【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第四章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图象与性质 (含详解).ppt，共(47)页，626.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第三节三角函数的图象与性质本节主要包括2个知识点：1.三角函数的定义域和值域；2.三角函数的性质.突破点(一)三角函数的定义域和值域基础联通抓主干知识的“源”与“流”三角函数正弦函数y＝sinx余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanx图象定义域____x

x∈R，且x≠_______，k∈ZRRkπ＋π2三角函数正弦函数y＝sinx余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanx值域______________R最值当且仅当x＝_______________时，取得最大值1；当

且仅当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1当且仅当x＝__________时，取得最大值1；当且仅当x＝_______________时，取得最小值－1[－1,1][－1,1]π2＋2kπ(k

∈Z)2kπ(k∈Z)π＋2kπ(k∈Z)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数的定义域[例1]函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域是________．[解析]要使函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx有意义，则2

sinx－1＞0，1－2cosx≥0，即sinx＞12，cosx≤12.解得2kπ＋π3≤x<2kπ＋5π6，k∈Z.即函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6，k∈Z.[答案]2kπ＋π3，2kπ＋5π6，k∈Z[方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定

义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒]解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．三角函数的值域(最值)求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋k的

三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t

＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．[例2](1)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3[解析]∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴sinπ6

x－π3∈－32，1.∴y∈[－3，2]，∴ymax＋ymin＝2－3.[答案]A[解析]∵x∈π6，7π6，∴sinx∈－12，1.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sin

x－142＋78，∴当sinx＝14时，ymin＝78；当sinx＝－12或sinx＝1时，ymax＝2.故该函数的值域为78，2.[答案]78，2(2)函数y＝3－sinx－2cos2x，x∈

π6，76π的值域为________．[方法技巧]三角函数值域或最值的三种求法(1)直接法：直接利用sinx，cosx的值域求出．(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写

出函数的值域(最值)．(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，转化为二次函数，求在给定区间上的值域(最值)问题．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．函数y＝cosx－32的定义域为()A．－π6，π6B．kπ－π6，kπ＋π6(k∈Z)C．2kπ－π

6，2kπ＋π6(k∈Z)D．R解析：要使函数有意义，则cosx－32≥0，即cosx≥32，解得2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.答案：C[考点一]2．函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为()A．－1B．－22C．0D.22解析：因为

0≤x≤π2，所以－π4≤2x－π4≤3π4，由正弦函数的图象知，－22≤sin2x－π4≤1，所以函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为－22.答案：B[考点二]3.函数y＝1tanx－1的定义域为______

__．解析：要使函数有意义，必须有tanx－1≠0，x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Z，x≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z.答案：xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，

k∈Z[考点一]4.[考点一]函数y＝lg(sin2x)＋9－x2的定义域为________．解析：由sin2x>0，9－x2≥0，得kπ<x<kπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x<－π2或0<x<π2.∴函数y＝lg(sin2x)＋9－

x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.答案：－3，－π2∪0，π25.求函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．解：令t＝sinx，则y＝－t2＋t＋1＝－

t－122＋54.∵|x|≤π4，∴t∈－22，22，∴当t＝12时，ymax＝54，当t＝－22时，ymin＝1－22.∴函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值为54，最小值为1－22.

[考点二]突破点(二)三角函数的性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象最小正周期2π2ππ奇偶性______________奇函数奇函数偶函数函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性2kπ－π2，2kπ＋π2为增；2k

π＋π2，2kπ＋3π2为减，k∈Z[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Zkπ－π2，kπ＋π2为增，k∈Z对称中心_______________kπ＋π2，0，k∈Zkπ2，0，k∈Z对称轴_____________

________________(kπ，0)，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数的单调性考法(一)求三角函数的单调区间[例1]求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2s

inx＋π4，x∈[0，π]；(2)f(x)＝|tanx|；(3)f(x)＝cos2x－π6，x∈－π2，π2.[解]当－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，即－3π4＋2kπ≤x≤π4＋2kπ，k∈Z时，函数f(x)是增函数

．当2kπ＋π2≤x＋π4≤2kπ＋3π2，k∈Z，即2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z时，函数f(x)是减函数．又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为0，π4，单调递减区间为π4，π.[解]观察图象可知，y＝|tanx|的单调递增

区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z，单调递减区间是kπ－π2，kπ，k∈Z.(2)f(x)＝|tanx|；[解]当2kπ－π≤2x－π6≤2kπ(k∈Z)，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z时，函数f(x)是增

函数；当2kπ≤2x－π6≤2kπ＋π(k∈Z)，即kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12，k∈Z时，函数f(x)是减函数．因此函数f(x)在－π2，π2上的单调递增区间是－5π12，π12，单调

递减区间为－π2，－5π12，π12，π2.(3)f(x)＝cos2x－π6，x∈－π2，π2.[方法技巧]求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列

不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒]求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．考法(二)已知单调区间求参数范围[例2]已知ω>0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上是减函数

，则ω的取值范围是________．[解析]由π2＜x＜π，得π2ω＋π4＜ωx＋π4＜πω＋π4，由题意知π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)且2πω≥2×π－π2，则π2ω＋π4≥π2＋2kπ，k∈

Z，πω＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，且0＜ω≤2，故12≤ω≤54.[答案]12，54[方法技巧]已知单调区间求参数范围的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解

反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解三角函数的周期性[例3](1)函数y＝1－2sin2x－3π4是()A．

最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数[解析]y＝1－2sin2x－3π4＝cos2x－3π4＝－sin2x，所以f(x)是最小正周期为π的奇函数

．[答案]A(2)若函数f(x)＝2tankx＋π3的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．[解析]由题意知，1＜π|k|＜2，即|k|＜π＜2|k|.又k∈N，所以k＝2或k＝3.[答案]2或3[方法技巧]三角函数周期的求解方法(1)定义法：直接

利用周期函数的定义求周期．(2)公式法：①三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的最小正周期分别为2π，2π，π；②y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)图象法：利用三角函数图象的特征求周

期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．三角函数的奇偶性[例4](1)函数f(x)＝12(1＋cos2x)sin2x(x∈R)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π2的

奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π2的偶函数[解析]由题意知，f(x)＝12(1＋cos2x)sin2x＝14(1＋cos2x)(1－cos2x)＝14(1－cos22x)＝18(1－co

s4x)，即f(x)＝18(1－cos4x)，则T＝2π4＝π2，f(－x)＝18(1－cos4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数．[答案]D[解析]由f(x)＝sinx＋φ3是偶函数，可得φ3＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝3kπ＋3π2(k∈Z)，又φ∈[0,

2π]，所以φ＝3π2.[答案]C(2)若函数f(x)＝sinx＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝()A.π2B.2π3C.3π2D.5π3[方法技巧]与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)

；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋π2(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．三角函数的对称性[例5](1)函数f(x)＝sin

x－π4的图象的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝－π4D．x＝－π2[解析]由x－π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ＋3π4(k∈Z)，当k＝－1时，x＝－π4，∴x＝－π4是f(x)＝sinx－π

4图象的一条对称轴．[答案]C[解析]由题意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函数，故φ＝kπ＋π2(k∈Z)．[答案]kπ＋π2，k∈Z(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形，则φ＝

________.[方法技巧]三角函数对称轴和对称中心的求解方法(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝kπω－φω

＋π2ω，对称中心为kπω－φω，0；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝kπω－φω，对称中心为kπω－φω＋π2ω，0；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为kπ2ω－φω，0.上述k∈Z.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．函数y＝3co

s25x－π6的最小正周期是()A．2π5B．5π2C．2πD．5π解析：由T＝2π25＝5π，知该函数的最小正周期为5π.答案：D[考点二]2．[考点三]已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π2”的()A．充分不必

要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：f(x)是奇函数时，φ＝π2＋kπ(k∈Z)，充分性不成立；φ＝π2时，f(x)＝Acosωx＋π2＝－Asinωx，为奇函数，必要性成立．所以“f(x)是奇函数”是

“φ＝π2”的必要不充分条件．答案：B3.若函数y＝cosωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是π6，0，则ω的最小值为()A．1B．2C．4D．8解析：由题可知，πω6＋π6

＝kπ＋π2(k∈Z)，所以ω＝6k＋2(k∈Z)．又ω∈N*，则ωmin＝2.答案：B[考点四]4.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)|φ|<π2在区间－π12，π6上单调且最大值不大于3，则φ的取值范围

是()A.0，π3B.－π3，π6C.－π4，0D.－π3，0解析：因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)|φ|<π2在区间－π12，π6上单调且最大值不大于3，

又φ－π6<2x＋φ≤π3＋φ，所以2×π6＋φ≤π3，且2×－π12＋φ≥－π2，解得－π3≤φ≤0，故选D.答案：D[考点一·考法二]5.[考点一、二、三、四](2017·武汉调研)已知函数f(x)＝sin2x－π

2(x∈R)，下列结论错误的是()A．函数f(x)是偶函数B．函数f(x)的最小正周期为πC．函数f(x)在区间0，π2上是增函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝π4对称解析：f(x)＝sin2x－π2＝－cos2x，此函数为最

小正周期为π的偶函数，所以A，B正确．由函数y＝cosx的单调性知C正确．函数图象的对称轴方程为x＝kπ2(k∈Z)，显然，无论k取任何整数，x≠π4，所以D错误．答案：D6.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有

fπ6＋x＝fπ6－x，则fπ6的值为________．解析：∵fπ6＋x＝fπ6－x，∴x＝π6是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．∴fπ6

＝±2.答案：2或－2[考点四]7.函数y＝2sinπ6－2x(x∈[0，π])为增函数的区间是________．解析：∵y＝2sinπ6－2x＝－2sin2x－π6，∴只需求y＝2sin

2x－π6的减区间即可．∵y＝sinx的减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z，∴令2x－π6∈2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z，[考点一·考法一]得x∈kπ＋π3，kπ＋5π6，k∈Z.∵x∈[0，

π]，∴x∈π3，5π6.即函数y＝2sinπ6－2x(x∈[0，π])为增函数的区间是π3，5π6.答案：π3，5π6[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)

ω>0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为()A．11B．9C．7D．5解析：由题意得－π4ω＋φ＝k1

π，k1∈Z，π4ω＋φ＝k2π＋π2，k2∈Z，且|φ|≤π2，则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝π4或φ＝－π4.对比选项，将选项值分别代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f(x)＝sin11x－π4，f(x)在区

间π18，3π44上单调递增，在区间3π44，5π36上单调递减，不满足f(x)在区间π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f(x)＝sin9x＋π4，满足f(x)在区间π18，5π36上单调递减，故选B.答案：B2

．(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A．①②③B．①③④C．②④D．①③解析：①y＝cos|2x|，最小正周期为π；②y＝|cosx|，

最小正周期为π；③y＝cos2x＋π6，最小正周期为π；④y＝tan2x－π4，最小正周期为π2.所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A.答案：A3．(2012·新课标全国卷)已知ω>

0,0<φ<π，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝()A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：由于直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx

＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，又0<φ<π，所以φ＝π4.答案：A