【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题7　解析几何 第33练 含答案.doc，共(15)页，189.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第33练与抛物线有关的热点问题[题型分析·高考展望]抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点.考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上.体验高考1

.(2015·四川)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A.(1，3)B.(1，4)C.(2，3)D.(2，4)答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y

2)，M(x0，y0)，则y21＝4x1，y22＝4x2，相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，当直线l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，如图x1≠x2，则有y1＋y22·y1－y2x1－x2＝2，即y0·k＝2，由CM

⊥AB得，k·y0－0x0－5＝－1，y0·k＝5－x0，2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x＝3上，将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，∴－23＜y0＜23，∵点M在圆上，∴(x0－5)2＋y20＝r2，r2＝y20＋4＜12＋4＝16，又y20＋4＞4，∴4＜r2

＜16，∴2＜r＜4.故选D.2.(2015·浙江)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|2－1|AF|2－1C.|BF|＋

1|AF|＋1D.|BF|2＋1|AF|2＋1答案A解析由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于|BC||AC|.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－

1.∵点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，∴|BC|

|AC|＝|BM||AN|＝|BF|－1|AF|－1.3.(2016·四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A

.33B.23C.22D.1答案C解析如图，由题意可知Fp2，0，设P点坐标为y202p，y0，显然，当y0<0时，kOM<0；y0>0时，kOM>0，要求kOM的最大值，不妨设y0>0.则OM→＝

OF→＋FM→＝OF→＋13FP→＝OF→＋13(OP→－OF→)＝13OP→＋23OF→＝y206p＋p3，y03，kOM＝y03y206p＋p3＝2y0p＋2py0≤222＝22，当且仅当y20＝2p2时等号成立.故选C

.4.(2016·课标全国乙)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8答案B解析不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则

圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，又可设A(x0，22)，D－p2，5，点A(x0，22)在抛物线y2＝2px上，∴8＝2px0，①点A(x0，22)在圆x2＋y2＝r2上，∴x20＋8＝r2，②点D－p2，5在圆x2＋y2＝r2上，∴p22＋5＝r2，③联

立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.5.(2015·上海)抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝______.答案2解析根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q运动到原点的时候，才与

抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ|min＝p2＝1⇒p＝2.高考必会题型题型一抛物线的定义及其应用例1已知P为抛物线y2＝6x上一点，点P到直线l：3x－4y＋26＝0的距离为d1.(1)求d1的最小值，并求此时点P的坐标；(2)

若点P到抛物线的准线的距离为d2，求d1＋d2的最小值.解(1)设P(y206，y0)，则d1＝|12y20－4y0＋26|5＝110|(y0－4)2＋36|，当y0＝4时，(d1)min＝185，此时x0＝y206＝83，∴当P点坐

标为(83，4)时，(d1)min＝185.(2)设抛物线的焦点为F，则F(32，0)，且d2＝|PF|，∴d1＋d2＝d1＋|PF|，它的最小值为点F到直线l的距离|92＋26|5＝6110，∴(d1＋d2)min＝6110.点

评与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.变式训练1(1)(2016·浙江)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴

的距离是________.(2)已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.(14，1)B.(14，－1)C.(1，2)D.(1，－2)答案(1)9(2)B解析(1)抛

物线y2＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.(2)抛物线y2＝4x焦

点为F(1，0)，准线为x＝－1，作PQ垂直于准线，垂足为M，根据抛物线定义，|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PM|，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ|＋|PM|的最小值是点Q到抛物线准线x＝－1的距离.所以点P纵坐标为－1，则横坐标为14，即(14，

－1).题型二抛物线的标准方程及几何性质例2(2015·福建)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆

，必与直线GB相切.方法一(1)解由抛物线的定义得|AF|＝2＋p2.因为|AF|＝3，即2＋p2＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所

以m＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2，22).由A(2，22)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝22(x－1).由y＝22(x－1)，y2＝4x，得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝12，从而B

12，－2.又G(－1，0)，所以kGA＝22－02－(－1)＝223，kGB＝－2－012－(－1)＝－223.所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与

直线GB相切.方法二(1)解同方法一.(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A(2，22).由A(2，22)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝22(x－1).

由y＝22(x－1)，y2＝4x，得2x2－5x＋2＝0.解得x＝2或x＝12，从而B12，－2.又G(－1，0)，故直线GA的方程为22x－3y＋22＝0.从而r＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB的方程为22x＋3y＋22＝0.

所以点F到直线GB的距离d＝|22＋22|8＋9＝4217＝r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.点评(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的

焦点坐标和准线方程.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.变式训练2已知抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于y轴对称且经过点M(2，

1).(1)求抛物线C的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2

，当k1＋k2＝－2时，试证明直线AB的斜率为定值，并求出该定值.解(1)设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，由点M(2，1)在抛物线C上，得4＝2p，则p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设该等边三角形OPQ的顶点P，Q在抛物线上，且P(x

P，yP)，Q(xQ，yQ)，则x2P＝4yP，x2Q＝4yQ，由|OP|＝|OQ|，得x2P＋y2P＝x2Q＋y2Q，即(yP－yQ)(yP＋yQ＋4)＝0.又yP>0，yQ>0，则yP＝yQ，|xP|＝|xQ|，即线段PQ关于y轴对称.∴∠POy＝3

0°，yP＝3xP，代入x2P＝4yP，得xP＝43，∴该等边三角形边长为83，S△POQ＝483.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21＝4y1，x22＝4y2，∴k1＋k2＝y1－1x1－2＋y2－1x2－2＝14x21－1x1－

2＋14x22－1x2－2＝14(x1＋2＋x2＋2)＝－2.∴x1＋x2＝－12，∴kAB＝y2－y1x2－x1＝14x22－14x21x2－x1＝14(x1＋x2)＝－3.题型三直线和抛物线的位置关系例3已知

圆C1的方程为x2＋(y－2)2＝1，定直线l的方程为y＝－1.动圆C与圆C1外切，且与直线l相切.(1)求动圆圆心C的轨迹M的方程；(2)直线l′与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l′的垂线恰好经过点A(0，6)，并交轨迹M于异于点P的点Q，记S为△POQ(O为坐标原点)的面积，求S的值

.解(1)设动圆圆心C的坐标为(x，y)，动圆半径为R，则|CC1|＝x2＋(y－2)2＝R＋1，且|y＋1|＝R，可得x2＋(y－2)2＝|y＋1|＋1.由于圆C1在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l

的上方，∴有y＋1>0，x2＋(y－2)2＝y＋2，整理得x2＝8y，即为动圆圆心C的轨迹M的方程.(2)设点P的坐标为(x0，x208)，则y＝x28，y′＝14x，kl′＝x04，kPQ＝－4x0，∴直线PQ的方程为y＝－4x0x＋6.又kPQ＝x208－6x0，∴x208－6

x0＝－4x0，x20＝16，∵点P在第一象限，∴x0＝4，点P的坐标为(4，2)，直线PQ的方程为y＝－x＋6.联立y＝－x＋6，x2＝8y，得x2＋8x－48＝0，解得x＝－12或4，∴点Q的坐标为(－12，18).∴S＝12|O

A|·|xP－xQ|＝48.点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，

则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.变式训练3(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐

标系xOy中，曲线C：y＝x24与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2a，a

)，N(－2a，a)，或M(－2a，a)，N(2a，a).又y′＝x2，故y＝x24在x＝2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y－a＝a(x－2a)，即ax－y－a＝0.y＝x24在x＝－2a处的导

数值为－a，C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x＋2a)，即ax＋y＋a＝0.故所求切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2

.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝y1－bx1＋y2－bx2＝2kx1x2＋(a－b)(x1＋x2)x1x2＝k(a＋b)a.当b＝－a时，有k1＋k2

＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.高考题型精练1.如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l′于点C，若|BC

|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A.y2＝9xB.y2＝6xC.y2＝3xD.y2＝3x答案C解析如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°.在直角三角形

ACE中，∵|AF|＝3，∴|AE|＝3，|AC|＝3＋3a，∴2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，∴1p＝23，求得p＝32，因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.2.已知抛物线y2＝

2px(p>0)的焦点为F，P、Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()A.2±3B.2＋3C.3±1D.3－1答案A解析依题意得Fp2，0，设Py212p，y1，Qy222p，y2(y1≠y2).由抛物线

定义及|PF|＝|QF|，得y212p＋p2＝y222p＋p2，∴y21＝y22，∴y1＝－y2.又|PQ|＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，点P12p，y1.又点P位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF|＝12p＋p2＝2，由此解得p＝2

±3，故选A.3.设F为抛物线y2＝8x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|的值是()A.6B.8C.9D.12答案D解析由抛物线方程，得F(2，0)，准线方程为x＝－2.设A

，B，C坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则由抛物线的定义，知|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋2＋x2＋2＋x3＋2＝x1＋x2＋x3＋6.因为FA→＋FB→＋FC→＝0，所以(x1－2＋x2－2＋x3－2，y1＋y2＋y3)＝(0，0)，则x1－2＋x2－2＋x3－

2＝0，即x1＋x2＋x3＝6，所以|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝|FA|＋|FB|＋|FC|＝x1＋x2＋x3＋6＝12，故选D.4.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M(－2，2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k等于()A.2

B.22C.12D.2答案D解析抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，由题意可知直线AB的斜率一定存在，所以设直线方程为y＝k(x－2)，代入抛物线方程可得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋8k2，x1·x2＝4，所

以y1＋y2＝8k，y1·y2＝－16，因为∠AMB＝90°，所以MA→·MB→＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝16k2－16k＋4＝0，解得k＝2，故选D.5.已知点A(－2，3)

在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A.12B.23C.34D.43答案D解析抛物线y2＝2px的准线为直线x＝－p2，而点A(－2，3)在准线上，所以－p2＝－2，即p＝4，从而C：y2＝8x，焦点为F(2，

0).设切线方程为y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k8y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①由于Δ＝1－4×k8(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝12.因为切点在第一象限，所以k＝12.将k＝12代入①中，得y＝8，再代入y2＝8

x中得x＝8，所以点B的坐标为(8，8)，所以直线BF的斜率为86＝43.6.已知A(x1，y1)是抛物线y2＝8x的一个动点，B(x2，y2)是圆(x－2)2＋y2＝16上的一个动点，定点N(2，0)，若AB∥x轴

，且x1<x2，则△NAB的周长l的取值范围是()A.(6，10)B.(10，12)C.(8，12)D.(8，10)答案C解析抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝x1＋2，圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，又

定点N(2，0)，∴△NAB的周长即为△FAB的周长＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝x1＋2＋(x2－x1)＋4＝6＋x2，由抛物线y2＝8x及B(x2，y2)在圆(x－2)2＋y2＝16上，∴x2∈(2，6)，∴

6＋x2∈(8，12)，故选C.7.如图，从点M(x0，4)发出的光线，沿平行于抛物线y2＝8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x－y－10＝0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0＝________.

答案6解析由题意得P(2，4)，F(2，0)⇒Q(2，－4)，因此N(6，－4)，因为QN∥PM，所以MN⊥QN，即x0＝6.8.已知直线l过点(0，2)，且与抛物线y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则1y1＋1y2＝_____.答案12

解析由题意可得直线的斜率存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋2，代入抛物线y2＝4x可得y2－4ky＋8k＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝8k，∴1y1＋1y2＝y1＋y2y1y2＝12.9.已知抛物线y2＝4x与经过该抛物线焦点

的直线l在第一象限的交点为A，A在y轴和准线上的投影分别为点B，C，|AB||BC|＝2，则直线l的斜率为________.答案22解析设A(x0，y0)，则|AB|＝x0，|BC|＝1，由|AB||BC|＝x01＝2，得

x0＝2，y0＝4×2＝22，又焦点F(1，0)，所以直线l的斜率为k＝222－1＝22.10.已知双曲线x2－y23＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为___

_____.答案0或－8解析因为点M，N关于直线y＝x＋m对称，所以MN的垂直平分线为y＝x＋m，所以直线MN的斜率为－1.设线段MN的中点为P(x0，x0＋m)，直线MN的方程为y＝－x＋b，则x0＋m＝－x0＋b，所以b＝2x0＋m.由y＝－x＋b，x2－y23＝1得2x2＋2bx－

b2－3＝0，所以xM＋xN＝－b，所以x0＝－b2，所以b＝m2，所以P(－m4，34m).因为MN的中点在抛物线y2＝18x上，所以916m2＝－92m，解得m＝0或m＝－8.11.(2016·课标全国丙)

已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.(1)证明由题意知，F12，0，设l1：

y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝

0.由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝k2.所以AR∥FQ.(2)解设过AB的直线为l，l与x轴的交点为D(x1，

0)，则S△ABF＝12|b－a||FD|＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题意可得|b－a|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝1，x1＝0(舍去)，设满足条件的AB的中点为E(x，y).当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋

b＝yx－1(x≠1).而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1).当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1，0)满足y2＝x－1.所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.12.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点

为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)1|AF|＋1|BF|为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(p

2，0).由题意可设直线方程为x＝my＋p2，代入y2＝2px，得y2＝2pmy＋p2，即y2－2pmy－p2＝0.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y21＝2px1，y22＝2px2，所以y21y22＝4p2x

1x2，所以x1x2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.(2)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2(x1＋x2)＋p24.因为x1x2＝p24，x1＋x2＝|AB|

－p，代入上式，得1|AF|＋1|BF|＝|AB|p24＋p2(|AB|－p)＋p24＝2p(定值).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝12

(|AC|＋|BD|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.