【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第四章 三角函数、解三角形 第七节 解三角形应用举例 (含详解).ppt，共(43)页，810.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第七节解三角形应用举例本节主要包括3个知识点：1.距离问题；2.高度问题；3.角度问题.突破点(一)距离问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．测量距离问题的三种类型(1)两点间不可达又不可视．(2)两点间可视但不可达．(3)两点都不可达．2．解决

距离问题的方法选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”两点都不可到达的距离问题[例1]如图，A，B两点在河的同侧，且A，

B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠ACB＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠ADB＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，

∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．[解]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝CD＝32(km)．在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠DCB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDs

in∠DBC·sin∠CDB＝32sin45°·sin30°＝64.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB＝64(km)．即A，B两点间的距离为

64km.两点不可到达又不可视的距离问题[例2]如图所示，要测量一座山的山脚两侧A，B两点间的距离，其方法为先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB

＝a2＋b2－2abcosα.若测得AC＝400m，BC＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．[解]在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝20

07(m)．即A，B两点间的距离为2007m.两点间可视但有一点不可到达的距离问题[例3]如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法是在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m

，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠BAC＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.[解析]在△AB

C中，B＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsinC＝ACsinB，∴AB＝AC·sinCsinB＝60×sin45°sin60°＝206(m)．即A，B两点间的距离为206m.[答案]206[方法技巧]距离问题的求解策略(1)选定或确

定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点三]如图，设A

，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m解析：由题，B＝30°，

由正弦定理得AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．答案：A2.[考点三]如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案：(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)①测量A，C，b；②测量a，b

，C；③测量A，B，a；④测量a，b，B.则一定能确定A，B间距离的所有方案的序号为()A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④解析：已知三角形的两角及一边，可以确定三角形，故①③正确；已知两边及其夹角，可以确定三

角形，故②正确；已知两边与其中一边的对角，三角形的个数可能为一个、两个或零个，即三角形不能唯一确定，故④错误．答案：A3.[考点一]如图，为了测量两座山峰上两点P，Q之间的距离，选择山坡上一段长度为3003米

且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为________米．解析：设AQ∩PB＝C(图略)，可知∠QAB

＝∠PAB－∠PAQ＝30°，又∠PBA＝∠PBQ＝60°，∴∠AQB＝30°，∴△ABQ为等腰三角形，∴AC＝CQ，BC⊥AQ，∴△PQA为等腰三角形，∵∠PAQ＝60°，∴△PQA为等边三角形，故PQ＝AQ，在Rt△ACB中，AC＝AB·sin60°＝3003×32＝9002，∴

PQ＝AQ＝900.故P，Q两点间的距离为900米．答案：9004.[考点二]如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC＝π3，∠BAD＝2π3，

AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为________．解析：在△ABC中，AB＝BC＝400，∠ABC＝π3，所以△ABC为等边三角形，所以AC＝400，∠ACB＝π3.又因为∠BAC＝π3，∠BAD＝2π3，所以∠

DAC＝∠BAD－∠BAC＝π3.在△ADC中，AD＝250，AC＝400，∠DAC＝π3，由余弦定理可得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，即CD2＝2502＋4002－2×250×400×cosπ3.解得CD＝

350(米)．答案：350米5.[考点一]要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距3km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A，B之间的距离为________km.解析：

如图所示，在△ACD中，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝120°，则∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，则∠CBD＝60°.∴由正弦定理得BC＝3sin75°sin60°＝6＋22.在△ABC中

，由余弦定理，得AB2＝(3)2＋6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB＝5(km)，即A，B之间的距离为5km.答案：5突破点(二)高度问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的

角叫仰角，在水平线____的角叫俯角(如图①)．上方下方2．坡角与坡度坡面与水平面所成的二面角的度数叫坡角(如图②，角θ为坡角)；坡面的铅直高度与水平长度之比叫坡度(如图②，i为坡度)，坡度又称为坡比．考点贯通抓高考命题的“形”

与“神”测量高度问题[典例]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.[解析]由题

意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝3002×33＝1006(m)．[答案]1006

[方法技巧]求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，关键是要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)的含义．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一

个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高是()A.4003米B.40033米C．2003米D．

200米解析：如图所示，AB为山高，CD为塔高，则由题意知，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝200(米)．则AC＝ABcos30°＝40033(米)．在△ACD中，∠CAD＝60°－30°＝30°，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°.由正

弦定理得CDsin30°＝ACsin120°，∴CD＝AC·sin30°sin120°＝4003(米)．答案：A2．(2017·江西联考)某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°，小高层底部的俯角为45°，那么这栋小

高层的高度为()A．201＋33mB．20(1＋3)mC．10(2＋6)mD．20(2＋6)m解析：如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20m，∠DAE＝45°，∠CAE＝60°，故AE＝DE＝A

B＝20m，CE＝AE·tan60°＝203m.所以CD＝20(1＋3)m，故选B.答案：B3.如图，塔AB底部为点B，若C，D两点相距为100m并且与点B在同一水平线上，现从C，D两点测得塔顶A的仰角分别为45°和30°，则

塔AB的高约为(精确到0.1m，3≈1.73，2≈1.41)()A．36.4mB．115.6mC．120.5mD．136.5m解析：由题，∠DAC＝∠ACB－∠ADC＝15°.在△ACD中，CDsin15°＝ACsin30°，所以AC＝CD·sin30

°sin15°＝506－24＝2006－2m，在Rt△ABC中，AB＝22AC＝10026－2＝50(3＋1)≈136.5m.答案：D4．要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝

40m，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝3x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD

2－2BC·CD·cos120°，即(3x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.突破点(三)角度问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．方位角从指北方

向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图①)．2．方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图②)；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”测量角度问题[

典例]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的

速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[解]如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解

得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.[方法技巧]解决角度问题的三

个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决

的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏

东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB．3akmC．2akmD．2akm解析：由题可得，∠ACB＝120°.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a

2－2a2cos120°＝3a2，故|AB|＝3a，即灯塔A与灯塔B的距离为3akm.答案：B2．(2017·德州检测)某货轮在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S在北偏东75°方向．则此时货轮到灯塔S的距离为________海里．解析：根据题意知，如图在△A

BS中，AB＝24，∠BAS＝30°，∠ASB＝45°，由正弦定理，得BSsin30°＝24sin45°，∴BS＝1222＝122，故此时货轮到灯塔S的距离为122海里．答案：1223.如图所示，在东海某岛的雷达观测站A，发现位于其北偏东4

5°，距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶．半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ＝45.已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海

里/小时．解析：∵cosθ＝45，∴sinθ＝35.∵∠BAC＝45°－θ，∴cos∠BAC＝cos(45°－θ)＝22(cosθ＋sinθ)＝7210.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝800＋10

0－2×202×10×7210＝340，故BC＝285(海里)．∴货船的船速为485海里/小时．答案：4854.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东

θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，则BC＝207.由

正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，所以sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cos

θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.[全国卷5年真题集中演练——明规律](2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点

．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.解析：在Rt△ABC中，BC＝100m，∠CAB＝45°，所以AC＝1002m，在△MAC中，∠AMC＝180°－

∠MAC－∠MCA＝45°，由正弦定理得MAsin60°＝ACsin45°，解得MA＝1003m，在Rt△MNA中，MN＝MA·sin60°＝150m.即山高MN为150m.答案：150