【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第四章 三角函数、解三角形 第五节 三角恒等变换 (含详解).ppt，共(53)页，597.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-34149.html

以下为本文档部分文字说明：

第五节三角恒等变换本节主要包括3个知识点：1.三角函数的化简求值；2.三角函数的条件求值；3.三角恒等变换的综合问题.突破点(一)三角函数的化简求值基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．两角和与差的正弦、

余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝____________________S(α－β)sin(α－β)＝S(α＋β)sin(α＋β)＝T(α－β)tan(α－β)＝_

___________；变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝____________；变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)cosαcosβ－sinαsinβsi

nαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβtanα－tanβ1＋tanαtanβtanα＋tanβ1－tanαtanβ2.二倍角公式S2αsin2α＝；变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α

＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝＝＝；变形：cos2α＝_________，sin2α＝__________T2αtan2α＝__________2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α1＋

cos2α21－cos2α22tanα1－tan2α考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数式的化简1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(

4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．[例1]已知α∈(0，π)，化简：1＋sinα＋cosα·cosα2－sinα22＋2cosα＝________.[解析]原式＝

2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα24cos2α2.因为α∈(0，π)，所以α2∈0，π2，所以cosα2>0，所以原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα22

cosα2＝cosα2＋sinα2·cosα2－sinα2＝cos2α2－sin2α2＝cosα.[答案]cosα[方法技巧]三角函数式的化简要遵循“三看”原则三角函数的给角求值[

例2]求值：(1)1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°；[解]原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝co

s10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－2

12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.[解]sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°(1＋tan60°·tan10°)＝sin50°·cos60°cos10°＋sin60°sin10°

cos60°cos10°＝sin50°·cos60°－10°cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.(2)sin50°(1＋3tan10°)．[方法技巧]给角求值问题的解题规律解决给角求值问题的关键

是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行

变形．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.计算：1－cos210°cos80°1－cos20°＝()A.22B.12C.32D．－22解析：1－cos210°cos80°1－cos20°＝sin210°sin10°1－1－2sin210°＝sin

210°2sin210°＝22.答案：A[考点二]2．[考点二](1＋tan18°)·(1＋tan27°)的值是()A．3B．1＋2C．2D．2(tan18°＋tan27°)解析：原式＝1＋tan18°＋tan27°＋ta

n18°tan27°＝1＋tan18°tan27°＋tan45°(1－tan18°tan27°)＝2，故选C.答案：C3.化简：sin2α＋cos2α－1sin2α－cos2α＋1sin4α＝________.解析：sin2α＋

cos2α－1sin2α－cos2α＋1sin4α＝sin22α－cos2α－122sin2α·cos2α＝sin22α－cos22α＋2cos2α－12sin2α·cos2α＝－2cos22α＋2cos2α2sin2α·cos2α＝1－cos2αsin2α＝2sin

2α2sinαcosα＝sinαcosα＝tanα.答案：tanα[考点一]4.化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.解析：原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2

π4－xcosπ4－x＝121－sin22x2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.答案：12cos2x[考点一]突破点(二)三角函数的条件求值考点贯通抓高考命

题的“形”与“神”给值求值问题[例1](2017·合肥模拟)已知cosπ6＋α·cosπ3－α＝－14，α∈π3，π2.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．[解

](1)∵cosπ6＋α·cosπ3－α＝cosπ6＋α·sinπ6＋α＝12sin2α＋π3＝－14，∴sin2α＋π3＝－12.∵α∈π3，π2，∴2α＋π3∈π，4π3，∴cos2α＋π3＝－

32，∴sin2α＝sin2α＋π3－π3＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π3sinπ3＝12.[解]∵α∈π3，π2，∴2α∈

2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23.(

2)求tanα－1tanα的值．[易错提醒]给值求值问题的求解思路(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．给值求角问题[例2](1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则

α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4[解析](1)∵α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－255，sinβ＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ

－sinαsinβ＝22>0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈3π2，2π，∴α＋β＝7π4.[答案]C[解析]∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tanα

1－tan2α＝2×131－132＝34>0，(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝

34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－17<0，∴π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.[答案]－3π4[方法技巧]给值求角时选取函数的原则和解题步骤(1)通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切

函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数较好．[方法技巧](2)解给值求角问题的一般步骤：①求角的

某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角的大小．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.已知sin2α＝13，则cos2α－π4＝()A.13B.23C．－23D．－13解析：cos2α－π4＝1＋cos2α－π22＝1＋sin2α2＝1

＋132＝23.答案：B[考点一]2.(2017·深圳模拟)若α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α－β)＝1010，则cosβ＝()A.22B.210C.22或－210D.22或210解析：∵α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α－β)＝1010，∴si

nα＝255，cos(α－β)＝31010，从而cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝22，故选A.答案：A[考点一]3.(2017·成都模拟)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈

π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[考点二]解析：因为α∈π4，π，所以2α∈π2，2π，又sin2α＝55，所以2α∈π2

，π，α∈π4，π2，故cos2α＝－255.又β∈π，3π2，所以β－α∈π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2α·cos(β－α)－s

in2αsin(β－α)＝－255×－31010－55×1010＝22，又α＋β∈5π4，2π，故α＋β＝7π4.答案：A4.[考点二]若锐角α，β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4

，则α＋β＝________.解析：因为(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，所以1＋3(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，即3(tanα＋tanβ)＝3－3tanαtanβ＝3(1－tanαtanβ)，即tanα＋tanβ＝3(1－tanαtan

β)．∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝π3.答案：π35.已知α∈π2，π，且sinα2＋cosα2＝62.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)

＝－35，β∈π2，π，求cosβ的值．解：(1)已知sinα2＋cosα2＝62，两边同时平方，得1＋2sinα2cosα2＝32，则sinα＝12.又π2<α<π，所以cosα＝－1－sin2α＝－32.[考点一]解：因为π2<α<π，π2<β<π，所以－

π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－35，所以cos(α－β)＝45.则cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－32×45＋12×－35＝－43＋310.(2)若sin(α－β)＝－35，β∈

π2，π，求cosβ的值．突破点(三)三角恒等变换的综合问题利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.考点贯通抓高考命题的

“形”与“神”三角恒等变换与三角函数性质的综合问题[典例]已知向量m＝(sinx,1)，n＝3Acosx，A2cos2x(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的

图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在0，5π24上的值域．[解](1)f(x)＝m·n＝3Asinxcosx＋A2cos2x＝A32sin2

x＋12cos2x＝Asin2x＋π6.因为A>0，由题意知A＝6.[解]由(1)知f(x)＝6sin2x＋π6.将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位后得到y＝6sin2x＋

π12＋π6＝6sin2x＋π3的图象；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在0，5π24上的值域．再将得到图象上各点横坐标缩短为原

来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin4x＋π3的图象．因此g(x)＝6sin4x＋π3.因为x∈0，5π24，所以4x＋π3∈π3，7π6，故g(x

)在0，5π24上的值域为[－3,6]．[方法技巧]三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)＋t

的形式，再进行图象变换．(2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；[方法技巧]②利用公式T＝2πω(ω>0)求周

期；③根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．能

力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知函数f(x)＝2sinxsinx＋π6.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；解：f(x)＝2sinx32sinx＋12cosx＝3×1－cos2x2＋12sin2x

＝sin2x－π3＋32.所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间是－π12＋kπ，5π12＋kπ，k∈Z.

解：当x∈0，π2时，2x－π3∈－π3，2π3，sin2x－π3∈－32，1，f(x)∈0，1＋32.故f(x)的值域为0，1＋32.

(2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的值域．2．已知函数f(x)＝3sinωx－cosωx－1，x∈R(其中ω>0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y＝f(x)的单调增区间．解

：(1)f(x)＝232sinωx－12cosωx－1＝2sinωx－π6－1.由－1≤sinωx－π6≤1，得－3≤2sinωx－π6－1≤1.所以函数f(x)的值域为[－3,1]．解：由题设条件及三角函数图象和性质

可知，y＝f(x)的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin2x－π6－1，由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．所以

函数y＝f(x)的单调增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y＝f(x)的单调增区间．3．已知函数f(x)＝2cos2ωx－

1＋23sinωxcosωx(0<ω<1)，直线x＝π3是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；解：f(x)＝cos2ωx＋3sin2ωx＝2sin2ωx＋π6，由于直线x＝π3是函数f(x)

＝2sin2ωx＋π6的图象的一条对称轴，所以sin2π3ω＋π6＝±1，因此2π3ω＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝32k＋12(k∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝12，所以f(x)＝2

sinx＋π6.由2kπ－π2≤x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－2π3≤x≤2kπ＋π3(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为2kπ－2π3，2kπ＋π3(k∈Z)．解：由题意

可得g(x)＝2sin12x＋2π3＋π6，即g(x)＝2cosx2，由g2α＋π3＝2cos122α＋π3＝2cosα＋π6＝65，得cosα＋π6＝35

，(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g2α＋π3＝65，α∈0，π2，求sinα的值．又α∈0，π2，故π6<α＋π

6<2π3，所以sinα＋π6＝45，所以sinα＝sinα＋π6－π6＝sinα＋π6·cosπ6－cosα＋π6·sinπ6＝45×32－35×12＝43－310.[全国卷5年

真题集中演练——明规律]1.(2016·全国甲卷)函数f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x的最大值为()A．4B．5C．6D．7解析：∵f(x)＝cos2x＋6cosπ2－x＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2si

nx－322＋112，又sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.答案：B2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12解析：sin20°cos10°－cos1

60°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.答案：D3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α

－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2解析：由条件得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα(1＋sinβ)，sin(α－β)＝cosα＝sinπ2－α，因为－π2

<α－β<π2，0<π2－α<π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2.答案：B4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝()A.16B.13C.12D.23解析：cos2α＋π4＝121＋cos2α＋π

2＝12(1－sin2α)＝16.答案：A5．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tanθ＋π4＝12，则sinθ＋cosθ＝________.解析：将tanθ＋π4＝12利用两

角和的正切公式展开，则tanθ＋11－tanθ＝12，求得tanθ＝－13.又因为θ在第二象限，则sinθ＝110，cosθ＝－310，从而sinθ＋cosθ＝－210＝－105.答案：－105