【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册3.1.2《椭圆的简单几何性质（1）》教学设计(含答案).doc，共(11)页，1.304 MB，由MTyang资料小铺上传

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3.1.2椭圆的简单几何性质（1）本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法

，研究椭圆的简单几何性质及简单应用.本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。课程目标素养A.掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义

及a,b,c,e之间的相互关系.B.尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质.C.尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题.1.数学抽象：椭圆的几何性质2.逻辑推理：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性3.数学运算：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性4.数学建模

：利用椭圆的知识解决应用问题5.直观想象：离心率的几何意义重点：由几何条件求出椭圆的方程难点：由椭圆的方程研究椭圆的几何性质多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包

括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。二、探究新知观察椭圆（>>0）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？思观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？思考1.离心率对椭圆扁圆程

度的影响?提示:如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0<e<1,e越大,∠BF2O越小,椭圆越扁;e越小,∠BF2O越大,椭圆越接近于圆.通过椭圆的标准方程，运用方程与函数的思想，获得

椭圆的几何性质，进而推广到一般。帮助学生进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤

y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴长为2a,短轴长为2b焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2

(0,c)焦距2c对称性对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点离心率1.判断(1)椭圆=1(a>b>0)的长轴长是a.()(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为=1.()(3)设F为椭圆=1(a>b>0)

的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).()答案:(1)×(2)×(3)√2.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.B.C.D.解析:∵a2=4+22=8,∴a=2.∴e=.故选C.答案:

C三、典例解析例1已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.解:(1)由椭圆C1:=1,可得其半长轴长为10,半短轴长为8

,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=.(2)椭圆C2:=1.性质如下:①范围:-8≤x≤8且-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),

短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6);⑤离心率:e=.讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程,标准方程能将参数的几何意义凸显出来,另外要抓住椭圆中a2-b2=c2这一核心关系式.跟踪训练

1求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.通过典型例题，掌握根据椭圆的基本几何性质及其简单运用，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。解:由已知得=1(m>0),因为

0<m2<4m2,所以.所以椭圆的焦点在x轴上,并且半长轴长a=,半短轴长b=,半焦距c=,所以椭圆的长轴长2a=,短轴长2b=,焦点坐标为,顶点坐标为,离心率e=.例2椭圆=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2

为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为.解析:方法一:如图,∵△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,∴|NF1|=c.由椭圆的定义可知|NF1|+|NF2|=2a,∴c+c=2a,

∴a=.∴e=-1.方法二:注意到焦点三角形NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,∠F1NF2=90°,则由离心率的焦点三角形公式,可得e=-1.答案:-1变式1若例2改为如下:椭圆=1(a>b>0)的两焦点F1,F2,以F1F2为底边作等腰直角三

角形,其三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处,则椭圆的离心率为.解析:根据等腰直角三角形的特征可知a2+a2=4c2,即=e=.答案:例3已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范

围为.解析:由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c.因为e=,0<e<1,所以≤e<1.答案:求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法(3)方程法:若a,c的值不可求,则可根

据条件建立关于a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程(或不等式),再将方程(或不等式)两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范围).(1)直接法:若已知

a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b(或b,c)可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e=求解.(2)几何法:若借助数形结合,可挖掘涉及几何图形的性质,再借助a2=b2+c2,找到a与c的关系或求出a与c,代入e=

即可得到.跟踪训练2(1)已知椭圆=1(a>b>0)过点(1,),其离心率的取值范围是,则椭圆短轴长的最大值是()A.4B.3C.D.2(2)设F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为.

解析:(1)由题意,可得=1,即a2=.因为a2=b2+c2,所以=3-b2,离心率的取值范围是,所以≤3-b2≤,解得b∈,所以椭圆短轴长的最大值是.(2)由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2x=60°.∴|PF2|=2×=3a-2c.∵|F1F

2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c,∴e=.答案:(1)C(2)(3)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,求椭

圆C的离心率.解:由题意知A(a,0),B(0,b),从而直线AB的方程为=1,即bx+ay-ab=0,又|F1F2|=2c,∴c.∵b2=a2-c2,∴3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3a2=c2(舍去),∴e=.三、达标检测1.已知点(3,2)在椭圆=1上,

则()A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上解析:由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(-3,2)在椭圆上,故选C.答案:C2.设AB是椭圆=1(a>b>0)的长轴,若

把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98aB.99aC.100aD.10

1a解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.答案:D3.若椭圆的两个

焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为()通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。A.B.C.D.解析:不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1

,F2,B为椭圆的上顶点.依题意可知,△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,∴cos60°=.即椭圆的离心率e=,故选A.答案:A4.已知椭圆=1左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B

1F1B2F2的面积为.解析:根据题意,设四边形B1F1B2F2的面积为S,椭圆的标准方程为=1,其中a=,b=,则c==1,则F1(-1,0),F2(1,0),B1(0,),B2(0,-),即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=,

则S=4×=4××|OB1|×|OF1|=2.答案:25.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个

大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短轴长为10cm,则小椭圆的长轴长为cm.解析:因为两个椭圆的扁平程度相同,所以椭圆的离心率相同,,即.所以,所以,所以小椭圆的长轴长为20cm.答案:206

.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.解:椭圆方程可化为=1(m>0),∵m->0,∴m>.∴a2=m,b2=,c=.由e=,得,∴m=1.∴椭圆的标准方程为x2+=1.∴a=1,b=,c=.∴椭圆的

长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为;四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),.四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节运用代数方法，让学生体会方程与函数的思想在研究椭圆几何性质中的作用，让学生的思路更加清晰，对学习内容的把握更加容易，同时注

意及时让学生进行思维拓展，形成知识网，提升教学效果。五、课时练所学内容，提高概括能力。