8页（共10页）函数()fx在)0,+上是单调递减函数.---------------------------------------------6分（Ⅱ）解：由（1）知，)()0gx+

在区间，上单调递减，且易知()gx为偶函数.则(()gx在区间-，0上单调递增.20x,()fx的值域是(02，.令()0gx=,即()fxk=.2222,1.1kxxk==−+121()(),3gxfxkkxxx=−−（为常数）且有两个零点

，213xx=−.2212221112kxx==++.又()0fx,1(0,)2k.---------------------------------------------10分20．（本小题8分）人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口

密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系，指数模型0(2.71828)bxxddee−==是经典的城市人口密度空间分布的模型之一．该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的。具体

而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况。其中x是圈层序号，将圈层序号是x的区域称为“x环”（1x=时，1环表示距离城市中心0～3公里的圈层；2x=时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）；0d是城市中心的人口密

度（单位：万人/平方公里）；xd是x环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b是常数．下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：高一数学卷第9页（共10页）（Ⅰ）求该市2006年2环的人口密度（参考数据0.260.77

e−，结果保留一位小数）；（Ⅱ）2016年该市某环的人口密度为市中心人口密度的23，求该环是这个城市的多少环．（参考数据：ln20.7、ln31.1）解：（Ⅰ）将数值代入可得0.2622.21.7de−=，所以该市200

6年2环的人口密度为1.7万人/平方公里．------------------4分（Ⅱ）由题意可得321.0=−xe，将其转化为对数式，得20.1lnln2ln30.43x−==−−．所以4=x．所以，该环是这个城市的4环．---

-----------------------------------------8分21．（本小题9分）已知定义在R上的函数()fx满足：③对任意实数,xy，都有()()2()()fxyfxyfxfy++−=；④对任意[0,1)x，有()0fx．（Ⅰ）求(0)f；（Ⅱ）判断并证

明函数()fx的奇偶性；（Ⅲ）若(1)0f=，直接写出()fx的所有零点（不需要证明）．解：（Ⅰ）对任意实数,xy，都有()()2()()fxyfxyfxfy++−=，令0xy==，则(0)(0)2(0)(0)ffff+=.2(0)(0)ff=.年份0db20062.20.13201

62.30.10高一数学卷第10页（共10页）(0)0f=或1.由条件②得，(0)0f.(0)1f=.-------------------------------------------3分（Ⅱ）因为

()()2()()fxyfxyfxfy++−=，当0x=时，()()2(0)()fyfyffy+−=,由（Ⅰ）知(0)1f=，()()2()fyfyfy+−=()()fyfy=−，又()fx的定义域为R

,()fx为偶函数.-----------------------------------------------------7分（Ⅲ）答：()fx所有零点为21,Znn+.--------------

-----------------------------------9分解答过程参考：()()2()()fxyfxyfxfy++−=，当1y=时，(1)(1)2()(1)fxfxfxf++−=，(1)0f=，(1)(1)0fxfx++−=.(2)()fxfx+=−.(

*)由②得，(0,1),()0xfx，又因为()fx为偶函数，(1,0)x−时，()0fx，则有(1,1)x−时，()0fx.()fx在[1,1]−内，只有(1)(1)0ff−==.由(*)可得，(21)0fn+=，Zn，且在[21,21]nn−+内，只有(

21)(21)0fnfn−=+=，Zn.()fx所有的零点为(21),Znn+.