【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第四章 三角函数、解三角形 第四节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用 (含详解).ppt，共(60)页，784.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用本节主要包括2个知识点：1.函数y＝Asinωx＋φ的图象；2.三角函数模型的简单应用.振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，AT＝____

f＝1T＝ω2π______φ2πωωx＋φ1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念突破点(一)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象基础联通抓主干知识的“源”与“流”x_____________________________ωx＋φ___

___________y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φω0π2π3π22π2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3．由函数y＝s

inx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法考点贯通抓高考命题的“形”与“神”函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换1.“五点法”画图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，π2，1，(π，0)，

3π2，－1，(2π，0)，图象如图①所示．(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)，图象如图②所示．2．三角函数图象的变换函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，

φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．[例1]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋

φ)ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；[解

]根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx＋φ)050－50则函数解析式为f(x)＝5sin2x－π6.[解]由(1)知f(x)＝5si

n2x－π6，因此g(x)＝5sin2x＋π6－π6＝5sin2x＋π6.因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，令2x＋π6＝kπ，k∈Z，解得x＝

kπ2－π12，k∈Z，即y＝g(x)图象的对称中心为kπ2－π12，0，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为－π12，0.(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心；

[解]把y＝sinx的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到y＝sinx－π6的图象，再把y＝sinx－π6的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y＝sin2x－π6的图象

，最后把y＝sin2x－π6上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y＝5sin2x－π6的图象．(3)说明函数f(x)的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的．[易错提醒](1)由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移φ

ω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式求函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)是常见问题，一般和函数周期、最值及图象

变换相结合．由图象(或性质)求三角函数解析式的方法：(1)A，k由最值确定，在一个周期内(或者从最高点到相邻的最低点)，若最大值为M，最小值为m，则A＝M－m2，k＝M＋m2.特别地，当k＝0时，A＝M＝－m.(2)ω由周期T确定，即由2πω＝T

求出．常用的确定T值的方法如下：①曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为T2；②最高点的横坐标和与其相邻的最低点的横坐标之间的距离为T2；③相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为T；④有时还可以从图中读出T4或者3T4的长度来确定ω.(3)φ值的确定有三种途径：代入法将图象

中一个已知点代入或将图象与直线y＝b的交点代入求解(此时要注意交点在增区间还是在减区间)五点法由特殊点确定，可以利用最高点或最低点，也可以利用零点．利用零点时，通常把“五点法”中的第一个点(x0,0)(初始

点)作为突破口，由“第一个点”(图象上升时与x轴的交点)可得等式ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)；由“第三个点”(图象下降时与x轴的交点)可得等式为ωx0＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)．再由已知条件中φ的具体范围确定相应的φ值

变换法运用逆向思维，由图象变换来确定．由f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝Asinωx＋φω知，“五点法”中的第一个点－φω，0就是由原点平移而来的，可从图中读出此点横坐标，令其等于－φω，即可得到φ值[例2](1)(2017·石家庄模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)

A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f11π24的值为()A．－62B．－32C．－22D．－1[解析]由图象可得A＝2，最小正周期T＝4×7π12－π

3＝π，则ω＝2πT＝2.由f7π12＝2sin7π6＋φ＝－2，且|φ|<π2，得φ＝π3，则f(x)＝2sin2x＋π3，f11π24＝2sin11π1

2＋π3＝2sin5π4＝－1.[答案]D(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，fπ2＝－23，则f－π6＝()A．－23B．－12C．23D.12[解析]由题图知T2＝11π12－7π12＝π3，∴T＝2π3，即ω＝3，当x＝7π12

时，y＝0，即3×7π12＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，∴φ＝2kπ－9π4，k∈Z，取k＝1，则φ＝－π4，∴f(x)＝Acos3x－π4.则Acos3π2－π4＝－23，解得A＝223

，∴f(x)＝223cos3x－π4，故f－π6＝223cos－π2－π4＝－23.[答案]A[易错提醒](1)一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，它有无数个，如果求出的φ

值不在指定范围内，可以通过加减2πω的整数倍达到目的．(2)正弦函数、余弦函数的两个相邻的对称中心、两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周期，而是半个周期，在解题中要考虑到这一点．三角函数图象与性质的综合应用[例3]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω、A>0,0<φ<π

2的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝π6是其图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝fx－π12－fx＋π12的单调递增区间．[解]由题意，得A＝2，ω＝2ππ＝2，又直线x＝π6是f(x)的图象

的一条对称轴，所以2sin2×π6＋φ＝±2，即sinπ3＋φ＝±1，所以π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，解得φ＝kπ＋π6(k∈Z)，又0<φ<π2，∴φ＝π6.故f(x)＝2sin2x＋π6.[解

]g(x)＝2sin2x－π12＋π6－2sin2x＋π12＋π6＝2sin2x－2sin2x＋π3＝2sin2x－212sin2x＋32cos2x＝sin2x－3co

s2x＝2sin2x－π3.令2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.(2)求函数g(x)＝fx

－π12－fx＋π12的单调递增区间．[易错提醒]三角函数图象与性质的综合问题的求解思路先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关

问题．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.(2017·西安模拟)函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()[考点一]解析：令x＝0，得y＝sin－π3＝－32，排除B、D.当x∈－π2，0时，－4π3≤2x－π

3≤－π3，在此区间上函数不会出现最高点，排除C，故选A.答案：A2．(2016·四川高考)为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点()A．向左平行移动π3个单位长度B．向右平行移动π3个单位长度C．向左平行移动π6个单位长度D．向右平行移动π6个单位长度[

考点一]解析：∵y＝sin2x－π3＝sin2x－π6，∴将函数y＝sin2x的图象向右平行移动π6个单位长度，可得y＝sin2x－π3的图象．答案：D3．函数f(x)＝2

sin(ωx＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D．4，π3[考点二]解析：由图可得，3T4＝5π12－－π3＝3π4，∴T＝π，则ω＝2，∵图

象过点B5π12，2，∴2sin2×5π12＋φ＝2，∴2×5π12＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.答案：A4．[考点二、三](2016·银川二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的图象与x

轴的一个交点－π12，0到其相邻的一条对称轴的距离为π4，若fπ12＝32，则函数f(x)在0，π2上的最小值为()A．12B．－3C．－32D．－12解析：由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×π4＝π＝2πω，解得ω＝2.因为点－π12，0在

函数f(x)的图象上，所以Asin2×－π12＋φ＝0，解得φ＝kπ＋π6，k∈Z，由0<φ<π，可得φ＝π6.因为fπ12＝32，所以Asin2×π12＋π6＝32，解得A＝3，所以f(x)＝3sin2x＋π6

.当x∈0，π2时，2x＋π6∈π6，7π6，sin2x＋π6∈－12，1，且当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，函数f(x)取得最小值，最小值为－32，故选C.答案：C5．[考点二](

2017·江西百校联盟联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)|φ|<π2，ω>0的图象在y轴右侧的第一个最高点为Pπ6，1，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q5π12，0，则fπ3的值为()A．1B.22C.12D.32解析：由题意

得T4＝5π12－π6，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，将点Pπ6，1代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f(x)＝sin

2x＋π6(x∈R)，所以fπ3＝sin2×π3＋π6＝sin5π6＝12，选C.答案：C6.已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的

值；(2)当x∈0，π2时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．解：因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f(x)的图象关于直线

x＝π3对称，所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ－π6，k∈Z，又－π2≤φ<π2，所以φ＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.[考点三]解：由(1)知f(x)＝3sin2x－π6，当x∈0，π2时，－π6≤

2x－π6≤5π6，所以，当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)最大值＝3；当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)最小值＝－32.(2)当x∈0，π2时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．突破点(二)三角函数模型的简单应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”三角函数模型的实际

应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例]某实

验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？[解](1)因为f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ

12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t＜24，所以π3≤π12t＋π3<7π3，所以－1≤sinπ12t＋π3≤1.当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.于是f(t)在[0,24

)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.[解]依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，故有10－2sinπ12t＋π3>1

1，即sinπ12t＋π3<－12.又0≤t<24，因此7π6<π12t＋π3<11π6，即10<t<18.故在10时至18时实验室需要降温．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？[方法技巧]解决三角函数实际应用题的四个注意点(

1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化；(3)“ωx＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m

)的最大值为()A．5B．6C．8D．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.答案：C2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x

为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意知：A＝2000，B＝7000，T＝2

×(9－3)＝12，∴ω＝2πT＝π6.将(3，9000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f(x)＝2000sinπ6x＋7000(1≤x≤12，x∈N*)．∴f(7)＝2000×sin7π

6＋7000＝6000.故7月份的出厂价格为6000元．答案：60003．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acosπ6x－6(x＝1,2,3，„，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28℃，12月份的

平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a＝28＋182＝23，A＝28－182＝5，所以y＝23＋5cosπ6x－6，当x＝10时，y＝23＋5cosπ6×4＝20.5.答案：20.54.如图所示，某市拟在长为8km的

道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)，赛道的后一部分为折线段MNP，求A，ω的值和M，P两点间的距离．解：依题意，有A

＝23，T4＝3，又T＝2πω，所以ω＝π6，所以y＝23sinπ6x，x∈[0,4]，所以当x＝4时，y＝23sin2π3＝3，所以M(4,3)，又P(8,0)，所以MP＝8－42＋0－32＝42＋32＝5(km)，即M，P两点间的距离为5km.5．(2017·青岛调研)某市新体育公园的

中心广场平面图如图所示，在y轴左侧的观光道(单位：米)曲线段是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)，x∈[－4,0]的图象且最高点为B(－1,4)，在y轴右侧的观光道曲线段是以CO为直径的半圆弧．(1)试确定A，ω和φ的值；(2

)现要在y轴右侧的半圆中修建一条步行道CDO，点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段(造价为2万元/米)．点D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1万元/米)．设∠DCO＝θ(弧度)，试用θ来表示修建步行道CDO的造价预算，并求该

造价预算的最大值？(注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度)解：(1)因为最高点为B(－1,4)，所以A＝4.由图可得T4＝－1－(－4)＝3，所以T＝12，因为T＝2πω＝12，所以ω＝π6，所以4＝4sinπ6×

－1＋φ，即sinφ－π6＝1，又0<φ<π，所以φ＝2π3.(2)现要在y轴右侧的半圆中修建一条步行道CDO，点C与半圆弧上的一点D之间设计为直线段(造价为2万元/米)．点D到点O之间设计为沿半圆弧的弧形(造价为1万元/米)．设∠DCO＝θ(弧度)，试用θ来表示修建步行道CD

O的造价预算，并求该造价预算的最大值？(注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度)解：由(1)知y＝4sinπ6x＋2π3，x∈[－4,0]，得点C(0，23)，即CO＝23，取CO的中点F，连接DF，DO，

因为弧CD为半圆弧，所以∠DFO＝2θ，∠CDO＝90°，即DO＝2θ×3＝23θ，则圆弧段DO的造价预算为23θ万元，在Rt△CDO中，CD＝23cosθ，则直线段CD的造价预算为43cosθ万元，所以步行道CDO的造价预算g(θ)＝43cosθ＋23θ，θ∈

0，π2.由g′(θ)＝43(－sinθ)＋23＝23(1－2sinθ)，得当θ＝π6时，g′(θ)＝0，当θ∈0，π6时，g′(θ)>0，即g(θ)在0，π6上单调递增；当θ∈π6，π2时，g′(θ)<0，即g

(θ)在π6，π2上单调递减．所以g(θ)在θ＝π6时取得极大值也是最大值6＋33π，即修建步行道CDO的造价预算的最大值为6＋33π万元．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国乙卷)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右

平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3解析：函数y＝2sin

2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D.答案：D2．(201

6·全国甲卷)若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A．x＝kπ2－π6(k∈Z)B．x＝kπ2＋π6(k∈Z)C．x＝kπ2－π12(k∈Z)D．x＝kπ2＋π12(k∈Z)解析：将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长

度，得到函数y＝2sin2x＋π12＝2sin2x＋π6的图象．由2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝kπ2＋π6(k

∈Z)．答案：B3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.kπ－14，kπ＋34，k∈ZB.2kπ－14，2kπ＋34，k∈ZC.k－14，k＋34，k∈ZD.2k－14，2

k＋34，k∈Z解析：由图象知，周期T＝254－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2kπ，得φ＝π4＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π4，则f(x)＝cosπx＋π4.由2kπ＜πx

＋π4＜2kπ＋π，k∈Z，得2k－14＜x＜2k＋34，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z，故选D.答案：D4．(2016·全国丙卷)函数y＝sinx－3cosx的图象可由函数y＝sinx＋3cosx的图象至少向右平移___

_____个单位长度得到．解析：因为y＝sinx＋3cosx＝2sinx＋π3，y＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，所以把y＝2sinx＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y＝2sinx－π3的图象．答案：2π35．

(2013·新课标全国卷Ⅱ)函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin2x＋π3的图象重合，则φ＝________.解析：将y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移π2个单位后得到y＝cos2x－π2＋φ的图

象，化简得y＝－cos(2x＋φ)，又可变形为y＝sin2x＋φ－π2.由题意可知φ－π2＝π3＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝5π6＋2kπ(k∈Z)，结合－π≤φ<π知φ＝5π6.答案：5

π6