【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题7　解析几何 第32练 含答案.doc，共(13)页，147.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第32练双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望]双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在选择题、填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之

本.体验高考1.(2015·四川)过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于()A.433B.23C.6D.43答案D解析设A，B两点的坐标分别为

(x，yA)，(x，yB)，将x＝c＝2代入渐近线方程y＝±3x得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线x2－y23＝1的渐近线方程为y＝±3x，将x＝c＝2代入得y＝±23，即A，B两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB|＝43.2.(2016·天津)已知双曲线

x24－y2b2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.x24－3y24＝1B.x24－4y23＝1C.x24－y24＝1D

.x24－y212＝1答案D解析由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±b2x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立x2＋y2＝4，y＝b2x，解得x＝44＋b2，y＝2b4＋b2或x＝－44＋b2，y＝－2b4＋b2，即第一象限

的交点为44＋b2，2b4＋b2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b2，故8×4b4＋b2＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为x24－y212＝1.故选D.3.(2016·浙江)

已知椭圆C1：x2m2＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：x2n2－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A.m＞n且e1e2＞1B.m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1D.m＜n且e1e2＜1答案A解析由题意可得：m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2

，又∵m＞0，n＞0，故m＞n.又∵e21·e22＝m2－1m2·n2＋1n2＝n2＋1n2＋2·n2＋1n2＝n4＋2n2＋1n4＋2n2＝1＋1n4＋2n2＞1，∴e1·e2＞1.4.(2015·上海)已知点P和Q横坐标相

同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2，若C1的渐近线为y＝±3x，则C2的渐近线方程为____________.答案y＝±32x解析设点P和Q的坐标为(x，y)，(x0，y0)，则有

x＝x0，y＝2y0，又因为C1的渐近线方程为y＝±3x，故设C1的方程为3x2－y2＝λ，把点坐标代入，可得3x20－4y20＝λ，令λ＝0⇒3x±2y＝0，即为曲线C2的渐近线方程，则y＝±32x.5.(2

015·北京)已知双曲线x2a2－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为3x＋y＝0，则a＝________.答案33解析直接求解双曲线的渐近线并比较系数.双曲线x2a2－y2＝1的渐近线为y＝±xa，已知一

条渐近线为3x＋y＝0，即y＝－3x，因为a>0，所以1a＝3，所以a＝33.高考必会题型题型一双曲线的渐近线问题例1(1)已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB

中点的直线的斜率为－32，则ab的值为()A.－2327B.－32C.－932D.－233答案B解析双曲线ax2＋by2＝1的渐近线方程可表示为ax2＋by2＝0，由y＝1－x，ax2＋by2＝0得(a＋b)x2－2bx＋b＝

0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2ba＋b，y1＋y2＝2aa＋b，所以原点和线段AB中点的直线的斜率k＝y1＋y22x1＋x22＝y1＋y2x1＋x2＝ab＝－32，故选B.(2)如图，已知双曲线C：x2a2－

y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).①求双曲线C的方程；②过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：x0xa2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝32相交于点N.证明：当点

P在C上移动时，|MF||NF|恒为定值，并求此定值.解①设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝a2＋1，直线OB的方程为y＝－1ax，直线BF的方程为y＝1a(x－c)，解得B(c2，－c2a).又直线OA的方程

为y＝1ax，则A(c，ca)，kAB＝ca－－c2ac－c2＝3a.又因为AB⊥OB，所以3a·(－1a)＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为x23－y2＝1.②由①知a＝3，则直线l的方程为x0x3－y0y＝1(y0≠0)，即y＝x0x－33y0.因为直线AF的方程

为x＝2，所以直线l与AF的交点为M(2，2x0－33y0)；直线l与直线x＝32的交点为N(32，32x0－33y0).则|MF|2|NF|2＝2x0－323y0214＋32x0－323y02＝

2x0－329y204＋94x0－22＝43·2x0－323y20＋3x0－22.因为P(x0，y0)是C上一点，则x203－y20＝1，代入上式得|MF|2|NF|2＝43·2x0－32x20－3＋3x0－22＝43·2x

0－324x20－12x0＋9＝43，即所求定值为|MF||NF|＝23＝233.点评(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y＝±bax⇔xa±yb＝0⇔x2a2－y2b2＝0，所以可以把标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)

已知双曲线渐近线方程：y＝bax，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，求出λ即得双曲线方程.变式训练1已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为15

4，则C2的渐近线方程为()A.x±2y＝0B.2x±y＝0C.x±2y＝0D.2x±y＝0答案C解析由已知，得e1＝1－ba2，e2＝1＋ba2，所以e1e2＝1－ba4＝154，解得ba＝±12，所以C2的渐近线方程为y＝±bax＝±12x，即x±2y＝

0，故选C.题型二双曲线的离心率问题例2(1)点A是抛物线C1：y2＝2px(p>0)与双曲线C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于()A.2B.3C.5D.6(2)(2016·课标全国甲)已知F

1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinF2＝13，则E的离心率为()A.2B.32C.3D.2答案(1)C(2)A解析(1)双曲线的渐近线方程为：y＝bax，由题意可求得点A(p2，p)代入渐近线得ba＝pp2＝2，∴(ba)2

＝4，∴c2－a2a2＝4，∴e2＝5，∴e＝5，故选C.(2)离心率e＝|F1F2||MF2|－|MF1|，由正弦定理得e＝|F1F2||MF2|－|MF1|＝sinMsinF1－sinF2＝2231－13＝2.故选A.点评在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重

要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题.变式训练2(2016·上海)双曲线x2－y2b2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1

、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.(1)若l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b＝3，若l的斜率存在，且(F1A→＋F1B→)·AB→＝0，求l的斜率.解(1)由已知F

1(－b2＋1，0)，F2(b2＋1，0)，取x＝b2＋1，得y＝b2，|F1F2|＝3|F2A|，∵|F1F2|＝2b2＋1，|F2A|＝b2，∴2b2＋1＝3b2，即3b4－4b2－4＝(3b2＋2)(b

2－2)＝0，∴b＝2，∴渐近线方程为y＝±2x.(2)若b＝3，则双曲线方程为x2－y23＝1，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则F1A→＝(x1＋2，y1)，F1B

→＝(x2＋2，y2)，AB→＝(x2－x1，y2－y1)，∴F1A→＋F1B→＝(x1＋x2＋4，y1＋y2)，(F1A→＋F1B→)·AB→＝x22－x21＋4(x2－x1)＋y22－y21＝0，(*

)∵x21－y213＝x22－y223＝1，∴y22－y21＝3(x22－x21)，∴代入(*)式，可得4(x22－x21)＋4(x2－x1)＝0，直线l的斜率存在，故x1≠x2，∴x1＋x2＝－1.设直线l为y＝k(x－2)，代入3x2－y2＝3，得(3－k2)x2

＋4k2x－(4k2＋3)＝0，∴3－k2≠0，且Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)＝36(k2＋1)>0，x1＋x2＝－4k23－k2＝－1，∴k2＝35，∴k＝±155，∴直线l的斜率为±155.题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题例3已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1

(a>0，b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝60°，且OQ→＝3OP→，则双曲线C的离心率为()A.74B.73C.72D.7答案C解析如图所示，设∠AOQ＝α，∴tanα＝ba⇒cosα＝ac，sinα＝bc，

∴|OH|＝a·cosα＝a2c，|AH|＝a·sinα＝abc，又∵OQ→＝3OP→，∴|OP|＝|PH|＝|HQ|＝a22c，∴|AH|＝3|PH|⇒abc＝3·a22c⇒2b＝3a，∴e＝1＋ba2＝72.故选C.点评解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等

列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x2a2－y2

b2＝1(a>0，b>0)的离心率为()A.2或233B.6或233C.2或3D.3或6答案A解析由题意可知，双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k＝ba＝3或33，则

e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝2或233.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点.若MF1→·MF2→<

0，则y0的取值范围是()A.－33，33B.－36，36C.－223，223D.－233，233答案A解析由双曲线方程可求出F1，F2的坐标，再求出向量MF1→，MF2→，然后利用向量的数量积公式求解.由题意知a＝2，b＝1，c＝3，∴F1(－3，0)，F2(3

，0)，∴MF1→＝(－3－x0，－y0)，MF2→＝(3－x0，－y0).∵MF1→·MF2→<0，∴(－3－x0)(3－x0)＋y20<0，即x20－3＋y20<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴x202－y20＝1，即x20＝2＋2y20，∴2＋2y20－3

＋y20<0，∴－33<y0<33.故选A.2.已知双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的离心率为()A.5B.52C.5或52D.2答案A解析双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，由题意可得ba＝2，即有

b＝2a.c＝a2＋b2＝5a，可得e＝ca＝5，故选A.3.已知双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值

为()A.43B.53C.2D.73答案B解析由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，①又|PF1|＝4|PF2|，②联立①②解得|PF1|＝83a，|PF2|＝23a.在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝649a2＋

49a2－4c22·83a·23a＝178－98e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，当cos∠F1PF2＝－1时，解得e＝53，即e的最大值为53，故选B.4.双曲线x2a2－y2b2＝1(a

>0，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是()A.3＋52B.5＋12C.5－12D.3－52答案B解析由题意，得直线F1B1的方程是bx－cy＋bc＝0，因为圆与直线相切，所以

点O到直线F1B1的距离等于半径，即bcb2＋－c2＝a，又b2＝c2－a2，得c4－3a2c2＋a4＝0，e4－3e2＋1＝0，e2＝3＋52，e＝1＋52，故选B.5.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双

曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3B.2C.3D.2答案B解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)，因为它们共焦点，所以它们的半焦距均为c，所以

椭圆与双曲线的离心率分别为e1＝ca，e2＝cm，由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知m＝a－m，即2m＝a，所以e2e1＝cmca＝am＝2，故选B.6.若实数k满足0<k<9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的()A.焦距相等B.半实轴长相等C.半虚轴长

相等D.离心率相等答案A解析因为0<k<9，所以两条曲线都表示双曲线.双曲线x225－y29－k＝1的半实轴长为5，半虚轴长为9－k，焦距为225＋9－k＝234－k，离心率为34－k5.双曲线x

225－k－y29＝1的半实轴长为25－k，半虚轴长为3，焦距为225－k＋9＝234－k，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等.故选A.7.已知F是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O是双曲线C的中心，直线y＝mx是双曲线C的一条渐近线，以线段

OF为边作正三角形AOF，若点A在双曲线C上，则m＝________.答案3＋23解析因为直线y＝mx是双曲线C的一条渐近线，所以m＝b2a2，又A在双曲线C上，三角形AOF是正三角形，所以A(12c，32c)，12c2a2－32c2b2＝1，c2＝

a2＋b2，化为a2＋b24a2－3a2＋b24b2＝1，14＋14m－34－34m＝1，因为m>0，可解得m＝3＋23.8.设P为直线y＝b3ax与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝_

_______.答案324解析设P(x，b3ax)，则由题意，知c＝|x|，因为PF1垂直于x轴，则由双曲线的通径公式知|b3ax|＝b2a，即b3ac＝b2a，所以b＝c3.又由a2＝c2－b2，得a2＝89c2，所以e＝ca＝32

4.9.(2016·山东)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.答案2解析由已知得|AB|＝2b2a，|BC|＝2c，∴

2×2b2a＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2ca2－3ca－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－12(舍去).10.已知A(1，2)，B(－1，2)，动点P满足AP→⊥BP→，若双曲线x

2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.答案(1，2)解析根据条件AP→⊥BP→，可得P点的轨迹方程x2＋(y－2)2＝1，求出双曲线的渐近线方程y＝bax，运用圆心到直线的距离大于半径，得到3a2>b

2，再由b2＝c2－a2，得出离心率e＝ca<2，又双曲线离心率e>1，所以1<e<2.11.已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好在以F2为圆心，|OF2|(O为坐标原点)为

半径的圆上，则该双曲线的离心率为______.答案2解析设F1(－c，0)，F2(c，0)，设一条渐近线方程为y＝－bax，则F1到渐近线的距离为bca2＋b2＝b，设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于点A，所以|MF1|＝2b，A为F1M的中点，又O

是F1F2的中点，所以OA∥F2M，∠F1MF2是直角，由勾股定理得：4c2＝c2＋4b2，化简得e＝2.12.已知双曲线C1：x2－y24＝1.(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，3)的双曲线C2的标准方程；(2)直线l：y＝x＋m分别交双曲线C1的两条渐

近线于A、B两点，当OA→·OB→＝3时，求实数m的值.解(1)∵双曲线C1：x2－y24＝1，∴焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C2的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，∵双曲线C2与双曲线C1有相同

焦点，且过点P(4，3)，∴a2＋b2＝5，16a2－3b2＝1，解得a＝2，b＝1.∴双曲线C2的标准方程为x24－y2＝1.(2)双曲线C1的两条渐近线为y＝2x，y＝－2x，由y＝2x，y＝x＋m可得x＝m，y＝2m，∴A(m，2m)，由y＝－2x

，y＝x＋m可得x＝－13m，y＝23m，∴B(－13m，23m)，∴OA→·OB→＝－13m2＋43m2＝m2，∵OA→·OB→＝3，∴m2＝3，∴m＝±3.