【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题7　解析几何 第31练 含答案.doc，共(14)页，172.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第31练椭圆问题中最值得关注的基本题型[题型分析·高考展望]椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分析历年的高考试题，在选择题、填空题、解答题中都有涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型，基本的解题方

法也要有一定的了解.体验高考1.(2015·广东)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于()A.2B.3C.4D.9答案B解析由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.2.(2015·福建)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的

右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34

C.32，1D.34，1答案A解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则

4b5≥45，∴1≤b＜2.离心率e＝ca＝c2a2＝a2－b2a2＝4－b24∈0，32，故选A.3.(2016·课标全国丙)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为椭圆C上一点，

且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为()A.13B.12C.23D.34答案A解析设M(－c，m)，则E0，ama－c，OE的中点为D，则D0，am2a－c，又B，D，M三点共线，所以m2

a－c＝ma＋c，a＝3c，e＝13.4.(2015·浙江)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解(1)由题意

知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.由x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b消去y，得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－

2b2＋2＋4m2＞0，①将线段AB中点M2mbm2＋2，m2bm2＋2代入直线方程y＝mx＋12，解得b＝－m2＋22m2，②由①②得m＜－63或m＞63.(2)令t＝1m∈－62，0∪0，62，则|AB

|＝t2＋1·－2t4＋2t2＋32t2＋12，且O到直线AB的距离为d＝t2＋12t2＋1.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝12|AB|·d＝12－2t2－122＋2≤22.当且仅当t2＝12时，等号成立.故△AOB面积的最大值为22.5.(2016·北京)已知椭圆

C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.(1)解由已知ca＝32，12ab＝1.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3.∴椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)证明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).设椭圆上一点P(x0，y0)，则x204＋y20＝1.当x0≠0时，直线PA方程为y

＝y0x0－2(x－2)，令x＝0得yM＝－2y0x0－2.从而|BM|＝|1－yM|＝1＋2y0x0－2.直线PB方程为y＝y0－1x0x＋1，令y＝0得xN＝－x0y0－1.∴|AN|＝|2－xN|＝2＋x0y0－1.∴|AN|·|BM|＝2＋x0y0－1·

1＋2y0x0－2＝x0＋2y0－2y0－1·x0＋2y0－2x0－2＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y0－x0－2y0＋2＝4x0y0－4x0－8y0＋8x0

y0－x0－2y0＋2＝4.当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，∴|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值.高考必会题型题型一利用椭圆的几何性质解题例1如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1的离心率e＝12，F，

A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求PF→·PA→的最大值和最小值.解设P点坐标为(x0，y0).由题意知a＝2，∵e＝ca＝12，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.所求椭圆方程为x24＋y23＝1.∴－2≤

x0≤2，－3≤y0≤3.又F(－1，0)，A(2，0)，PF→＝(－1－x0，－y0)，PA→＝(2－x0，－y0)，∴PF→·PA→＝x20－x0－2＋y20＝14x20－x0＋1＝14(x0－2)2.当x0＝2时，PF→·PA→取得最小值0，当x0＝－2时，PF→·PA→取得最大值

4.点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.变式训练1如图，F1、F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是

椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°.(1)求椭圆C的离心率；(2)若△AF1B的面积为403，求椭圆C的方程.解(1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c，所以e＝12.(2)方法一a2＝4c2

，b2＝3c2，直线AB的方程可为y＝－3(x－c)，将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B(85c，－335c)，所以|AB|＝1＋3·|85c－0|＝165c，由1AFBS＝12|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝12a·85a·

32＝235a2＝403，解得a＝10，b＝53，所以椭圆C的方程为x2100＋y275＝1.方法二设|AB|＝t，因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，再由余弦

定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos60°可得，t＝85a，由1AFBS＝12|AF1|·|AB|sin∠F1AB＝12a·85a·32＝235a2＝403知，a＝10，b＝53，所以椭圆C的方程为x2100＋y275＝1.题型二直线与椭圆相交问题例2(2015·课标全国Ⅱ

)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点(2，2)在C上.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(1)解由题意得a2－b2a＝22，

4a2＋2b2＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以椭圆C的方程为x28＋y24＝1.(2)证明设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).将y＝kx＋b代入x28＋y24＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b

2－8＝0.故xM＝x1＋x22＝－2kb2k2＋1，yM＝k·xM＋b＝b2k2＋1.于是直线OM的斜率kOM＝yMxM＝－12k，即kOM·k＝－12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭

圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交点”在椭圆内(外)，得出不等式，解不等式.变式训练2椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过其右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2.(1)求椭圆

C的方程；(2)设点P是椭圆C的一个动点，直线l：y＝34x＋32与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值.解(1)∵椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，∴e＝ca＝32，∴2c＝

3a，即4c2＝3a2，又∵过椭圆右焦点F与长轴垂直的直线被椭圆C截得的弦长为2，∴c2a2＋1b2＝1，∴34a2a2＋1b2＝1，即b2＝4，又a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2＝4＋34a2，即a2＝16，∴椭圆C的方程为x216＋y24＝1.(2)联立直线l：y＝34x＋32与椭圆C的方

程，得y＝34x＋32，x216＋y24＝1消去y，整理可得7x2＋12x－52＝0，即(7x＋26)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－267，∴不妨设A(2，3)，B(－267，－337)，则|AB|＝2＋2672＋3＋

3372＝10719，设过P点且与直线l平行的直线L的方程为y＝34x＋C，L与l的距离就是P点到AB的距离，即△PAB的边AB上的高，只要L与椭圆相切，就有L与边AB的最大距离，即得最大面积.将y＝34x＋C代入x216＋y24＝1，消元

整理可得：7x2＋83Cx＋16C2－64＝0，令判别式Δ＝(83C)2－4×7×(16C2－64)＝－256C2＋28×64＝0，解得C＝±28×64256＝±7.∴L与AB的最大距离为|－7－32|342＋1＝21927＋319，∴△PAB面积的最大值为12×10719×21927＋

319＝107(27＋3).题型三利用“点差法，设而不求思想”解题例3已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝55，直线l交椭圆于M，N两点.(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦|MN|的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点

F，求直线l方程的一般式.解(1)由已知得b＝4，且ca＝55，即c2a2＝15，∴a2－b2a2＝15，解得a2＝20，∴椭圆方程为x220＋y216＝1.则4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝40

9，∴所求弦长|MN|＝1＋12|x2－x1|＝4029.(2)如图，椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知BF→＝2FQ→，又B(0，4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，故得x0＝3，y0＝－2，即

得Q的坐标为(3，－2).设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且x2120＋y2116＝1，x2220＋y2216＝1，以上两式相减得x1＋x2x1－x22

0＋y1＋y2y1－y216＝0，∴kMN＝y1－y2x1－x2＝－45·x1＋x2y1＋y2＝－45×6－4＝65，故直线MN的方程为y＋2＝65(x－3)，即6x－5y－28＝0.点评当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，

过定点且被定点平分的弦所在直线方程时，用“点差法”来求解.变式训练3已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，焦点在直线x－2y－2＝0上，且离心率为12.(1)求椭圆方程；(2)过P(3，1)作直

线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，求直线l的方程.解(1)∵椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，焦点在直线x－2y－2＝0上，∴令y＝0，得焦点(2，0)，∴c＝2，∵离心率e＝ca＝12，∴2a＝12，解得a＝4，∴b2＝16－4＝12，∴椭圆方程为x21

6＋y212＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵过P(3，1)作直线l与椭圆交于A，B两点，P为线段AB的中点，∴由题意，x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，x2116＋y2112＝1，x2216＋y2212＝1，∴x2－x1x2＋x116＋y2－y1y2＋y1

12＝0，∴kl＝y2－y1x2－x1＝－94，∴l的方程为y－1＝－94(x－3)，即9x＋4y－31＝0.高考题型精练1.(2016·课标全国乙)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的

离心率为()A.13B.12C.23D.34答案B解析如图，由题意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝14×2b＝12b.在Rt△OFB中，|OF|×|OB|＝|BF|×|OD|，即cb＝a·12b，代入解得a2＝4c2，故椭圆离心率e＝c

a＝12，故选B.2.已知椭圆x29＋y25＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1，1)为椭圆内一点，点P为椭圆上一点，则|PA|＋|PF1|的最大值是()A.6B.6＋22C.6－2D.6＋2答案D解析|PA|＋|

PF1|＝|PA|＋2a－|PF2|≤2a＋|AF2|＝6＋2，当P，A，F2共线时取最大值，故选D.3.已知椭圆x29＋y25＝1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A(0，23)，当△APF的周长最大时，直线AP的方程为()A.

y＝－33x＋23B.y＝33x＋23C.y＝－3x＋23D.y＝3x＋23答案D解析椭圆x29＋y25＝1中a＝3，b＝5，c＝a2－b2＝2，由题意，设F′是左焦点，则△APF周长＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF

′|＝4＋6＋|PA|－|PF′|≤10＋|AF′|(A，P，F′三点共线，且P在AF′的延长线上时，取等号)，直线AP的方程为x－2＋y23＝1，即y＝3x＋23，故选D.4.如果椭圆x236＋y29＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是()A.x－2y＝0B.x＋2y－4＝0C.

2x＋3y－14＝0D.x＋2y－8＝0答案D解析设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，两式相减再变形得x1＋x236＋ky1＋

y29＝0，又弦中点坐标为(4，2)，故k＝－12，故这条弦所在的直线方程为y－2＝－12(x－4)，整理得x＋2y－8＝0，故选D.5.设F1、F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段P

F1的中点在y轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.33B.36C.13D.16答案A解析∵线段PF1的中点在y轴上，设P的横坐标为x，F1(－c，0)，∴－c＋x＝0，∴x＝c，∴P与F2

的横坐标相等，∴PF2⊥x轴，∵∠PF1F2＝30°，∴|PF2|＝12|PF1|，∵|PF2|＋|PF1|＝2a，∴|PF2|＝23a，tan∠PF1F2＝|PF2||F1F2|＝2a32c＝33，∴ac＝3，∴e＝ca＝33.6.过点M(0，1)的

直线l交椭圆C：x24＋y23＝1于A，B两点，F1为椭圆的左焦点，当△ABF1周长最大时，直线l的方程为______________.答案x＋y－1＝0解析设右焦点为F2(1，0)，则|AF1|＝4－|AF2|，|BF1|＝4－|

BF2|，所以|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝8＋|AB|－(|AF2|＋|BF2|)，显然|AF2|＋|BF2|≥|AB|，当且仅当A，B，F2共线时等号成立，所以当直线l过点F2时，△ABF1的周长取最大值8，此时直线方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.7.(2016·江苏)如图

，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.答案63解析联立方程组x2a2＋y2b2＝1，y＝b2，解得B、C两点坐标为B－32a，b

2，C32a，b2，又F(c，0)，则FB→＝－32a－c，b2，FC→＝32a－c，b2，又由∠BFC＝90°，可得FB→·FC→＝0，代入坐标可得：c2－34a2＋b24＝0，①又因为b2＝a2－c2.代入①式可化简为c2a2＝23，则椭

圆离心率为e＝ca＝23＝63.8.P为椭圆x29＋y28＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则PA→·PB→的取值范围是________.答案[3，15]解析圆心C(1，0)为椭圆的右焦点，PA→·PB→＝(PC→＋CA→)·(PC→＋CB→)＝(PC→

＋CA→)·(PC→－CA→)＝PC→2－CA→2＝|PC→|2－1，显然|PC→|∈[a－c，a＋c]＝[2，4]，所以PA→·PB→＝|PC→|2－1∈[3，15].9.设椭圆的中心为原点O，焦点在x轴上，上顶点为A(0，2)，离心率为255.(1)求该椭圆

的标准方程；(2)设B1(－2，0)，B2(2，0)，过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程.解(1)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，∵ca＝255，∴1－b2a2＝4

5，即b2a2＝15，又∵b2＝4，∴a2＝20，∴椭圆的标准方程为x220＋y24＝1.(2)由题意知直线l的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为：x＝my－2.代入椭圆方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋

y2＝4mm2＋5，y1·y2＝－16m2＋5，又B2P→＝(x1－2，y1)，B2Q→＝(x2－2，y2)，所以B2P→·B2Q→＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)

y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－16m2＋1m2＋5－16m2m2＋5＋16＝－16m2－64m2＋5，由PB2⊥QB2得B2P→·B2Q→＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2，∴直线l的方程为x＝±2y－2，即x±2y＋2＝0.10.(2016·课标全国乙)设圆x2＋y2＋

2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形

MPNQ面积的取值范围.解(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|A

D|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：x24＋y23＝1(y≠0).(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).

由y＝kx－1，x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0.则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋

3.过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，点A到m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋

14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83).当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83).

11.(2015·安徽)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为510.(1)求椭圆E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为

线段AC的中点，证明：MN⊥AB.(1)解由题设条件知，点M的坐标为2a3，b3，又kOM＝510，从而b2a＝510.进而a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝ca＝255.(2)证明由N是AC的

中点知，点N的坐标为a2，－b2，可得NM→＝a6，5b6，又AB→＝(－a，b)，从而有AB→·NM→＝－16a2＋56b2＝16(5b2－a2).由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以AB→·NM→＝0，故MN⊥AB.