【文档说明】人教版高中数学选择性必修第二册专题4.5《数学归纳法》基础卷(解析版).doc，共(11)页，591.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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专题4.5数学归纳法（A卷基础篇）（人教A版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·吉林吉林市·高二期末（理））用数学归纳法证明等式，123...221nnn

时，由nk到1nk时，等式左边应添加的项是（）A．21kB．22kC．2122kkD．12...2kkk【答案】C【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由nk到1n

k时，等式左边增加了1232212112322122kkkkkk，故选C.2．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明*1111

,12321nnnNn时，第一步应验证的不等式是（）A．1122B．111223C．111323D．11114234【答案】B【解析】∵*nN，1n，∴n所取的第一个正整数为2，又22

13，故第一步应验证111223．故选：B3．（2020·上海市新场中学高二月考）用数学归纳法证明等式221*111,1nnaaaaanNa时，当1n时，左边等于（）A．1B．1aC．21aaD．2a【答案】C【解析】用数学归

纳法证明：2211111nnaaaaaa，在验证1n时，令1n代入左边的代数式，得到左边11211aaaa.故选：C4．（2020·陕西宝鸡市·高二期末（理））用数学归纳法证明22221132nnn，则当1nk时，左端应在nk

的基础上加上（）A．21kB．21kC．222121kkkD．22122kk【答案】C【解析】当nk时，等式左端212k，当1nk时，等式左端222212121kkkk，增加了项

22221231kkkk．故选：C．5．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）用数学归纳法证明1351211nnnn，*nN成立.那么，“当1n时，命题成立”

是“对*nN时，命题成立”的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】B【解析】“当1n时，命题成立”不能推出“对*nN时，命题成立”，“对*nN时，命题成立”可以推出“当1n时，命题成立”，所

以“当1n时，命题成立”是“对*nN时，命题成立”的必要不充分/故选：B6．（2020·吉林白城市·白城一中高二期末（理））用数学归纳法证明1115......1236nnn时，从nk到1nk，不等式左边需添加

的项是（）A．111313233kkkB．11113132331kkkkC．131kD．133k【答案】B【解析】当nk时，所假设的不等式为1115......1236kkk，当1nk时，要

证明的不等式为1111115......2233132336kkkkkk，故需添加的项为：11113132331kkkk，故选：B.7．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明不等式111

131214nnnn的过程中，由nk递推到1nk时，不等式左边（）A．增加了一项121kB．增加了两项121k，121kC．增加了A中的一项，但又减少了另一项11kD．增加了B中的两项，但又减少了另一项11k【答案】D【解

析】当nk时，左边11112kkkk，当1nk时，左边111(1)1(1)2(1)(1)kkkk11111232121

kkkkkk，所以，由nk递推到1nk时，不等式左边增加了121k，121k；减少了11k；故选D8．（2020·梧州高级中学高二期中（理））已知n为正偶数，用数学归纳法证明1111111122341242

nnnn时，若已假设(2nkk为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n（）时等式成立（）A．1nkB．2nkC．22nkD．2(2)nk【答案】B【解析】若已假设n=k(k≥

2，k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立.、故选B.9．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明命题“当n为奇数时，nnxy能被xy整除”，在证明1n正确后，归纳假设应写成（）．A．假设

*nkkN时命题成立B．假设*nkkN„时命题成立C．假设*21nkkN时命题成立D．假设*21nkkN时命题成立【答案】D【解析】此题所成立的数是所有的正奇数，根据数学归纳法的证题步骤要求，第二步所取的值的范围应从1n

开始取值所有奇数，即*21nkkN．故选：D．10．（2020·上海高二课时练习）在用数学归纳法求证：(1)(2)()2135(21)nnnnnn的过程中，nN从“k到1k”左边需增乘的代数式为（）．A．22kB．(21)(22)kkC．221kkD．

2(21)k【答案】D【解析】当nk时，左边(1)(2)()(1)(2)(2)Akkkkkkk，当1nk时，左边(1)(2)(11)(2)(3)(22)Bkkkkkkk

，则(2)(3)(2)(21)(22)(21)(22)2(21)(1)(2)(2)1BkkkkkkkkAkkkk.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·全国高二课时练习

）用数学归纳法证明命题“1+1123+…+1222nn(n∈N+，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是________.【答案】1112212342【解析】因为n≥2，所以第一步要证的是

当n=2时结论成立，即1+111222342.故答案为：111221234212．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明关于n的恒等式，当nk时，表达式为21427311kkkk，则当1nk时，表达式为__

_____.【答案】214273113412kkkkkk【解析】当1nk时，表达式左侧为：142731134kkkk，表达式右侧为：212kk，则当1nk时

，表达式为214273113412kkkkkk.故答案为：214273113412kkkkkk.13．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明*111111111

234212122nNnnnnn时，第一步应验证的等式是________．【答案】11122【解析】由题知等式的左边有2n项，右边有n项，且*nN，因此第一步应验证1n时的等式，此时左边112，右边12，

故答案为：11122．14．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：111111111234212122nnnnn，第一步应验证的等式是__________；从“nk”到“1nk”左边需增加

的等式是_________.【答案】111221121121kk【解析】当1n时，应当验证的第一个式子是11122，从“nk”到“1nk”左边需增加的式子是1121121kk15．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明

：“对任意奇数n，命题()Pn成立”时，第二步论证应该是假设n______命题成立，再证n______时，命题也成立.【答案】21k21k【解析】依题意用数学归纳法证明：“对任意奇数n，命题()Pn成立”，由于n为奇数，所以第二步论证应该是假设21nk命题成立，再证21121

nkk时命题也成立.故答案为：21k；21k16．（2018·浙江宁波市·余姚中学高二期中）已知n为正偶数，用数学归纳法证明“11111111122341242nnnnn……”时，第一步的验

证为________________________；若已假设nk（2k且k为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设证n________时等式成立.【答案】当2n时，左边11122，右边11242，等式成立；2k【解析】对11111111122341242nnnnn

……在n为正偶数，用数学归纳法证明归纳基础，因为n为正偶数，则基础2n，当2n时，左边11122，右边11242，等式成立；归纳假设，当nk（2k且k为

偶数）时，11111111122341242kkkkk……成立由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为2nk时，等式成立故答案为：(1).当2n时，左边11122，右边112

42，等式成立；(2).2k17．（2020·江苏苏州市·高二期中）在数列na中，a1=1，*131nnnaanNn，则a3=______，an=_______.【答案】272234nn【解析】第一空：因为11a，131nnnaan，所以21415aa

，32527122aa；第二空：由第一空可知：3272a，所以可得432128aa，因为211(13)14a，222(23)54a，23273(33)24a，244(43)28

4a，所以猜想234nnna，数学归纳法证明如下：（1）当1n时，显然11a；（2）假设当nk时成立，即234kkka，当1nk时，1232322222313(3)14694442944(4)(21)

(4)4(4)(21)4(1)(4),4kkkaakkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk综合（1）（2），所以234nnna，故答案为：272；234nn三．解答题（共5小题，满分64分

，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·上海高二课时练习）在证明11111111123421232nnnnn，由nk到1nk的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？【答案】112122k

k；11112122kkk【解析】nk时，左边为111112342k，1nk时，变为111112342k112122kk，故由nk到1nk的变化过程

中，左边增加的都分是112122kk；nk时，右边为11111232kkkk，1nk时，变为11111123422122kkkkkk，右边增加的部分是11112122k

kk.故答案为：112122kk；11112122kkk.19．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：对任意正整数,4151nnn能被9整除．【答案】见解析【

解析】证明：（1）当1n时，4151nn18，能被9整除，故当1n时，4151nn能被9整除．（2）假设当nk时，命题成立，即4151kk能被9整除，则当1nk时，1415(1)1441519(52)kkkkk

也能被9整除.综合(1)(2)可得,对任意正整数,4151nnn能被9整除．20．（2020·旬邑县中学高二月考（理））已知数列na满足123a，112nnaa*2,nnN….（1）求2a、3a；（

2）猜想数列通项公式na，并用数学归纳法给出证明.【答案】（1）34，45；（2）*12nnannN,证明见解析.【解析】（1）234a，345a；（2）猜想数列通项公式12nna

n，证明如下：当1n时，123a，1223nn，所以12nnan成立；假设nk时成立，即12kkak，当1nk时，1111121231222nkkkakakkk

，∴1nk时，12nnan成立，综上，由①②得：*12nnannN.21．（2016·广东揭阳市·高二月考）设数列na的前n项和为nS，并且满足22,0nnnSana．猜想n

a的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】nan【解析】（1）解：分别令，得，∵，∴，猜想：，由①可知，当2n时21211nnSan②①-②得22121nnnaaa，即22121nnnaaa当

2n时2222211aa∵，∴，（ii）假设当时，，那么当时，,∵，∴，∴，即当时也成立．∴，显然时，也成立，故对于一切，均有．22．（2016·广西桂林市·高二期中）在数列{an}中，a1=1且111nnaann

（1）求出2a，3a，4a；（2）归纳出数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论．【答案】（1）232a，353a，474a；（2）21nnan．【解析】（1）由a1=1且111nnaann知：2113122aa，3215233aa，43

17344aa（2）猜想数列na的通项公式为21nnan，证明如下：（i）当n=1时，左边=11a，右边=21111左边=右边即猜想成立；（ii）假设当n=k时，猜想成立，即有21kkak那么当n=1k时，1211

1211211111kkkkkaakkkkkkk从而猜想对n=1k也成立；由（i）（ii）可知，猜想对任意的nN都成立，所以数列na的通项公式为21nnan