【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册6.3.1《平面向量基本定理》学案 (含详解).doc，共(8)页，160.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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【新教材】6.3.1平面向量基本定理（人教A版）1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.1.数学抽象：平面向量基底定

理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.一、预习导入阅读课本25-27页，填写。1、定理探究：平面向量基本定理：注意：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ

２叫做表示这一平面内所有向量的;(2)基底不惟一，关键是；(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式.即λ1，λ2是被a，1e，2e唯一确定的数量1．判断

下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量都可以作为基底．()(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．()(3)零向量不可以作为基底中的向量．()2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，

以下各组向量中不能作为基底的是()A．e1，e2B．e1＋e2,3e1＋3e2C．e1,5e2D．e1，e1＋e23．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且OA→＝a，OB→＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称

点为R，则PR→等于()A．a－bB．2(b－a)C．2(a－b)D．b－a4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________.题型一正确理解向量基底的概念例1设O是平行

四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①AD→与AB→；②DA→与BC→；③CA→与DC→；④OD→与OB→，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④跟踪训练一1、设e1，e2是平面

内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1D．e2和e2＋e1题型二用基底表示向量例2如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC―→＝a，BD―→＝b，试用基底a，b表示AB―→

，BC―→.跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且DCAB＝k，设AD―→＝e1，AB―→＝e2，以e1，e2为基底表示向量DC―→，BC―→，MN―→.题型三平面向量基本定理的应用例3如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC

上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．跟踪训练三1．在△ABC中，AD→＝13AB→，AE→＝14AC→，BE与CD交于点P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.1．已知e

1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1，e1＋e2B．e1－2e2，e2－2e1C．e1－2e2，4e2－2e1D．e1＋e2，e1－e22．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别

为()A．0，0B．1，1C．3，0D．3，43．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝3PA→，则()A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝144．设e1，e2是平面内

一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________．5．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM→＝λAB→＋μBC→，则λ＋μ＝_____

___.6．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求

λ，μ的值．答案小试牛刀1.(1)×(2)√(3)√2．B.3．B.4.3自主探究例1【答案】B【解析】①AD→与AB→不共线；②DA→＝－BC→，则DA→与BC→共线；③CA→与DC→不共线；④OD→＝－OB→，则

OD→与OB→共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．跟踪训练一1、【答案】B.【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底．例2【答案】AB―→＝12a－12

b，BC―→＝12a＋12b.【解析】由题意知，AO―→＝OC―→＝12AC―→＝12a，BO―→＝OD―→＝12BD―→＝12b.所以AB―→＝AO―→＋OB―→＝AO―→－BO―→＝12a－12b，BC―→＝BO―→

＋OC―→＝12a＋12b.跟踪训练二1、【答案】DC―→＝ke2.BC―→＝e1＋(k－1)e2.MN―→＝k＋12e2.【解析】法一：∵AB―→＝e2，DCAB＝k，∴DC―→＝kAB―→＝ke2

.∵AB―→＋BC―→＋CD―→＋DA―→＝0，∴BC―→＝－AB―→－CD―→－DA―→＝－AB―→＋DC―→＋AD―→＝e1＋(k－1)e2.又MN―→＋NB―→＋BA―→＋AM―→＝0，且NB―→＝－12BC―→，AM―→＝12A

D―→，∴MN―→＝－AM―→－BA―→－NB―→＝－12AD―→＋AB―→＋12BC―→＝k＋12e2.法二：同法一得DC―→＝ke2，BC―→＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，由MN―→＝12(MB―→＋MC―→)得MN―→＝12(MA―→＋AB―→＋MD―→＋

DC―→)＝12(AB―→＋DC―→)＝k＋12e2.例3【答案】AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.【解析】设BM―→＝e1，CN―→＝e2，则AM―→＝AC―→＋CM―→＝－3e2－e1，BN―→＝BC―→＋CN―→＝2e1＋e2.∵A，P

，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP―→＝λAM―→＝－λe1－3λe2，BP―→＝μBN―→＝2μe1＋μe2.故BA―→＝BP―→＋PA―→＝BP―→－AP―→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而BA―→＝BC―→＋CA―→＝2e1＋3e2，由平面

向量基本定理，得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.∴AP―→＝45AM―→，BP―→＝35BN―→，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝32.跟踪训练三1．【答案】AP→＝311a＋211b．【解析】如图，取AE的三等分点M，使AM＝13AE，连接D

M，则DM//BE.设AM＝t(t＞0)，则ME＝2t.又AE＝14AC，∴AC＝12t，EC＝9t，∴在△DMC中，CECM＝CPCD＝911，∴CP＝911CD，∴DP＝211CD，AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋211DC→＝13AB→＋211(DA→＋AC→)＝13AB→＋211

－13AB→＋AC→＝311AB→＋211AC→＝311a＋211b．当堂检测1-3.CDD4.23a－13b5.236.【答案】（1）见解析.（2）c＝2a＋b.（3）λ，μ的值分别为3和1.【解析】(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝b，则e1－2e2＝

λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得λ＝1，3λ＝－2⇒λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2

＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1⇒m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝ab，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ

＋3μ)e2.∴λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.