【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第四章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制、任意角的三角函数 (含详解).ppt，共(42)页，547.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数本节主要包括3个知识点：1.角的概念；2.弧度制及其应用；3.任意角的三角函数.突破点(一)角的概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端

点从一个位置_____到另一个位置所形成的．旋转图形2．角的分类角的分类按旋转方向不同分类正角：按方向旋转形成的角负角：按______方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类

象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上顺时针逆时针3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝__________________}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．α＋k·360°，k∈Z

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”终边相同的角[例1](1)设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么()A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M

∩N＝∅[解析]法一：由于M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z＝{„，－45°，45°，135°，225°，„}，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z＝{„，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，

„}，显然有M⊆N.法二：由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，k∈Z,2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k∈Z，k＋1是整数，因此必有M

⊆N.[答案]B[解析]所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－765360≤k<－45360(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1.将k＝－2，

k＝－1分别代入β＝45°＋k×360°(k∈Z)，得β＝－675°或β＝－315°.[答案]－675°或－315°(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．[方法技巧]终边相同角的集合的应用利用

终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．象限角[例2](1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；

③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个[解析]－3π4＝5π4－2π＝π4＋π－2π，从而－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°

＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确．[答案]C[解析]∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；

当k为奇数时，α2是第三象限角．[答案]C(2)若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角[方法技巧]确定αn(n≥2，且n∈N*)的终边位置的方法(1)讨论法①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②写出αn的

范围；③根据k的可能取值讨论确定αn的终边所在位置．[方法技巧](2)等分象限角的方法已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求αn是第几象限角．①等分：将每个象限分成n等份；②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1

,2,3,4，直至回到x轴正半轴；③选答：出现数字m的区域，即为αn的终边所在的象限．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一、二]给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关；④若

sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：由于第一象限角如370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°

时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cosθ＝－1，θ＝π时，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案：A2.集合

αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()[考点一]解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表

示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．比较各选项，可知选C.答案：C3.[考点二]若α为第一象限角，则β＝k·180°＋α(k∈Z)是第________象限角．解析：∵α是第一象限角，∴k为偶数时，k·180°＋α的终边在第一象限；k为奇数

时，k·180°＋α的终边在第三象限．即β＝k·180°＋α(k∈Z)是第一或第三象限角．答案：一或三4.[考点一]终边在直线y＝3x上的角的集合为________．解析：终边在直线y＝3x上的角的集合为αα＝kπ＋π3，k∈Z.答

案：αα＝kπ＋π3，k∈Z5.[考点一、二]已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断α3是第几象限角．解：与α终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋150

°，k∈Z}．则α3＝k·120°＋50°，k∈Z.若k＝3n(n∈Z)，α3是第一象限角；若k＝3n＋1(n∈Z)，α3是第二象限角；若k＝3n＋2(n∈Z)，α3是第四象限角．故α3是第一、第二或第四象限角．突破点(二)弧度制及其应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．弧度制的

定义把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2．弧度制下的有关公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式弧长l＝扇形面积公式S＝___＝_____半径长|α|r12lr1

2|α|r2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”扇形的弧长及面积公式[典例](1)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是()A．1B．4C．1或4D．2或4(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l＝________cm.

[解析](1)设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝6，12rl＝2，解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2.从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1.[答案]C[解析]设扇形的半径为rcm，如图．由sin60°＝122r，得r＝43(cm)，又α

＝2π3，所以l＝|α|·r＝2π3×43＝833π(cm)．[答案]833π(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l＝________cm.[方法技巧]弧度制下有关弧长、扇形面积问题

的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．能力练通抓应用体验的

“得”与“失”1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20cm，则扇形的面积为()A．40πcm2B．80πcm2C．40cm2D．80cm2解析：∵72°＝2π5，∴S扇形＝12αr2＝12×2π5×202＝80π(cm2)．答案：B2．如果一个圆的半径变为原来的一半，而

弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为lr.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l12r＝3·lr，即弧度数变为原来的3倍．答案：33

．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．解析：由题可知，弧长l＝3π，圆心角α＝135°＝3π4，所以半径r＝lα＝3π3π4＝4.面积S＝12lr＝12×3π×4＝6π.答案：

46π4．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，Smax

＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．突破点(三)任意角的三角函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”三角函数正弦余弦正切设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么定义

__叫做α的正弦，记作sinα__叫做α的余弦，记作cosα__叫做α的正切，记作tanαⅠ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋各象限符号Ⅳ－＋－yxyx三角函数正弦余弦正切三角函数线有向线段_____为正弦线有向线

段_____为余弦线有向线段____为正切线MPOMAT考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数值的符号判定[例1](1)若sinαtanα<0，且cosαtanα<0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[解析](1)由sinαtanα＜0可知

sinα，tanα异号，则α为第二或第三象限角．由cosαtanα＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．[答案]C[解析]2rad,3rad是第二象限角，所以sin2>0，cos3<0，4rad是第三象限角，所以tan4>0，

故sin2·cos3·tan4<0.[答案]A(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不确定根据三角函数的定义求三角函数值[例2](1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，则sin

α＝________.(2)若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．[解析](1)sinα＝－342＋－32＝－35.(2)设α终边上任一点为P(－4a,3a)，当a＞0时，r＝5a，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34；当

a＜0时，r＝－5a，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.[答案](1)－35[方法技巧]由三角函数定义求三角函数值的方法(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2

)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．由三角函数值求点的坐标[例3](1)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cos

α＝34，则a的值为()A．43B．±43C．－43或－433D.3[解析]由三角函数的定义得sinα·cosα＝a－42＋a2·－4－42＋a2＝－4a－42＋a2＝34，即3a2＋16a＋163＝0，解得a＝－43或－433.故选C.[答案

]C[解析]由三角函数的定义知tan420°＝3x，所以x＝3tan420°＝33＝3.[答案]3(2)若420°角的终边所在直线上有一点(x,3)，则x的值为________．[方法技巧]求角α终边上点的坐标的类型及方法(1)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中

的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是()A．s

inθ2B．cosθ2C．tanθ2D．cos2θ解析：由θ是第二象限角可得θ2为第一或第三象限角，所以tanθ2>0，故选C.答案：C2．已知θ是第四象限角，则sin(sinθ)()A．大于0B．大于等于0C．小于0D．小于等于0解析：∵θ是第四象限

角，∴sinθ∈(－1,0)．令sinθ＝α，当－1<α<0时，sinα<0.故sin(sinθ)<0.答案：C3.已知角α的终边与单位圆的交点Px，32，则tanα＝()A.3B．±3C.33D．±33解析：因为P

x，32在单位圆上，所以x2＋322＝1，解得x＝±12.所以tanα＝±3.答案：B[考点二]4.[考点二、三]设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝

()A.43B.34C．－34D．－43解析：∵α是第二象限角，∴x<0.又由题意知xx2＋42＝15x，解得x＝－3.∴tanα＝4x＝－43.答案：D5.[考点三]已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞

0，则实数a的取值范围是________．解析：∵cosα≤0，sinα＞0，∴3a－9≤0，a＋2＞0，即－2<a≤3.答案：(－2,3]