【文档说明】高考数学二轮复习 34个高考数学培优微专题解答题部分（学生版）.pdf，共(130)页，1.367 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-297607.html

以下为本文档部分文字说明：

数学培优微专题《等差等比的证明》2数学培优微专

题《明确等差等比求通项》5数学培优微专题《给和式求

通项》7数学培优微专题《裂项相消法求和》

10数学培优微专题《错位相减法求和》



14数学培优微专题《数列中多规律求和》

18数学培优微专题《数列的和与不等式》

22数学培优微专题《边角互化》

26数学培优微专题《知三解三角形》

30数学培优微专题《爪型三角形》

34数学培优微专题《多边多角问题》

38数学培优微专题《解三角形中的最值问题》

41数学培优微专题《平行的证明》

45数学培优微专题《垂直的证明》

48数学培优微专

题《度量角度》

51数学培优微传题《度量体积和距离》

56数学培优微专题《探索点的位置及边长的大小》

60数学培优微专题《求标准方程》

66数学培优微专题《建设限代化处理轨迹方程》

68数学培优微专题《圆锥曲线中的三定问题》

70数学培优微专题《圆锥曲线中的静态求值》

75数学培优微专题《圆锥曲线中的动态最值》

80数学培优微专题《回归分析与独立性检验》

84数学培优微专题《概率分布列》

92数学培优微专题《确定函数处理切线单调极值》

98数学培优微专题《已知单调性求参数范围》

101数学培优微专题《单调性由一个因式决定》

103数学培优微专题《单调性由两个因式决定》

105数学培优微专题《零点极值点个数问题》

107数学培优微专题《不等式恒成立与分离》

110数学培优微专题《不等式恒成立与端点相关》

113数学培优微专题《指对与隐零点问题》

117数学培优微专题《极值点偏移》

120数学培优微专题《双变量问题》

125高考数学培优微专题讲义解答题篇数学培优微专题《等差等比的证明》1.数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-3n(n∈N*).2.已知数列an中，a1=1,a2=4,an+2-4an+1+3a

n=0,n∈N*3.数列{an}满足a1=12，an+1-an+anan+1=0(n∈N*)(1)求证1an为等差数列，并求{an}的通项公式；·2·4.已知数列an满足a1=0，an+1=2an+n-1,n∈N∗，{an}的前n

项和为Sn，(1)求证：数列{an+n}是等比数列，并求an;(2)求S10．5.已知数列{an}的首项a1=35,an+1=3an2an+1,n∈N*．(1)求证：数列1an-1

为等比数列；(2)记Sn=1a1+1a2+⋯+1an，若Sk<100，求正整数k的最大值；(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am-1，as-1，an-1成等比数列?如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由．·3·6.已知数列{an}的前

n项和为Sn，a1=3,nSn+1=(n+1)Sn+2n2+n-1．(1)证明数列Sn-2n是等差数列，并求数列{an}的通项公式;(2)若bn=2n⋅an，求数列{bn}的前项和Tn．·4·数学培优微专题《明确等差等比求通项》1.已知等差数列an的公差d为整数，且a

2+a3+a4=18，a3是a2和a5-1的等比中项．2.已知数列an是递增的等比数列，满足a1=4，且54a3是a2、a4的等差中项，数列bn满足bn+1=bn+1，其前n项和为Sn，且S2+S6=a4．3.在①

S3=12，②2a2-a1=3，③a8=24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，__，且a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数

列{bn}是各项均为正数的等比数列，且b2=a1，b4=a4，求数列{an+bn}的前n项和Tn．4.已知等差数列{an}与正项等比数列{bn}满足a1=b1=3，且b3-a3，20，a5+b2既是等差数列，又是等比数列．(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；·5·5.已

知等比数列{an}的首项a1=3，前n项和为Sn，公比不为1，4S9是S3和7S6的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式;6.给出以下三个条件：①4a3，3a4，2a5成等差数列;②对于∀n∈N*，

点(n,Sn)均在函数y=2x-a的图像上，其中a为常数;③S3=7.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{an}是一个公比为q(q>0,q≠1)的等比数列，且它的首项a1=1，．(1)求数列{an}的通项公式;·6·数学培优微专题

《数列求通项之给Sn求an》1.已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-2n+1．(1)求an和Sn；2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=12，an+2SnSn-1=0(n≥2)．(I)问：数列1Sn是否为等差数列？并证

明你的结论；(II)求Sn和an；3.已知数列an的前n项和为Sn，且an=Sn+n2．(1)若数列an+t是等比数列，求t的取值；(2)求数列an的通项公式；·7·4.在①Sn+1=Sn+1，

②4Sn-1是2n+1与an的等比中项，③4Sn=(1+an)2(an>0)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且满足________，若bn=1anan+1，

求使不等式b1+b2+⋯+bn>919成立的最小正整数n．5.设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1-2Sn=1，n∈N*．(1)证明：Sn+1为等比数列，求出an的通项公式；·8·6.在①Sn+1=4Sn+1，②3Sn=an+1-2，③3Sn=22n+1+λ(λ

∈R)三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在下面问题中，并加以解答．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an与Sn满足______，(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列bn=an(an+1)(an+1+1)，数列{bn}的前n项和Tn，求证：T

n<19．·9·数学培优微专题《裂项相消法求和》1.已知数列{2an}是等比数列，且a1=3,a3=7(1)证明：数列an等差数列，并求出其通项公式；(2)求数列{1(an-1)(an+1)}的前n项和Sn2.设数列{

an}满足a1+3a2+⋯+(2n-1)an=2n．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列an2n+1的前n项和．3.已知数列an的前n项和为Sn，且an=Sn+n2．(1

)若数列an+t是等比数列，求t的取值；(2)求数列an的通项公式；(3)记bn=1an+1+1anan+1，求数列bn的前n项和Tn．4.已知数列nan-1的前n项

和为n，数列{bn}满足b1=1，bn+1-bn=an，n∈N*．(Ⅰ)求数列{an}，{bn}的通项公式；(Ⅱ)若数列{cn}满足cn=a2nb2n,n∈N*，证明：c1+c2+⋅⋅⋅+cn<4．·11·5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=12，an+1=n+12nan．(

1)求{an}的通项公式；(2)设cn=2-Snn(n+1),n∈N*，Tn是数列{cn}的前n项和，证明34≤Tn<1．6.已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1n∈N+，数列bn满足b1=1，bn+1=bn+an．(1)求数列an和

bn的通项公式；(2)若数列cn满足cn=anbn⋅bn+1且c1+c2+...+cn≥(2bn-1)λ+1对任意n∈N+恒成立，求实数λ的取值范围．·12··13·数学培优微专题《错位相减法求和》1.已知数列an

的前n项和为Sn，且Sn=2n2+n，n∈N*，数列bn满足an=4log2bn+3，n∈N*．(Ⅰ)求an、bn；(Ⅱ)求数列{an·bn}的前n项和Tn．2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn

，满足S3=14，且2a1，a2，12a3依次构成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)请从①bn=an+n；②bn=nan；③bn=1log2an⋅log2an+1这三个条件选择一个，求数列{bn}的前n项和Tn．3.已知{an

}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4-2a1，S11=11b4．(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a2nb2n-1}的前

n项和(n∈N*).4.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=3an-3．(1)证明数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn=log3an，记数列bnan的前n项和为Tn，证明13≤Tn<34．·15·5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+1=an

+2(n∈N*)，a3+a4=12，数列{bn}为等比数列，且b1=a2，b2=S3．(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式；(Ⅱ)设cn=(-1)nan⋅bn，求数列{cn}的前n项和Tn．6.已知数列an满足a1=2，an+1=2(Sn+n+1)(n∈N*)(1)求证：an+1是等比数

列；并写出an的通项公式(2)求数列nan的前n项和Sn·16··17·数学培优微专题《数列中多规律求和》1.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数.(1)记bn=a2n，写出b1，b2，并求

数列{bn}的通项公式；(2)求{an}的前20项和．2.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5．(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A、B，将集合A∪B中的所有元素按从小到

大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前50项和S503.已知数列an的前n项和为Sn，且n、an、Sn成等差数列，bn=2log2(1+an)-1．(1)证明数列an+1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)若数列bn中去掉数列an的项后余下

的项按原顺序组成数列cn，求c1+c2+⋯+c100的值．4.已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1=1，2Sn=nan+1，n∈N*．(1)求an的通项公式；(2)设数列bn满足b1=1，bnbn+1=2n，n∈N*，按照如下规

律构造新数列cn：a1,b2,a3,b4,a5,b6,⋯，求cn的前2n项和．5.数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1-1=Sn+2an(n∈N*).(1)若数列{an+1}不是等比数列，求an；(2)若a1=1，在ak和ak+1

(k∈N*)中插入k个数构成一个新数列{bn}：a1，1，a2，3，5，a3，7，9，11，a4，⋯，插入的所有数依次构成首项为1，公差为2的等差数列，求{bn}的前50项和T50．·19·6.已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a5+1，a23+1成等比数列．数列{bn}满足

：b1+b2+⋯+bn=2n+1-2．(Ⅰ)求数列{an}，{bn}的通项公式；(Ⅱ)令数列{cn}的前n项和为Tn，且cn=1anan+2,n为奇数-1bn,n为偶数，若对n∈N*，T2n≥T

2k恒成立，求正整数k的值；·20··21·数学培优微专题《数列的和与不等式》1.已知数列an是公差为正的等差数列，a2是a1和a3+1的等比中项，a4=4．(Ⅰ)求an的通项公式；(Ⅱ)若bn=2an，Sn是数列an⋅bn的前n项和，求使得Sn<2020成立的最

大整数n．2.已知数列{an}，{bn}满足：a1=3，当n≥2时，an-1+an=4n；对于任意的正整数n，b1+2b2+⋯+2n-1bn=nan.设{bn}的前n项和为Sn．(1)求数列{an}及{b

n}的通项公式；(2)求满足13<Sn<14的n的集合．3.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，an=2Sn-1．(1)求a1的值，并求数列{an}的通项an；(2)设bn=an+2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn<n2+6×2n-6成立的所有正

整数n的取值组成的集合．4.已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-2n+1．(1)求an和Sn；(2)设数列Sn的前n项和为Tn，若不等式Tn-t⋅2n≥0对于n∈N*恒成立，求t的取值

范围．·23·5.已知等差数列an的前n项和为Sn，a3=7，S4=22，数列bn是各项均为正数的等比数列，b1=4，b3=64．(I)求数列an和bn的通项公式；(II)令pn=32+an，数列

pnpn+2的前n项和An，求证：An<34．6.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=12，an+1=n+12nan．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn=n(2-Sn),n∈N∗，若bn≤λ对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．(3

)设cn=2-Snn(n+1),n∈N*，Tn是数列{cn}的前n项和，若不等式m≤Tn<k对于任意的n∈N*恒成立，求实数m的最大值与整数k的最小值．·24··25·数学培优微专题《边角互化》1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m=cosA

,cosB，n=a,2c-b，且m⎳n．(1)求角A的大小；(2)若a=4,b=433，求▵ABC面积．2.在①(a+c)(a-c)=b(b-c)，②sinA2sinB-sinC=cosAcosC，③2bcosA=

acosC+ccosA这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且________．(1)求角A的大小；3.在①2acosC+c=2b，②cos2B-C2-cosBcosC=3

4，③(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；4.在①2a-b=2ccosB，②S=

34(a2+b2-c2)，③3sin(A+B)=1+2sin2C2这三个条件中任选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题。在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ΔABC的面积为S，已知______

____(1)求角C的值；(2)若b=4，点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，ΔCDB的面积为233，求a的值。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。·27·5.在①ba=cosB+13sinA，②2bsinA=atanB，③a-c

sinA+csinA+B=bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知▵ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若______．(1)求角B；(2)若a+c=4，求▵ABC周长的最小

值，并求出此时▵ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．·28·6.在①sinAsinB-sinC=b+cb-a；②ca=cosC+13sinA；③2S=3CA⋅CB

这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，S为△ABC的面积，若________(填条件序号)(1)求角C的大小；·29·数学培优微专题《知三解三角形》1.已知△ABC中，tanA=14，tanB=35，AB=17.求：(1)

角C的大小；(2)△ABC中最小边的边长．2.在△ABC中，a+b=11，再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解答下列问题．(1)求a的值；(2)求sinC和△ABC的面积．条件①：c=7，cosA=-17；条件②：cosA=18，cosB=916.·30·3.在①ac=3；

②csinA=3；③c=3b，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=3sinB，C=π6，________？注：如果选择多个条件分别

解答，按第一个解答计分．4.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①a2+c2=b2-233ac；②1+cos2A=2sin2A2；③a=3；④b=2.(1)满足△ABC有解的序号组合有哪些？(2)在(1)的组合中任选一

组，求△ABC的面积．·31·5.已知△ABC中，cb<cosA.(1)求证：B是钝角；(2)若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sinA=22；②a=2；③c=2；④sinC=32.请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值．·32··33·数学培优微专题《爪型三

角形》1.△ABC中，BC=25，D为BC的中点，∠BAD=π4，AD=1，求AC2.已知D是△ABC的边AC上的一点，△ABD的面积是△BCD的面积的3倍，∠ABD=2∠CBD=2θ.(1)若∠ABC=π2，求sinAsinC的值；(2)若BC=2，AB=3，求AC的长

．3.如图，已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+3asinC-b-c=0.(1)求角A；(2)若AD为BC边上的中线，cosB=17，AD=1292，求△ABC的面积．·34·4.在△ABC中，

a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2=(b2+c2-a2)(1-tanA)．(1)求角C的大小；(2)若c=210，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．条件①：△ABC的面积S=4且B>A；条件②：cosB=255.

5.已知在ΔABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且满足b=acosC+csinA．·35·求A的大小；(2)若cosB=25,BC=5,BD=17BA，求CD的长．6.在①AB=25，②∠ADB=135°，③∠BAD=∠C这三个条件中任选一个，补充在下面的问

题中，使得问题成立，并求BD的长和△ABC的面积.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AD⊥AC,AD=1,sin∠BAC=255，__________，求BD的长和△ABC的面积.·36··37·数学培优微专题《多边多角问题》1.平面四边形ABCD中，边

AB=BC=5，CD=8，对角线BD=7.(1)求内角C的大小；(2)若A，B，C，D四点共圆，求边AD的长．2.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC=60°，AB=27，BD=4．(1)求△ABD的面积．(2)若∠BAC=120∘，求AC的长．3

.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosC=35，D是线段BC上的点，cos∠ADC=210.(1)若b=5，a=7，求c的大小；(2)若b=7，BD=10，求△ABC的面积．·38·4.△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，

b，c，满足(2b-3c)cosA=3acosC.(1)求A的大小；(2)如图，若AB=4，AC=3，D为△ABC所在平面内一点，DB⊥AB，BC=CD，求△BCD的面积．5.在梯形ABCD中，已知AD⎳BC，AD=1，BD=210

，∠CAD=π4，cos∠ACD=31010，(1)求CD的长；(2)求△BCD的面积．·39·6.如图，在四边形ABCD中，cos∠DAB=-14，ADAB=23，BD=4，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值;

(2)若∠BCD=π4，求CD的长．·40·数学培优微专题《解三角形中的最值问题》1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(c+a，b)，n=(c-a，b+c)，且a=3，m⊥n.(1)求△ABC面积的最大值；(2)求b+c的取值范围

．2.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsinBsinA－3a＝0.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA+C2

＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．·41·4.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120°.(1)若a=2b,求tanA的值;(2)若∠ACB的平分线

交AB于点D,且CD=1,求△ABC的面积的最小值.5.如图,在四边形ABCD中,AD⊥AB,∠CAB=60°,∠BCD=120°,AC=2.(1)若∠ABC=15°,求DC.(2)记∠ABC=θ,当θ为何值时,△BCD的面积取得最小值?求出最小值.·42·6.在△ABC中，角A，B，C所

对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD=1，求4a+c的最小值．·43··44·数学培优微专题《平行的证明》1.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是DD1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⎳平面AMC；2.如图①，在直角梯形

ABCD中，AB⎳CD，AB⊥AD，且AB=AD=12CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②．(1)求证：AM⎳平面BEC；3.如图，在四棱锥P-A

BCD中，PD⊥平面ABCD，AB⎳CD，∠BAD=60°，AB=AD=12CD=2，E为棱PD上的一点，且DE=2EP=2．(1)证明：PB⎳平面AEC；4.如图，AE⊥平面ABCD，CF⎳AE，AD⎳BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．(Ⅰ)求证：BF⎳平面ADE；5.

如图，已知多面体EABCDF的底面是ABCD边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD⎳EA，且FD=12EA=1．(1)记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线KM，使得KM⎳平面ECF，并给予证明．6.如图，已知四

棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点．(1)求证：AF⎳平面PCE(2)过点F作四棱锥P-ABCD的一个截面，使得该截面与PB，CD都平行，请在四棱锥中作出该截面，该截

面是什么图形⋅说明理由。·46··47·数学培优微专题《垂直的证明》1.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD；(

2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA⎳平面BDE时，求三棱锥E—BCD的体积．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，PA=PC，AB⎳CD，AB⊥AD，且CD=2AD=4AB=4．(1)求证：BD⊥PC；3.如图四面体ABCD中，△ABC是正三角

形，AD=CD．(1)证明：AC⊥BD；4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．(1)求证：平面PAC⊥平面BDD1；5.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠AP

C=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；(2)设DO=2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P-ABC的体积．6.如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BC⎳PD，PB=BC=CD=2，PD=4，A为PD的

中点．将△ABP沿AB折起，如图2，点M是棱PD上的点．(Ⅰ)若M为PD的中点，证明：平面PCD⊥平面ABM；·49··50·数学培优微专题《度量角度》1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E为棱AB的中点．

(1)证明：AC⊥PE．(2)若PA=AD，∠BAD=60°，求二面角E-PC-B的余弦值．2.如图，四棱锥P-ABCD中，已知AB⎳DC，AB=AD=1，BD=2，CD=2，PB=PC=PD=6．(1)证明：平面PAD⊥平面PCD．(2)设平面PAD与平面PBC的交线为l，求直线l

与平面PAB所成角的正弦值．3.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=120°．(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B-A1D-A的正弦值．·52·4.在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=5，

BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点．(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；(2)若点F在BC上，满足BF=14BC，设二面角F-DE-C的大小为θ，求sinθ的值．·53·5.如图(1)所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°AB=BC=4，D

，E分别为AB，AC的中点，将△ADE沿DE折起，使A到达A1(如图2)，且满足A1B=2，M是A1C的中点．(1)求证：ME⎳平面A1BD；(2)求二面角M—BE—C的正弦值．·54·6.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，A

D=2AB，M为BC中点，平面A1D1DA⊥ABCD，AA1⊥A1D且A1A=A1D．(1)证明：∠B1A1D=90°．(2)若此四棱柱的体积为2求二面角A-A1B-M的正弦值．·55··56·数学培优微传题《度量体积

和距离》1.如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为A1B，AC的中点．(1)证明：EF⎳平面A1C1D；(2)求三棱锥F-A1C1D的体积．2.如图，已知多面体EABCDF的底面是ABCD边长为2的正方形，EA⊥底面AB

CD，FD⎳EA，且FD=12EA=1．(2)求点B到平面ECF的距离．3.已知如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AC的中点，AB=AA1=2．(Ⅰ)求证：直线AB1⎳平面BC1D；(Ⅱ)求点

B1到平面BDC1的距离．4.如图，在四面体ABCD中，BA=BC，∠BAD=∠BCD=90°．(2)若∠ABD=60°，BA=2，四面体ABCD的体积为2，求二面角B-AC-D的余弦值．5.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，

AB=1，N是CC1的中点．(1)求证：平面ANB1⊥平面AA1B1B;(2)求三棱锥B1-ANB的高．·58·6.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAC⊥平面ABCD，且AC⊥PB．(2)若二面角A-PC-B的余弦值为33

，求D到平面PBC的距离．·59··60·数学培优微专题《探索点的位置及边长的大小》1.如图，直角梯形ABCD中，AD⎳BC，AB⊥BC，AB=BC=2，AD>BC，矩形ACEF⊥平面ABCD，CE=2．(1)证明：平面BCF⊥平面ADE；(2)若二面角A-DE-C等于

60°，求AD的长．2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°，AB=2，BC=22，SC=SB=3．(Ⅱ)在线段AB上是否存在一点P，使SP⊥SC？若存在，请求出AP的长

；若不存在，请说明理由．3.如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如图2．(3)在线段BD上是否存在点P，使平面A1EP⊥平面A1BD？若存在，求BPBD的值；若不存在，说明理由．4.

如图，AE⊥平面ABCD，CF⎳AE，AD⎳BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE=BC=2．(Ⅲ)若二面角E-BD-F的余弦值为13，求线段CF的长．·62·5.已知在六面体PABCDE中，PA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，

且PA=2ED，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°．(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；(2)若直线PC与平面ABCD所成角为45°，试问：在线段PE上是否存在点M，使二面角P-AC-M为60°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．·63·6.如图，在四棱锥P-ABC

D中，PD⊥底面ABCD，AB⎳CD，AB=2，CD=3，M为PC上一点，且PM=2MC．(1)求证：BM⎳平面PAD；(2)若PD=3,∠BAD=π3，三棱锥P-ADM的体积为3，求AD的长．·64··65·数学培优微专题《求标准方程

》1.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、

右焦点分别为F1，F2，点P2,2在椭圆C上，且满足PF1⋅PF2=PF22．(1)求椭圆C的标准方程；3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y

+6=0相切．(1)求椭圆C的标准方程4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为63.四个顶点围成的四边形的内切圆半径为32．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，椭圆C和抛物线y2

=x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆C的右焦点．·67·(I)求椭圆C的标准方程；6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=33x，点(23,1)在双曲线上，抛物线y2=2px

(p>0)的焦点F与双曲线的右焦点重合．(Ⅰ)求双曲线和抛物线的标准方程；·68·数学培优微专题《建设限代化处理轨迹方程》1.在平面直角坐标系中，若a=(x+3,y)，b=(x-3,y)，且|a|+|b|=

4．(Ⅰ)求动点M(x,y)的轨迹C的方程；2.已知在平面直角坐标系中，圆A:x2+y2+27x-57=0的圆心为A，过点B(7,0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E．(1)求

动点E的轨迹方程；3.点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比是常数12．(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；4.已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为-14，点P的轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C

的方程；5.已知圆F1：x+12+y2=r2与圆F2：x-12+y2=4-r20<r<4的公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M.若曲线E上相异的两点A，B满足直线MA，MB的斜率之积为14．(1)求曲线E的方程；6.已知动圆P与

圆M：(x+2)2+y2=64相内切，且与圆N：(x-2)2+y2=4相内切，记圆心P的轨迹为曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程；·69·7.已知点F1(-1,0)，圆F2:(x-1)2+y2=8，点Q是圆F2上一动点，线段F1Q的中垂

线与线段F2Q交于点P．(1)求动点P的轨迹E的方程；8.已知动圆P过点F2(2,0)并且与圆F1:(x+2)2+y2=4相外切，动圆圆心P的轨迹为C．(1)求曲线C的轨迹方程；9.已知动圆E过定点M(0,2)，且在

x轴上截得的弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线C。(1)求曲线C的方程；10.在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，PD=3MD，动M的轨迹为曲线C．(Ⅰ)求C的方程及其离心率；·70·数学培优微专题《圆锥曲线中的三定问题》

1.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，以M(1,0)为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2-1=0相切．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知点N(3,2)，过点M任作直线l与椭圆C相交于A,B两点，设直线AN,BN的斜率分别

为，求证：为定值．2.已知F(3,0)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，且A3,12在椭圆C上．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设过F的直线与椭圆C交于点M，N，问：是否存在x轴上的定点P，使PF平分∠MPN？若

存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．·71·3.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，四点P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三点在椭圆上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交

于A、B两点，若直线P2A与P2B直线的斜率的和为-1，证明：l过定点．·72·4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，F1F2=2，过点F1的直线与椭圆C交于A,B两点，延长BF2交椭圆C于点M，ΔABF2

的周长为8．(1)求C的离心率及方程；(2)试问：是否存在定点P(x0,0)，使得PM⋅PB为定值？若存在，求x0；若不存在，请说明理由．5.已知点P是圆F1：(x-1)2+y2(x-1)2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于

原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程；(Ⅱ)过点G0,13的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点⋅若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．·73·6.已知点

P2,1在椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上，F1,F2分别为椭圆C的左右焦点，ΔPF1F2的面积为6．(1)求椭圆C的方程;(2)过点Q0,2的直线交椭圆C于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使得

直线MA,MB的斜率之积为常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．·74··75·数学培优微专题《圆锥曲线中的静态求值》1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1，F2

，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，|PF1|=8，|PF2|=6．(1)求双曲线的方程；(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A，B两点，且F1A=2F1B，求此直线方程．2.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直

线l与抛物线C有两个不同交点A、B．(1)求线段AF的中点M的轨迹方程；(2)已知△AOB的面积是△BOF面积的3倍．求直线l的方程．·76·3.已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的一个焦点，椭圆C2的离心率为e=13，过点F

的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且AC,BD同向．(Ⅰ)求C2的方程；(Ⅱ)若|AC|=|BD|，求直线l的斜率．4.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3)，右焦

点为F，且|OA|=|OF|，其中O为原点．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知点C满足3OC=OF，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求

直线AB的方程．·77·5.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为32，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于M、N两点，且△MF2N的周长为8．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若|MN|=

85，求△MF2N的面积．6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(1,32)，离心率为12．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点．若OA∙OB=-2，求直线l的方程．

·78·7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32，左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆在第一象限上的一个动点，圆C与F1A的延长线，F1F2的延长线以及线段AF2都相切，M(2,0)为一个切点．(1)求椭圆方程；(2)设N32,0

，过F2且不垂直于坐标轴的动点直线l交椭圆于P，Q两点，若以NP，NQ为邻边的平行四边形是菱形，求直线l的方程．·79··80·数学培优微专题《圆锥曲线中的动态最值》1.在平面直角坐标系xOy中，双曲线E：x2a2-y2=1(a>0

)的左右焦点分别为F1、F2，离心率为233，且经过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A、B两点．(1)求双曲线E的标准方程；(2)求△ABF1的面积的取值范围．2.已知曲线C：y2=4x，曲线M：x-12+y2=4x≥1，直线l与曲线C交于A，B两点，O

为坐标原点．(1)若OA⋅OB=-4，求证：直线l恒过定点；(2)若直线l与曲线M相切，求PA⋅PB(点P坐标为(1,0))的取值范围．·81·3.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，且过点(2,2)，A，B在椭圆E上

，坐标原点为O，设直线OA，OB的斜率为kOA、kOB，且kOA⋅kOB=-b2a2．(1)求椭圆E的方程；(2)求OA⋅OB的取值范围．·82·4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=

1(a>b>0)经过点P(2,2)，一个焦点F2的坐标为(2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l:y=kx+1与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，求OA·OB的取值范围．5.已知F1和F2是椭圆M：x2a

2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点和右焦点，直线x+y-3=0过点F2交M于A、B两点，△ABF1的周长为46．(Ⅰ)求M的方程；(Ⅱ)设C为M上的动点，求△ABC的面积S的最大值．·83·6.已知圆F1：(x+1)2+y2=9，圆F2：(x-1)2+y2=1，动圆P与圆F1内切，与圆F2

外切．O为坐标原点．(Ⅰ)求圆心P的轨迹C的方程．(Ⅱ)直线l：y=kx-2与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，以及取得最大值时直线l的方程．·84·数学培优微专题《回归分析与独立性检验》1.2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心(上海)举行，吸引了5

8个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，成为共建“一带一路”的又一个重要支撑.某企业为了参加这次盛会，提升行业竞争力，加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如

下：科技投入x24681012收益y5.66.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示：根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线y=c⋅2bx的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：yz6i=1xi-xyi-y6i=1xi-xzi-z

6i=1yi-y26i=1xi-x243.54.5854.034.712730.470其中zi=log2yi，z=166i=1zi．(1)(i)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程(保留一位小数)；(ii)根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年收益达到

2亿，则科技投入的费用至少要多少？(其中log25≈2.3)(2)乙认为样本点分布在二次曲线y=mx2+n的周围，并计算得回归方程为y=0.92x2-12.0，以及该回归模型的相关指数R2=0.94，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果

更好．附：对于一组数据u1,v1，u2,v2，⋯，un,vn，其回归直线方程v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=ni=1ui-uvi-vni=1ui-u2

，α=v-βu，相关指数：R2=1-ni=1vi-vi2ni=1vi-v2．·85·2.某私营业主为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解月宣传费x(单位：百元)对月销售量y(单位：t)和月利润z(单位：百元)的影响，对8个月的宣传费xi和销售量yi(i=1,

2⋯8)数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量的值．x-y-w-8i=1(xi-x-28i=1(wi-w-28i=1(xi-x-(yi-y-)8i=1(wi-w-(yi-y-)5.45632.2

63.883.7645.188151.7·86·(1)根据散点图判断出y=c+dx适宜作为月销售量y关于月宣传费x的回归方程类型，求y关于x的回归方程；(表中wi=xi)(2)已知这种产品的每月利润z与x、y的关系为z=2y-x，根据(1)的结果，当月宣传费用x=16时

，求月利润的预报值．参考公式：b=ni=1(xi-x-(yi-y-)ni=1(xi-x-2=ni=1xiyi-nx-y-ni=1x2i-nx-2，a=y--bx-．

3.新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验．根据普遍规律．志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力．通过检测，用x表示注射疫苗后的天数．y表示人体中抗体含量水平(单位：miu/mL，即：百万

国际单位/毫升)，现测得某志愿者的相关数据如下表所示：天数x123456抗体含量水平y510265096195根据以上数据，绘制了散点图．(1)根据散点图判断，y=c·edx与y=a+bx(a,b，c，d均为大于零的常数)哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？(给出判断即可，不

必说明理由)(2)根据(1)的判断结果求出y关于x的同归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值；(3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望．参考数

据：其中ω=lny．xyω6i=1(x1-x)26i=1(ω1-ω)26i=1(ωi-ω(xi-x)6i=1(xi-x(yi-y)e8.33.5063.673.4917.50

9.4912.95519.014023.87·87·参考公式：用最小二乘法求经过点(u1,v1)，(u2,v2)，(u3,v3)，⋯.(ui,vi)的线性回归方程v=bu+a的系数公式，b=ni=1(ui-u)(vi-v)n

i=1(ui-u)2=ni=1uivi-nuvni=1u2i-nu2，a=v-bu．4.某二手车交易市场对2020年某品牌二手车的交易进行了统计，得到

如图所示的频率分布直方图和散点图.用x表示该车的使用时间(单位：年)，y表示其相应的平均交易价格(单位：万元)(Ⅰ)已知2020年在此交易市场成交的该品牌二手车为100辆，求使用时间在[12,20]的车辆数；·88·(

Ⅱ)由散点图分析后，可用y=ebx+a作为此交易市场上该种车辆的平均交易价格y关于其使用时间x的回归方程．表中z=lny，z-=11010i=1zi根据上述相关数据，求y关于x的回归方程；x-y-z-10i=1xiyi10i=1xizi10

i=1x2i5.59230080385附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，⋯(un,vn)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=ni=1uivi-nu-v-ni=1u2i-nu-2，α=v--

βu-．5.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级不合格合格得分[20,40)[4

0,60)[60,80)[80,100)频数6x24y(Ⅰ)若测试的同学中，分数段[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人，完成2×2列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关

？(Ⅱ)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望E(X)；(Ⅲ)某评估机构以指标M(M=E(X)D(X)，其中D(X)表示X的方差)来评估该校安全教育活动

的成效，若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在(Ⅱ)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？·89·附表及公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d．

P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635是否合格性别不合格合格总计男生女生总计·90·6.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统

计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”．(1)

求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97

.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上90____________60岁以下____________140合计____________300(3)研究发现，有5种药物对新冠

病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望X．附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.706

3.8415.0246.6357.87910.828K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)·91··92·数学培优微专题《概率分布列》1.2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗

的研究过程．但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验．已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体．试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与

上次接种无关．(1)求一个接种周期内出现抗体次数k的分布列；(2)已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周

期，设此种试验方式的花费为X元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y元．本着节约成本的原则，选择哪种实验方案．2.在一个不透明的盒中，装

有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品

.已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分．(1)求甲获得游戏奖品的概率；·93·(2)设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望．3.2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在

网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．满意不满意总计男生女生合计120(1)完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与

性别有关”；(2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ.求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：K2=n(ad-bc)2(

a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

·94·4.中央政府为了应对人口老龄化造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从年龄在15∼65岁的人群中随机调查10

0人，调查对象年龄分布的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄(岁)15,2525,3535,4545,5555,65支持“延迟退休”的人数155152817(1)根据以上统计数据完成下面的2×2列联表，并

判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．·95·(2)若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休年龄政策”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某45岁以下45岁及以上总计支持不支持总计项活动.现从这

8人中随机抽取2人．记抽到45岁及以上的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a

+c)(b+d)，n=a+b+c+d．·96·5.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习．某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线

上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下2×2列联表：(1)请完成上面2×2列联表；并判断是否有99％

的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时合计45习时间有关”；(2)(Ⅰ)按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足1

20分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列(概率用组合数算式表示)；(Ⅱ)若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差．(下面的临界值表供参考)(参考公式K2=n(ad-bc)

2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.879

10.828·97·6.为了丰富高2022届学生的课余活动，年级决定进行班级之间的乒乓球比赛。甲、乙两个班进行比赛，每场比赛采取“5局3胜制”(即有一个班先胜3局即获胜，比赛结束)。比赛排名采用积分制，规则如下：比赛中，以3：0或3：1获胜方记

3分，失败方记0分；以3:2获胜方记2分，失败方记1分.已知甲、乙两个班比赛，假设每局比赛甲获胜的概率都是23．(1)求比赛结束时恰好打了5局的概率；(2)甲、乙两个班比赛1场后，求乙班的积分ξ的分布列及期望．·98·数学培优微专题《确定函数处理切线

单调极值》1.已知函数f(x)=12x2-2alnx+(a-2)x．(1)当a=-1时，求函数f(x)的单调区间；2.已知函数f(x)=x+1ex．(Ⅰ)求函数f(x)的极值；(Ⅱ)求证：当x∈(0,+∞)时，f(x)

>-12x2+1；3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5，曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1．(1)求a，b的值；(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值．·99·4.已知

函数f(x)=cosx1+sinx+ex．(Ⅰ)求函数f(x)的定义域；(Ⅱ)求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(Ⅲ)求证：当x∈-π2,π2时，f(x)≥2．5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2，若y=f(x)在x=-23有极值，且f(x)在点(1,f(

1))处的切线斜率为-5．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0,3]上的最大值和最小值．·100·6.已知函数fx=xlnx．(1)求曲线y=f(x)在点1,f1处的切线方程；(2)求证：fx<x2+x．【答案】解：(

1)f1=0，所以切点为1,0．f′x=lnx+1，k=f′1=ln1+1=1，所以切线为y=x-1；(2)要证fx<x2+x，只需证：xlnx<x2+x，即证：lnx-x-1<0．

令gx=lnx-x-1，g′x=1x-1=1-xxx>0，令g′x=1-xx=0，解得x=1．所以x∈0,1，g′x>0，gx为增函数，x∈1,+∞，g′x<0，gx为减函数，所以gxmax=g1=-2<0，所以lnx-x-

1<0恒成立，即证fx<x2+x.·101·数学培优微专题《已知单调性求参数范围》1.已知函数f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a为正实数，且为常数)(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围；2.已知函数f(x)=x2-alnx(Ⅰ)当a=2时，求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若g(x)=f(x)+2x在(2,+∞)上是单调递增函数，求实数a的取值范围．3.设函数f(x)=lnx+x2-2ax+a2，a∈R.(II)若函数f(x)在12，2上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；·102·4.已知函数fx=lnx-12

ax2-2x．(1)若函数fx存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数fx在1,4上单调递减，求实数a的取值范围．5.已知函数f(x)=lnx+12x2-(a-1)x．(1)若函数f(x)存在单调递减区间，求实数a的取值范围；6

.已知函数fx=xlnx-2ax2+x,a∈R．(Ⅰ)若fx在(0,+∞)内单调递减，求实数a的取值范围；·103·数学培优微专题《单调性由一个因式决定》1.已知涵数f(x)=x-1+aex．(1)讨论f(x)的单调性；2.已知函数fx=ax-2lnx+x-1x

2，a∈R．(1)当a≤0时，讨论fx的单凋性3.已知函数fx=x2-a+2x+alnx(a为实常数)．(2)讨论函数fx在1,e上的单调性;4.已知函数fx=x2-ax+1，gx=lnx+aa∈R(1)讨论函数hx=fx+gx的单凋性；·

104·5.已知函数f(x)=ax-ax-2lnx(a>0)(Ⅱ)讨论f(x)的单调性；6.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．(1)讨论f(x)的单调性和极值情况·105·数学培优微专题《单调性由两个因式决定》1.已知函数

f(x)=lnxmx(m≠0)．(Ⅰ)试讨论函数f(x)的单调性；2.已知函数g(x)=f(x)+ax2-(2a+1)x．(Ⅱ)当a>0时，试讨论函数g(x)的单调性；3.已知函数f(x)=lnx-a2x2+(a-1)x(a∈R

)．(1)讨论函数f(x)的单调性；4.已知函数fx=xex-a12x2+x(a∈R)．(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性．·107·数学培优微专题《零点极值点个数问题》1.已知函数f(x)=2cos2x+ax2．(1)当a=1时，求f(x)

的导函数f′(x)在-π2,π2上的零点个数；2.设函数f(x)=lnx+mx-2x+3．(1)当m=-1时，求函数f(x)零点的个数；3.已知函数f(x)=ex-a(x+2)．(2)若f(x)有两个零点

，求a的取值范围．4.已知函数f(x)=aex+lnx+1(a∈R).(1)讨论f(x)零点的个数；5.已知函数fx=ex-12ax2a∈R，(2)判断函数fx的极值点的个数，并说明理由；·109·6.已知函数f(x)=alnx-x(a∈R

)(2)若f(x)有两个零点x1，x2，求a的取值范围；·110··111·数学培优微专题《不等式恒成立与分离》1.已知函数f(x)=1+lnxx．(1)若f(x)<ax+1x恒成立，求实数a的取值范围；2.已知函数f(x)=lnx

-x2+ax，(2)若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．3.已知函数f(x)=ax+lnx+1．(2)对任意的x>0，不等式f(x)≤xex恒成立，求实数a的取值范围．4.已知函数f(x)=lnx-(a

+2)x2-ax．(2)若对任意x∈(0,+∞)，函数f(x)的图象不在x轴上方，求实数a的取值范围．5.设函数f(x)=ex-1-x-ax2．(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．·113

·解法二：分离硬求6.已知函数f(x)=x2-ax-alnx(a∈R)．(2)当x∈[e,+∞)时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．·114·数学培优微专题《不等式恒成立与端点相关》1.已知函数f(x)=ex+aln(x+1)(a∈R)的图象在点(0,f(0))处的切线

与直线x+2y+1=0垂直．(2)若当x∈[0,+∞)时，f(x)-mx-1≥0恒成立，求实数m的取值范围．2.已知f(x)=ex+sinx+ax(a∈R)．(Ⅱ)若对任意x≥0，f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围；3.已知函数fx=ex-x2

2-1．(1)若直线y=x+a为f(x)的切线，求a的值．(2)若∀x∈[0,+∞)，f(x)≥bx恒成立，求b的取值范围．·116·4.已知函数f(x)=ex-ax-1-x22,x∈R．(2)若对任意x≥0都有f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．5.设a∈R，已知函数f(x)=xlnx

+ax2-(1+a)x+1，x∈(1,+∞).(1)若f(x)>0恒成立，求a的取值范围;·117·6.已知函数f(x)=sinx-ax(a∈R)．(Ⅱ)若对一切x∈(0,+∞)，不等式f(x)>-x36恒成立，求实数a的取值范围．

·118·数学培优微专题《指对与隐零点问题》1.已知函数fx=aex+blnx，且曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程为y=e-1x+1．⑴求fx的解析式；⑵证明：fx>136．2.已知函数f(x)=axex-x-lnx(2)当a=1时，求f(x)的最小值．3.

已知函数f(x)=ax+xlnx(a∈R)(2)当a=1且k∈Z时，不等式k(x-1)<f(x)在x∈(1，+∞)上恒成立，求k的最大值．4.函数f(x)=xex-ax+b的图象在x=0处的切线方程为：y=-x+1．(1)求a和b的值；(2)若f(x)满足：当x>0时，f(x)≥lnx

-x+m，求实数m的取值范围．·120··121·数学培优微专题《极值点偏移》1.已知函数f(x)=xex．(2)若方程f(x)=a有两个不等实根x1，x2，求实数a的取值范围，并证明：x1+x2>2．2.已知函数f(x)=ex-x+a，a

∈R．(3)设x1，x2(x1≠x2)是函数f(x)的两个零点，求证x1+x2<0．3.已知函数f(x)=alnxx+b(a,b∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1．(Ⅰ)求实数a，b的值及函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当f(x

1)=f(x2)(x1≠x2)时，比较x1+x2与2e(e为自然对数的底数)的大小．·123·4.已知函数f(x)=1+lnxx．(2)若方程f(x)=m有两个不同实根x1，x2，证明：x1+x2>2．（3）若方程f(x)=m有两个不同实

根x1，x2，证明：x1x2>1．·124·5.已知，函数f(x)=lnx-ax，其中a∈R．(2)设f(x)的两个零点分别为x1，x2，证明：x1x2>e2．·125·6.已知函数f(x)=lnx+1x+a．(2)若函数f(x)恰好有两个零点x1，x2(0<x1<

x2)，求证：1x1+1x2>2．·126·数学培优微专题《双变量问题》1.已知函数f(x)=x-ln(x+a)的最小值为0，其中a>0.设g(x)=lnx+mx，(1)求a的值；(2)对任意x1>x2>0，g(x1)-g(x2)x

1-x2<1恒成立，求实数m的取值范围；2.已知f(x)=12x2+2mlnx-(2+m)x,m∈R．(I)当m>0时，讨论f(x)的单调性；(II)若对任意的a，b∈(0,+∞)且a>b有f(a)-f(b)>m(b-a)恒成立，求m的取值范围．

3.已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x+1，a∈R．(2)设m，n为正实数且m≠n，求证：m-nlnm-lnn<m+n2．4.已知函数f(x)=ex+ax，a∈R，其中e为自然对数的底数．(Ⅱ)当a=-3时，设函数g(x)=f(x)-m(m∈R)存在两个零点x

1，x2(x1<x2)，求证：ex1+ex2>6．·128·5.已知函数f(x)=ex-12x2+x.证明：(1)函数f(x)在R上是单调递增函数；(2)对任意实数x1，x2，若f(x1)+f(x2)=2，则x1+x2<0．6.已

知函数f(x)=x(1-lnx)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b，证明：2<1a+1b<e．·129··130·