【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第三章 三角函数、解三角形 第八节 正弦定理和余弦定理的应用(含详解).ppt，共(24)页，532.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线时叫仰角，目标视线在水平视线时叫俯角．(如图(a))．第八节正弦定理和余弦定理的应用图(a)图(b)上方下方2．方位角从某点的指北方向线起按顺时针转到目

标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为5

0m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为______m．答案：502[小题体验]2．(教材习题改编)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10nmile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝________nmile．答案：56易混淆方

位角与方向角概念：方位角是指北方向线与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________．

[小题纠偏]答案：130°2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝

15°．∴点A在点B的北偏西15°．答案：北偏西15°考点一测量高度问题[典例引领](2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则

此山的高度CD＝________m．解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．又AB＝600m，故由正弦定理得600sin45°＝BCsin30°，解得BC＝3002(m)．在Rt△BCD中，CD＝BC·

tan30°＝3002×33＝1006(m)．答案：1006[由题悟法]求解高度问题应注意的3个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(

地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[即时应用](2016·湖北七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面

的A，B两点处进行测量，在点A处测得塔顶C在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B处测得塔顶C在东偏北40°的方向上，仰角为30°．若A，B两点相距130m，求塔的高度CD．解：分析题意可知，设CD＝h，则AD＝h3，BD＝3h，在△ADB中，∠ADB＝180°－20°－40°＝

120°，∴由余弦定理AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos120°，可得1302＝3h2＋h23－2·3h·h3·－12，解得h＝1039，故塔的高度为1039(m)．考点二测量距离问题研究测

量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．[锁定考向][题点全练]角

度一：两点都不可到达1．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ．在△ADC和

△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km．解析：∵∠ADC＝∠

ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32(km)．在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64．在△

ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝34＋38－2×32×64×22＝38．∴AB＝64(km)．∴A，B两点间的距离为64km．答案：64角度二：两点不相通的距离2

．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝a2＋b2－2abcosα．若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为________m．解析：

在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000．∴AB＝2007(m)．即A，B两点间的距离为2007m．答案：2007角度三：两点间可视但有一点

不可到达3．如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB．若测出AC＝

60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m．解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，ABsinC＝ACsinB，∴AB＝AC·sinCsinB＝60×sin45°sin60°＝2

06(m)．即A，B两点间的距离为206m．答案：206[通法在握]求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理

．[演练冲关]1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10kmB．103kmC．105kmD．107km解析：由余弦定理可得：AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos120°＝102

＋202－2×10×20×－12＝700．∴AC＝107(km)，故选D．答案：D2．一艘船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到

这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为()A．152kmB．302kmC．452kmD．602km解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°．在△AMB中，由正弦定理，得60si

n45°＝BMsin30°，解得BM＝302，故选B．答案：B考点三测量角度问题[典例引领]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇

以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°．根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10

x)2－240xcos120°，解得x＝2．故AC＝28，BC＝20．根据正弦定理得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314．所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值

为5314．[由题悟法]解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可

将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．[即时应用]如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往

B处救援，求cosθ的值．解：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，解得BC＝207．由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠B

AC＝217．由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277．由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114．板块命题点专练（六）点击此处