【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第四章 三角函数、解三角形 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 (含详解).ppt，共(35)页，544.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式本节主要包括2个知识点：1.同角三角函数的基本关系；2.三角函数的诱导公式.突破点(一)同角三角函数的基本关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：_____

_________________．(2)商数关系：______________________________.sin2α＋cos2α＝1(α∈R)tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，

k∈Z2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝sinθcosθ化成正弦、余弦，或者利用公式sinθcosθ＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(s

inθ±cosθ)2∓2sinθcosθ＝tanπ4表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ考点贯通抓高考命题的“形”与“神

”化简求值[例1](2017·南京模拟)已知α为第二象限角，则cosα·1＋tan2α＋sinα1＋1tan2α＝________.[解析]原式＝cosαsin2α＋cos2αcos2α＋sinαsin

2α＋cos2αsin2α＝cosα·1|cosα|＋sinα·1|sinα|，因为α是第二象限角，所以sinα＞0,cosα＜0，所以cosα·1|cosα|＋sinα·1|sinα|＝－1＋1＝0，即原式等于0.[答案]0条件求值[例2]若tanα＝2，则(1)2sinα－3cosα4si

nα－9cosα＝________；[解析]2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝2tanα－34tanα－9＝2×2－34×2－9＝－1.[答案]－1[解析]4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4sin2α－3sinαcosα－

5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.[答案]1(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.[方法技巧]同角三角函数关系

式应用的注意事项(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin2α2＋cos2α2＝1，sin3xcos3x＝tan3x3x≠kπ＋π2，k∈Z都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．(2)对于含有sinα，cosα的齐次式，可根据同角

三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．sinα±cosα与sinαcosα关系的应用[例3]已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝15.(1)求sinx－cosx的值；[解]由sinx＋cosx＝15，平方得sin2x＋2sinxcosx

＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925.由x∈(－π，0)，知sinx<0，又sinx＋cosx>0，∴cosx>0，则

sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－75.[解]sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×157

5＝－24175.(2)求sin2x＋2sin2x1－tanx的值．[方法技巧]同角三角函数关系式的方程思想对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，转化公式为(sinα±c

osα)2＝1±2sinαcosα，体现了方程思想的应用．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.若sinα＝－513，且α为第四象限角，则tanα的值等于()A.125B．－125C.512D．－512解析：因为α为第四象限角，故cosα＝1－sin

2α＝1－－5132＝1213，所以tanα＝sinαcosα＝－5131213＝－512.答案：D[考点二]2．(2017·厦门质检)已知sinαcosα＝18，且5π4<α<3π2，则cosα－sinα的值为()

A．－32B.32C．－34D．34解析：∵5π4<α<3π2，∴cosα<0，sinα<0且|cosα|<|sinα|，∴cosα－sinα>0.又(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34，∴cosα－sinα＝32.答案：B[考点三]3．[考点二]已

知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝()A．22B．2C．－22D．－2解析：∵sinα＋2cosα＝3，∴(sinα＋2cosα)2＝3，即sin2α＋22sinαcosα＋2cos2α＝3，∴sin2α＋

22sinαcosα＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3，∴tan2α＋22tanα＋2tan2α＋1＝3，即2tan2α－22tanα＋1＝0，解得tanα＝22.答案：A4.[考点一]sin21°＋sin22°＋„＋sin289°＝________.解析：原式＝(s

in21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋„＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋„＋(sin244°＋cos244°)＋12＝＋12＝4412.答案：44125.已知ta

nα＝－43，求：(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα的值；(2)1cos2α－sin2α的值；解：(1)sinα－4cosα5sinα＋2cosα＝tanα－45tanα＋2＝－43－45×－43＋2＝87.(2)1cos2α－sin2

α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＝sin2α＋cos2αcos2αcos2α－sin2αcos2α＝tan2α＋11－tan2α＝－432＋11－－432＝－257.[考点二、三]解：sin2α＋2sinαcosα＝sin2α＋2s

inαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋2tanαtan2α＋1＝169－83169＋1＝－825.(3)sin2α＋2sinαcosα的值．突破点(二)三角函数的诱导公式基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．三角函

数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦_____余弦正切sinα－sinα－sinαsinαcosαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－s

inαtanαtanα－tanα－tanα2.特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度数0π6π4π3π22π35π6πsinα_____22___1_______0cosα_____22____0________－1tanα

______1______________001232321213212－12－320333－3－33考点贯通抓高考命题的“形”与“神”诱导公式的应用1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角

就好了”．2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．[典例](1)若sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，则sin

－α－3π2sin3π2－αtan22π－αcosπ2－αcosπ2＋αsinπ＋α＝()A.35B.53C.45D.54(2)求值：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝__

______.[解析](1)方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2，则sinα＝－35.原式＝cosα－cosαtan2αsinα－sinα－sinα＝－1sinα＝53.[答案]B[解析]原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°sin1050°＝

－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin120°cos210°－cos300°sin330°＝－sin(180°－60°)cos(18

0°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1.[答案]1(2)求值：sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________.[方

法技巧]应用诱导公式化简求值的注意事项(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分

利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()A．－25B．－15C.15D.25解析：∵sin5π2＋α＝sin

π2＋α＝cosα，∴cosα＝15.答案：C2．sin210°cos120°的值为()A.14B．－34C．－32D.34解析：sin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝－12×－12＝14.答案：A3．已知A＝sinkπ

＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是()A．{1，－1,2，－2}B．{－1,1}C．{2，－2}D．{1，－1,0,2，－2}解析：k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；k为奇数

时，A＝－sinαsinα＋－cosαcosα＝－2.则A的值构成的集合为{2，－2}．答案：C4．已知tanπ6－α＝33，则tan5π6＋α＝________.解析：tan

5π6＋α＝tanπ－π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tanπ6－α＝－33.答案：－335．已知α为第三象限角，f(α)＝sinα－π2·cos3π2＋α·tanπ－αtan－

α－π·sin－α－π.(1)化简f(α)；(2)若cosα－3π2＝15，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝sinα－π2·cos3π2＋α·tanπ－αtan－α－π·sin－α－π＝－cosα·sinα·－tan

α－tanα·sinα＝－cosα.解：∵cosα－3π2＝15，∴－sinα＝15，从而sinα＝－15.又α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，∴f(α)＝－cosα＝265.(2)若cosα－3π2＝

15，求f(α)的值．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国丙卷)若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝()A．6425B．4825C．1D．1625解析：因为tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋4sinαco

sαsin2α＋cos2α＝1＋4tanαtan2α＋1＝1＋4×34342＋1＝6425.故选A.答案：A2．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sinθ＋π4＝35，则tanθ－π4＝________.解析：由题

意知sinθ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cosθ＋π4＞0，所以cosθ＋π4＝1－sin2θ＋π4＝45.则tanθ－π4＝tanθ＋π4－π2＝－sinπ2－θ＋π4cosπ2

－θ＋π4＝－cosθ＋π4sinθ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43