【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第三章 三角函数、解三角形 第四节 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用(含详解).ppt，共(31)页，627.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，AT＝____f＝1T＝ω2π______φ2πωωx＋φ1．y＝Asi

n(ωx＋φ)的有关概念x_____________________________ωx＋φ______________y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φω0π2π

3π22π2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3．由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法1．(2016·浙江高考)函数y＝sinx

2的图象是()答案：D[小题体验]2．函数y＝23sin12x－π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：234π－π43．用五点法作函数y＝sinx－π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、_____

_、______、______、______．答案：π6，02π3，17π6，05π3，－113π6，01．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，

应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为φω，而不是|φ|．1．把y＝sin12x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y＝sinωx的图象，则ω的值为________．[小题纠偏]答案：1

42．要得到函数y＝sin2x的图象，只需把函数y＝sin2x＋π3的图象向右平移______个单位长度．答案：π6考点一函数y＝Asinωx＋φ的图象与变换[典例引领]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx

＋φ)ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g

(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为5π12，0，求θ的最小值．(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．解：(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：ωx＋φ

0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx＋φ)050－50且函数解析式为f(x)＝5sin2x－π6．(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－π6，则g(x)＝5sin2x＋2θ－π6．因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ

，0)，k∈Z，令2x＋2θ－π6＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2＋π12－θ，k∈Z．由于函数y＝g(x)的图象关于点5π12，0成中心对称，所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝kπ2－π3，k∈Z．由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值π6．解：由数据作出的图象如图

所示：(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．[由题悟法]函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法五点法设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐

标，描点后得出图象图象变换法由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”[提醒]平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值

．[即时应用]1．(2016·全国乙卷)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3解析：

函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin2x－π

4＋π6＝2sin2x－π3，故选D．答案：D2．(2016·西安质检)将函数f(x)＝sinx＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是()A．x＝－

π12B．x＝π12C．x＝π3D．x＝2π3解析：将函数f(x)＝sinx＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin12x＋π6的图象，由12x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z

，得x＝2π3＋2kπ，k∈Z，∴当k＝0时，函数图象的对称轴为x＝2π3，故选D．答案：D考点二求函数y＝Asinωx＋φ的解析式[典例引领]1．(2016·石家庄一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π

2的部分图象如图所示，则f11π24的值为()A．－62B．－32C．－22D．－1解析：由图象可得A＝2，最小正周期T＝4×7π12－π3＝π，则ω＝2πT＝2．又f7π12＝2sin

7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f(x)＝2sin2x＋π3，f11π24＝2sin11π12＋π3＝2sin5π4＝－1，故选D．答案：D2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为4，最小

值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()A．y＝4sin4x＋π6B．y＝2sin2x＋π3＋2C．y＝2sin4x＋π3＋2D．y＝2sin

4x＋π6＋2解析：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2．由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4．由直线x＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，

从而φ＝kπ－5π6，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin4x＋π6＋2．答案：D[由题悟法]确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T，则可

得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

第一点图象上升时与x轴的交点ωx＋φ＝0第二点图象的“峰点”ωx＋φ＝π2第三点图象下降时与x轴的交点ωx＋φ＝π第四点图象的“谷点”ωx＋φ＝3π2第五点ωx＋φ＝2π[即时应用]1．(2017·福州模拟)已知函数f(x)＝Asinωx－π4(A>0，ω

>0)的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，为了得到g(x)＝Asinωx的图象，只需将f(x)的图象()A．向左平移12个长度单位B．向右平移12个长度单位C．向左平移π4个长度单位D．向右平移π4个长度单位解析：∵△EFG是

边长为2的正三角形，∴三角形的高为3，即A＝3．由题意可知函数的周期T＝4，即T＝2πω＝4，解得ω＝2π4＝π2，则f(x)＝3sinπ2x－π4，g(x)＝3sinπ2x，由于f(x)＝3sinπ2x－π

4＝3sinπ2x－12，故为了得到g(x)＝3sinπ2x的图象，只需将f(x)的图象向左平移12个长度单位．故选A．答案：A2．函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间是()A

．2kπ－7π12，2kπ－π12，k∈ZB．2kπ－π12，2kπ＋5π12，k∈ZC．kπ－7π12，kπ－π12，k∈ZD．kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z解析：由

题图知，周期T＝435π12－－π3＝π．∴f(x)取得最小值－2时，x＝kπ＋－π3＋T4＝kπ－π12，k∈Z，f(x)取得最大值2时，x＝kπ＋－π3－T4＝kπ－7π12，k∈Z，∴f(x)的单调减区间为kπ－7π12，

kπ－π12，k∈Z，故选C．答案：C[典例引领]已知函数f(x)＝2sin2π4＋x＋3cos2x．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈0，π2上有两个不同的解，求实数m的取值范围．考点三三角函数的

图象和性质的综合问题(1)解：由f(x)＝2sin2π4＋x＋3cos2x＝1－cosπ2＋2x＋3cos2x＝1＋sin2x＋3cos2x＝1＋2sin2x＋π3，则由2kπ

－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－5π12≤x≤kπ＋π12，k∈Z．所以函数的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12，k∈Z．解：由f(x)－m＝2，得f(x)＝m＋2，当x∈0，π2时

，2x＋π3∈π3，4π3，∵f(0)＝1＋2sinπ3＝1＋3，函数f(x)的最大值为1＋2＝3，∴要使方程f(x)－m＝2在x∈0，π2上有两个不同的解，则f(x)＝m＋2在x∈0，π2上有两个不同的解，即函数f(x)和y＝m＋2在x∈0，π2上

有两个不同的交点，即1＋3≤m＋2＜3，即3－1≤m＜1．所以实数m的取值范围为[3－1,1)．(2)若关于x的方程f(x)－m＝2在x∈0，π2上有两个不同的解，求实数m的取值范围．[由题悟法]1．

三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．2．三角函数的零点、不等式问题的

求解思路(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)；(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．[即时应用]已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx,3cosx)，函数f(x)＝a·b＋32．

(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．解：(1)因为f(x)＝sinxcosx－3cos2x＋32＝12sin2x－32(cos2x＋1)＋32＝12sin2x－

32cos2x＝sin2x－π3，所以f(x)的最小正周期为π，令sin2x－π3＝0，得2x－π3＝kπ，k∈Z，∴x＝kπ2＋π6，k∈Z，故所求对称中心的坐标为kπ2＋π6，0，k∈Z．(2

)∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤2π3，∴－32≤sin2x－π3≤1，故f(x)的值域为－32，1．考点四三角函数模型的简单应用解析：因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12s

inπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，又0≤t＜24，所以π3≤π12t＋π3＜7π3，所以－1≤sinπ12t＋π3≤1．[典例引领]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关

系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0,24)．则实验室这一天的最大温差为________℃．当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1．于是f(t)在[0,24)上的最大值

为12，最小值为8．故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃．答案：4[由题悟法]三角函数模型在实际应用中体现的2个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法

则；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[即时应用]1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k．据此函数可知，这段时间水深(单位：

m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10解析：由题图可知－3＋k＝2，即k＝5，y＝3sinπ6x＋φ＋5，∴ymax＝3＋5＝8．答案：C2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt

＋φ)A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象如图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是()A．－5安B．5安C．53安D．10安解析：由图象知A＝10，T2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π

．∴I＝10sin(100πt＋φ)．又1300，10为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2．∴φ＝π6．∴I＝10sin100πt＋π6，当t＝1100秒时，I＝－5安．答案

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