【文档说明】人教版高中数学选择性必修第二册培优练习第5章《一元函数的导数及其应用》单元检测A（解析版）.doc，共(23)页，894.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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数学选择性必修二尖子生同步培优题典第五章一元函数的导数及其应用单元检测A解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数yfx在0xx处的导数为

1，则000lim2xfxxfxx（）A．0B．12C．1D．2【答案】B【解析】【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解.【详解】解：因为函数yfx在0xx处的导数为1，则0000000111limlim2222xxf

xxfxfxxfxfxxx.故选：B.【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础题．2．设函数()fx在定义域内可导，()yfx的图象如图所示，则导函数()yfx的图象为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据原函数图像，由导函

数与原函数图像之间关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】由图可知，函数()fx在(,0)上单调递减，所以()0yfx在(,0)上恒成立，排除选项B和D；函数()fx在(0,)上先递减后递增再递减，所以()yfx在(0,)上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；故

选：C．【点睛】本题主要考查导数与原函数图像之间关系的判定，属于基础题型.3．函数2cosyxx在区间0,2上的最大值是（）A．13B．24C．36D．2【答案】C【解析】【分析】利用导数分析函数2cosyxx在区间0,2上的单调性，进而可求

得函数2cosyxx在区间0,2上的最大值.【详解】对于函数2cosyxx，12sinyx.当06x时，12sin0yx；当62x时，12sin0yx.所以，函数

2cosyxx在区间0,6上单调递增，在区间,62上单调递减.所以，max2cos3666y.故选：C.【点睛】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数

最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数yfx在,ab内所有使0fx的点，再计算函数yfx在区间内所有使0fx的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．4．若函数2()ln2fxxax在区间1,22内存在单调递增区间，则实数a

的取值范围是（）A．(,2]B．1,8C．12,8D．(2,)【答案】D【解析】【分析】先将函数2()ln2fxxax在区间1,22内存在单

调递增区间，转化为1()20fxaxx在区间1,22上有解，再转化为min212()ax，进而可求出结果.【详解】因为2()ln2fxxax在区间1,22内存在单调递增区间，所以1()20fxaxx在区间1,22上

成立，即212ax在区间1,22上有解，因此，只需212412a，解得2a.故选D【点睛】本题主要考查由导数在某区间内的单调性求参数的问题，只需对函数求导，利用导数的方法研究函数单调性即可，属于常考题型.5．曲线2yxx=-在点(1,0)处的切线方

程是（）A．210xyB．210xyC．10xyD．10xy【答案】D【解析】【分析】求导得到12yx，再根据切线方程的公式计算得到答案.【详解】曲线为2yxx=-，所以12yx；当1x时，121y，曲线2yxx=-在点(1,

0)处的切线方程为1(1)yx，即10xy，故选：D.【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.6．已知函数fx的导函数1fxaxxa，若fx在xa处取得极大值，则实数a的取值范围是（）A．1,0B．2,C．0,1D．,3

【答案】A【解析】【分析】分四种情况讨论，分别判断xa两边导函数值的符号，判断()fx在xa处是否取得极大值，即可筛选出a的取值范围.【详解】由fx在xa处取得极大值可知，当xa时，()0fx；当xa时，()0fx，其等价

于①存在,,bxba，使得(1)()0axxa，且②存在,,cxac，使得(1)()0axxa；若0a时，(1)()0axxa的解集为(,1)(,)a，不满足②即不存在(,)xac，使得(1)()0axxa，

故0a时()fx在xa不是极大值；若10a时，(1)()0axxa的解集为(1,)a，(1)()0axxa的解集为(,1)(,)a，满足①②，故10a时，()fx在xa处取得极大值；若1a，

(1)()axxa恒小于等于0，不满足①，故1a时，()fx在xa取不到极大值；若1a时，(1)()0axxa的解集为(,1)a，不满足②，故1a时，()fx在xa处取不到极大值.综上，a的取值范围是1,0.故选：A.【点睛

】求函数fx极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数fx；(3)解方程0,fx求出函数定义域内的所有根；(4)检查fx在0fx的根0x左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那

么fx在0x处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么fx在0x处取极小值.7．已知函数cosxfxex，设10.3af，0.32bf，2log0.2cf，则（）A．cbaB．cabC．bacD．bca【

答案】D【解析】【分析】由题意可得fx是偶函数，当0x时，sin0xfxex，可得yfx在0,单调递增，又1100.33,43，0.320,1，22lo

g0.2log52,3，根据函数的单调性可得出答案.【详解】由cosxfxexfx，则fx是偶函数，当0x时，sin0xfxex，所以yfx在0,单调递增，由1100.33

,43，0.320,1，22log0.2log52,3，则10.320.3log0.22，所以10.320.3log0.22fff又22log0.

2log0.2cff，所以bca故选：D【点睛】本题考查利用单调性比较函数值大小，考查利用导数分析函数单调性，考查指数、对数的的大小的比较，属于中档题.8．已知偶函数()yfx对于任意的[0,)2

x满足'()cos()sin0fxxfxx（其中'()fx是函数()fx的导函数），则下列不等式中成立的是（）A．2()()34ffB．2()()34ffC．(0)2()4ff

D．()3()63ff【答案】D【解析】试题分析：令,因,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.又因,故,即,所以()3()63ff,故应选D.考点：导数在研究函数的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来

,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数,再运用求导法则求得,故由题设可得,即函数在上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得问题获解.二、多选题9．已知定义在R上的函数f

x满足fxfx，则下列式子成立的是（）A．20192020fefB．20192020effC．fx是R上的增函数D．若0t，则有tfxefxt【答案】AD【解析】【分析】根据已知不等式，结合选项

构造函数，利用导数的性质、特例法逐一判断即可.【详解】由fxfx，得0xxefxefx，即0xefx，所以函数xefx为增函数，故2019202020192020

efef，所以20192020fef，故A正确，B不正确；函数xefx为增函数时，fx不一定为增函数，如122xxxee是增函数，但12xy是减函数，所以C不正确；因为函数xefx为增函数，所以0t时，有xxtefx

efxt，故有tfxefxt成立，所以D正确.故选：AD.【点睛】本题考查了导数的性质，考查了构造法的应用，考查了数学运算能力.10．若直线12yxb是函数()fx图像的一条切线，则函数()fx可以是（）A．1()fxxB．4()fxxC．()sinfx

xD．()xfxe【答案】BCD【解析】【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论【详解】解：直线12yxb的斜率为12k，由1()fxx的导数为'21()fxx，即切线的斜率小于0，故A不正确；由4()fxx的导数为'3()

4fxx，而3142x，解得12x，故B正确；由()sinfxx的导数为'()cosfxx，而1cos2x有解，故C正确；由()xfxe的导数为'()xfxe，而12xe，解得ln2x，故D正确，故选：BCD【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，

考查运算能力，属于基础题11．已知函数()yfx的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）A．1是函数fx的极小值点B．3是函数fx的极小值点C．函数fx在区间3,1上单调递

增D．函数fx在0x处切线的斜率小于零【答案】BC【解析】【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.【详解】由图象得3x时，()0fx，3x时，()0fx…，故()fx在(,3)单调递减，在(3,)单调递增，故3x

是函数()fx的极小值点.对选项D：显然00f，故D错误.故选：BC．【点睛】本题考查由导数涵图象研究函数性质，属基础题.12．已知函数fx是定义在R上的奇函数，当0x＞时，1xxfxe.则下列结论

正确的是（）.A．当0x时，1xfxexB．函数fx在R上有且仅有三个零点C．若关于x的方程fxm有解，则实数m的取值范围是22fmfD．12,xxR，2

12fxfx【答案】BD【解析】【分析】根据函数的性质结合图象，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】令0x，则0x，所以1()(1)()xxxfxexfxe，得()(1)xfxex，所以选项A错误；观察在0x时的图象，令()(1)(2)0xxxfxexee

x，得2x，可知()fx在(,2)上单调递减，在(2,0)上递增，且在(,1)上，()0fx，在(1,0)上，()0fx，由此可判断在(,0)仅有一个零点，由函数的对称性可知()fx在(0,)上

也有一个零点，又因为(0)0f，故该函数有三个零点，所以选项B正确；由图可知，若关于x的方程fxm有解，则11m，所以选项C错误；由图可知，()fx的值域为(1,1)，所以对12,xxR

，212fxfx恒成立，所以选项D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查函数的性质和导数在研究函数中的应用，体现了数形结合的数学思想，综合性较强.三、填空题13．已知函数fx的导函数为fx，且满足关系式321xfxxfxe

，则1f的值等于__________.【答案】3e【解析】【分析】先对321xfxxfxe求导，再将1x代入即可求解.【详解】由题意可得2321xfxxfe，令1x得1321ffe，即13fe.故答案为：3e【点睛

】本题主要考查了导数的运算，属于基础题.14．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．

【答案】(4)(1)(3)(2)【解析】【分析】【详解】A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，根据导数的几何意义可知，函数图象切线斜率变化故先慢后快，A与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，根据导数的几何意义可知，B应与(1)对应；,CD容器都是柱形的，

水高度的变化速度都应是直线形，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，C与(3)对应，D容器慢，D与(2)对应.故答案为(4)；(1)；(3)；(2)．15．经过原点(0,0)作函数32()3fxxx图像的切线，则切线方程为_________

_．【答案】y=0或9x+4y=0【解析】【分析】分原点（0，0）是切点与原点（0，0）不是切点讨论，利用导数得出切线的斜率，写出切线方程即可．【详解】解：∵f′（x）＝3x2+6x，①若原点（0，0）是切点，则切线的斜率为f′（0

）＝0，则切线方程为y＝0；②若原点（0，0）不是切点，设切点为P（x0，y0），则切线的斜率为200036fxxx，因此切线方程为32200000336yxxxxxx，因为切线经过原点（0，0），∴23200000336xxxxx，∵x0

≠0，解得032x．∴切线方程为94yx，化为9x+4y＝0．∴切线方程为y＝0或9x+4y＝0．故答案为y＝0或9x+4y＝0．【点评】本题考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率.解题时一定注意“在

点处的切线”与“过点的切线”的区别．16．已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是______立方米.【答案】8π【解析】【分析】设圆柱的高为h，底面圆的半径为r，可得

2212rh，03r，圆柱的体积2πVrh2π62rr，构造函数2π62frrr，03r，求导并判断单调性，可求出最大值，即可求出答案.【详解】设圆柱的高为h，底面圆的半径为r，则22

12rh，即62hr，由620,0hrr，可得03r，圆柱的体积2πVShrh底，将62hr代入，可得2π62Vrr，构造函数2π62frrr，03r，求导得2

π63frrr，则0,2r时，()0fr¢>，函数fr单调递增；2,3r时，()0fr¢<，函数fr单调递减，所以fr的最大值为22π26228πf.即2r=时，该圆柱的体积最大，最大体积是8π立方米.故答案为：8π

.【点睛】本题考查柱体体积的计算，考查利用导函数求最大值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.四、解答题17．已知32133fxxaxx（aR）在3x处取得极值.（1）求实数a的值；（2）求fx的单调区

间；（3）求fx在区间3,3上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）增区间为,3，1,，减区间为3,1；（3）最大值为9，最小值为53.【解析】【分析】（1）求导223

fxxax，由已知得(3)0f，解得a的值，再代入检验可得结论.（2）由（1）得32133fxxxx，求导223fxxx，分析导函数取得正负的区间可得原函数的单调区间.（3）由（2）得出的函数fx的单调性可求得函数fx的极值，从而求得函数的最值.【详

解】（1）223fxxax，由于fx在3x处取得极值，故(3)0f，解得1a，经检验，当1a时，fx在3x处取得极值，故1a.（2）由（1）得32133fxxxx

，223fxxx，由0fx得1x或3x；由0fx得31x.故fx的单调增区间为,3，1,，单减区间为3,1.（3）由（2）得函数fx的极大值为39f，得函数fx的极小值为513f，又

39f，所以函数fx在区间3,3上的最大值为9，最小值为53.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的极值、单调性、最值，属于中档题.18．设函数329()62fxxxxa．（1）求函数的单调区间．（2）若方程()0fx有

且仅有三个实根，求实数a的取值范围．【答案】（1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）;（2）522a【解析】试题分析：（1），解或的解集；（2）先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式.试题解析：（1），当时，

或.当时，.（2）由（1）知，函数在（-∞,1）为增，为减函数，为增函数，根据函数的图像特征，判断轴应在极值之间，(1)0{(2)0ff由得,522a考点：1.导数的应用；2.函数的图像；3.函数的零点.19．已知函数

sinfxx，cosxgxex.（Ⅰ）函数gxhxfx，分析hx在0,上的单调性.（Ⅱ）若函数Hxgxxfx.（i）当,02x时，求Hx的最小值；（ii）当,42x

时，求Hx零点的个数.【答案】（Ⅰ）hx在0,上单调递减；（Ⅱ）（i）-2；（ii）有且只有一个零点.【解析】【分析】（Ⅰ）求出2(sincos1)()sinxexxhxx，根据导数与函数单调性之间的关系即可求解.（Ⅱ）求出()cossincos

sinxxHxexexxxx，（i）判断Hx的符号得到函数的单调区间，根据函数的单调性即可求出最值；（ii）利用导数判断函数Hx在,42上单调递减，再利用零点存在性定理即可求解

.【详解】（Ⅰ）cos()sinxexhxx，则2(sincos1)()sinxexxhxx，当0,x时，1sincos1sin2102xxx，所以0hx，所以hx在0,上单调递减.（Ⅱ）()cossinxHxexxx，则(

)cossincossinxxHxexexxxx.（i）()cos1sinxxHxexxex，当,02x时，cos0xexx，1sin0xex，

所以0Hx，Hx在,02上单调递增，所以Hx的最小值为22H.（ii）()(cossin)sincosxHxexxxxx.因为,42x时，cossin

xx，sin0x，cos0xx，所以0Hx，函数Hx在,42上单调递减，又420424He，022H，因此，函数Hx在,42

上有且只有一个零点.【点睛】本题考查导数的运算法则，及导数在研究函数单调性、最值以及函数零点中的应用，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.20．如图，公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，AB为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点C，道路上B点的

右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米.在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元.（1）设CODx（单位：弧度），

将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；（2）当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用.【答案】（1）5000tan22yxx，03x；（2）当4x时，改造景观的费用最低，最低费用为500075

00元.【解析】【分析】（1）分别计算扇形AOC和三角形COD△的面积，再计算总费用，根据OD的长不超过20米得到定义域，得到答案.（2）求导得到2212coscosxfxx，根据导数正负得到函数的单调性，再计算最值得

到答案.【详解】（1）因为扇形AOC的半径为10m，radAOCx，且OD的长不超过20米，当20mOD时，3x，故03x.所以扇形AOC的面积：210502AOCxSx扇，0

3x.在RtCOD中，10OC，10tanCDx，所以COD△的面积150tan2CODSOCCDx△，从而1002005000tan22CODAOCySSxx△扇，03x；2（）设tan22fxxx，

03x，则sin22cosxfxxx，22222cossin12cos2coscosxxxfxxx，令0fx，解得4x，从而当04x时，0fx，当43x，0fx，因此fx在区间0,4

上单调递减，在区间,43上单调递增，当4x时，fx取得最小值，3121422f，所以y的最小值为50007500元.【点睛】本题考查了三角函数的应用，

扇形面积，利用导数求函数的最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知函数22ln,0xfxxaRaa.（1）求函数fx的极值；（2）若函数fx有两个零点1212,()xxxx，且4a，证明：124xx.【答案

】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析.【解析】【分析】（1）求出fx，分两种情况讨论a的范围，分别令0fx求得x的范围，可得函数fx增区间，0fx求得x的范围，可得函数fx的减区间，根据单调性可得函数的极值；（2）1x，2x为函数fx零点，可得12

02xx，要证124xx，只需证214xx，111142ln242ln4fxxxx，构造函数利用单调性可得结论.【详解】（1）函数fx的定义域为0,，22222x

xafxaxax.当0a时，0fx，fx在0,上是减函数，所以fx在0,上无极值；当0a时，若0,xa，0fx，fx在0,a上是减函数.当,xa，0fx，fx在,a上是增

函数，故当xa时，fx在0,上的极小值为12ln1lnfaaa，无极大值.（2）当4a时，22ln4xfxx，由（1）知，fx在0,2上是减函数，在2,上是增函数，2x是极值点，又1x，2x为函

数fx零点，所以1202xx，要证124xx，只需证214xx.∵2111442ln44xfxx2111242ln44xxx，又∵21112ln04xfxx，∴111142ln242ln4fxxxx

，令2ln242ln4(02)hxxxxx，则222222044xhxxxxx，∴hx在0,2上是增函数，∴20hxh，∴1240fxfx，∴124xx，即

124xx得证.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，22．已知函数ecos2xfxx(其中0x)，fx为fx的导数.（1）求导数fx的最小值；（2）若不等

式()fxax恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）1；（2）1a.【解析】【分析】（1）先求导数，再构造esinxgxx，利用导数和函数的单调性确定函数的最值．（2）令ecos2xhxxax，通过求导分类讨论，根据导数和最值的关系即求．【详解】（1）e

sinxfxx，令esinxgxx，当0x时，则ecos1cos0xgxxx.故0x时，0gx，gx为增函数，故min01gxg，即导数fx的最小值为1.（2）令ecos2xhxxax，esinxhxxa

，当1a时，若0x，则由（1）可知，10hxa，所以hx为增函数，故00hxh恒成立，即1a．当1a时，由（1）可知esinxhxxa在0,上为增函数，且010ha，ln(2)2sinln(2)2sinln(2

)0haaaaa，故存在唯一00x,，使得00hx．则当00,xx时，0hx，hx为减函数，所以00hxh，此时与0hx恒成立矛盾．综上所述

，1a．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决恒成立问题，解题关键是构造函数ecos2xhxxax,通过求min0hx进而得解，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．