【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第三章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理(含详解).ppt，共(22)页，398.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝＝2R，(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝第七节正弦定理和余弦定理csinCa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余

弦定理变形形式(边角转化)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝cosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b2

2ca；cosC＝sinA∶sinB∶sinCa2＋b2－c22ab2．三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝＝；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．12acsinB12absinC1．(2016·天津高考)在△A

BC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4答案：A[小题体验]2．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于________．答案：623．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝1

3，则△ABC的面积为________．答案：431．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形时，要

注意三角形内角和定理对角的范围的限制．1．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定[小题纠偏]解析：∵asinA＝bsinB，∴sinB＝basinA＝2418sin45°＝223．又

∵a<b，∴B有两个解，即此三角形有两解．答案：B2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________．解析：在△ABC中，∵sinB＝12，0<B<π，∴B＝π6或B＝5π6．又∵B＋C<π，C

＝π6，∴B＝π6，∴A＝2π3．∵asinA＝bsinB，∴b＝asinBsinA＝1．答案：1考点一利用正、余弦定理解三角形[典例引领]1．(2016·兰州实战考试)△ABC的内角A，B，C的对边分别为

a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cosC＝()A．24B．－24C．34D．－34解析：由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝2a，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋2a2－4a22a×2a

＝－24，故选B．答案：B2．(2016·北京高考)在△ABC中，∠A＝2π3，a＝3c，则bc＝______．解析：在△ABC中，∠A＝2π3，∴a2＝b2＋c2－2bccos2π3，即a2＝b2＋c2＋bc．∵a＝3c，∴3c2＝b2＋c2＋bc，∴b2＋bc－2c2＝0，∴(b＋2c)(b

－c)＝0，∴b－c＝0，∴b＝c，∴bc＝1．答案：1[由题悟法](1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角

和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时应用](2016·山师大附中一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB．(1)求角B的大小；(2)若b＝3

，sinC＝2sinA，求a，c的值．解：(1)∵bsinA＝3acosB，由正弦定理得sinBsinA＝3sinAcosB．在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝3，∴B＝π3．(2)∵sinC＝2sinA，由正弦定理

得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acosπ3，解得a＝3，∴c＝2a＝23．考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[典例引领](2017·贵阳监测)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2B2＝c－a2c，则△ABC的

形状一定是________．解析：由题意，得1－cosB2＝c－a2c，即cosB＝ac，又由余弦定理，得ac＝a2＋c2－b22ac，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．答案：直角三角形[类题通法]判定三角形形状的2种常用途径[提醒]在判断三角形形状时一定要注意

解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．[即时应用]1．在△ABC中，c＝3，b＝1，∠B＝π6，则△ABC的形状为()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：

根据余弦定理有1＝a2＋3－3a，解得a＝1或a＝2，当a＝1时，三角形ABC为等腰三角形，当a＝2时，三角形ABC为直角三角形，故选D．答案：D2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，

则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：∵sinAsinB＝ac，∴ab＝ac，∴b＝c．又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12．∵A∈

(0，π)，∴A＝π3，∴△ABC是等边三角形．答案：C考点三与三角形面积有关的问题[典例引领](2017·武汉调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋1a＝4cosC，b＝1．(1)若A＝90°，求△ABC的面积；(2)若△ABC的面积为32，求a，c．解：(1)∵b＝

1，∴a＋1a＝4cosC＝4×a2＋b2－c22ab＝2a2＋1－c2a，∴2c2＝a2＋1．又A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝c2＋1，∴2c2＝a2＋1＝c2＋2，∴c＝2，a＝3，∴S△ABC＝12bcsi

nA＝12bc＝12×1×2＝22．(2)∵S△ABC＝12absinC＝12asinC＝32，∴sinC＝3a，∵a＋1a＝4cosC，sinC＝3a，∴14a＋1a2＋3a2＝1，化简得(a2－7)2＝0

，∴a＝7，从而c＝a2＋b2－2abcosC＝72＋12－2×7×1×277＝2．[由题悟法]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关

的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[即时应用](2016·河北三市二联)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinB＝－bsinA＋π3．(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝34c2，求sin

C的值．解：(1)∵asinB＝－bsinA＋π3，∴由正弦定理得sinA＝－sinA＋π3，即sinA＝－12sinA－32cosA，化简得tanA＝－33，∵A∈(0，π)，∴

A＝5π6．(2)∵A＝5π6，∴sinA＝12，由S＝34c2＝12bcsinA＝14bc，得b＝3c，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝7c2，则a＝7c，由正弦定理得sinC＝csinAa＝12c7c＝714．