【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册提高练习3.3.2《抛物线的简单几何性质（2）》（解析版）.doc，共(8)页，697.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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3.3.2抛物线的简单几何性质（2）-B提高练一、选择题1．（2020·江西宜春高二期中）已知点A(2,0)，抛物线C：24xy的焦点F．射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则:FMMN=（）A．2:5B．1:2C．1:5D．1

:3【答案】C【解析】抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），定点A（2，0），∴抛物线C的准线方程为y=-1.设准线与y轴的交点P，则FM：MN=FP：FN，又F（0，1），A（2，0），∴直线FA为：x+2y-2=0，当y=-1时，x=4，即N（4，-1），2221542FPFN

，:FMMN=1:5.2．（2020·辽宁大连高二月考）已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．172B．3C．5D．92【答案】A【解析】由

题意，设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则1(,0)2F，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线的准线的距离为PPPF,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和22117()222dPFPAAF，故

选A.3.已知拋物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,且16≤|AB|≤24,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则的取值范围是()A.[-2,-]∪[,2]B.[-,-1]∪[1,]C.[-2,-1]∪[1,2]D.[-]【答案

】B【解析】对于一般的抛物线方程y2=2px,设过焦点的直线方程为x=my+,与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,设A,B,故y1+y2=2pm,则=m=,其中k为直线AB的斜率,设AB所在直线的倾斜角为θ,由抛物线的

焦点弦公式可知|AB|=∈[16,24],则sin2θ∈,tan2θ=-1=,故∈[1,2],所以的取值范围是[-,-1]∪[1,].4．（2020·河南洛阳高二月考）已知抛物线y2=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则的最小值为()A.B.-

C.-D.【答案】D【解析】抛物线y2=16x的焦点为F,则F(4,0),当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4,由可得M(4,8),N(4,-8),∴|MF|=|NF|=8,∴.当直线l的斜率存在时,设过点F的直线l的

方程为y=k(x-4),不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),由消y可得k2x-(16+8k2)x+16k2=0,∴x1+x2=8+,x1x2=16,∴|MF|=x1+=x1+4,|NF|=x2+=x2+4,∴.∴-1≥2-1=

,当且仅当|NF|=6时取等号.故的最小值为.5．（多选题）（2020·江苏如皋高二月考）已知抛物线24xy的焦点为F，11,Axy，22,Bxy是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A．点F的坐标为1,0B．若A，

F，B三点共线，则3OAOBC．若直线OA与OB的斜率之积为14，则直线AB过点FD．若6AB，则AB的中点到x轴距离的最小值为2【答案】BCD【解析】由抛物线24xy，可得2p，则焦点F坐标为(0,1)，故A错误；设直线A

B的方程为1ykx，联立方程组214ykxxy，可得2440xkx，所以12124,4xxkxx，所以2121212()11yykxxkxx，所以1212413OAOBxxyy，故B正确；设直线AB的方程为ykxm

，联立方程组24ykxmxy，可得2440xkxm，所以12124,4xxkxxm，所以222222121212()44yykxxkxxmkmmkmm，因为直线OA与OB的斜率之积为14，即121214yyxx，可得2144mm，解得1

m，所以直线AB的方程为1ykx，即直线过点F，故C正确；因为222212121()4116166ABkxxxxkkm，所以224(1)()9kkm，所以2994(1)m

k，因为21212()242yykxxmkm，所以AB的中点到x轴的距离：22222299224(1)4(1)dkmkkkkk229114(1)kk2292(1)13124(1)kk，当且仅当212k时

等号成立，所以AB的中点到x轴的距离的最小值为2，故D正确，综上所述，正确命题为BCD.6.（多选题）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,点P在l上的射影为P

1,则下列结论中正确的是()A.若x1+x2=6,则|PQ|=8B.以PQ为直径的圆与准线l相切C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条

【答案】ABC【解析】若直线的斜率存在,设y=k(x-1),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,x1+x2=,x1x2=1.对于A,若x1+x2=6,则k2=1,故k=1或-1,|PQ|=×4=8,故A成立;对于B,取PQ点中点N,N

在l上的投影为N',Q在l上的投影为Q',根据抛物线的定义,|PP1|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=(|PP1|+|QQ'|)=|PQ|,故B成立;对于C,M(0,1),|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|M

F|=,故C成立;对于D,过M(0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M(0,1)且与x轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D不成立.二、填空题7．（2020·博兴第三中学高二月考）以抛物线22yx的焦点为

圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.【答案】22112xy【解析】抛物线22yx的焦点为1,02，准线为12x，焦点到准线的距离为1，所以圆的圆心

为1,02，半径为1，故圆的标准方程为22112xy.故答案为：22112xy8.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线

C的交点,O是坐标原点,且满足=3,S△OMN=|MN|,则p的值为.【答案】8【解析】不妨设直线MN的斜率k>0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,过N作NK⊥MG于K,由=3,得|MF|=3|FN|,∴|MG|=3|NH|,∴|MK|=2|NH|=2|N

F|=|MN|,∴|NK|=|MN|,由S△OMN=S△OMF+S△ONF=|OF|·|NK|=p|MN|,又S△OMN=|MN|,∴p|MN|=|MN|,得p=8.9．（2020·华南师大附中高二月考）已知抛物线22(0)ypxp在第一象限内的一点(3,)Ab到抛物线焦点F的距离为4，若P为

抛物线准线上任意一点，则当PAF△的周长最小时，点P到直线AF的距离为______.【答案】433【解析】由已知及抛物线的定义得点A到准线的距离为4，因此有342p，解得2p，故抛物线方程为24yx，从而(3,23)

A.当PAF△的周长最小即||||PAPF的值最小，设F关于准线的对称点为1F，则1(3,0)F，连接1AF，则1AF与准线的交点即为使得||||PAPF的值最小的点P，此时可求得231,3P.又因为230331AFk，所以直线

AF的方程为03(1)yx，即330xy，故点P到直线AF的距离223333433(3)1d.10.（2020·山西师大附中高二月考）抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行

x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为.【答案】y2=3x【解析】由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F.当直线PQ斜率不存在时,易得|PQ|=2p;当直线PQ斜率存在时,设PQ

的方程为y=k,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立得k2=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x2=p+,x1x2=.所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p.综上,当

直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,∴抛物线方程为y2=3x.三、解答题11.（2020·利川市第五中学高二期中）已知动点P在抛物线24yx上，过点P作y轴的垂线，垂足为H，动点Q满足2

PQPH.（1）求动点Q的轨迹E的方程；（2）点(4,4)M，过点(5,4)N且斜率为k的直线交轨迹E于,AB两点，设直线,MAMB的斜率分别为12,kk，求12kk的值.【解析】（1）设点00,Px

y，可得0000,,,0,2,0HyPHxPQx，则可得出点Q的坐标为00,xy，得动点Q轨迹E的方程为24yx.（2）设过点N的直线方程为1122(5)4,,,,ykxAxyBxy，联立方程有2(5)4

4ykxyx，可得22221084(45)0kxkkxk，则212221221084(45)kkxxkkxxk.12121244,44yykkxx，

2221212121212121285(85)585844416kxxkkxxkkxkkxkkkxxxxxx43248kk.12.（2020·全国高二专题练）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，

过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上．（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）当xA∈（1，2）时，求△ABC面积的最大值．【解

析】（1）点(1,0)F为抛物线22(0)ypxp的焦点，即12p，即2p，抛物线的方程为24yx，准线方程为1x；（2）证明：设过F的直线方程为(1)ykx，0k，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，(,)Cmn，即有2114yx，2

224yx，24nm，联立直线(1)ykx和抛物线24yx可得2440kyyk，可得124yyk，124yy，则12121212124()44()OABCynynyykkxmx

ynyyny，由ABC的重心G在x轴上，可得1203nyy，即120nyy，即有0OABCkk，当直线AB的斜率不存在时，求得A，B，C的坐标，可得0OABCkk．则直线OA与直线BC的倾斜角互补；（3）由（2

）可得21212()116yyxx，12122422yyxxkk，可得1211452(2,)2xxk，解得2(8,)k，由抛物线的定义可得1224||24ABxxk，由120nyy，即40nk，即4nk，2244nmk，

C的坐标为24(k，4)k，C到直线kxyk0的距离为22448||||11kkkkkdkk，可得ABC的面积为222228||11418||(4)2||221kkkkSdABkkkk

，由28k，可得221821(1)Skk，设21321(1)4ttk，则22(98)Stt，由218480St，则S在(321,4)递减，可得2S；当直线AB的斜率不存在时，设(1,2)A，(1,2)B，

可得(0,0)C，ABC的面积为14122，可得ABC的面积的最大值为2．