【文档说明】2023年新教材高一数学必修第一册《基本不等式》精选练习(教师版).doc，共(7)页，94.965 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-321425.html

以下为本文档部分文字说明：

2023年新教材高一数学必修第一册《基本不等式》精选练习一、选择题1.若x＜0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2答案为：D.解析：因为x＜0，所以－x＞0，－

x＋1－x≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.]2.式子（3－a）（a＋6）(﹣6≤a≤3)的最大值为()A.9B.92C.3D.322答案为：B.解析：选B.因为﹣6≤a≤3，所以3﹣a≥0，a＋6≥0，所以（3－

a）（a＋6）≤（3－a）＋（a＋6）2＝92.即（3－a）（a＋6）(﹣6≤a≤3)的最大值为92.3.若0＜x＜12，则函数y＝x1－4x2的最大值为()A.1B.12C.14D.18答案为：C.解析：因为0＜x＜12，

所以1﹣4x2＞0，所以x1－4x2＝12×2x1－4x2≤12×4x2＋1－4x22＝14，当且仅当2x＝1－4x2，即x＝24时等号成立，故选C.4.已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且2x＋1y＝1，则x＋2y的最小值为()A.2B.4C.6D.8答案为：D.解析：因为x＞0，y＞0，

且2x＋1y＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)(2x＋1y)＝4＋4yx＋xy≥4＋24yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy时等号成立.故选D.5.已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则1a－1＋12b的最小值为()A.32＋2B.34＋

22C.3＋22D.12＋23答案为：A.解析：已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，又a－1＞0，则1a－1＋12b＝[(a－1)＋b](1a－1＋12b)＝1＋12＋a－12b＋ba－1≥32＋2a－12b×ba－1＝32＋2.当且仅当a－12b＝ba－1，a＋b＝2时取等

号.则1a－1＋12b的最小值为32＋2.故选A.]6.已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是()A.98B.94C.3D.9答案为：C.解析：∵a＞0，b＞0，4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝13·3a(a＋3

b)≤133a＋a＋3b22＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝23时，a(a＋3b)的最大值是3.7.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1﹣32的最小值为()A.0B.12C.1D.32答案为：A.解析：选A.因为x＞0，所以x＋12＞0，所以y＝x＋22x＋1﹣32

＝(x＋12)＋1x＋12﹣2≥0，当且仅当x＋12＝1x＋12，即x＝12时等号成立，所以函数的最小值为0.8.已知x≥52，则y＝x2－4x＋52x－4有()A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1答案为：D.解析：y＝x2－4x＋5

2x－4＝（x－2）2＋12（x－2）＝12[x﹣2＋1x－2]，因为x≥52，所以x﹣2＞0，所以12[x﹣2＋1x－2]≥12·2（x－2）·1x－2＝1，当且仅当x﹣2＝1x－2，即x＝3时取等号.故y的最小值为1.9.已知a<b，则b－a＋1b－a＋b﹣a的最小值为()A

.3B.2C.4D.1答案为：A.解析：因为a<b，所以b﹣a＞0，由基本不等式可得b－a＋1b－a＋b﹣a＝1＋1b－a＋(b﹣a)≥1＋21b－a·（b－a）＝3，当且仅当1b－a＝b﹣a(b＞a)，即当b﹣a＝1时，等号成立，因此，b－a＋1b－a＋b﹣a的最小值为3,故选A.

10.已知不等式(x＋y)(错误!未找到引用源。)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8答案为：B.解析(x＋y)(错误!未找到引用源。)＝1＋a＋axy＋yx≥1＋a＋2a＝(a＋1)2.∵(x＋

y)(错误!未找到引用源。)≥9对任意正实数x，y恒成立，∴(a＋1)2≥9.∴a≥4.11.已知a＞0，b＞0，2a＋1b＝16，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为()A.8B.7C.6D.5答案为：C.解析：可得6(2a＋1b)＝1，所以2a＋b＝6

(2a＋1b)·(2a＋b)＝6(5＋2ab＋2ba)≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2ab＝2ba时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.12.已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则当abc取得最大

值时，3a＋1b－12c的最大值为()A.3B.94C.1D.0答案为：C.解析：由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2＝c，得abc＝aba2－2ab＋9b2＝1a2－2ab＋9b2ab＝1ab＋9ba－2≤14，当且仅当ab＝9ba，即a＝3b时，a

bc取最大值14.又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，所以此时c＝12b2，所以3a＋1b－12c＝1b(2-1b)≤1b＋2－1b24＝1，故最大值为1.]二、填空题13.函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值为________.答案为：2

3＋2.解析：∵x＞1，∴x－1＞0，∴y＝x2＋2x－1＝（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－

1，即x＝3＋1时，等号成立.14.已知x＞54，则y＝4x＋14x－5的最小值为________，此时x＝________.答案为：7，32.解析：∵x＞54，∴4x－5＞0.y＝4x＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时上

式“＝”成立.即x＝32时，ymin＝7.]题，先将ax＋by转化为(ax＋by)·x＋yt，再用基本不等式求最值.15.已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________.答案为：32.解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，所以xy＝1

6(2x·3y)≤16·[12(2x＋3y)]2＝16·32＝32.当且仅当2x＝3y，即x＝32，y＝1时，xy取到最大值32.16.若点A(﹣2，﹣1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则1m＋2n的最小值为________

.答案为：8.解析：因为点A(﹣2，﹣1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，所以1m＋2n＝2m＋nm＋2（2m＋n）n≥8.三、解答题17.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab.(1)求ab的最小值；(2)

求a＋2b的最小值.解：因为2a＋b＝ab，所以1a＋2b＝1；(1)因为a＞0，b＞0，所以1＝1a＋2b≥22ab，当且仅当1a＝2b＝12，即a＝2，b＝4时取等号，所以ab≥8，即ab的最小值为8；(2)a＋2b＝(a＋2

b)(1a＋2b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当2ba＝2ab，即a＝b＝3时取等号，所以a＋2b的最小值为9.18.(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋1x－3的最大值；(2)已知

x＞0，求y＝2xx2＋1的最大值.解：(1)因为x＜3，所以3﹣x＞0.又因为y＝2(x﹣3)＋1x－3＋7＝﹣[2(3﹣x)＋13－x]＋7，由基本不等式可得2(3﹣x)＋13－x≥22（3－x）·13－x＝22，当且仅当2(3﹣x)＝13－x，即x＝3﹣22时，等号成

立，于是﹣[2(3﹣x)＋13－x]≤﹣22，﹣[2(3﹣x)＋13－x]＋7≤7﹣22，故y的最大值是7﹣22.(2)y＝2xx2＋1＝2x＋1x.因为x＞0，所以x＋1x≥2x·1x＝2，所以0＜y

≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时，等号成立.故y的最大值为1.19.已知a＞0，b＞0且a＋b＝2，求(1a＋1)(1b＋1)的最小值.解：由题得(1a＋1)(1b＋1)＝1ab＋1a＋1b＋1＝1ab＋a＋bab＋1＝3ab＋1，因为a＞0，b＞0

，a＋b＝2，所以2≥2ab，所以ab≤1，所以1ab≥1.所以(1a＋1)(1b＋1)≥4(当且仅当a＝b＝1时取等号)，所以(1a＋1)(1b＋1)的最小值是4.20.已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1.求证：1a＋1b＋1c≥9.证明：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1，∴1a＋1

b＋1c=a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc=3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2=9.当且仅当a=b=c=13时等号成立．21.设a＞b＞c，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，求m

的取值范围.解：由a＞b＞c，知a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0.因此，原不等式等价于a－ca－b＋a－cb－c≥m.要使原不等式恒成立，只需a－ca－b＋a－cb－c的最小值不小于m即可.因为a－ca－b＋a－cb－c＝(a－b)＋(b－c)a－b＋(a－b)＋(b－c

)b－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2b－ca－b×a－bb－c＝4，当且仅当b－ca－b＝a－bb－c，即2b＝a＋c时，等号成立.所以m≤4，即m∈{m|m≤4}.