【文档说明】高考数学（全国甲卷通用理科）知识 方法篇 专题5　数列、推理与证明 第22练 含答案.doc，共(10)页，117.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第22练基本量法——破解等差、等比数列的法宝[题型分析·高考展望]等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差

、等比数列的常用性质.体验高考1.(2016·课标全国乙)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于()A.100B.99C.98D.97答案C解析由等差数列性质，知S9＝9a1＋a

92＝9×2a52＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝a10－a510－5＝1，∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.2.(2015·福建)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排

序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A.6B.7C.8D.9答案D解析由题意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b，a

，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有a，－2，b；b，－2，a.∴ab＝4，2b＝a－2或ab＝4，2a＝b－2，解得a＝4，b＝1或a＝1，b＝4.∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.3.(2016·北京)已知

{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝______.答案6解析∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.∴S6＝6×6＋6×6－12×(－2)＝6.4.(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比

数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________.答案2n－1解析由等比数列的性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，∴联立方程a1a4＝8，a1＋a4＝9，解

得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1，又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.∴数列{an}的前n项和为Sn＝1－2n1－2＝2n－1.5.(2016·课标全国乙)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的

最大值为__________.答案64解析设等比数列{an}的公比为q，∴a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，即a1＋a1q2＝10，a1q＋a1q3＝5，解得a1＝8，q＝12.∴a1a2…an＝12(－3)＋(－2)＋…＋(n－4)2117

49(7)()22241122，nnn当n＝3或4时，12n－722－494取到最小值－6，此时21749()22412

n取到最大值26，∴a1a2…an的最大值为64.高考必会题型题型一等差、等比数列的基本运算例1已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝11，S3＝24.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝ann＋6an＋1－5，求数列{bn}中的最小的项.

解(1)∵a3＝a1＋2d，S3＝3a1＋3×22d＝3a1＋3d，∴a1＋2d＝11，3a1＋3d＝24⇒a1＝5，d＝3.∴an＝5＋(n－1)×3＝3n＋2.(2)bn＝ann＋6an＋1－5＝3n2＋20n＋123n＝n＋4n＋203≥2n·4n＋

203＝323.当且仅当n＝4n，即n＝2时，bn取得最小值323，∴数列{bn}中的最小的项为323.点评等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素.(2)解题思路：①设基本量a1和公差d(公比q)

；②列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量.变式训练1(1)等比数列{an}前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列{an}的公比为________.(2)(2015·课标全国

Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于()A.21B.42C.63D.84答案(1)13(2)B解析(1)设等比数列{an}的公比为q，则当q＝1时，S1＝a1，2S2＝4

a1，3S3＝9a1，S1，2S2，3S3不成等差数列；当q≠1时，∵S1，2S2，3S3成等差数列，∴4S2＝S1＋3S3，即4×a11－q21－q＝a1＋3×a11－q31－q，即3q2－4q＋1＝0，∴q＝1(舍)或q＝13.(2)设等比数列{an}的公比为

q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.题型二等差数列、等比数列的性质及应用例2(1)

(2015·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝______.(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则S6S3＝________.答案(1)10(2)28解析(1)因为{an}是等差数列，所以a3＋a7

＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.(2)由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1

q5，所以q＝3，由Sn＝a11－qn1－q，得S6＝a11－361－3，S3＝a11－331－3，所以S6S3＝a11－361－3·1－3a11－33＝28.点评等差(比)数列的

性质盘点类型等差数列等比数列项的性质2ak＝am＋al(m，k，l∈N*，且m，k，l成等差数列)a2k＝am·al(m，k，l∈N*，且m，k，l成等差数列)am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p

＋q)am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q)和的性质当n为奇数时：Sn＝12nna当n为偶数时：S偶S奇＝q(公比)依次每k项的和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列依次每k项的和：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等比数列(k不为偶数且公

比q≠－1)变式训练2(1){an}为等差数列，若a11a10<－1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于()A.11B.17C.19D.21(2)在正项等比数列{an}中，3a1，12a3，2a2成等差数列，则a2016－a2017a2014－a2015等于()A.

3或－1B.9或1C.1D.9答案(1)C(2)D解析(1)∵Sn有最大值，∴d<0，又a11a10<－1，∴a11<0<a10，∴a10＋a11<0，S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)<0，S19＝19a10>0，∴S19为最小正值.(2)设数列{an}的公比为q(q>0

)，依题意，a3＝3a1＋2a2，∴a1q2＝3a1＋2a1q，整理得：q2－2q－3＝0，解得q＝3或q＝－1(舍)，∴a2016－a2017a2014－a2015＝a2014·q2－a2015·q2a2014－a2015＝q2＝9.题型三等差

、等比数列的综合应用例3已知等比数列{an}中，首项a1＝3，公比q>1，且3(an＋2＋an)－10an＋1＝0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设{bn＋13an}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{bn}的通项公式和前n项

和Sn.解(1)∵3(an＋2＋an)－10an＋1＝0，∴3(anq2＋an)－10anq＝0，即3q2－10q＋3＝0，∵公比q>1，∴q＝3.又∵首项a1＝3，∴数列{an}的通项公式为an＝3n.(2)∵{bn＋13an}是首项为1，公差

为2的等差数列，∴bn＋13an＝1＋2(n－1)，即数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1－3n－1.前n项和Sn＝－(1＋3＋32＋…＋3n－1)＋[1＋3＋…＋(2n－1)]＝－12(3n－1)＋n2.点评(1)对数列{an}，首先弄清是等差还是等比，然后利用相应的公

式列方程组求相关基本量，从而确定an、Sn.(2)熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质，也是解决此类题目的主要方法.变式训练3(2015·北京)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a

7，问：b6与数列{an}的第几项相等？解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1，2，…).(2)设等比数列{

bn}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2，得n＝63，所以b6与数列{an}的第63项相等.高考题型精练1.设{an}是首项

为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于()A.2B.－2C.12D.－12答案D解析因为等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋nn－12d，所以S1，S2，S4分别为a1，2a1－1，4a1－6.因为S1，

S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6).解得a1＝－12.2.已知无穷等差数列{an}，前n项和Sn中，S6<S7，且S7>S8，则()A.在数列{an}中a7最大B.在数列{an}中，a3或a4最

大C.前三项之和S3必与前10项之和S10相等D.当n≥8时，an<0答案D解析由于S6<S7，S7>S8，所以S7－S6＝a7>0，S8－S7＝a8<0，所以数列{an}是递减的等差数列，最大项为a1，所以A，B均错，D正

确.S10－S3＝a4＋a5＋…＋a10＝7a7>0，故C错误.3.已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()A.－110B.－90C.90D.110答案

D解析∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，又∵a7是a3与a9的等比中项，∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，解得a1＝20.∴S10＝10×20＋12×10×9×(－

2)＝110.4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，给出下列五个命题：①d<0；②S11>0；③使Sn>0的最大n值为12；④数列{Sn}中的最大项为S11；⑤|a6|>|a7|，其中正确命题的个数是()A.5B.4C.3D.1答案B解析∵S6>S7>S5，

∴a7<0，a6>0，a6＋a7>0，因此|a6|>|a7|；d＝a7－a6<0；S11＝11a1＋a112＝11a6>0；S12＝12a1＋a122＝6(a6＋a7)>0，而S13＝13a7<0，因此满足S

n>0的最大n值为12；由于a7<0，a6>0，数列{Sn}中的最大项为S6，∴④错，①②③⑤正确，故选B.5.在正项等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且－a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为()A.125B.126C.127D.128答案C解析设正项等比数列{an}的公比

为q(q>0)，且a1＝1，由－a3，a2，a4成等差数列，得2a2＝a4－a3，即2a1q＝a1q3－a1q2.因为q>0，所以q2－q－2＝0.解得q＝－1(舍)或q＝2.则S7＝a11－q71－q＝1·1－271－2＝127.6.已知两个等差数列{a

n}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()A.2B.3C.4D.5答案D解析由等差数列的前n项和及等差中项，可得anbn＝12a1＋a2n－112b1＋b2n－1＝12

2n－1a1＋a2n－1122n－1b1＋b2n－1＝A2n－1B2n－1＝72n－1＋452n－1＋3＝14n＋382n＋2＝7n＋19n＋1＝7＋12n＋1(n∈N*)，故当n＝1，2，3，5，11时，anbn为整数.即正整数n

的个数是5.7.(2016·江苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.答案20解析设等差数列{an}公差为d，由题意可得：a1＋a1＋d2＝－3，5a1＋5×42d＝10，

解得a1＝－4，d＝3，则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.8.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是________.答案20解析等差数列{an}的公差为d，则3a1

＋6d＝105，3a1＋9d＝99，即a1＋2d＝35，a1＋3d＝33，∴a1＝39，d＝－2.∴Sn＝39n＋nn－12×(－2)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400，当n＝20时，Sn取得最大值.9.公差不为0的等差数列{an}的部分

项123,,,kkkaaa…构成等比数列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，则k4＝________.答案22解析根据题意可知等差数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1

⇒4ka＝a1＋(n－1)·(3a1)＝64a1，解得n＝22，即k4＝22.10.若数列{an}对任意的正整数n和m等式a2n＋m＝an×an＋2m都成立，则称数列{an}为m阶梯等比数列.若{an}是3阶梯等

比数列有a1＝1，a4＝2，则a10＝________.答案8解析由题意有，当{an}是3阶梯等比数列，a2n＋3＝anan＋6，a24＝a1a7，所以a7＝4，由a27＝a4a10，有a10＝a27a4＝8.11.(2016·北京)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且

b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.解(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由b2＝b1q＝3，b3＝b1q2＝9，得b1＝1，q＝3.∴{bn}的通项

公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…).(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋b

n＝2n－1＋3n－1，∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋30×1－3n1－3＝2×n＋1n2－n＋3n－12＝n2＋3n－12.即数列{cn}的前n项和为n

2＋3n－12.12.在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.解(1)设等差数列{an}的公差是d，∵a3＋a8－(a2＋a

7)＝2d＝－6，∴d＝－3.∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，∴bn＝3n－2＋qn－1.∴Sn＝[1＋4＋7＋

…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝n3n－12＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)，故当q＝1时，Sn＝n3n－12＋n＝3n2＋n2；当q≠1时，Sn＝n3n－12＋1－qn1－q.